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• KarinaCasimirBravo

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FUNCION CUADRATICA EJERCICIO 1 Un equipo de béisbol juega en un estadio con capacidad de 55000 espectadores. Con el precio del boleto en $10, el promedio de asistencia en partidos recientes ha sido de 27000.Un estudio de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, la asistencia aumenta en 3000. Solución 

Determine una función que modele el ingreso en función del precio x del boleto.

Datos: Capacidad de espectadores: 55000 PRECIO

ESPECTADORES

10

27000

10-1

27000 +3000

10-2

27000 +3000(2)

.

.

.

.

.

.

10- n

27000 +3000(n)

El precio tiene que estar en función de x. 10 − 𝑛 = 𝑥 ; 𝑛 = 10 − 𝑥 𝐼(𝑥) = (10 − 𝑛)(27000 + 3000(𝑛)

𝐼(𝑥) = (𝑥)(27000 + 3000(10 − 𝑥)) Rpta: 𝐼(𝑥) = 𝑥(57000 − 3000𝑥) 

Determine el precio del boleto que genera el máximo ingreso.

𝐼(𝑥) = −3000𝑥 2 + 57000𝑥 𝐼(𝑥) = −3000(𝑥 2 − 19𝑥) 19 2 361 𝐼(𝑥) = −3000 [(𝑥 − ) − ] 2 4 19 2 𝐼(𝑥) = −3000 (𝑥 − ) + 270750 2 Rpta: Precio del boleto: 19/2: $ 9.5 y se logra un ingreso máximo de $ 270750.

EJERCICIO 2 1.

Sea la función :𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5

Solución: Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque 𝑎 = 1 > 0. El eje de simetría es la recta 𝑥 = −𝑏/2𝑎

𝑥=

−(−6) =3 2(1)

El vértice tiene abscisa:𝑥0 = 3 y por ordenada: 𝑦0 = 32 − 18 + 5 = −4 Entonces el vértice es el punto (3; −4) Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos:𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 Resolvemos: 10 =5 6 ± √36 − 20 𝑥= ={2 2 2 =1 2

Entonces los puntos de corte son: (5; 0) y (1; 0). El punto de corte con el eje de ordenadas es (0; 5).

EJERCICIO 3 Determine la función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos:(1; −1) (−3; −33) y (2; −8). Solución  Primer punto (1; −1) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(1) = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐 −1 = 𝑎(1)2 + 𝑏(1) + 𝑐 −1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐  Segundo punto (−3; −33) 𝑓(−3) = 𝑎(−3)2 + 𝑏(−3) + 𝑐 −33 = 9𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 

Tercer punto (2; −8)

𝑓(2) = 𝑎(2)2 + 𝑏(2) + 𝑐 −8 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 A continuación resolveremos los sistemas de ecuaciones para hallar los valores de a, b y c. Resolveremos un sistema de ecuaciones con la primera y segunda ecuación. 𝑐 = −1 − 𝑎 − 𝑏

Reemplazamos en la segunda ecuación. 9𝑎 − 3𝑏 − 1 − 𝑎 − 𝑏 = −33 8𝑎 − 4𝑏 = −32 2𝑎 − 𝑏 = −8 Reemplazamos en la tercera ecuación. 4𝑎 + 2𝑏 − 1 − 𝑎 − 𝑏 = −8 3𝑎 + 𝑏 = −7 Resolveremos un sistema de ecuaciones. 2𝑎 − 𝑏 = −8 { 3𝑎 + 𝑏 = −7 5𝑎 = −15 𝑎 = −3 𝑏=2 𝑐=0 Por lo tanto la función seria: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Reemplazamos los valores encontrados para a, b y c.

Rpta: 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 2𝑥 + 0 Esta sería la función cuadrática que pasa por los tres puntos.

EJERCICIO 4 En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 72𝑥 + 243, siendo 𝑥 el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determine: a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 72𝑥 + 243 0 = −3𝑥 2 + 72𝑥 + 243 𝑥1 = 27 ; 𝑥2 = −3 Rpta: tiene que transcurrir 27 días para que desaparezca la enfermedad. b) El número máximo de personas afectadas y el día en que ocurre. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 72𝑥 + 243 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 2 − 24𝑥 − 81) Completamos cuadrados: 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 2 − 24𝑥 − 81 + 122 − 122 ) 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 12)2 + 675 Rpta: el número máximo de personas afectadas es 675 y se da en el día 12.

c) La gráfica de la función. 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 12)2 + 675

EJERCICIO 5 El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por. 𝑃 (𝑥) = 5000 + 1000𝑥 − 5𝑥 2 , donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio. Encuentra el máximo beneficio Pmáx. Solución 𝑃 (𝑥) = 5000 + 1000𝑥 − 5𝑥 2 𝑃(𝑥) = −5(𝑥 2 − 200𝑥 − 1000) Completamos cuadrados: 𝑝(𝑥) = −5(𝑥 2 − 200𝑥 − 1000 + 1002 − 1002 ) 𝑝(𝑥) = −5(𝑥 − 100)2 + 55000 Llegamos a la fórmula de la parábola: 𝑝(𝑥) = −5(𝑥 − 100)2 + 55000 𝑉(100; 55000)

Grafica