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Función Lineal: La representación gráfica de la Función Lineal es una línea recta. Al valor de m se le denomina pendiente, y al valor n se le llama coeficiente de posición. La restricción m  0 en la definición de una función lineal implica que la gráfica no es una recta horizontal. Si m  0 , la función lineal es una línea recta creciente, si m  0 , la función lineal es una línea recta decreciente.

Hay dos tipos de rectas que no son gráficas de funciones lineales Una recta vertical con ecuación x = x 0 no pasa la prueba de la recta vertical y no puede definir a una función. Si m = 0 , en la fórmula anterior, entonces f ( x) = n , la cual es una función constante y no es una función lineal sin embargo pasa la prueba de la recta vertical y define a una función

Representación de la Gráfica de una Función Lineal:

Función Lineal Creciente: f ( x) = mx + n, m  0

Pendiente Positiva. f  OY = (0, n) f  OX =

(

−n ,0 m

)

Función Lineal Decreciente: f ( x) = mx + n, m  0

Pendiente Negativa. f  OY = (0, n) f  OX =

( −mn , 0 )

Una función lineal es aquella que describe algebraicamente el comportamiento de sus variables x e y por medio de la expresión general y = mx + n o f ( x) = mx + n , donde m se llama pendiente y n es el coeficiente de posición.

La gráfica de la función consiste en todos los puntos (x,y) en el plano coordenado tales que y=f(x) y x esté en el dominio de la función, la pendiente m de una línea recta se define como la razón de la elevación al recorrido.

m=

y − y1 cambio − vertical (elevación ) = 2 cambio − horizontal (desplazamiento ) x 2 − x1

donde P = (x 1 , y1 ) y Q = ( x 2 , y 2 ) son puntos de la recta

La pendiente no está definida para líneas verticales. Debe observarse que la pendiente de una misma línea es siempre el mismo valor, no importando las posiciones de los puntos P y Q sobre la línea.

La tabla resume las diversas formas asumidas por la ecuación de una línea recta 1. − Fórmula general 2. -

Fórmula punto - pendiente

3. − Fórmula pendiente ordenada al origen

Ax + By + C = 0, A y B no son cero a la vez y - y1 = m(x − x1 )

y = mx + b

4. -

Línea horizontal

y=b

5. -

Línea vertical

x=a

Paralelismo y perpendicular entre rectas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es 1

Ejemplos:

Son funciones lineales: f ( x) = 3x + 8 con m = 3 y n = 8 y = − x con m = -1 y n = 0 g ( x) = 12 −1000 x con m = -1000 y n = 12 y = 4 con m = 0 y n = 4. El gráfico y los parámetros n y m: El gráfico de la función lineal es una línea recta. El número n , indica a qué altura la recta intersecta al eje Y. Por tanto, si n es positivo, la recta corta al eje Y por sobre el eje X. Si n es negativo, lo hace por debajo del eje X y si n es cero, la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas O = (0,0). La pendiente m de la recta, corresponde a la inclinación de ésta con respecto al eje X. Si miramos la recta de izquierda a derecha puede darse uno y sólo uno de estos comportamientos gráficos:

1)

La recta “sube”. Decimos que la función lineal es creciente. El valor

2) 3)

de m debe ser positivo. La recta “baja”. Decimos que la función lineal es decreciente. Esto sucede cuando el valor de m es negativo. La recta es paralela al eje X. Esto ocurre cuando el valor de m es cero.

Observación: Se ha dejado de lado el caso en que la recta sea paralela al eje Y, caso en que el gráfico no corresponde al de una función. Las siguientes gráficas muestran las diferentes situaciones descritas para los tipos de valores de m y n respectivo: m positivo

m=0

m negativo

n positivo

n=0

n negativo

El dominio y el recorrido de la función lineal es el conjunto de los números reales. Ejemplo:

Una situación que se describe por un modelo lineal es: El sueldo de un repartidor de pizza, está dado por un sueldo base fijo, más una comisión. El sueldo base es de $200.000 y por cada pizza repartida gana $120.

Nota que sueldo mensual = sueldo base + comisión. Si llamamos S al sueldo mensual y x al número de pizzas repartidas, vemos que S depende de x. La relación algebraica es S(x) = 200.000 +120x. S(10) es el sueldo mensual cuando ha repartido en ese mes 10 pizzas.

Función Cuadrática Funciones Cuadráticas: Definición:

2.2. Resumen:

Se llama Función Cuadrática a toda función de la forma f ( x) = a  x + b  x + c , donde a, b y c son números reales, llamados coeficientes, y a  0 . 2

La Gráfica de la Función Cuadrática: 2 La Gráfica de una Función Cuadrática de la forma f ( x) = a  x + b  x + c , a  0

Es una parábola que se abre hacia arriba sí a  0 , en dicho caso posee un valor extremo mínimo. Es una parábola que se abre hacia abajo sí a  0 , en dicho caso posee un valor extremo máximo. Tiene un Eje de Simetría, que es una recta vertical, cuya ecuación es

( )

x0 =

−b 2a

.

−b 2a

Tiene un valor extremo dado por y0 = f ( x0 ) = f , de donde se obtiene el punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría, denominado Vértice de la Parábola, cuyas coordenadas son V = (x0 , y0 ) . El recorrido es  y0 ,+  si

a  0 ; y  −  , y0  si a  0 , donde y0 = a 1 f ( x) = x 2

Es más angosta que la gráfica de

f ( x) = x 2

, si

4 ac−b 2 4a

.

a 1

Es más ancha que la gráfica de , si . ( Corta al eje vertical en el Punto de Coordenadas 0 , c ) , ya que f (0) = c . 2 La Función Cuadrática de la forma f ( x) = a  x + b  x + c puede expresarse como f ( x) = a  ( x − x0 ) 2 + y0 , siendo a  0 , completando el cuadrado de

binomio, donde el punto (x0 , y 0 ) es el vértice de la parábola. NO es una función Inyectiva.

Ejemplo:

Dada la función cuadrática f ( x) = 3x + 4 x − 7 . Encontrar la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice, y el recorrido. 2

Solución: x = En este caso a = 3  0 , b = 4 y c = −7 , entonces, el eje de simetría es 0 y = , y las coordenadas del vértice son V = (x0 , y0 ) , donde 0

(

= − o sea V = (x0 , y0 ) a = 3  0.

2 3

,−

25 3

). El recorrido es el intervalo −

−b 2a

=

−4 2·3

4·3·−7 − ( 4) 2 4·3

25 , 3

+

=

−2 3

= − 25 3

 , pues

Intersecciones con el Eje Horizontal: Se pueden hallar los puntos, en el caso de existir, donde la gráfica de la función cruza o toca al eje horizontal, factorizando o utilizando la Formula 2 Cuadrática para resolver la ecuación Cuadrática ax + bx + c = 0 , cuya

formula es

x=

−b 

b 2 − 4 ac 2a

. El Promedio de estas intersecciones, de x0 =

existir con el eje horizontal es valor extremo. −b −  = a   x − 2a  x −   = a  ( x − x1)( x − x2 )

Ejemplo:

−b +  2a

−b 2a

, que es el valor de la abscisa del

  

2 Como las raíces de la función cuadrática f ( x) = 3x + 4 x − 7 son x1 = 1 y

x 2 = − 73

f ( x) = 3·(x − 1)( x + 73 )

, entonces su factorización es

Proposición Las raíces

x1 , x2

de la función

propiedades:

f ( x) = ax 2 + bx + c

−b x1 + x 2 = a

,

x1  x2 =

verifican las siguientes

c a

Demostración: x1 + x2 = x1 ·x 2 =  

Ejercicio. a. b. c.

Definición:

−b +  2a −b +  2a

+ ·  

−b −  2a −b −  2a

= =  

( − b +  ) + ( −b −  ) 2a ( −b +  )·( −b −  ) 4a

2

= =

−2b 2a

=

−b a

b 2 − (b 2 − 4ac) 4a

2

=

4a·c c = 4a·a a

Dada la función cuadrática f ( x) = 2 x − 5x − 7 . Determine: El eje de simetría y el vértice de la función cuadrática. En que puntos la función intercepta a los ejes de coordenadas. La ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y por el punto (−2, f (−2)) . 2

Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por y = f ( x) = ax 2 + bx + c donde a, b, c son números reales y a  0 .

Concavidad: El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente. Concavidad positiva Concavidad negativa

Se da cuando a  0

Se da cuando a  0

Intersección con los ejes: La intersección de la parábola con el eje Y es un punto (0, c) donde c es el valor 2 dado en la expresión funcional y = f ( x) = ax + bx + c . Ejemplo 4:

2 La función f ( x) = 2 x + 3x − 5 corta al eje Y en el punto (0,-5) porque c = -5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a = 2 >0.

2 La intersección con el eje X se determina haciendo ax + bx + c = 0 . Resolviendo ésta ecuación de segundo grado, tenemos los puntos en que la parábola corta al eje X.

Si se tienen dos soluciones reales distintas ( x , 0) ( x2 , 0 ) puntos 1 y .

x1 , x2

, la gráfica corta al eje X en los dos

Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 = x2 , la gráfica corta al eje X en un solo punto de coordenadas ( x1 , 0)

Si se tienen dos soluciones no reales

x1 , x2

, la gráfica no corta 2 Veamos donde la función f ( x) = 2 x + 3x − 5 , corta al eje X. 5 x = − 2 2 x =1 2. Resolvemos la ecuación 2 x + 3x − 5 = 0 , y obtenemos 1 , Entonces la parábola corta a los ejes en los puntos de coordenadas  5  (1, 0 ) y  − 2 , 0 

Coordenadas del vértice de la parábola: Otro de los elementos importantes para elaborar una buena gráfica de la parábola es conocer las coordenadas del vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a, b, c es:

 b 4ac − b 2  V = − ,  4a   2a Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función. Esto se aprecia en la gráfica:

2 Retomamos la función f ( x) = 2 x + 3x − 5 . Como tiene concavidad positiva, por ser a =2 >0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. Ocupando la fórmula, para a = 2, b = 3 y c = -5, se tiene:

 b 4ac − b 2  V = − ,  (− 3 ,− 49 ) 2 a 4 a  = 4 8 Ejercicio 2.

Observemos la gráfica de las siguientes funciones

Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes X e Y, y las coordenadas del vértice.

