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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERÍA CIVIL

GEODESIA La Paz – Bolivia

Elaborado por: Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

CIV – 215

GEODESIA

CONTENIDO 1 GEOCIENCIAS DE LA MENSURA .................................................................................. 5 1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 5 1.2 DEFINICIONES ......................................................................................................... 5 1.2.1 GEODESIA........................................................................................................ 5 1.2.2 TOPOGRAFÍA................................................................................................... 6 1.2.3 FOTOGRAMETRÍA............................................................................................ 7 1.2.4 TELEDETECCIÓN .............................................................................................. 8 1.2.5 CARTOGRAFIA ................................................................................................ 9 2 FUNDAMENTOS DE LA GEODESIA ............................................................................. 10 2.1 DEFINICION ........................................................................................................... 10 2.2 RAMAS DE LA GEODESIA .................................................................................... 10 2.2.1 GEODESIA GEOMETRICA............................................................................. 10 2.2.2 GEODESIA FÍSICA.......................................................................................... 10 2.2.3 ASTRONOMÍA GEODÉSICA ......................................................................... 11 2.2.4 GEODESIA ESPACIAL O CÓSMICA............................................................. 11 2.3 SUPERFICIES DE REFERENCIA............................................................................... 11 2.3.1 SUPERFICIE FISICA - GEOIDE ........................................................................ 11 2.3.2 SUPERFICIE MATEMÁTICA - ELIPSOIDE ........................................................ 14 2.3.3 PARÁMETROS MATEMÁTICOS QUE DEFINEN EL ELIPSOIDE ...................... 17 2.3.4 ELIPSOIDE COMPARADO CON EL GEOIDE ............................................... 19 2.4

ÁNGULO RADIAL DE LA VERTICAL

..................................................................... 22 2.5 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL ............................................................................ 23 3 SISTEMAS DE COORDENADAS EMPLEADOS EN GEODESIA.................................... 25 3.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 25 3.2 COORDENADAS GEOGRÁFICAS ....................................................................... 25 3.2.1 EJE POLAR Y POLOS ..................................................................................... 26 3.2.2 MERIDIANOS .................................................................................................. 27 3.2.3 PARALELOS .................................................................................................... 29 3.2.4 LONGITUD ...................................................................................................... 30 3.2.5 LATITUD........................................................................................................... 31 3.3 COORDENADAS GEODÉSICAS Y ASTRONÓMICAS ........................................ 32

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3.3.1 LATITUD GEODÉSICA ( fi) ........................................................................... 33 3.3.2 LONGITUD GEODÉSICA (λ lamda) ............................................................. 33 3.3.3 LATITUD ASTRONÓMICA (Φ FI) .................................................................... 34 3.3.4 LONGITUD ASTRONÓMICA (Λ LAMDA) ..................................................... 34 3.4 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS ................. 35 3.5 COORDENADAS RECTANGULARES PLANAS (PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS) ................................................................................................ .......... 37 3.6 EL DATUM .............................................................................................................. 38 3.6.1 EL DATUM VERTICAL ..................................................................................... 39 3.6.2 EL DATUM HORIZONTAL ............................................................................... 39 3.7 ELIPSOIDES DE EMPLEO USUAL ........................................................................... 40 3.8 DATUMS DE EMPLEO USUAL ................................................................................ 40 3.9 DESVIACIONES DE LOS ÁNGULOS FUNDAMENTALES DEL DATUM ................. 41 3.9.1 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL (η eta) ........................................................ 42 3.9.2 DESVIACIÓN SOBRE EL MERIDIANO ........................................................... 42 3.10 DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS. .................................................................... 43 3.10.1 ALTURA ELIPSOIDAL (h), ORTOMÉTRICA (H) Y GEODÉSICA (N) .............. 43 3.10.2 ALTURA TOPOGRÁFICA ............................................................................... 44 3.10.3 CALCULO DE LA ALTURA ELIPSOIDAL (h) .................................................. 45 3.11 TRANSFORMACIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS .................. 46 3.11.1 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS............................................................................ 46 3.11.2 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A GEODÉSICAS......................................................................................................

.......... 48 4 FUNDAMENTOS DE CARTOGRAFIA .......................................................................... 52 4.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 52 4.2 PROYECCIONES PLANAS .................................................................................... 54 4.3 TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRAFICAS EN FUNCION DE LA VARIALE A CONSERVAR .................................................................................................................... 55 4.4 CLASIFICACIÓN DE LAS PROYECCIONES CARTOGRAFICAS EN FUNCION DE LA SUPERFICIE DESARROLLABLE .................................................................................... 56 4.4.1 PROYECCIONES CILÍNDRICAS NORMALES ................................................ 56 4.4.2 PROYECCIONES CÓNICAS .......................................................................... 62

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4.4.3 PROYECCIONES ACIMUTALES O PLANARES .............................................. 63 4.5 ANAMORFOSIS ..................................................................................................... 64 4.5.1 ANAMORFOSIS LINEAL: ................................................................................ 64 4.5.2 ANAMORFOSIS SUPERFICIAL: ...................................................................... 64 4.5.3 ANAMORFOSIS ANGULAR: .......................................................................... 64 4.6 LA PROYECCIÓN UTM (O “CILÍNDRICA TRANSVERSA CONFORME DE GAUSS”) ............................................................................................................... ............ 64 4.6.1 HUSOS ............................................................................................................ 66 4.6.2 LÍNEAS LOXODRÓMICAS Y ORTODRÓMICAS ........................................... 74 4.6.3 VENTAJAS DEL SISTEMA UTM........................................................................ 77 4.6.4 ORIGEN DE COORDENADAS UTM .............................................................. 78 4.6.5 COORDENADAS EN EL HUSO 30 NORTE .................................................... 80 4.6.6 DISTANCIAS ENTRE PARALELOS Y MERIDIANOS ........................................ 81 4.6.7 DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN UTM EN TODA LA SUPERFICIE TERRESTRE ....................................................................................................... .............. 82 4.6.8 LA CUADRÍCULA DEFINIDA EN LA PROYECCIÓN U.T.M. .......................... 82 4.6.9 DESIGNACIÓN DE COORDENADAS UTM .................................................. 83 4.7 ESQUEMA DEL TRABAJO CARTOGRÁFICO ....................................................... 84 4.8 REPRESENTACIONES DEL TERRENO. GLOBOS, CARTAS, MAPAS, PLANOS. ... 85 4.8.1 GLOBOS ......................................................................................................... 85 4.8.2 MAPA ............................................................................................................. 86 4.8.3 CARTA ............................................................................................................ 86 4.8.4 PLANO............................................................................................................ 86