Recorrido de una función cuadrática El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales, de ahí que horizontalmente la curva se extienda infinitamente a la izquierda y a la derecha. El recorrido es un intervalo semi-abierto:

 h, + ) , donde h es la ordenada Si la concavidad es positiva, tenemos Recf = (segunda componente) del vértice de la parábola. ( −, k  , donde k es la ordenada Si la concavidad es negativa, tenemos Recf = (segunda componente) del vértice de la parábola. Así, la función

f ( x) = 2 x2 + 3x − 5 que tiene concavidad positiva y vértice

 3 49  V = − ,−  8  , tenemos que Recf =  4 Ejercicio .

 49   − 8 , +  .

La distancia s sobre el suelo (en pies) a la que está un objeto que se deja a caer de un globo aerostático t segundos después de que se soltó está dada por:

s = a + bt2 Donde a y b son constantes. Suponga que el objeto está a 2 100 pies sobre el suelo cinco segundos después de que se soltó, y a 900 pies 10 segundos después de que se soltó. (A) (B) (C)

Encuentre las constantes a y b. ¿A qué altura está el globo? ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en caer? Aplicaciones

Una empresa electrónica determinó que el costo unitario por comercializar q unidades de un bien es de U$95, y el costo fijo es de U$3.300. Si el precio unitario de venta por q unidades del bien está dado por la expresión p = −2,5q + 300 U$, Determine: ¿Cuántas unidades del bien se deben comercializar de modo que se obtengan utilidades? Desarrollo: 𝐶(𝑞) = 95𝑞 + 3300 𝐼(𝑞) = (−2,5𝑞 + 300)𝑞 𝐼(𝑞) = −2,5𝑞 2 + 300𝑞 𝑈(𝑞) = 𝐼(𝑞) − 𝐶(𝑞) 𝑈(𝑞) = −2,5𝑞 2 + 300𝑞 − (95𝑞 + 3300) 𝑈(𝑞) = −2,5𝑞 2 + 205𝑞 − 3300 −2,5𝑞 2 + 205𝑞 − 3300 > 0 ÷ (−2,5) 𝑞 2 − 82𝑞 + 1320 < 0 (𝑞 − 22)(𝑞 − 60) < 0 Puntos Críticos: 𝑞 = 22 𝑦 𝑞 = 60

1

23

61

(𝑞 − 22) (𝑞 − 60) (𝑞 − 22)(𝑞 − 60)

− − +

+ − −

+ + +

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ]22; 60[

Respuesta: Para obtener Utilidades se deben vender entre 22 y 60 unidades.

Elementos de Geometría Analítica: Distancia entre dos puntos: La distancia d = d ( P1 , P2 ) .entre los puntos: P1 = ( x1 , y1 ) , y P2 = ( x2 , y2 ) , esta dada por: d = d ( P1 , P2 ) =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos P1 = ( 2 , 5 ) , y P2 = ( 5 , 9 ) . Solución: d = d ( P1 , P2 ) =

(5 − 2 )2 + (9 − 5 )2

= 25 = 5

Pendiente entre dos puntos: La Pendiente m de una recta L que pasa por los puntos: P1 = ( x1 , y1 ) , y P2 = ( x2 , y2 ) , esta dada por: mL =

y2 − y1 x2 − x1

Ejemplo:

Calcular la pendiente entre los puntos P1 = ( 2 , 5 ) , y P2 = ( 5 , 9 ) . Solución: mL =

9−5 4 = 5−2 3

Punto Medio El Punto Medio entre los puntos: P1 = ( x1 , y1 ) , y P2 = ( x2 , y2 ) , esta dada por: M = ( x0 , y0 ) , donde x0 =

x1 + x2 2

y0 =

, e

y1 + y2 2

o bien:  x + x 2 y1 + y 2 M =  1 , 2 2 

Ejemplo: Solución:

  

Calcular el punto medio entre los puntos P1 = ( 2 , 5 ) , y P2 = ( 5 , 9 ) .

En este caso:

M =

(2+25 , 5+29 ) = (

7 2

,7

)

Ecuación Punto Pendiente: y − y1 = m ( x − x1 ) y − (−1) = y +1=

y =

5 2

5 2

5 2

·( x − 4 )

x − 10

x − 11

Expresada lineal será:

f ( x) =

como

5 2

función

x − 11

Recordemos que el punto de coordenadas (0, n) es donde la gráfica de la recta intercepta al eje vertical y la ordenada de dicho punto n es llamado coeficiente de posición. Si se conoce la pendiente m y el coeficiente de posición n de una línea recta, una ecuación para dicha recta (utilizando la fórmula punto-pendiente con ( x1 , y1 ) = ( 0, n ) ) será la siguiente: y − n = m( x − 0)

Resolviendo para la variable y se obtiene la ecuación y = m· x + n , llamada ecuación particular de la línea recta, y ella representa la ecuación de una línea recta que tiene pendiente m y que intercepta al eje vertical en un punto cuya ordenada es n .

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de una recta con pendiente m = −

3 2

y que

intercepta al eje vertical en el punto de coordenadas ( 0, 5 ) Solución: Utilizando la ecuación particular de la línea recta y = m· x + n con m=−

1.5.

3 2

y n = 5 , se obtiene: y = m· x + n = − 32 ·x + 5

Rectas Paralelas:

Dos rectas cualesquiera L1 y L 2 cuyas pendientes son: m1 y m 2 son paralelas si se cumple m1 = m2 .

Lo anterior se puede expresar como, dos rectas son paralelas si tiene la misma pendiente o bien son verticales.

1.6.

Rectas Perpendiculares:

Dos rectas cualesquiera L1 y L 2 cuyas pendientes son: y son m1 m2 perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a −1 , es decir m1  m2 = − 1

Lo anterior se puede expresar de la siguiente forma: Dos rectas con pendientes m1 y m 2 (no nulas) son perpendiculares sí y sólo sí: m2 = −

1 m1

Además, una recta horizontal y una recta vertical son perpendiculares entre sí.

Ejemplo:

Determine la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación y = 2 x − 5 y que pasa por el punto ( 2, 3 ) . Solución: La pendiente de la recta dada es m = 2 y como la recta pedida pasa por ( 2, 3 ) tiene esta misma pendiente, entonces la ecuación de la recta pedida se obtiene utilizando la fórmula punto pendiente: y − 3 = 2·( x − 2 )

y = 2x − 4 + 3 y = 2x − 1

Ejemplo:

Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = 2 x − 5 y que pasa por el punto ( 2, 3 ) . Solución: Como la pendiente de la recta dada es m1 = 2 , entonces la pendiente de la recta perpendicular es m2 = −

1 2

, entonces la

ecuación de la recta pedida se utilizando la fórmula punto pendiente es: y −3= −

1 2

·( x − 2 )

y= −

1 2

x + 1 +3

y= −

1 2

x +4

Ejercicio 1:

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por C (3,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (3,-2) y D (-6,5).

Ejercicio 2:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (-1,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por Q(-2,3) y R (-5,-6).

Ejercicio 3:

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones L1 : 3x − y + 1 = 0 y L2 : 4x + 2 y − 12 = 0 , y sea perpendicular a la recta L : y = 2x − 1 . Grafique las tres rectas.

La función Exponencial Definición: Sea b un número positivo distinto de 1. La función exponencial de base b está definida por f ( x) = b x y tiene por dominio el conjunto de los números reales y recorrido, el conjunto de los números reales positivos. Propiedades de las potencias

Si a  0, b  0, x  IR,

y  IR

i) a x a y = a x + y ii ) a xb x = (ab) x iii ) (a x ) y = a xy x ax a iv )   = b bx 1 v) a −1 = a

Así, la gráfica de la función exponencial sólo se presenta por sobre el eje X y se extiende infinitamente en sentido horizontal.

La gráfica de la función exponencial f ( x) = b x es una cuerva creciente si b  1 . Observa la gráfica de f ( x) = 2 x . Nota que la curva corta al eje Y en (0,1). La gráfica de la función exponencial f ( x) = b x es una curva decreciente si 0  b  1 . Observa la gráfica de f ( x) = 0,3x . Nota que la gráfica corta al eje Y en (0,1). En general, las gráficas de las funciones de la forma f ( x) = b x cortan siempre al eje Y en (0,1), ya que f (0) = b0 = 1 . Comparación del crecimiento de funciones exponenciales: De dos funciones exponenciales con bases mayores que uno, crece más rápido aquella que tiene la mayor base.

La curva azul, corresponde a la función f ( x) = 10 x La curva verde, corresponde a la función f ( x) = 3x ¿Cómo se comportan dos funciones exponenciales con base positiva menor que uno? Observa el gráfico:

En azul está la gráfica de f ( x) = 0,3x y en verde f ( x) = 0,8x . Entonces, se visualiza que tiene un decrecimiento más “brusco” la función de menor base. Aplicaciones:

Veremos algunas aplicaciones de la función exponencial en las dos aplicaciones siguientes:

Nuestro primer ejemplo implica el crecimiento de poblaciones, de personas, animales, insectos y bacterias. Las poblaciones tienden a crecer exponencialmente y a tasas diferentes. Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de duplicación (éste es el tiempo que le toma a una poblaci6n duplicarse). En periodos cortos, se usa a menudo el modelo de crecimiento del tiempo de duplicación para modelar al crecimiento demográfico: P = Po 2 t d

donde

P = población en el tiempo t Po = poblaci6n en el tiempo t = 0 d = tiempo de duplicaci6n

Observe que cuando t = d, se tiene que P = Po 2 d d = Po 2 y la población es el doble de la original, como se espera. Se usará este modelo para resolver un problema de crecimiento demográfico en el ejemplo siguiente. Ejemplo

Crecimiento demográfico. Mexico tiene una poblaci6n aproximada de 100 millones de personas, y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población: (A) en 15 años a partir de ahora? (B) en 30 años a partir de ahora? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. Solución: Se usa el modelo de crecimiento del tiempo de duplicaci6n P = Po 2 t d Sustituyendo Po =100 y d = 21, se obtiene P = 100(2 (A)

t/21)

Encuentre P cuando t = 15 años: P = 100(2 15/21) = 164 millones de personas (Use calculadora)

(B)

Encuentre P cuando t = 30 años:

P = 100(2 calculadora.)