5 FUNDAMENTOS DE GEODESIA ESPACIAL ................................................................ 87 5.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 87 5.2 SISTEMAS DE POSICIONAMIENTO POR SATÉLITE ............................................... 88 5.2.1 SISTEMA GPS O NAVSTAR ............................................................................ 89 5.2.2 SISTEMA GLONASS ........................................................................................ 90 5.3 PROPAGACIÓN DE LAS EMISIONES RADIOELÉCTRICAS.................................. 91 5.4 CÓMO FUNCIONA EL SISTEMA GPS? ................................................................ 92 5.4.1 TRILATERACIÓN SATELITAL ........................................................................... 93 5.4.2 MEDICIÓN DE DISTANCIA DESDE LOS SATÉLITES ....................................... 96

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5.4.3 PRECISIÓN EN LA MEDIDA DEL TIEMPO...................................................... 96 5.4.4 POSICIONAMIENTO DEL SATÉLITE................................................................ 97 5.4.5 CORRECCIÓN DE ERRORES......................................................................... 97 5.5 COMPONENTES DEL SISTEMA G.P.S. ................................................................ 100 5.5.1 EL SEGMENTO USUARIO. ............................................................................ 100 5.5.2 EL SEGMENTO ESPACIAL ............................................................................ 102 5.5.3 EL SEGMENTO DE CONTROL ..................................................................... 102 5.6 PRECISIONES CON G.P.S. .................................................................................. 103 5.7 APLICACIONES DE LOS G.P.S ........................................................................... 103

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CAPÍTULO 1 1 GEOCIENCIAS DE LA MENSURA 1.1 INTRODUCCIÓN Son un grupo de ciencias y tecnologías, cuyo objetivo es la obtención de datos confiables de la superficie terrestre y su adecuada representación, y se dividen en función de la extensión a levantar. En el cuadro 1.1 se puede apreciar algunas de las ciencias y tecnologías asociadas. CUADRO 1.1 GEOCIENCIAS DE LA MESURA CIENCIAS Geodesia Topografía Cartografía Geografía

TECNOLOGIAS Fotogrametría Teledetección G.N.S.S. LIDAR

1.2 DEFINICIONES 1.2.1 GEODESIA Es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra y su campo de gravedad. Para su estudio considera a la forma de la Tierra desde dos puntos de vista: el matemático, donde se trabaja sobre una superficie de referencia denominada elipsoide de revolución (superficie de referencia de coordenadas geográficas) y el físico, donde se trabaja sobre una superficie denominada geoide (superficie de referencia para alturas) , además de la superficie terrestre que es donde se realizan las mensuras.

ELIPSOIDE

FIGURA 1.1

GEOIDE

SUPERFICIES DE REFERENCIA

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Dos aspectos caracterizan los estudios y actividades geodésicas: 1.

El aspecto práctico: que se encarga de la determinación de una red de puntos denominados vértices geodésicos (ver figura 1.2), con coordenadas planialtimétricas que sirven de apoyo o control para todo el resto de los trabajos de mensuras, formando un marco de referencia y constituyéndose en las Redes Geodésicas Horizontal y Vertical, para todo el país, las que a su vez se encuentran generalmente enlazadas a redes continentales.

FIGURA 1.2 2.

VERTICE GEODESICO INRA

En el aspecto teórico, permanentemente se sigue estudiando la forma, dimensiones y el campo gravitacional que mejor definen la forma de la Tierra.

1.2.2 TOPOGRAFÍA Es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de superficies relativamente pequeñas de la Tierra (ver Figura 1.3), con sus formas y detalles; tanto naturales como artificiales (planimetría y altimetría). Ya que la extensión de la tierra a representar es relativamente pequeña, se puede considerar esta como plana.

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La topografía está estrechamente relacionada con la Geodesia, dado que debe apoyarse o enlazarse a los puntos que integran las redes horizontales y verticales.

FIGURA 1.3 REPRESENTACIÓN TOPOGRÁFICA DE LA SUPERFICIE TERRESTRE Las diferencias entre la Geodesia y la Topografía es fundamentalmente el tamaño del área de trabajo y los procedimientos y equipos de mensura que se emplean, mientras que en la Geodesia se considera a la Tierra un elipsoide de revolución, teniendo en cuenta la curvatura terrestre, en la Topografía, dadas las menores superficies de levantamiento, puede considerarse a la Tierra como plana. 1.2.3 FOTOGRAMETRÍA De acuerdo a la Sociedad Americana de Fotogrametría y Sensores Remotos (ASPRS), la fotogrametría tiene las siguiente definición: “Fotogrametría es el arte, la ciencia y la tecnología de obtener información confiable de objetos físicos y su entorno, mediante el proceso de exponer, medir e interpretar tanto imágenes fotográficas como otras, obtenidas de diversos patrones de energía electromagnética y otros fenómenos.

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La fotogrametría es una disciplina que crea modelos en 3D a partir de imágenes 2D (ver figura 1.4), para de esta manera obtener características geométricas de los objetos fotografiados, mediante el uso de relaciones matemáticas entre la geometría proyectiva y la visión estereoscópica que posee en forma natural el ser humano. Ya que las imágenes de los objetos son obtenidas por medios fotográficos, la medición se realiza a distancia, sin que exista contacto físico con el objeto.

FIGURA 1.4 PAR ESTEREOSCÓPICO DE FOTOGRAFÍAS 1.2.4 TELEDETECCIÓN Disciplina que permite determinar las características de un objeto que se encuentra sobre la superficie terrestre a distancia sin tener contacto directo mediante la detección e interpretación de patrones de energía electromagnética: Ej. Imágenes satelitales infrarrojas, imágenes creadas por el radares que emiten ondas de radio, imágenes creadas por pulsos laser (LIDAR), etc.

FIGURA 1.5 Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

SENSORES REMOTOS Página 8

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1.2.5 CARTOGRAFIA Es la disciplina que se encarga de la representación gráfica de grandes extensiones de la superficie terrestre mediante la elaboración de mapas cartográficos, para lo cual tiene como base los resultados de las mediciones y observaciones realizadas por otras áreas de las ciencias de la geo mensura como ser: la geodesia, topografía, fotogrametrías, etc.