30/21)

=

P = 269 millones de personas

A = 100(2 -24/ 46,5) = 69,9 miligramos

(Use

(Use calculadora)

La función exponencial de base e El número e, es un número irracional (con desarrollo decimal no periódico infinito) que es muy importante tanto para las matemáticas m 1 como para sus aplicaciones y se deriva de la expresión: 1 +  para



m

valores muy grandes de m, con m  N . El valor numérico de e escribiendo sólo 12 decimales es: e = 2,718281828459…

La constante e parece ser una base ideal para una función exponencial, ya que en cálculo y algunas operaciones matemáticas avanzadas aparecen en su forma más simple usando esta base y se usa extensamente en modelos del mundo real. La función exponencial de base e se define pues como sigue Definición: Para un número real x : f(x) = ex Las gráficas de y = ex y y = e-x se muestran en la figura siguiente:

Aplicaciones

1) Una empresa determinó que sus ventas mensuales de su producto estrella dependen del tiempo t en meses y están expresadas por 1000

V(t) = 5+10−0,1t + 70 (en miles de unidades) Si V(t = 1) corresponde a las ventas obtenidas al primer mes y V(t = 0,5) corresponde a las ventas obtenidas en los primeros 15 días. Desarrollo:

a) ¿Cuáles son las ventas inicialmente? V(0) =

1000 + 70 5 + 10−0,1∙0

V(0) =

1000 + 70 5 + 100

V(0) = 167 + 70 V(0) = 237

Respuesta: La venta inicial es de 237.000 unidades aproximadamente. b) ¿Cuántas miles de unidades se han vendido a los 3 meses y 15 días? V(3,25) =

1000 + 70 5 + 10−0,1∙3,25

V(3,25) =

1000 + 70 5 + 10−0,1∙3,25

V(3,25) = 253 Respuesta: En 3 meses y 15 días se vendieron 253.000 unidades aproximadamente.

c) ¿En cúantos meses y días las ventas alcanzarán las 267,507622 miles de unidades?

267,507622 =

1000 + 70 5 + 10−0,1t

267,507622 − 70 = 197,507622 =

1000 5 + 10−0,1t

1000 5 + 10−0,1t

197,507622(5 + 10−0,1t ) = 1000 (5 + 10−0,1t ) =

1000 197,507622

5 + 10−0,1t = 5,063095742

10−0,1t = 5,063095742 − 5 10−0,1t = 0,063095742 −0,1t ∙ log 10 = log 0,063095742 −0,1t = −1,199999947 t = 12 Respuesta: En 12 meses aproximadamente las ventas alcanzarán las 267,507622 miles de unidades La función logarítmica Definición: La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial, de modo que: Si b es la base del logaritmo (siendo b positivo y distinto de 1) e y es un número real positivo, entonces el número x en la expresión b x = y se denomina “logaritmo de y en base b ” y se denota: logb y = x log a : IR + ⎯ ⎯→ IR x⎯ ⎯→ log a ( x) donde

y = log a ( x)  x = a y

Propiedades: Sea a un número real positivo distinto de 1 entonces log a a x = x a

lo g a x

=x

x IR x IR +

Para x  IR + , y  IR + log a ( xy) = log a x + log a y x log a   = log a x − log a y  y log a x r = r log a x

log 4 10 = log 4 5 + log 4 2 5 log 8   = log 8 5 - log 8 6 6 log 5 3 2 = 2log5 3

En especial, trataremos la función logarítmica con base 10, que tiene por dominio el conjunto de los números reales positivos y por recorrido todo el conjunto de los números reales. Esto significa que la función logarítmica sólo tiene una representación gráfica a la derecha del eje Y y puede extenderse infinitamente en sentido vertical. Observa la gráfica de la función exponencial y su inversa respectiva (logarítmica) Función exponencial

Función logarítmica

f ( x) = log( x)

f ( x) = 10 x

En especial, trataremos la función f ( x) = log( x) , es decir con base logarítmica 10, para trabajarla directamente en calculadora. Con la tabla anterior queremos explicitar que tales funciones son inversas, por tanto, el dominio de la función logarítmica, es el recorrido de la exponencial y el recorrido de la exponencial es el dominio de la logarítmica. Luego Domlog = IR + y Reclog =. IR La función logaritmo natural Los logaritmos naturales se conocen también como logaritmos neperianos, estos son los logaritmos de base e. Se denotan por

ln x = log e x Aplicaciones Ejemplo:

Intensidad del sonido. El oído humano es capaz de oír el sonido en un rango increíble de intensidades. El sonido más fuerte que una persona saludable puede oír sin daño en el tímpano tiene una intensidad de un billón (1 000 000 000 000) de veces la del sonido más suave que puede percibir. Trabajar directamente con números con un rango tan amplio como éste es muy incómodo. Puesto que el logaritmo de base más grande que 1, de un número aumenta mucho más lentamente que el número mismo, con frecuencia se usan los logaritmos para crear escalas comprimidas más convenientes. La escala de decibeles para la intensidad del sonido es un ejemplo de tal escala. El decibel, llamado así por el inventor del teléfono, Alexander Graham Bell (1847-1922), se define como sigue: D = 10 log

I I0

Escala de decibeles

donde D es el nivel de decibeles del sonido, I es la intensidad del sonido medida en watt por metro cuadrado (W/m2) e I0 es la intensidad del sonido más pequeño audible que una persona promedio, joven y saludable puede escuchar. Este último se estandariza a I0= 10-12 watts sobre metro cuadrado. En la tabla 1 se enumera algunas intensidades de sonidos típicos de fuentes familiares. Ejemplo

Encuentre el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 x10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decimales. Solución: Se usa la fórmula de decibeles: D = 10 log

I I0

5,2  10 −10 10 −12 = 10 log( 5,2  10 2 ) = 10 log

= 10(log 5,2 + log 10 20 ) = 10(0,716 + 2) = 27,16

decibeles

Guía de Ejercicios: Relaciones y Funciones 1.

Determine si cada una de las siguientes relaciones es son o no funciones (fundamente): 1. 2. 3.

R1 = ( x, y)  IR  IR / 2 x + 3 y − 24 = 0  R2 = ( x, y)  IR  IR / x 2 − y 2 = 0  R3 = ( x, y)  IR  IR / xy − x 2 − 1 = 0 

4. R4 = ( x, y)  IR  IR / xy 2 + x − 1 = 0 5. R5 = ( x, y)  IR  IR / x 2 + y − 11x = 5 Soluciones Son funciones: R1 , R3 y R5

 

R 2 no es función pues y1 = x e y 2 = − x . R 4 no es función pues al despejar la variable dependiente y , se llega a la ecuación y 2 =

1− x . Cada elemento del dominio, excepto el uno tienen dos x

imágenes. 2.

Determine el Dominio y el Recorrido de las siguientes funciones: 1. 2.

x+4 2x − 1 3x − 4 f ( x) = 4x + 5 f ( x) =

Dom f = Rec f = IR −

 



3 4

Dom f IR − −

5 4

1 2

; Rec f IR −  

3. 4.

f ( x) = 2 − 5 x

5.

f ( x) =

6.

f ( x) =

1 x −1

7.

f ( x) =

2−x

Dom f = − ,2 ; Rec f = 0, 

8.

f ( x) =

x2 − 4

Dom f: IR − − 2,2 , Rec f: 0, 

9. 10.

f ( x) = − 4 − x 2 f ( x) = x 2 − 4

11.

f ( x) =

12.

f ( x) = x + x

f ( x) = 4 x + 3 1 x+4 2

1 x+2 2

Dom f = Rec f = IR Dom f = Rec f = IR Dom f: IR −  − 4 , Rec f: IR −  0  Dom f IR −  1,−1 : Rec f IR − − 1,0

Dom f = − 2,2 ; Rec f = − 2,0 Dom f: IR , Rec f = − 4,  Dom f = − 2,  ; Rec f = 0, 

Dom f: IR , Rec f = − 1 / 4, 

Ejemplo1:

Dada la siguiente relación: R =  ( x, y)  IR  IR / 2x − 3 y − 4xy − 24 = 0  a. Determine si es una función. Solución: Se debe demostrar que si ( x, a)  R y ( x, b)  R , entonces se verifica que a = b . si ( x, a)  R , entonces 2x − 3a − 4xa − 24 = 0 si ( x, b)  R , entonces 2x − 3b − 4xb − 24 = 0 Igualando estas dos ecuaciones entre si 2x − 3a − 4xa − 24 = se obtienen que 2x − 3b − 4xb − 24 , −3a − 4 xa = −3b − 4 xb , factorizando a·(−3 − 4x) = b·(−3 − 4 x) , y simplificando se obtiene que a = b , siempre que (−3 − 4 x)  0 . b. Indique su dominio y recorrido. Solución: Para determinar el dominio debemos despejar “y” en función de “x”. 2 x − 3 y − 4 xy − 24 = 0 

3 y + 4 xy = 2 x − 24



y (4 x + 3) = 2 x − 24



y=

2 x − 24 4x + 3

 .

siempre que 4x + 3  0 o sea x  − 34 , luego, Domf = IR − −

3 4

Para obtener el Recorrido, debemos despejar “x” en función de “y”. 2 x − 3 y − 4 xy − 24 = 0  2 x − 4 xy = 3 y + 24  x(2 − 4 y ) = 3 y + 24 

x=

3 y + 24 2 − 4y

siempre que 2 − 4 y  0 o sea y  12 , entonces Re cf = IR − c. Determine su ecuación funcional. Solución:

 1 2

La ecuación funcional se obtiene al despejar la variable y en términos de la variable x de la ecuación que define a la función, y es de la forma y = f (x) , de donde f ( x) =



2 x − 24 4x + 3



Ejemplo 2: ¿Por qué la relación R = ( x, y)  IR  IR / x2 − y 2 = 16 no representa una función? Solución: Al despejar la variable de pendiente y 2 = x 2 − 16 , vemos que para un mismo valor del dominio “x” real existen dos imágenes y1 = x 2 − 16 e y 2 = − x 2 − 16 , por lo tanto no es una función.

4.

Demuestre que las siguientes relaciones son funciones e indique dominio y recorrido 1. f = ( x, y)  IR2 / y − xy = x − 1 Dom = IR −  1 ;

Re c = IR − − 2

2. Re c = IR − − 1





 f = ( x, y )  IR2 / 



f = ( x, y)  IR2 / Re c = − ,0  1, 

3.

5.

x y = x +1 y + 2 x2 y − 16 y = x2

  



¿Por qué la relación R = ( x, y)  IRxIR / Respuesta: No es una función porque existen elementos “x” del dominio que tienen 2 imágenes, ya que al despejar la variable dependiente se obtiene la siguiente y ecuación:

Dom = IR −  1 ; Dom = IR − − 4,4 ;

y2 + x = 1

 no es una función?

y2 + x = 1  y2 = 1− x De

donde

y1 = + 1 − x

e

y 2 = − 1 − x satisfacen la última ecuación. Por ejemplo, si x = −3 entonces y 2 = 4 , de donde se obtiene que y = 2 o bien y = −2 , o sea para x = −3 se tienen dos imágenes. En este caso el dominio es el intervalo − , 1  y el recorrido es todo IR

6.

Determinar Dominio y Recorrido de las siguientes funciones:

a. f ( x) = x 2 + 9 Para el Dominio vemos que no hay restricciones, por tanto: Domf = IR . Para el Recorrido el despejar la variable se obtiene: x y = x 2 + 9  y − 9 = x 2 Ahora bien, para que cualquier número real al cuadrado se verifica que este es mayor o igual a cero, o sea x 2  0  y − 9  0  y  9 por lo tanto, Re cf =  9, +   b.

f = ( x, y)  IRxIR /

2 xy − 3x + 7 y − 1 = 0



Para determinar el dominio debemos despejar “y” en función de “x”. 2 xy − 3x + 7 y − 1 = 0 

2 xy + 7 y = 3x + 1

 y ( 2 x + 7) = 3 x + 1 3x + 1  y= 2x + 7

 

Luego, Domf = IR − − 72 . Para obtener el Recorrido, debemos despejar “x” en función de “y”. 2 xy − 3x + 7 y − 1 = 0  2 xy − 3x = 1 − 7 y  

x(2 y − 3) = 1 − 7 y 1− 7 y x= 2y − 3

Luego, Re cf = IR − b.

 3 2

2x − 3 x−4 Dominio (Valores reales que puede tomar x, la variable en este caso: Domf = IR − 4. Recorrido: Se debe despejar de la ecuación funcional y = f (x) la variable independiente x , en términos de la variable dependiente y , de la siguiente forma: y = f (x) 2x − 3 y= x+4 f ( x) =

y( x + 4) = 2 x − 3 xy + 4 y = 2 x − 3 xy − 2 x = −4 y − 3 x( y − 2) = −4 y − 3 − 4y − 3 x= y−2 Luego, el Recorrido está dado por todos los valores reales que puede tomar “y” en la última fracción del lado derecho de la ecuación obtenida al despejar la variable independiente x , es decir Re cf = IR − 2

c.

y = + 4 − x2

Dominio: La función esta definida mediante una raíz cuadrada, por tanto: 4 − x 2  IR  4 − x 2  0  x 2 − 4  0

x 2 − 4 = 0  x 2 = 4  x = 2

estos son los Puntos críticos, y por análisis de intervalos se obtiene que Domf = −2,2 Recorrido: Debemos despejar “x” en función de “y”. En estos casos debemos considerar que la función esta definida mediante la expresión 4 − x 2 , y como la raíz es siempre positiva o cero, pero nunca negativa, al determinar el Recorrido solo se toman en cuenta los valores mayores o iguales a cero. y = 4 − x2



y2 = 4 − x2



x2 = 4 − y2



x =  4− y2

De donde 4 − y 2  0  y 2 − 4  0 se observa que se obtiene una inecuación equivalente pero en la variable y , de la que se analizo para el cálculo del dominio. Por lo tanto Re cf = 0,2 (Es el intervalo

entre 0 y 2, porque las imágenes, como se dijo en la última observación, es siempre positiva o, a lo menos cero). Nota:

¿Cuál hubiese sido el recorrido de la función anterior, si el signo que tiene antepuesta la raíz fuera un menos en vez de un mas? Es decir consideremos la función: y = − 4 − x 2 . Igual que al principio hubiésemos llegado a y  − 2,2 , pero ahora y = − 4 − x 2 indica que solo puede ser menor o igual que cero. Luego Re cf = − 2,0

7.

Determinar el Dominio de las siguientes funciones: 1.

f ( x) =

x−4 x − 5x + 6 2

x − 5x + 6  0  ( x − 3)( x − 2)  0  x  3 Domf = IR − 2,3 2

f ( x) =

2.

f ( x) =

x2.

Por

tanto

x2 +1 ( x + 1)( x − 3)( x − 4)

( x + 1)( x − 3)( x − 4)  0  x  −1, Domf = IR − −1,3,4

3.

y

x3

y

x4.

Por

lo

tanto

2 x+4

x + 4  0  x  −4 , por tanto Domf = −4,  , ya que la raíz está en el

denominador.

Álgebra y composición de funciones 8.

Si f ( x) = x 2 + x − 3 . Determinar: 1. f (1 / 2) 2. f (a + 1) 3. f (1 / a) 4. 5. 6.

f (a + 2) − f (a) 2 f ( x + h) − f ( x ) h f ( x) − f (2) x−2

Soluciones

2.

1 + 2 − 12 − 9 = 4 4 2 2 2 f (a + 1) = (a + 1) + (a + 1) − 3 = a + 2a + 1 + a + 1 − 3 = a + 3a − 1 .

3.

f (1 / a) = (1 / a) 2 + (1 / a) − 3 = (1 / a 2 ) + (1 / a) − 3 =

1.

f (1 / 2) = (1 / 2) 2 + (1 / 2) − 3 = (1 / 4) + (1 / 2) − 3 =

1 + a − 3a 2 . a2

4.

5.

6.

9.

f (a + 2) − f (a) (a + 2) 2 + (a + 2) − 3 − (a 2 + a − 3) = 2 2 a 2 + 4a + 4 + a + 2 − 3 − a 2 − a + 3 = 2 4a + 6 2(2a + 3) = = = (2a + 3) . 2 2 f (x + h ) − f ( x) ( x + h) 2 + ( x + h) − 3 − ( x 2 + x − 3) = = h h x 2 + 2hx + h 2 + x + h − 3 − x 2 − x + 3 = . h h·(2 x + h + 1) = = 2x + h + 1 h f (x ) − f (2) ( x 2 + x − 3) − (22 + 2 − 3) x2 + x − 6 ( x − 2)(x + 3) = = = = x+3 x−2 x−2 x−2 x−2

Si f ( x) = x 2 − 1 , g ( x) = x 2 + 4 x + 3 , h( x) =

1 x −x 2

y j ( x) =

1 . x +x 2

Determinar: a.

f  (x ) g

(h − j )(x) b. c. (g· j )(x ) d. ( f ·h)(x ) Soluciones: a.

f x −1 ( x − 1)( x + 1) x2 − 1  (x ) = 2 = = . x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) x + 3 g

b.

(h − j )(x) =

c. d.

10.

( x 2 + x) − ( x 2 − x)

2x 2 = 2 . x( x − 1)(x + 1) x − 1 x −x x +x ( x − x)(x + x) (g· j )(x ) = ( x2 + 4 x + 3)· 2 1 = ( x + 1)(x + 3) = x + 3 . x x( x + 1) x +x ( x + 1)( x − 1) x + 1 = ( f ·h)(x ) = ( x2 − 1)· 21 = x( x − 1) x x −x 1

2

−

1

2

=

2

2

=

Dadas las funciones f ( x) = x 2 − 4 , g ( x) = 2 x − 1 , h( x) = Determinar: ( f  g )(x) a. ( g  f )(x) b. ( g  h )(x) c. ( h  g )(x) d. Respuestas:

x+2 . x−3

a. 4 x 2 − 4 x − 3 b. 2 x 2 − 9 . x+7 c. x−3 2x + 1 d. 2x − 4 11.

Si f ( x) = x 2 − 1 y g ( x) = x 2 + x . Determinar: a. b.

a. b

12.

f  (x) g g  (x) f Respuestas f x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1  ( x) = 2 = = x( x + 1) x x +x g g x2 + x x( x + 1) x  ( x) = 2 = = x − 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1 f

x2 Si f ( x) = . Determinar: x −1 f (− 12 ) a. b f (a + 1) c f (0) Respuestas f −

b

f (a + 1) =

c

13.

( )

(−1/ 2)2 (1/ 4) 1 − 2 −1 = = =  = (−1/ 2) − 1 (−3 / 2) 4 3 6

a.

1 2

(a + 1) 2 (a + 1) 2 = (a + 1) − 1 a 0 0 f (0) = = =0 0 −1 −1

Si g ( x) = 3x + 12 y f ( x) = 2 x 2 − 19x + 48 . Determine la función F ( x) = mas simplificada. Solución: F ( x) =

(2 x 2 − 19x + 48) − (2(−2) 2 − 19(−2) + 48) f ( x) − f (−2) = (3x + 12) − (3(−2) + 12) g ( x) − g (−2) =

2 x 2 − 19x + 48 − (+94) (3x + 12) − (+6)

f ( x) − f (−2) g ( x) − g (−2)

2 x 2 − 19x − 46 = 3x + 6

( x + 2)(2 x − 23) 3( x + 2) (2 x − 23) = 3

=

14.

Si f ( x) =

x x y g ( x) = . Determinar ( f − g )( x) : x +1 x −1

Solución: x x − x +1 x −1 x( x − 1) − x( x + 1) = ( x + 1)(x − 1) 2 x − x − x2 − x = ( x + 1)(x − 1) − 2x = ( x + 1)( x − 1)

( f − g )(x) = f ( x) − g ( x) =

15.

Si f ( x) = a b.

1 . Determinar: x +1

f ( x + h) − f ( x ) h f ( x) − f (1) x −1

Respuestas a.

b.

1 1 − f ( x + h) − f ( x ) x + h + 1 x + 1 = h h x + 1 − ( x + h + 1) ( x + h + 1)( x + 1) = h −h 1 =  ( x + h + 1)( x + 1) h 1 . = ( x + h + 1)( x + 1) f ( x) − f (1) = x −1 =

= =

16.

1 1 1 1 − − x +1 1+1 = x +1 2 x −1 x −1 2 − ( x + 1) 1− x 2( x + 1) 2( x + 1) = x −1 x −1 1− x 2( x + 1)( x − 1) − ( x − 1) −1 = 2( x + 1)(x − 1) 2x + 2

Si f ( x) = x 2 + 3x − 5 ,

g ( x) = 2 x − 3

h( x ) =

y

1 . x

Determinar: ( f  g )(x) a. ( g  g )(x) b ( h  g )(x) c ( g  h )(x) d. Respuestas ( f  g )(x) = f ( g ( x)) = f (2x − 3) = (2x − 3) 2 + 3(2x − 3) − 5 = 4x 2 − 6x − 5 a. ( g  g )(x) = g ( g ( x)) = g (2x − 3) = 2(2x − 3) − 3 = 4x − 9 b. c.