FIGURA 1.5

MAPA CARTOGRÁFICO

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E 1:50000

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CAPÍTULO 2 2 FUNDAMENTOS DE LA GEODESIA 2.1 DEFINICION Se define a la Geodesia como la ciencia que se encarga del estudio de las formas y dimensiones de la Tierra y del campo gravitacional terrestre. La solución de los problemas geodésicos comprende: 1. La determinación de una superficie matemática que represente a la Tierra en su totalidad y las medidas que sobre ella se realizan. Esta superficie matemática es el elipsoide de revolución y es necesario determinar los parámetros que caracterizan sus medidas, forma y posición. 2. El estudio de la verdadera forma de la Tierra y su campo gravitacional, entendiendo como forma verdadera la superficie físicareal de la Tierra, para ello es necesario determinar las magnitudes geodésicas que caracterizan las desviaciones de la superficie física con respecto a la superficie matemática establecida para el elipsoide terrestre.

2.2 RAMAS DE LA GEODESIA El campo abarcado por la Geodesia es muy amplio, razón por la cual resulta preciso dividirla en 4 ramas, las cuales son: 2.2.1 GEODESIA GEOMETRICA Estudia a forma y dimensiones de la superficie matemática de la tierra, empleado al elipsoide de revolución como superficie de referencia y los métodos de resolución de problemas sobre dicha superficie (medida de distancias, elementos geométricos, etc.). 2.2.2 GEODESIA FÍSICA Estudia la forma superficie física de la tierra denominada geoide y sus deviaciones con respecto a la superficie matemática, a través de mediciones del campo gravitatorio y sus variaciones.

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2.2.3 ASTRONOMÍA GEODÉSICA Estudia los métodos astronómicos que permiten determinar las coordenadas geográficas sobre la superficie terrestre de una serie de puntos fundamentales conocidos con el nombre de “Datum” o “Puntos astronómicos fundamentales” sobre los cuales se basará el cálculo de las posteriores redes geodésicas. 2.2.4 GEODESIA ESPACIAL O CÓSMICA La Geodesia espacial en la medición de la superficie terrestre por medio de la observación o recepción de señales formadas por radiaciones del espectro electromagnético, procedentes de objetos que no estén físicamente ligados al suelo terrestre. Los objetos utilizados fundamentalmente son los satélites.

2.3 SUPERFICIES DE REFERENCIA 2.3.1 SUPERFICIE FISICA - GEOIDE La palabra geoide significa “forma de la Tierra” y fue introducida por Listing en el año 1873. El geoide es un esferoide tridimensional que constituye una superficie equipotencial imaginaria que resulta de suponer la superficie de los océanos en reposo y prolongada por debajo de los continentes y que sería la superficie de equilibrio de las masas oceánicas sometidas a la acción gravitatoria y a la de la fuerza centrífuga ocasionada por la rotación y traslación del planeta, de manera que la dirección de la gravedad es perpendicular en todos los lugares. También se puede definir al Geoide como la superficie física teórica de la tierra que une todos los puntos que tienen igual gravedad. La forma así creada supone la continuación por debajode la superficie de los continentes, de la superficie de los océanos y mares suponiendo la ausencia de mareas, con la superficie de los océanos en calma y sin ninguna perturbación exterior. Como perturbaciones exteriores se encuentra la atracción de la luna, (mareas) y las interacciones de todo el sistema solar. Esta superficie no es uniforme, sino que presenta una serie de irregularidades, causadas por la distinta composición mineral del interior de la tierra y de sus distintas densidades, lo que implica que para cada punto de la superficie terrestre existe una distancia distinta desde el centro de la tierra al punto del geoide.

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FIGURA 2.1

EL GEOIDE Y LA SUPERFICIE TERRESTRE

El geoide tiene en cuenta las anomalías gravimétricas (debidas a la distribución de las masas continentales y la densidad de los componentes de la Tierra) y el achatamiento de los polos, por el cual es una superficie irregular con protuberancias y depresiones (ver figura 2.2). Por tanto, y resumiendo, podemos concluir que el Geoide será el lugar geométrico de los puntos que se encuentran en equilibrio bajo la acción de las siguientes solicitaciones o fuerzas: a) Fuerzas de atracción gravitatoria de la tierra. b) Fuerzas de atracción gravitatoria del resto de los astros del Sistema Solar. c) Fuerza centrífuga, debida al movimiento de rotación de la Tierra. Mediante el estudio de estas solicitaciones o fuerzas y los potenciales que las mismas producen es posible llegar a la definición geométrica del geoide.

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FIGURA 2.2

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DEL GEOIDE

Las mediciones gravitatorias se realizan mediante unos aparatos denominados gravímetros (Figura 2.3). Su función básica es la de observar las variaciones periódicas en el módulo o magnitud de la gravedad (g). En la Figura 2.4 se puede ver el registro de observación de un gravímetro, durante el período de una semana. Dicho registro se representa mediante una gráfica que relaciona el módulo de la gravedad con la variación del tiempo, en horas.

FIGURA 2.3 Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

GRAVÍMETRO Página 13

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FIGURA 2.4

GRÁFICA OBTENIDA A PARTIR DE LOS DATOS REGISTRADOS POR EL GRAVÍMETRO

2.3.2 SUPERFICIE MATEMÁTICA - ELIPSOIDE Es la superficie matemática regular que se obtiene por la rotación de una elipse sobre su eje menor, que más se asemeja al geoide. La obtención de una superficie de referencia, con una definición matemática sencilla que permita efectuar cálculos, es imprescindible para poder realizar la proyección de los puntos del relieve terrestre sobre la misma y permitir la elaboración de mapas y planos. El geoide no puede ser la superficie de referencia adoptada, pues, como hemos dicho, es muy compleja e irregular. Se toma entonces la hipótesis de escoger un elipsoide de revolución que se adapte en lo posible al geoide y que se define por unos parámetros matemáticos, denominándose Elipsoide de Referencia. Antiguamente no existía un único modelo matemático que represente toda la superficie terrestre, por lo que prácticamente cada continente, nación, etc. empleaba un modelo matemático distinto, de forma que se adapte mejor a la forma de la tierra en la zona a cartografiar. Actualmente elelipsoide de referencia universalmente empleado es el WGS84

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FIGURA 1.6

EL ELIPSOIDE Y LA SUPERFICIE TERRESTRE

El Elipsoide Medio o General, se determina teniendo en cuenta las siguientes condicionantes: a) El centro gravitatorio terrestre debe coincidir con el centro del elipsoide. b) El plano definido por el Ecuador terrestre debe coincidir con el del elipsoide. c) La suma de los cuadrados de las alturas geoidales debe ser mínima. Las distintas naciones han utilizado los llamados Elipsoides Locales, que constituyen una aproximación admisible en zonas geográficas concretas. Esto suele hacerse (según Bomford, 1980) adoptando valores arbitrarios (los que más convengan) para la latitud y longitud geodésicas en un punto de origen, además de una altura sobre el elipsoide. Posteriormente, mediante la utilización de las ecuaciones matemáticas necesarias, se buscará mantener el paralelismo entre el eje menor del elipsoide y el eje de rotación de la Tierra. En la Figura 1.7, se puede ver la comparación entre las tres superficies estudiadas, es decir, entre la superficie terrestre real, el Geoide y el elipsoide de referencia.