( h  g )(x) = h( g ( x)) = h(2 x − 3) =

d.

( g  h )(x) = g (h( x)) = g (1 / x) = 2  1 − 3 = 3 − 3x

1 2x − 3

x

x

17.

Si f ( x) = x 2 + 1 y g ( x) = x − 1 . Determinar: ( f  g )(x) a. ( g  f )(x) b. ( f  f )(x) c. Respuestas ( f  g )(x) = f ( g ( x)) = f ( x − 1) = ( x − 1) 2 + 1 = x − 1 + 1 = x a. b. c.

( g  f )(x) = g ( f ( x)) = g ( x 2 + 1) = ( f  f )(x)

x2 +1−1 = x2 = x

= f ( f ( x)) = f ( x 2 + 1) = ( x 2 + 1) 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 2 18.

Dada la función: f ( x) = a.

2x + 1 x −1

Determine la expresión mas simplificada:

F ( x, h) =

f ( x + h) − f ( x ) h

Solución. 2·(x + h) + 1 2 x + 1 − f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) − 1 x −1 F ( x, h) = = h h (2 x + 2h + 1)( x − 1) − ( x + h − 1)( 2 x + 1) ( x + h − 1)( x − 1) = h −3h 1 =  ( x + h − 1)( x − 1) h −3 = . ( x + h − 1)( x − 1)

b.

Determine la expresión mas simplificada: f ( x) − f (−3) G ( x) = = x+3

=

=

= =

2 x + 1 2(−3) + 1 − x −1 − 3 −1 x+3 2x + 1 5 − x −1 4 x+3 8x + 4 − 5x + 5 4( x − 1) x+3 3x + 9 4( x − 1) x+3 3( x + 3) 4( x − 1)( x + 3)

G ( x) =

f ( x) − f (−3) x+3

=

3 4( x − 1)

Función Inyectiva e Inversa: 1.

Para cada una de las siguientes funciones determine si son Inyectivas, en caso de serlo determine su función inversa x +1 1. f ( x) = x −1 2x 2. f ( x) = x+2 1 3. f ( x) = x 4. 5.

4 − x2 x2 f ( x) = x 2 − 1 f ( x) =

f ( x) = x − 10 6. Soluciones: La 4 y la 5 no son funciones Inyectivas, luego sus inversas no son funciones. x +1 La 1 es inyectiva y su inversa es: f −1 ( x) = x −1 2x La 2 es Inyectiva y su inversa es: f −1 ( x) = 2− x 1 La 3 es Inyectiva y su inversa es: f −1 ( x) = x La 6 si es Inyectiva y su inversa debe ser restringida: f −1 ( x) = x 2 + 10, x  0 2.

Se tiene una función f inyectiva tal que f (a + b) = f (a) + f (b) . Se sabe además que f (2) = 5 y que f −1 (−3) = 1 . Determine f (3) . Solución: Como f −1 (−3) = 1 , entonces f (1) = −3 , y además f (2) = 5 ; como se definió que f (a + b) = f (a) + f (b) , entonces f (3) = f (1 + 2) = f (1) + f (2) = −3 + 5 = 2 .

3.

¿Por qué la inversa de la función f ( x) = Solución: Es fácil ver que f (−2) =

2 1 − (−2)

2

=

2 1 − x2

no es función?

2 −2 = = f (2) , luego f no es Inyectiva, 1− 4 3

por lo tanto su inversa no es función.

4.

Dada las siguientes funciones f ( x) =

3x − 2 5x + 1

y

g ( x) =

3x + 2 4x − 3

, determine la

función compuesta ( g  f )( x) , indicando su dominio. Solución:

( ) ( )

3 3x−2 + 2  3x − 2   = 53 xx +−12 4 5 x +1 − 3  5x + 1 

( g  f )( x) = g ( f (x) ) = g 

=

9 x −6 +2 5 x +1 12 x −8 −3 5 x +1

9 x − 6 + 2(5 x + 1) 12x − 8 − 3(5 x + 1) 9 x − 6 + 10x + 2 = 12x − 8 − 15x − 3 19x − 4 = − 3x − 11 =





Dom ( g  f ) = IR − − 15 ,− 11 3

5.

Dada la función f ( x) =

2 − 7x . Determine para que valores de la variable 4x + 3

x se

verifica que f (2x − 1) = 2 . Solución: Evaluando la función f para f (2 x − 1) , e igualando a 2 se tiene una ecuación, veamos como: f (2 x − 1) = 2

2 − 7·(2 x − 1) =2 4·(2 x − 1) + 3 9 − 14 x =2 8x − 1 9 − 14x = 16x − 2 11 x= 30

6.

Dada las funciones f ( x) = a.

2 − 7x 2 − 3x y g ( x) = , determine: 4x + 3 4x + 7

Si la función f (x) es inyectiva. Solución: Se debe de demostrar que si f (a) = f (b) , entonces a = b . f (a) = f (b) 2 − 7a 2 − 7b = 4a + 3 4b + 3 (2 − 7a)( 4b + 3) = (2 − 7b)( 4a + 3)

8b + 6 − 28ab − 21a = 8a + 6 − 28ab − 21b 8b − 21a = 8a − 21b −29·a = −29·b

a=b

b.

La función inversa de g (x) . Solución: Procedemos a obtener la función inversa despejando x en términos de y en la ecuación funcional y = g (x) : 2 − 3x 4x + 7 2 − 3x y= 4x + 7 (4 x + 7) y = 2 − 3x 4 xy + 7 y = 2 − 3x 4 xy + 3x = 2 − 7 y x·(4 y + 3) = 2 − 7 y g ( x) =

2 − 7y 4y + 3 2 − 7x y= = g −1 ( x) 4x + 3

x=

Vemos que la inversa de g (x) coincide con la función f (x) , es decir una es la inversa de la otra. c.

La función h(x) tal que ( f  h)( x) = x Solución: Para que se verifique la condición ( f  h)( x) = x es necesario que h(x) sea la función inversa de f (x) , es decir h( x) = f −1 ( x) , y como en el punto anterior probamos que g (x) es la inversa de f (x) , entonces se tiene que h( x) = g ( x) , por tanto h( x) = g ( x) =

2 − 3x 4x + 7

Ejercicios Propuestos: 1.

¿Cuáles de las siguientes relaciones determinan una función con fórmula y = f (x) ? Para las que lo sean, muestre y = f (x) e indique su Dominio y su Recorrido R =  (x, y ) IR 2 / 2 x 2 y − 7 xy + 5 y − x + 4 = 0  S =  (x, y ) IR 2 / 3x 2 − 6 y + 9 = 4 y 2 − 8x + 16 

2.

Dadas las siguientes relaciones: R1 = ( x, y)  IR  IR / x 2 y 2 − 4 = 0 R2 = ( x, y)  IR  IR / 4 x 2 y − 9 y − 2 x + 1 = 0 R3 = ( x, y)  IR  IR / x 3 − x 2 y + y = 0 

 



R4 = ( x, y)  IR  IR /

y =x





1. Determine cuales de ellas son funciones. 2. Pruebe con un contraejemplo que no son funciones las que no lo sean 3.

Dadas las siguientes funciones reales: 1. 2.

x2 4x 2 − 1 2x − 1 f ( x) = x+3 f ( x) =

3.

f ( x) = x 2 − 4

4.

f ( x) = x 2 − 25

5.

f ( x) = − 25 − x 2 1 f ( x) = x −4 3 f ( x) = x + 1 2 f ( x) = −1 x −1 f ( x) = 2 x − 3 f ( x) = x 2 − 3x + 2 2x + 7 f ( x) = x−4 4x − 5 f ( x) = ( x − 3)( x − 9)

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

f ( x) =

2x − 5

14.

f ( x) =

15. 16.

f ( x) = log 2 (5x + 16) f ( x) = ln(5 − 3x − 2 x 2 )

3

x−2

Determine para cada uno de los casos el Dominio y el Recorrido de la función. 4. Determine los valores funcionales pedidos para cada una de las funciones que se indican: a.

f ( x) = 3 x − 7 ;

f (−1)

f (2)

f (3)

b.

f ( x) = x 2 + 2 x − 3 ;

f (−2)

f (0)

f (1)

f (−1)

f (3)

f (5)

c. d. e. f.

3x + 4 ; x−4 4x − 5 f ( x) = ; 3x + 7 2x + 8 ; f ( x) = 2 x −4x f ( x) =

f ( x) =

g. f ( x) =

a) b) c) d)

x 2 +1

f (−1)

f (1)

f (2)

f (−1)

f (0)

f (4)

;

f (0)

f (1)

f( 2)

f

−5 4

( ) 4 5

f ( x + 1) f ( 2 x) , f (3x − 4) f (1 − x)

Dada la función: f ( x) =

2x − 5 : x +1

a.

Calcule y simplifique la expresión:

b.

Calcule y simplifique la expresión:

c. 7.

x 2 −1

f

1 2

Dada la siguiente función: f ( x) = 3x2 + 4 x − 5 . Determine:

5.

6.

3x + 4 ;

()

( )

f

f ( x + h) − f ( x ) h

f ( x) − f (2) x−2 Indique en que intervalos la función es positiva y negativa.

Determine: funciones:

f (a) ;

f (h) ;

f (a + h) ;

1.

f ( x) = 7 x + 2

2.

3.

f ( x) =

3x + 5 x−4

4.

f (a) + f (h) , para las

f ( x) = 4 x 2 − x + 7 4x − 5 f ( x) = ( x − 4)( x − 5)

Verifique numéricamente con un ejemplo en todos los casos que: f (a + h)  f (a) + f (h) 8.

Determine:

f ( x) = 5x + 21

3.

f ( x) = 3 x 2 − 2 x − 1 6x − 7 f ( x) = 3x + 2 2x −1 f ( x) = 5 − 3x

5.

11.

Encuentre

y

simplifique

f ( x) − f (2) x−2

f ( x) − f (3) , sí: x −3

las

siguientes: F ( x) =

, expresiones en las funciones:

1.

f ( x) = 9 x − 12

2.

f ( x) = 4 x 2 − x + 25

3.

f ( x) =

4.

f ( x) =

5x − 4 x+6

− 7x 2 x − 11

Dada la función f ( x) = 7 x + 4 . Determine: f ( x + h) − f ( x ) h f ( x) − f (3) G ( x) = x−3

a.

La expresión simplificada: F ( x) =

b.