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FIGURA 1.7 GEOIDE, ELIPSOIDE DE REFERENCIA Y SUPERFICIE TERRESTRE

Los trabajos geodésicos llevados a cabo por los diferentes países han dado lugar a la definición de numerosos elipsoides de referencia, de forma que las medidas efectuadas por cada país están referidas al elipsoide elegido, lo que dificulta sobremanera la conexión de trabajos de ámbito internacional. Como es lógico, la tendencia desde entonces ha sido la de intentar establecer una cartografía uniforme, referida a un mismo elipsoide. En este sentido, y haciendo un poco de historia fue Hayford, en el año 1910, el que estableció un elipsoide para la representación de EEUU, que fue adoptado en el año 1924 por la Asamblea Internacional de Geodesia y Geofísica como elipsoide internacional de referencia, con los parámetros: Semieje mayor: Relación de aplanamiento:

a = 6.378.288,00 m  = 1/f = 1/297

Este elipsoide fue perfeccionado con posterioridad gracias a determinaciones obtenidas mediante satélites artificiales, estableciéndose uno con parámetros muy parecidos, que se adoptó como internacional en 1964, por la Unión Astronómica Internacional, en Hamburgo. Los parámetros fueron los siguientes: Semieje mayor: a = 6.378.160,00 m Relación de aplanamiento:  = 1/f = 1/298.25

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Pocos años después, en 1967, fue Veis el que, basándose en nuevos datos disponibles, estableció unos nuevos parámetros para este elipsoide. Son los siguientes: Semieje mayor: Relación de aplanamiento:

a = 6.378.142 ± 6m  = 1/f = 1/298.255 ± 0,005

2.3.3 PARÁMETROS MATEMÁTICOS QUE DEFINEN EL ELIPSOIDE Los parámetros que definen todo elipsoide de revolución, y las relacionen entre ellos, se muestran en la tabla 1.1: TABLA 1.1 PARÁMETROS DEL ELIPSOIDE PARÁMETRO Semieje mayor Semieje menor Aplanamiento o aplastamiento Excentricidad 2da Excentricidad Ecuación elipse

de

FÓRMULA b

√ √

la

FIGURA 1.8 PARÁMETROS DEL ELIPSOIDE

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Las observaciones que se realizan sobre la superficie terrestre deben ser corregidas (reducción) y referidas al elipsoide de referencia, pues éste último será la base para la posterior elaboración mapas y planos. TABLA 1.2 ELIPSOIDES DE REFERENCIA UTILIZADOS EN CARTOGRAFÍA

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2.3.4 ELIPSOIDE COMPARADO CON EL GEOIDE La desigual distribución de la gravedad superficial y las perturbaciones, causa que existan zonas de la tierra por encima del geoide y por debajo de este.

FIGURA 1.9

ELIPSOIDE COMPARADO CON EL GEOIDE

Estas diferencias gravitatorias son causadas por la composición terrestre y la presencia de una gran masa de agua en los océanos, que causa una menor atracción, y hace que, por lo general, el geoide quede por encima del elipsoide en la zona continental y por debajo en la zona oceánica.

FIGURA 1.10 Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

ANOMALIAS GRAVITATORIAS Página 19

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En la Figura 1.11 podemos ver una representación del Geoide en la que las variaciones altimétricas son desniveles con respecto al elipsoide de referencia y están dibujadas con diferentes colores. En la Figura 1.12 se muestra otra representación del Geoide, esta vez mediante curvas de nivel con una equidistancia de 10 metros. Ambas imágenes han sido obtenidas partiendo de una malla cartesiana de coordenadas X (longitudes), Y (latitudes) y Z (elevaciones del geoide sobre el elipsoide de referencia WGS84), publicada por la “United States Defense Mapping Agency” con un intervalo de 10°, tanto en longitud como en latitud. Esta diferencia entre el geoide y el elipsoide en raras ocasiones llega a superar los 100 metros. A continuación (figura 1.11 Y 1.12) se muestra la comparación entre el geoide EGM96 con del elipsoide WSG-84:

FIGURA 1.11

COMPARACIÓN ENTRE EL GEOIDE EGM90 CON DEL ELIPSOIDE “WSG84”:

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FIGURA 1.12

MODELO DEL GEOIDE CON LÍNEAS DE NIVEL CADA 10 METRO S El Departamento de Geodesia y Geofísica de la “National Imagery and Mapping Agency (NIMA)” , de Estados Unidos, publica un modelo del geoide referido también al elipsoide WGS84 con un intervalo de 0,25°, el cual permite obtener representaciones mucho más de talladas, como la que podemos ver en la Figura 1.13

FIGURA 1.13

MODELO DEL GEOIDE CON UN INTERVALO DE 0.25°

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La elevación de cualquier punto del geoide sobre el elipsoide de referencia se denomina altura geoidal u ondulación del geoide y puede calcularse efectuando una interpolación lineal entre los cuatro puntos de la malla más cercanos. Con la utilización del software adecuado es posible generar los distintos mapas de elevaciones presentados.

FIGURA 1.14 MODELO TRIDIMENSIONAL DEL GEOIDE EN EL QUE SE HAN AMPLIFICADO SUS ONDULACIONES PARA UNA MEJOR COMPRENSIÓN

2.4 ÁNGULO RADIAL DE LA VERTICAL La forma episódica de la Tierra se debe a su movimiento de rotación; de no existir ésta la dirección de la plomada coincidiría en todos los puntos con el radio de la Tierra. Debido a este movimiento de rotación y la atracción gravitatoria, cada punto de la superficie terrestre está sometido a dos fuerzas principales: 1) Atracción gravitatoria debida a la masa terrestre, en la dirección del centro de gravedad de la Tierra. 2) Repulsión centrifuga (nula en los polos y máxima en el ecuador), en la dirección del radio del paralelo imaginario en que se encuentre en dicho punto. La resultante de estas dos fuerzas en cada punto es la vertical astronómica o vertical física, que seguirá la dirección del radio terrestre en el ecuador y en los polos, pero a otras latitudes formará un ángulo con el mismo, al que se llama ángulo radial de la vertical. Este ángulo es máximo aproximadamente a los 45º de latitud, alcanzado un valor de unos 11 minutos.