La expresión simplificada:

Dada la función:

f ( x) = 2 x 2 − 7 x + 5 . Determine: f ( x) + f ( − x) . 2 f ( x) − f ( − x) G ( x) = 2 F ( x) =

a. La expresión simplificada: b. La expresión simplificada:

12.

y

f ( x) = x 2 − 2 x + 5

G ( x) =

10.

f ( x + h) − f ( x ) , h

f ( x + h) ;

1. 2.

4.

9.

f (3) ;

c. Pruebe que:

f ( x) = F ( x ) + G ( x)

Dada la función:

f ( x) =

2x − 3 3x + 2

.

Determine: a. La intersección con los ejes de coordenadas. b. Para que valores de la variable se verifica que: f ( x)  0 .

f ( x + h) − f ( x ) h

;

c. d. e. 13.

Para que valores de la variable se verifica que: f ( x)  1 . Para que valores de la variable se verifica que: f ( x) = −2 . Para que valores de la variable se verifica que: f ( x)  1.

Dadas las siguientes funciones reales: 2x 1. f ( x) = 3x + 5 1 2. f ( x) = x + 3 2 3. f ( x) = 1 − x 2 4. 5.

2x 2 x2 − 9 f ( x) = − x + 4 f ( x) =

6. f ( x) = 3 x + 2 Determine para cada una de ellas: a. Si son Inyectivas (demuestre si lo es) o no (busque un contraejemplo adecuado si no lo es). b. En caso de ser Inyectivas determine la función inversa que le corresponde indicando Dominio y Recorrido de la función y su inversa. 14.

Sean las funciones:

f ( x) =

5x + 7 3 − 2x

,

h( x ) =

4 − 3x . Determine: 4x + 9

 1 

a.

 . El dominio de la función f −1  h( x ) 

b.

 . El recorrido de la función h −1  f ( x) 

c.

Las raíces de la función simplificada F ( x) =

d.

El valor de la variable x tal que f ( h( x) + 1 )  −2

e.

La función y = g (x) tal que ( f −1  g  h −1 )( x) =

f.

Para que valores de la variable x , se verifica que h( x) = f ( x)

 1 

f ( x) − f (−1) h( x) − h(−1) 2x +1 1 − 2x

.

y su dominio.

III.-FUNCIÓN LINEAL

15. Dadas las funciones lineales: i) y = x ii) y = - x iii) y = 2x 1 2 v) y = x + 2 vi)y = - x - 5 vii) f(x) = - 4x - 2 3 5 4 Determinar: a) Pendiente y coeficiente de posición b) Intersección con los ejes de coordenadas c) Las que son crecientes y las que son decrecientes d) Gráfico de cada una de ellas

iv) y = - 2x viii) v(t) = 3t +

16.

Determine la ecuación de la recta que : a) Pasa por el punto A(1,5) y tiene pendiente 2 b) Cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje y es -2 c) Pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7)

17.

Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L : 2x + 3y + 4 = 0 , y que pasa por (2, -1)

18.

Determine la ecuación de la recta paralela a L : 2x – y + 4 = 0 y que pasa por el punto P (-1,3).

19.

Dados los puntos : A(2,1) ; B(-3,4) ; C(5,-2) . Determine : a. La ecuación de la recta que pasa por A, y es paralela a la recta que contiene a los puntos B y C. b. La ecuación de la recta que pasa por B, y es perpendicular a la recta que contiene a los puntos A y C.

20.

Dada la recta de ecuación : 4x + 5y – 7 = 0. Determine : a. La pendiente de la recta b. La ecuación de la recta paralela a la recta dada y que pasa por el origen del sistema de coordenadas. c. La ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto (-1,2). d. La ecuación de la recta paralela al eje Y y que pasa por el punto de la recta dada cuya ordenada es -3. e. La ecuación de la recta horizontal y que pasa por el punto de la recta dada cuya abscisa es 1.

21. 0

Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a L 1 : x – 2y + 8 = y que pasa por la intersección de las rectas L 2 : 3x – y + 24 = 0 x – 2y +58 = 0

y

L3:

22.

Determine el valor de k para que la recta perpendicular a la recta 3x – 2y – 11 = 0

23.

(a – 5, a) es un punto que pertenece a la recta que pasa por el punto (1,-1) y que es perpendicular a L = 4x – 3y + 1 = 0. Determine el valor de “a”.

24.

El precio P de un notebook después de un año de uso es de US$940.-, después de cuatro años es de US$700.- Suponiendo que el computador se deprecia linealmente con el tiempo, determine : a) La expresión del precio “P” en función del tiempo “t” b) El valor libro del notebook después de 5 años de uso. c) El precio en que fue comprado el notebook (nuevo)

25.

El costo de producción de una cápsula de Ritalin LA , está determinado por la función C (q) = 800q + 120.000, donde $120.000.- es el costo fijo, y el costo variable es de $800.- por cada cápsula. El laboratorio vende cada cápsula en $1.200 a) ¿Cuál es el costo de producir 4.000 cápsulas? b) ¿Cuántas cápsulas debe vender el laboratorio para obtener una utilidad de $52.000.000.NOTA: Utilidad (U) = Ingreso (I) – Costo (C) Ingreso (I) = precio (p)  cantidad (q)

26.

La temperatura T c medida en grados centígrados es una función lineal de la temperatura T f medida en grados Fahrenheit, y puede ser representada por la relación T c = m  T f + n ,donde

kx + (k + 1)y + 3 = 0, sea

m y n son constantes reales.

Determine a) Las constantes, si se sabe que el punto de congelación para el agua es 0° C y 32° F, y que el punto de ebullición es 100° C y 212° F b) La temperatura en grados centígrados si la temperatura es de 104° F 27.

Una vasija contiene inicialmente 10 cm 3 de un ácido, y se empieza a vaciar más ácido dentro de ella. Cinco segundos después ella contiene 30 cm 3 de ácido. Si Q representa la cantidad de ácido en la vasija y T el tiempo, y se sabe que Q varía respecto de T según la ecuación Q = aT + b a) Escriba la ecuación que relaciona a Q y T b) En este caso, ¿qué representa la pendiente?, ¿qué representa el coeficiente de posición? c) Suponga que la capacidad de la vasija es un litro. ¿en cuánto tiempo se llenará?

28.

Desde 1990 ha habido un incremento, aparentemente lineal, en el porcentaje de la población de alcohólicos en una ciudad de Chile. En 1990

el porcentaje fue de 9,5 %. En el año 2000 se elevó a 14,5 %. Si P es el porcentaje de alcohólicos en la población y T representa el tiempo en años desde 1990. a) Determine la función lineal P(T). b) Interprete el significado de la pendiente c) Si el modelo de crecimiento sigue mostrando la misma tendencia, pronostique el porcentaje de alcohólicos que se espera tener para el año 2005 y para el bicentenario. NOTA: Considere el año 1990 como año inicial, es decir, T = 0 29.

La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que N denota la natalidad por cada 1.000 personas y T representa el tiempo medido en años desde 1995. a) Determine la función lineal de natalidad. b) Interprete el significado de la pendiente. c) Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?

30.

Los recursos “r” (en pesos) que cada día debe disponer un consultorio es una función lineal de de las “p” personas que en el se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 15 de Mayo para atender a 24 personas se dispondrá de $84.500 y que el Martes 16 de Mayo , para atender a 35 personas se dispondrá de $117.500. a) Determine la función lineal r(p). b) Si para el Miércoles 17 de Mayo se dispone de $72.500.- ¿Cuántas personas se proyecta atender?

31.

Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento de 1 % por encima de este nivel aumenta el riesgo coronario en un 2 % .Se encontró, para un grupo de edad particular, que el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol, es de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192. a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

GUIA DE FUNCIONES DE ESTUDIO

1.

Dada la recta de ecuación: x + 2 y − 25 = 0 . Determine: a. b.

e.

La pendiente de la recta. La ecuación de la recta paralela a la recta dada, y que pasa por el punto P = (30,60) La ecuación de la recta perpendicular a la recta dada, y que también pasa por P = (30,60) . Las coordenadas del punto donde se interceptan la recta dada y la recta perpendicular a ella. Nota: A este punto lo llamaremos Q . La distancia entre los puntos P y Q .

f.

Las coordenadas del punto medio del segmento PQ .

c. d.

2.

Dada la recta de ecuación: L : 5x + 6 y − 1 = 0 , y los puntos de P = ( − 1, 6 ) y

Q = ( 3, 2 ) . Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento PQ y que es perpendicular a la recta dada L .

3.

Una recta L2 es perpendicular a la recta de ecuación: L1 : 8x − 4 y − 4 = 0 . Si L2 intercepta a la recta L1 en un punto cuya absciza es x = 1 , determinar la ecuación de la recta L2 .

4.

Los recursos " y" (en pesos) que cada día debe disponer un consultorio es una función lineal de las " x" personas que en él se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 20 de Junio para atender a 24 personas se dispondrá de $ 84.000, y que el Martes 21 de Junio, para atender a 35 personas se dispondrá de $ 117.500. a. Determine la función lineal (de la forma y = mx + n ). b. Si el miércoles 22 de Junio se dispone de $ 72.500. ¿Cuántas personas se proyecta atender?. 5. Dada la ecuación de la recta L y el punto P :

L:

2 x + y − 17 = 0

P = ( − 2, 3 ) Determine: a. b. c. d.

En que puntos la recta dada intercepta a los ejes de coordenadas La ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que es paralela a la recta dada La ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que es perpendicular a la recta dada. La representación gráfica de las tres rectas y del punto en un mismo gráfico.

Resumen de Fórmulas: Pendiente:

Ec.

mL =

y y − y1 = 2 x x2 − x1

Punto Medio:  x + x 2 y1 + y 2 M =  1 , 2 2 

Pto. – Pendiente: Distancia: y − y1 = m ( x − x1 )

Ec. Particular:

y = m· x + n

d=

Ecuación General:

  

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Ax + By + C = 0

Función Cuadrática 1.

Dada la función cuadrática: f ( x) = − x 2 − 4 x + 12 . Determine: a. b. c. d. e.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes de coordenadas. Vértice y Eje de Simetría. Gráfico de la función cuadrática. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

2.

En la empresa comercializadota “ALFA Ltda..” se determino que por la venta de “ x ” unidades de un producto, se obtiene una utilidad neta esta dada por la función: U ( x) = 100 x − 2 x 2 , (en cientos de dólares). Determine: a. ¿Para cuantas unidades vendidas, la empresa obtiene una Utilidad Máxima? b. ¿A cuanto asciende la utilidad máxima? c. ¿Cuál es el intervalo de unidades que la empresa debe vender para que obtenga utilidades?