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2.5 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL Se conoce como desviación de la vertical en un punto P sobre la superficie de la tierra, al ángulo que existe entre la vertical astronómica y la normal al elipsoide (vertical geodésica).

FIGURA 1.15 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL Para el estudio de las variaciones de la vertical astronómica en función de las variaciones en el valor de la gravedad, se utilizan unos aparatos especiales denominados clinómetros (Figura 1.16).

FIGURA 1.16 Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

CLINÓMETROS DE LARGA BASE Página 23

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A partir de estas variaciones y del conocimiento de la vertical geodésica, puede determinarse la desviación entre ambas, mediante la aplicación de la ecuación de Laplace. Los puntos en los que se calcula la desviación de la vertical se conocen como Puntos de Laplace y tienen gran importancia en Geodesia, ya que conociendo las desviaciones de la vertical en dos puntos, es posible determinar la separación existente entre el geoide y el elipsoide. La desviación de la vertical es nula en el Datum geodésico.

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CAPÍTULO 3 3 SISTEMAS DE COORDENADAS EMPLEADOS EN GEODESIA 3.1 INTRODUCCIÓN Los sistemas de referencia empleados en geodesia definen la forma y dimensiones de la Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Los sistemas de referencia geodésicos pueden ser descritos en base a dos modelos matemáticos: el esférico y el elipsódico, los cuales son obtenidos en base parámetros físicos medidos sobre la superficie terrestre, tales como la aceleración de gravedad. Los sistemas globales de coordenadas nos permiten definir posiciones sobre la superficie de la Tierra, todos los datos observados por los distintos métodos geodésicos deben ser referidos a unos sistemas de referencia en los que se llevarán a cabo los cálculos necesarios para correlacionar todas las observaciones entre sí. Entre los sistemas de coordenadas más comúnmente empleadas tenemos:    

Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas

geográficas geodésicas rectangulares geocéntricas rectangulares planas

A continuación realizamos una explicación breve de cada una de ellas.

3.2 COORDENADAS GEOGRÁFICAS Las Coordenadas Geográficas son una forma de designar un punto sobre la superficie terrestre, si tomamos como superficie de referencia a la esfera en lugar del elipsoide. La posición de un punto se determina mediante su longitud y latitud geográficas con el siguiente formato: Longitud Latitud N

3º 14’ 26’’ O 42º 52’ 21’’

Esta designación se basa en el sistema de referencia polar en tres dimensiones:

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FIGURA 2.1 SISTEMA DE REFERENCIA COORDENADAS GEOGRÁFICAS Dónde: Origen: centro geométrico de la esfera Eje Z: eje polar (eje de la tierra) en dirección del polo norte Eje X: eje ecuatorial (Sobre el plano ecuatorial) en dirección al meridiano de referencia 3.2.1 EJE POLAR Y POLOS La tierra posee, dos movimientos fundamentales. El primero es el de traslación en una órbita alrededor del sol, con un período de 365,25 días por vuelta. El segundo es la rotación entorno a un eje imaginario que atraviesa a la tierra por su propio centro, con un periodo 24 horas por vuelta.

FIGURA 2.2 EJE POLAR Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

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Al eje imaginario en torno al cual se produce la rotación terrestre se le denomina eje polar o eje de la tierra. El eje polar pasa, como se ha dicho, por el centro del planeta y corta a la superficie terrestre en dos puntos que se conocen con el nombre de polos. Para distinguir un polo de otro se les ha dado el nombre de Polo Norte (N.) y Polo Sur (S.). Convencionalmente se representa la tierra de modo que su Polo Norte queda arriba y el polo Sur, abajo. El eje polar se puede definir, también, como la línea imaginaria que une los dos polos terrestres. 3.2.2 MERIDIANOS Se definen los meridianos como las líneas de intersección con la superficie de referencia, de los infinitos planos que contienen el eje de la tierra. (ver. figura 2.3). El meridiano de referencia que ha tomado la comunidad internacional es el que pasa por la ciudad inglesa de Greenwich, donde existe un importante observatorio astronómico. A este meridiano se le da el valor 0º. La existencia de este meridiano divide al globo terráqueo en dos zonas; las situadas al Oeste (O) del meridiano 0º, hasta el antemeridiano y las situadas al Este (E) del meridiano 0º hasta el antemeridiano (ver figuras 2.4 y 2.5)

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FIGURA 2.3 MERIDIANOS

FIGURA 2.4 DISTRIBUCIÓN DE MERIDIANOS

FIGURA 2.5 MERIDIANO DE REFERENCIA

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3.2.3 PARALELOS Se definen los paralelos como las líneas de intersección de los infinitos planos perpendiculares al eje terrestre con la superficie de referencia.

FIGURA 2.6 PARALELOS El paralelo principal o paralelo de referencia es aquel que se encuentra a la máxima distancia del centro de la tierra. A este paralelo de mayor radio se le denomina “ECUADOR”, que divide el globo en dos casquetes o hemisferios; el hemisferio norte y el hemisferio sur. El resto de los paralelos, por lo tanto es de menor radio.

FIGURA 2.7 PARALELO DE REFERENCIA

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Este paralelo principal, o ECUADOR, se toma como origen en el sistema de referencia creado, de modo que se designa la situación de un punto haciendo referencia a su situación respecto de estos dos casquetes.

FIGURA 2.8 DESIGNACIÓN DE PARALELOS Al ecuador le corresponde un ángulo de 0º. A medida que nos aproximamos al polo Norte, el ángulo aumenta hasta valer 90º en el polo Norte. Lo mismo ocurre cuando nos aproximamos al polo Sur desde el ecuador. Para diferenciar los paralelos de cada hemisferio deberemos añadir una N (Norte) o S (Sur) al valor angular del paralelo. 3.2.4 LONGITUD Se define la Longitud Geográfica (lamda λ) de un punto P, al valor del ángulo formado por el plano del meridiano que pasa por el punto P y el meridiano de origen (0º Meridiano de Greenwich). La longitud es gráficamente el ángulo formado por OAB.

(a) FIGURA 2.9 LONGITUD DE UN PUNTO P

(b)

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La designación de la longitud lleva aparejada la designación de la posición espacial del punto con respecto al meridiano origen o meridiano de Greenwich, así se designa posición Oeste (O) cuando está a la izquierda del meridiano origen y Este (E) cuando está situado a la derecha. La longitud presenta un mínimo posible de 0º hasta un máximo de 180º 0º - 180º E 0º - 180º O 3.2.5 LATITUD Se denomina Latitud Geográfica ( Fi) de un punto P al ángulo formado por la vertical a la tierra (radio de la esfera) que pasa por dicho punto con el plano del ecuador. En este caso la vertical se considera la unión del punto con el origen o centro de la esfera (superficie de referencia), obteniéndose la latitud midiendo el ángulo ( Fi) sobre el meridiano que pasa por el punto P.

FIGURA 2.10 LATITUD DE UN PUNTO P La latitud máxima y mínima va desde los 0º hasta un máximo de 90º 0° - 90° N, 0° - 90° S.

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Los 90º de latitud coinciden con los polos, polo Norte y polo Sur. La latitud puede ser norte o sur, según dicho paralelo este situado al norte o sur del ecuador.

3.3 COORDENADAS GEODÉSICAS Y ASTRONÓMICAS Este sistema de coordenadas es el tradicionalmente empleado y está referido a un elipsoide de referencia, la situación de un punto P sobre la superficie terrestre (ver figura 2.11) queda definida por su longitud (λ) y latitud () geodésicas. El formato para la designación de coordenadas geodésicas y astronómicas es similar al de coordenadas geográficas, tomando en cuenta los conceptos de los siguientes elementos: a)

MERIDIANOS: Son las líneas de intersección producidas en el elipsoide por el infinito número de planos que contienen al eje de la Tierra, Los meridianos, por tanto, tienen forma de elipse, poseen la misma extensión y pasan por los polos. El meridiano de referencia (0º) para la medición de longitudes es el meridiano de Greenwich.

b)

PARALELOS: Son líneas de intersección producidas en el elipsoide por un plano perpendicular al eje de la tierra se denomina plano paralelo, por lo tanto los paralelos son circunferencias, a la circunferencia de mayor radio se denomina ecuador. c) MERIDIANO DE ORIGEN DE LONGITUDES (GREENWICH): El meridiano de origen es la intersección entre el elipsoide de referencia y el plano que contiene el eje de rotación que pasa por la ciudad inglesa de Greenwich. d) MERIDIANO LOCAL: Es el meridiano que pasa por el punto P. e) PLANO ECUATORIAL: Es el plano perpendicular al eje de rotación de la Tierra, que pasa por el centro de gravedad de la misma. f) VERTICAL GEODÉSICA: Es la normal (perpendicular) al elipsoide que pasa por el punto P. g) VERTICAL ASTRONÓMICA: Es la línea normal (perpendicular) al geoide en el punto considerado, por lo que toma la dirección del campo gravitatorio (dirección de la plomada) y es independiente del elipsoide adoptado. h) VERTICAL GEOCÉNTRICA: Es la línea que pasa por el punto P y el centro del elipsoide.

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i) MERIDIANO ASTRONIMOCO: Se define el meridiano astronómico como el plano que pasa por la vertical astronómica en el punto P, y por la línea definida por el eje de rotación terrestre (o una línea paralela a éste).

FIGURA 2.11 COORDENADAS GEODÉSICAS DE UN PUNTO P Con estos elementos, podemos definir: 3.3.1 LATITUD GEODÉSICA ( fi) Es el ángulo ( Fi) formado por la normal al elipsoide en el punto P (vertical geodésica) y el plano ecuatorial. Se mide en grados sexagesimales, partiendo del Ecuador, siendo positiva al Norte (de 0 a 90°) y negativa al Sur (de 0 a -90°). 3.3.2 LONGITUD GEODÉSICA (λ lamda) Es el ángulo (λ lamda) formado por el plano del meridiano origen y el del meridiano local que pasa por el punto P. Se mide en grados sexagesimales, de 0 a 180°, con sentido positivo al Este.

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3.3.3 LATITUD ASTRONÓMICA (Φ FI) Es el ángulo (Φ) formado por la vertical astronómica y el plano ecuatorial. 3.3.4 LONGITUD ASTRONÓMICA (Λ LAMDA) Es el ángulo (Λ) formado por el plano del meridiano astronómico local y el del meridiano de origen. Las determinaciones geodésicas se realizan sobre la superficie terrestre, aunque para trabajar, necesitamos hacerlo sobre la superficie del elipsoide. El conjunto de métodos disponibles para trasladar las determinaciones sobre la superficie real de la Tierra al elipsoide se conoce como problemas de reducción. Para resolver los problemas de reducción es necesario el conocimiento de las desviaciones entre la superficie real terrestre y la del elipsoide de referencia. Para ello tendremos que:   

Determinar la altura de los puntos que están sobre la superficie terrestre. Medir las desviaciones de la vertical en dichos puntos (Fig. 1.15). Calcular la fuerza gravitatoria en los puntos indicados, para lo cual suelen utilizarse los gravímetros. (fig. 1.4)

Estas determinaciones entran de lleno en el campo de la Geodesia física, y su cálculo se realiza basándose en la Teoría del potencial gravitatorio, las ecuaciones de Laplace, etc. La definición de coordenadas geodésicas, aunque parezcan relativamente complejas, son en realidad simplificaciones de un problema todavía más complicado, pues se han despreciado los siguientes efectos: 

El eje de rotación instantáneo no está fijo con respecto a la masa sólida de la Tierra, sino que está afectado de un cierto movimiento, denominado movimiento polar. Este efecto fue predicho por Euler en 1765, pero no ha sido determinado con exactitud hasta mucho tiempo después. Como resultado, la posición del Polo Norte (intersección del eje de rotación con la superficie terrestre) puede variar alrededor de 5 a 10 metros cada año. Por esta razón, lo más usual es definir las coordenadas con respecto a un eje medio, internacionalmente admitido, y no con respecto al eje de rotación instantáneo.

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

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Por otra parte, el meridiano de origen no pasa por un punto en particular de Greenwich, sino que se define como el valor medio de las longitudes adoptadas para una serie de observatorios en todo el mundo. En este sentido, en el año 1988, el International Earth Rotation Service (IERS), cuya sede está en París, definió el eje de rotación medio, el IERS Reference Pole (IRP, Polo Norte de referencia) y el meridiano de origen, denominado el IERS Reference Meridian (IRM). 

Por último, si nos centramos en las coordenadas astronómicas, debemos saber que es posible que las direcciones de la vertical (según el vector gravedad) pueden ser paralelas en dos puntos distintos de la superficie terrestre, lo cual implicaría que ambos tendrían la misma latitud astronómica.