3.

En la empresa “Beta” se determino que la utilidad neta esta dada por la función U ( p) = −3 p 2 + 40 p − 100 , donde p es el precio de venta por unidad, en dólares. Determine: a. p cuando no hay utilidad. b. La utilidad máxima. c. La utilidad cuando el precio es US$ 5. d. Gráfico de la función utilidad. e. Ecuación del eje de simetría de la función utilidad. 4. Dada la ecuación de la parábola y = x − 6 x + 5 , y el punto P = ( − 2, 3 ) . Determine: a. El vértice de la parábola b. La distancia entre el punto dado y el vértice de la parábola. c. En que intervalo se verifica que la parábola es creciente. d. La representación del punto, la parábola y el eje de simetría en un mismo gráfico. 2

5. Dado

el

P = ( 3, 25 ) ,

punto

la

parábola

C : y = −6 x 2 + 31x − 14 ,

la

recta

L : x − y + 10 = 0 . Determine: 1. Si el punto P pertenece a la parábola C . La ecuación de la recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la recta dada. El Vértice de la parábola. Los puntos de intersección entre la recta L y la parábola C . La representación de la recta, la parábola y el punto en un mismo gráfico.

2. 3. 4. 5. 6.

Dada la función cuadrática: f ( x) = 2 x 2 − 7 x + 5 . Determine: a. Intersección con los ejes de coordenadas. b. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. c. Eje de simetría y valor extremo. d. Dominio y recorrido Resumen de Fórmulas:

x0 =

Eje de Simetría:

V = ( x0 , y 0 ) ,

Vértice: y0 =

con

Valor extremo:

.

x0 =

−b 2a

, El recorrido:

ax 2 + bx + c = 0 , −b 

y 0 = f ( x0 ) = f

 y0 ,+  si

b − 4 ac 2a

( ) −b 2a

a0

 −  , y0  si:

4 ac− b 2 4a

Si

x=

−b 2a

a0.

entonces:

2

.

Problemas Resueltos:

1.

La empresa “Caceli Ltda.” fabrica una caja de cuero que contiene cuatro cachos de cuero y veinte dados. Un estudio determino que la utilidad mensual, en dólares, de la empresa en función del precio p , en dólares, esta dado por:

U ( p) = p·(120 − p) − 20·(120 − p) Determine: a.

El precio optimo de venta. Solución:

Expresando

la

Utilidad como una función cuadrática se tiene U ( p) = − p + 140 p − 2400 donde a = −1 y b = 140 , por tanto el precio optimo corresponde a la abscisa del vértice dada por la ecuación x0 = −2ab = −−140 = 70 , 2 2

por tanto el precio óptimo de venta es US$ 70. b.

La utilidad mensual máxima de la empresa. Solución:

Evaluando la función Utilidad en US$ 70, se obtiene la utilidad máxima, que en este caso es U (70) = −(70)2 + 140(70) − 2400 = 2500 dólares.

c.

El precio p cuando no hay utilidad. Solución:

Igualando la Utilidad a cero, se resuelve la ecuación − p2 + 140 p − 2400 = 0 o bien p 2 − 140 p + 2400 = 0 , cuya factorización es ( p − 20)( p − 120) = 0 que tiene por soluciones p = 20 y p = 120 , por lo que la Utilidad es nula cuando el precio es de US$ 20 y US$ 120. d.

La utilidad cuando el precio es de US$ 40. Solución: Evaluando

la

Utilidad

para

p = 40

se

obtiene

U (40) = −(40)2 + 140(40) − 2400 = 1600 , por tanto la Utilidad asciende a US$ 1.600.

e.

La banda de precio (intervalo) para el cual la utilidad es creciente. Solución:

Como la utilidad tiene un valor extremo máximo cuando p = 70 y es nula cuando p = 20 y p = 120 , entonces la utilidad es creciente en el intervalo  20, 70  , es decir la banda de precio es creciente entre US$ 20 y US$ 70.

2. Dada la parábola P : y = − x + 6 x + 7 y la recta L : Determine: a. La distancia entre los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal. Solución: Los valores de las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje horizontal se obtienen resolviendo la ecuación asociada: − x 2 + 6 x + 7 = 0 , de donde: x = −1 y x = 7 . 2

Al interceptar la parábola con el eje horizontal, se obtienen los punto: (−1, 0 ) y ( 7, 0 ) , por tanto la distancia entre estos puntos es igual a 8.

2x − y − 5 = 0 .

b.

En que intervalo se verifica que la parábola esta sobre (es mayor que) la recta. Solución: Las ecuaciones de la parábola y la recta son: y P = − x 2 + 6 x + 7 e y L = 2 x − 5 , se nos pide determinar en que intervalo se cumple que: y P  y L es decir se debe de resolver la inecuación asociada: − x 2 + 6x + 7  2x − 5

− x 2 + 4 x + 12  0 x 2 − 4 x − 12  0 ( x + 2)( x − 6)  0 Los valores críticos son x = −2 y x = 6 de donde x  − 2, 6  c.

La ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y que es perpendicular a la recta dada. Solución: El vértice de la parábola es el punto de coordenadas ( 3, 16 ) y la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es m =

−1 , 2

pues la pendiente de la recta dada

es m = 2 , por tanto la ecuación de la recta pedida se obtiene utilizando la fórmula: y − 16 = −21·(x − 3) , de donde y − 16 =

−1 ·x 2

+ 35 2

El vértice de la parábola se obtiene calculando x0 = −2ab = −−62 = 3 y evaluando la función cuadrática en dicho valor, que en 2 y(3) = −(3) + 6(3) + 7 = 16 . d.

este

caso

es

Cual es el recorrido de la región determinada (encerrada) por la recta y la parábola. Solución: La región encerrada por la parábola y la recta tiene por puntos extremos (−2, − 9 ) , que es el punto más bajo de la intersección entre la parábola y la recta, y el punto ( 3, 16 ) que es el vértice de la parábola, por tanto el recorrido de la región encerrada es el intervalo − 9, 16  .

El punto (−2, − 9 ) se obtiene al igualar la ecuación de la recta con la parábola, es decir al hacer yP = yL , de donde se obtiene la ecuación − x 2 + 6 x + 7 = 2 x − 5 cuyas soluciones son x = −2 y x = 6 y como la recta es creciente en x = −2 se encuentra el punto más bajo. e.

La representación de la recta y la parábola en un mismo gráfico. Solución: Ver gráfico pedido.

1,2 ptos.

Función Racional 1.

Dada la función: F =  ( x, y)  IR  IR / x·y − x + 2 = 0 Determine: a. b. c. d. e.

2.

3.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Gráfico de la función. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

F =  ( x, y)  IR  IR

Dada la función: a. b. c. d. e.



/

2x + 8 y − 4xy − 5 = 0

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Gráfico de la función. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento



Dada la función: F = ( x, y)  IR  IR / y − x 2 ·y − x 2 = 0



Determine: a. b. c. d. e. f.

4.



Dada la función: F = ( x, y)  IR  IR / y − x 2 − y·x 2 = 0 Determine: a. b. c. d. e.

5.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Simetrías (si existen). Gráfico de la función. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.



Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Gráfico de la función. Simetrías (si existen).



Dada la función: F = ( x, y)  IR  IR / x 2 ·y − y − 2 x − 1 = 0 Determine: a. b. c. d. e.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Simetrías (si existen). Gráfico de la función.





6.

Dada la función: f ( x) = a. b. c. d. e.

x 2 + 32 16 − x 2

Determine su dominio y recorrido. Intersección con los ejes. Ecuación(es) de la(s) asíntota(s). Simetrías (si existen). Gráfico de la función.

Problema Resuelto:

1.

f ( x) =

Dada la gráfica de la función racional:

x−3 x − 5x + 4 2

Determine a. Su dominio y recorrido. Solución:

Dominio: Por ser una función racional su denominador debe ser distinto de cero, es decir: x2 − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4)  0 , de donde, el dominio es todo IR a excepción de x = 1 y x = 4 . Recorrido: La grafica muestra que el recorrido son todos los números reales. b.

Intersección con los ejes de coordenadas. Solución: Intersección con el eje vertical: en este caso basta con evaluar la función en

x = 0 , de donde se obtiene:

( 0, −43 ) .

f (0) =

0 −3 02 −5·0+ 4

=

−3 4

, por tanto el es punto:

Intersección con el eje horizontal, basta con igualar la función a cero, y como es una fracción, sólo el numerador es cero, es decir: f ( x) = 0 , entonces

x − 3 = 0 , o sea x = 3 , por lo tanto se obtiene el punto ( 3, 0 ) c.

Las ecuaciones de las asintotas verticales y horizontales. Solución: Asintotas Verticales, ellas coinciden con las prohibiciones del dominio que son: x = 1 y x = 4 . Asíntotas Horizontales, viendo la grafica de la función vemos que ella es y = 0 .

d.

En que intervalos la función es creciente y decreciente. Solución:

Observando la gráfica de la función vemos que ella siempre es decreciente. e.

En que intervalos la función es negativa. Solución:

Observando la gráfica de la función racional dada, ella es negativa, es decir la gráfica se situá bajo el Eje horizontal, en los intervalos − , 1  y  3, 4  . f.

En que intervalos la función es positiva. Solución: Observando la gráfica de la función, ella es positiva en los intervalos:  1, 3  y

 4, +   .

Función Exponencial - Logarítmica 1.

La función exponencial y = 2 − 4 3x +1 . Determine: a. b. c. d.

Recorrido de la función. Intersección con los ejes de coordenadas. Ecuación de las asíntotas. Gráfico de la función exponencial.

2.

La función exponencial y = 3 p·x +q − 4 pasa por los puntos: (−1,−3) y ( 0, 5 ) . a. Determinar los valores de las constantes p y q . b. Suponga que p = 1 y q = 1 . Determine para la función exponencial: i. Intersección con los ejes. ii. Ecuación de las asíntotas. iii. Gráfico de la función exponencial.

3.

La función exponencial y = 4 − 21− x . Determine: a. Intersección con los ejes. b. Ecuación de la asuntota horizontal. c. Gráfico de la función exponencial.

4.

Dada la función logaritmo y = 3·log(x − 2) . Determinar: a. b. c. d. e.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes de coordenadas. Ecuación(es) de la(s) asuntota(s). Simetrías (si existen). Gráfico de la función.

Problema Resuelto:

1.

Dada la función logaritmo y = −2 + log 4 ( 2 x + 64) . Determinar: a.

Dominio. Para obtener el dominio se exige que 2 x + 64  0 , resolviendo esta inecuación se obtiene x  −32 , por lo tanto el Dominio será el intervalo  − 32, +  

b.

Intersección con los ejes de coordenadas. Para obtener la intersección con el eje vertical basta con evaluar la función para x = 0 , con lo cual se tiene y(0) = −2 + log 4 ( 2·(0) + 64) = −2 + log 4 (64)

= −2 + 3 = 1 , por tanto el punto será ( 0, 1 ) Para obtener el punto de intersección con el eje horizontal se hace y = 0 , resolviéndose la ecuación logarítmica asociada:

−2 + log 4 ( 2x + 64) = 0 log 4 ( 2 x + 64) = 2

( 2 x + 64) = 4 2 2 x = −48 x = −24 por tanto el punto será ( − 24, 0 ) c.

Ecuación de la asíntota vertical. La ecuación de la asíntota vertical esta dada por la ecuación x = −32

PROBLEMAS PROPUESTOS y RESUELTOS

1

A partir de la gráfica siguiente:

1.

Encuentre la ecuación general de la recta L1 .

L1 corta a los ejes en los puntos

y

(12,0)

(0,12) ,

por tanto la

pendiente es m = −1 , la ecuación particular es y = − x + 12 , por tanto la

ecuación

general

será:

x + y − 12 = 0 . 2.

Determine las coordenadas del punto P . Para obtener las coordenadas del punto P se debe de conocer la ecuación de la recta L2 y después interceptar ambas rectas. La pendiente m2 de L2 es m2 = 2 y el coeficiente de posición es n = −3 , entonces la ecuación es y = 2 x − 3 , interceptando con L1 se obtiene el punto P = (5,7) .

3.

Encuentre la ec. de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta L2 . Las coordenadas del punto P son (5,7) y la pendiente de la recta perpendicular

es

m = − 12

pues

m2 = 2 , entonces utilizando ec. Punto – Pendiente tendremos: y − 7 = − 12 ·(x − 5) de donde

y = − 12 ·x − 92

2

Dada

la

función

f ( x) = 2 x − x 2

Determine: 1.

Dominio y Recorrido.

cuadrática

Gráfico de la función.

Dominio es todo IR , y el Recorrido



es el intervalo − 18 , +  2.



Intersección con los ejes de coordenadas. Como c = 0 la parábola pasa por el origen (0,0) y el otro punto de intersección con el eje horizontal se determina resolviendo la

2 x2 − x = 0

ecuación

2x − 1 = 0 o sea x =

(

)

de 1 2

donde

, siendo el

punto − 12 , 0 . 3.

Eje de Simetría y Vértice de la parábola. Como a = 2 y b = −1 , la ecuación del eje de simetría es

x0 =

−( −1) 2·2

=

1 4

y las ordenada del

vértice y0 será y0 =

4·2·0 − ( −1) 2 4·2

= − 81

por tanto el punto vértice es

V = ( x0 , y 0 ) = 4.

(

1 4

Intervalos de Decrecimiento.

,−

1 8

).

Crecimiento

y

La función es decreciente para toda 1 x 4 . La función es creciente para toda 1 x 4 .

3

Dada la función cuadrática: f ( x) = 2 x − x 2 − 1 Gráfico de la función.

Determine: 1.

Dominio y Recorrido. Por ser una función cuadrática el dominio es todo IR , el recorrido siempre es un subconjunto de IR , en este caso − , 0  .

2.

Intersección con los ejes de coordenadas. La condición para la intersección con el eje vertical es evaluar la función para x = 0 , o sea

f (0) = 2(0) − (0) 2 − 1 = −1 , obteniéndose el punto de coordenadas ( 0, − 1 ) La condición para la intersección con el eje horizontal es igualar la función a cero, es decir se hace y = 0 , o bien f ( x) = 0 , obteniéndose la ecuación 2 x − x 2 − 1 = 0 , que es lo mismo que

x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2 = 0 cuya solución es x = 1 , de donde el punto es ( 1, 0 ) . 3.

Eje de Simetría y Vértice de la parábola. En este caso a = −1 , b = 2 y c = −1 , entonces la ecuación del eje de simetría es

x0 = será

− ( 2) 2·(−1)

=

y0 =

−2 −2

= 1 y la ordenada del vértice y0

4·(−1)·( −1) −( 2) 2 4·(−1)

=

0 −4

= 0 , por tanto las

coordenadas del vértice son V = ( 1, 0 ) . 4.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Como la función posee un valor extremo máximo dado por el punto vértice se tiene:

f es creciente x : x  x0 = 1 . f es decreciente x : x  x0 = 1 .

5.

Determinar la función cuadrática representada por el siguiente gráfico. La función es de la forma f ( x) = a  x 2 + b  x + c , y la grafica de la función corta al eje vertical en el punto por tanto entonces c = −3 , ( 0, − 3 )

f ( x) = a  x 2 + b  x − 3 ; como el vértice es el punto

( 1, − 2) ,

sustituyendo

tendremos

− 2 = a  (1)2 + b  (1) − 3 luego a + b = 1 ,

la

ecuación además el

punto ( 2, − 3 ) también satisface la ecuación de la parábola − 3 = a  (2)2 + b  (2) − 3 , luego se obtiene una segunda ecuación 4a + 2b = 0 o bien 2a + b = 0 , el punto ( 2, − 3 ) es simétrico del punto ( 0, − 3 ) . Por tanto los valores de a y b se obtienen al resolver el sistema asociado:

a+b = 1 2a + b = 0

De donde a = −1 y b = 2 , por tanto la ecuación de la función es f ( x) = − x2 + 2 x − 3 .

11.

Dada la función exponencial:

1 y=   2

x−2

Determine: 1. 2. 3. 4.

5.

12.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes de coordenadas. Ecuación de la(s) asíntota(s). Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Gráfico de la función.

Dada la función exponencial:

y = 3− x

2

Determine: 1. 2. 3. 4.

5.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes de coordenadas. Ecuaciones de las asíntotas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Gráfico de la función.

13.

Dada la función exponencial:

y = 4(1− 2 x) − 3

Determine: 1. 2. 3. 4.

5.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuaciones de las asíntotas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Gráfico de la función.

14.

Dada la función Logarítmica:

f ( x) = log(x − 6)

Determine: 1. 2. 3.

15.

Dominio y Recorrido. Intersección con los ejes. Ecuaciones de las asíntotas.

Dada la función f ( x) = − log(x 2 − 4) Determine: 1.

Dominio y Recorrido. Para el dominio se debe de verificar que x 2 − 4  0 , al resolver dicha inecuación se obtiene como solución x  IR − − 2,+2 , el cual representa el dominio. El recorrido son todos los números reales.

2.

Intersección con los ejes. La función no corta al eje vertical pues x = 0  Dom f . Para obtener la intersección con el eje horizontal se debe de verificar que y = 0 , o sea resolver

la

− log(x − 4) = 0 , 2

ecuación de

donde

x − 4 = 1 , cuyas soluciones 2

son x = − 5 y x = + 5 3.

Ecuaciones de las asíntotas. Las ecuaciones de las asíntotas son x = −2 y x = +2 .

16.

Dada la función Logarítmica:

f ( x) = 1 + log(x + 4) − log(x)

Determine: 1.

Dominio y Recorrido.

2.

Intersección ejes.

con

los

3. Ecuaciones de las asíntotas.

17.

Dada

la

función

f ( x) = log

Logarítmica

x−2

Determine: 1.

3.

Dominio y Recorrido. Para obtener el dominio se exige que x − 2  0 , resolviendo esta inecuación se obtiene 4. x  2 , por tanto el Dominio es el intervalo  2, +   .

Ecuaciones de las asíntotas. Se tiene solamente una asíntota vertical cuya ecuación esta dada por x = 2 .

Gráfica de la función: La gráfica nos muestra que la función siempre es creciente

El recorrido se obtiene al despejar x en términos de y , entonces: f ( x) = log

x−2

y = log

x−2 1

y = log(x − 2) 2

y = 12 ·log(x − 2) 2 y = log(x − 2) 10 2 y = x − 2 x = 10 2 y + 2 Esta última ecuación no tiene restricciones para la variable y , entonces el recorrido es todo IR . 2.

Intersección con los ejes. x = 0   2, +   , Como

la

función no toca ni corta al eje vertical. Para saber en que punto corta al eje horizontal se hace y = 0 de donde se obtiene la

ecuación

logarítmica:

log

x − 2 = 0 cuya solución

es x = 3 , por tanto el punto es el ( 3, 0 ) .

18.

Dada

la

Determine:

función

Exponencial

y = 4 − 3( − x) . 3.

Ecuaciones de las asíntotas.

1

Dominio y Recorrido. El dominio de toda función exponencial es todo IR . Para saber cual es el recorrido hay que despejar x en términos de y , y

Se tiene solamente una asíntota horizontal cuya ecuación esta dada por y = 4 .

analizar para la variable y , entonces:

y = 4 − 3( − x) 3( − x) = 4 − y x = − log3 (4 − y) En este caso se exige que 4 − y  0 , de donde y  4 , entonces Re c = − , 4  . 2

Intersección con los ejes. Si x = 0 , entonces y = 4 − 3(0) = 4 − 1 = 3 , de donde tenemos el punto ( 0, 4 ) . Si y = 0 , en la ecuación x = − log3 (4 − y) tendremos que x = − log3 (4 − 0) = − log3 4 , y el punto será: ( − log3 4, 0 ) .

1.

Dada la siguiente función:

f ( x) = log

1. 2. 3. 4. 5.

Dominio de la función. Recorrido de la función. Intersección con el eje vertical. Intersección con el eje horizontal. El valor de x de modo que: f ( x)

6.

Calcule:

Solución:

f ( x = 20 ) .

= 4.

2

( 64 − 3x )

Determine:

2. A una empresa de medición del Rating se le encargo medir para la región Metropolitana, la audiencia para el partido entre Chile y USA por el tercer lugar en las Olimpiadas de Sydney 2000, El rating estará medido por el siguiente modelo de función:

R(t ) =

60 1 + 4  e −0 , 5t

Donde t representa el número de minutos después de iniciado el partido, y R(t) número de puntos de rating, cada punto de rating son 50.000 personas. Determine: a) b) c)

¿Cuántas personas inicialmente verán el partido de Chile con USA? ¿En cuentos minutos se espera que el rating se duplique? ¿Cuántas personas se espera que verán dicha confrontación?