3.4 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS Otra forma de determinar la posición de un punto en la superficie terrestre es por sus coordenadas rectangulares geocéntricas. En este tipo de coordenadas considera el origen del sistema en el centro del elipsoide, el eje Z coincide con el eje de rotación, el eje X se encuentra en el plano meridiano origen y el plano del ecuador elipsódico y por lo tanto a 90º del eje Z y el eje Y a 90º del eje Z y el eje X. (ver figura 2.12)

FIGURA 2.12 Dónde:

COORDENADAS RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS

Origen: Centro del elipsoide Eje Z: Eje de rotación terrestre Eje X: Sobre el plano del ecuador en dirección del meridiano de Greenwich

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Este tipo de sistema de coordenadas comenzó a emplearse más habitualmente con la puesta en funcionamiento del sistema de posicionamiento GPS, ya que la ubicación de los satélites se determina en base a las coordenadas cartesianas espaciales, donde el sistema es geocéntrico, es decir que el origen se encuentra en el centro de masas de la Tierra, y las coordenadas de los puntos sobre la superficie terrestre, o en el espacio (es el caso de la ubicación de los satélites en sus órbitas) se determina también en este sistema con los parámetros del elipsoide WGS84, comenzando en esta época la denominada Geodesia Tridimensional. En la Figura 2.13 se observa el punto A sobre la superficie terrestre, el punto A1 es la proyección de A en la superficie del elipsoide (siguiendo la normal geodésica), a una distancia h (altura elipsoidal), el punto A1 queda determinado por las coordenadas geodésicas  (latitud) y λ (longitud). El Punto A queda determinado por el vector posición RA respecto del centro del elipsoide, cuyas tres componentes son XA,YA, ZA.

FIGURA 2.13

COORDENADAS GEOCÉNTRICAS RECTANGULARES DE UN PUNTO A

Las coordenadas rectangulares geocéntricas también denominadas cartesianas están en función de las coordenadas geodésicas y del elipsoide de referencia seleccionado. Por lo tanto serán distintas para

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cada tipo de elipsoide de referencia, por ejemplo: serán distintas si el elipsoide es el Internacional o el WGS84.

3.5 COORDENADAS RECTANGULARES PLANAS (PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS) En general, el sistema de coordenadas geográficas o geodésicas es muy adecuado para grandes superficies, pero a menudo su empleo es incómodo, debido principalmente a la complejidad de la geometría esférica en comparación con la geometría plana. Así, empezaron a utilizarse, durante la Primera Guerra Mundial, cuadrículas de coordenadas rectangulares sobre los mapas. Actualmente, el empleo de sistemas de cuadrícula es universal. El sistema de coordenadas geodésicas resulta poco satisfactorio de cara a su utilización práctica en parte porque las unidades de medida son ángulos. Por ello, en la práctica, se emplean sistemas de coordenadas rectangulares planas, que resultan mucho más cómodos de utilizar. Sin embargo, el cambio de un sistema a otro no es fácil, pues la superficie del elipsoide no es desarrollable, es decir, no puede extenderse sobre un plano sin sufrir deformaciones ni rasgaduras. La solución que se ha adoptado, es la de proyectar la superficie del elipsoide sobre una figura geométrica desarrollable (cilindro) según una determinada ley matemática que podría expresarse como sigue:

Donde (x, y) son las coordenadas rectangulares planas deducidas a partir de sus homólogas en el elipsoide (λ, ), mediante la aplicación de la relación matemática indicada. Existen gran cantidad de leyes matemáticas que permiten la representación del elipsoide sobre un plano, pero una de las premisas fundamentales es la de obtener la mínima distorsión al proyectar los elementos de una superficie a la otra. En el capítulo siguiente se estudiará con mayor profundidad estas proyecciones planas denominadas proyecciones cartográficas. En Bolivia el sistema de proyección cartográfico empleado es el UTM (Universal Transverse Mercator) ver figura 2.14

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FIGURA 2.14

SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS UTM

3.6 EL DATUM Se llama Datum al conjunto de parámetros utilizados para definir la posición del elipsoide de referencia con respecto a la superficie del geoide o la superficie real de la tierra, por lo que el Datum no es un único valor sino un conjunto de ellos, Cada Datum está compuesto por: a) Un elipsoide de referencia definido por sus parametros. b) Un punto Fundamental, en el que coinciden las verticales al geoide y al elipsoide (con lo que también coincidirán las coordenadas astronómicas y geodésicas). En el punto Fundamental coincide el elipsoide con la superficie del geoide (ver figura 2.15). De este modo se consigue que en ese punto las coordenadas sobre la tierra, (coordenadas astronómicas), coincidan con las coordenadas en el elipsoide (coordenadas geodésicas).

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FIGURA 2.15 DATUM En general, el Datum es punto de referencia para el cálculo y determinación de coordenadas, estableciéndose unos datos iniciales de los cuales se derivan el resto. En Geodesia se emplean dos tipos de datum, el vertical y el horizontal. 3.6.1 EL DATUM VERTICAL Es la superficie de referencia que permite el cálculo de alturas. Por tanto, es la superficie de altura nula. Lo usual es que esta superficie sea el geoide y las alturas a él referidas sean alturas ortométricas 3.6.2 EL DATUM HORIZONTAL Permite la determinación de la longitud y latitud. Se elige un punto en el cual las superficies del elipsoide de referencia y del geoide sean tangentes. De esta forma, ambas verticales (geodésica y astronómica respectivamente) coincidirán, así como las coordenadas astronómicas y

geodésicas en dicho punto. En Bolivia se utilizan dos Datum geodésicos:

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1. Psad-56 (Provisional South American 1956): cuyo elipsoide de referencia es el Elipsoide Internacional 1924 y su punto fundamental se encuentra situado en La Canoa Venezuela, empleado hasta inicios de la década de los 90. 2. GWS 84 (World Geodetic System 1984): cuyo elipsoide de referencia es el WGS – 84, empleado a partir de la década de los 90s, ya no es necesario la determinación de un punto fundamental, ya la determinación de coordenadas estará referida a la constelación de satélites del GPS. 3.7 ELIPSOIDES DE EMPLEO USUAL Existe una gran variedad de elipsoides, que se van mejorando matemáticamente para que tengan una mejor aproximación al geoide, o que las desviaciones encontradas con el geoide sean las menores posibles, aunque para cada zona de la tierra se suele emplear un elipsoide distinto de manera que se adapte mejor a las desviaciones locales del geoide. Los elipsoides más empleados son los siguientes:

3.8 DATUMS DE EMPLEO USUAL Existe un gran número de Datums, se detallan a continuación los más empleados, su zona de aplicación, punto fundamental, elipsoide y las desviaciones:

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Donde Xi y η Eta son las desviaciones de los ángulos fundamentales del Datum

3.9 DESVIACIONES DE LOS ÁNGULOS FUNDAMENTALES DEL DATUM Definido el Datum, ya se puede elaborar la cartografía de cada lugar, pues se tienen unos parámetros de referencia que relacionan el punto origen del geoide y del elipsoide con su localización mediante coordenadas geodésicas, así como la dirección del sistema, pero existen desviaciones que deben ser tomadas en cuenta entre as que tenemos:

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3.9.1 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL (η eta) Esta desviación viene dada al no coincidir la vertical en el geoide con la vertical en el elipsoide, no pasando la perpendicular al elipsoide por el centro de la misma.

FIGURA 2.16

DESVIACIÓN DE LA VERTICAL (η eta)

3.9.2 DESVIACIÓN SOBRE EL MERIDIANO La desviación sobre la vertical hace que la latitud, al realizar su medición angular, no pase por el centro del elipsoide (0,0,0), originando un punto ficticio S, que puede no estar situado en el eje de rotación “Polo Norte- Polo Sur”. Si este punto está situado sobre el eje “Polo Norte- Polo Sur” la desviación sobre el meridiano es 0°. Hay que recordar que tanto la desviación sobre el meridiano como la desviación de la vertical, únicamente es evaluada para el punto fundamental y no para la totalidad de las posiciones geodésicas del sistema, sistema para el que independientemente en su desviación toma su origen de meridianos en Greenwich, Inglaterra 0°.

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FIGURA 2.17

DESVIACIÓN SOBRE EL MERIDIANO

3.10 DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS. 3.10.1 ALTURA ELIPSOIDAL (h), ORTOMÉTRICA (H) Y GEODÉSICA (N) Las coordenadas geodésicas (longitud , latitud ) determinan la posición de la proyección de un punto de la superficie real de la Tierra sobre el elipsoide, según la normal a éste, pero también es necesario conocer la altura de dicho punto sobre la superficie del elipsoide (la cual se medirá, obviamente, sobre la vertical geodésica), que se conoce como altura elipsoidal (h en la Figura 2.18). Normalmente, la altura elipsoidal (h) no es demasiado utilizada, se acostumbra el uso de la altura de un punto sobre el nivel medio del mar en algún lugar prefijado. Teniendo en cuenta la definición de geoide, la altura sobre el nivel medio del mar estará referida a la superficie del mismo (H en la Figura 2.18), a la que se denomina altura ortométrica.

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FIGURA 2.18

DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS EN GEODESIA

La diferencia entre la altura elipsoidal (h) y la altura ortométrica (H) es la que llamamos altura geoidal (N) u ondulación del geoide, pues en realidad representa las desviaciones del geoide con respecto al elipsoide de referencia. La ecuación que liga las tres alturas definidas en la Figura 2.18, es la siguiente:

Por tanto, las coordenadas geodésicas de un punto estarán formadas por la longitud y latitud geodésicas y, además, la altura del punto sobre el elipsoide de referencia, es decir, h. Por tanto, tenemos: Coordenadas geodésicas del punto P: (p, p, hp) 3.10.2 ALTURA TOPOGRÁFICA Se define como altura topográfica a la distancia sobre la vertical local (astronómica) desde el punto considerado a la superficie del geoide (la cual se puede considerar igual que la altura ortométrica), pero sin tener en cuenta las variaciones de la fuerza gravitatoria. Es el método usual empleado en Topografía.

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3.10.3 CALCULO DE LA ALTURA ELIPSOIDAL (h) El conocimiento de la altura elipsoidal (h) no es inmediato, sino que será necesaria la determinación de la altura ortométrica (H) y la altura geoidal (N). A continuación vemos, de una forma muy somera, cómo se efectúan dichas determinaciones: a) Las cotas ortométricas (H) se determinan mediante nivelación de alta precisión con respecto a un determinado Datum altimétrico, el cual define una superficie de cota nula. b) La altura geoidal u ondulación del geoide (N), puede determinarse por varios métodos: i.

Método

de

Helmert: se basa en el conocimiento de las coordenadas geodésicas y astronómicas en una serie de puntos (puntos de Laplace), lo cual permitirá calcular las componentes de la desviación de la vertical en los mismos y, por último, de las ondulaciones del geoide por el método de nivelación astrogeodésica.

ii.

Utilización de las anomalías gravimétricas: se aplica la fórmula de Stokes para calcular diferencias de ondulación del geoide entre unos puntos y otros. En combinación con el anterior método permite obtener determinaciones de N con mayor precisión.

iii.

Utilización de observaciones espaciales, deltipo GPS, en puntos en los que se conoce la altura ortométrica (H). En este caso, la resolución es como sigue: Sean los puntos A y B, en los cuales conocemos HA y HB y además, por observaciones espaciales, se ha determinado la diferencia hA-hB. Tenemos, por tanto, que:

De donde:

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Como hemos dicho, (hA-hB) es conocido mediante observaciones espaciales GPS; y (HA-HB) se determina mediante nivelación de alta precisión, con lo cual, podemos obtener la diferencia (NA-NB). De esta manera, calculamos las diferenciasde ondulación del geoide entre dos puntos separados entre sí una cierta distancia. Partiendo de un punto en el que la ondulación del geoide sea nula (punto en el que coinciden las superficies del elipsoide y del geoide), podemos determinar el resto de alturas geoidales necesarias y, por lo tanto, las alturas de dichos puntos sobre el elipsoide (h).

3.11 TRANSFORMACIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS Es posible efectuar transformaciones entre sistemas de coordenadas geodésicas (longitud , latitud  y altura elipsoidal h) y rectangulares espaciales geocéntricas X,Y,Z. 3.11.1 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS

A

La transformación de coordenadas geodésicas (longitud , latitud altura elipsoidal h) a rectangulares geocéntricas (X,Y, Z) puede efectuarse directamente aplicando las siguientes formulas:

Dónde: N: Radio de curvatura de la sección normal del Primer Vertical (distancia entre la superficie del elipsoide y el eje menor), que de acuerdo a su fórmula es función del elipsoide seleccionado y la latitud del punto considerado. (Ver figura 2.19) e2: Primera excentricidad a: Semieje mayor del elipsoide h: Altura elipsoidal del punto considerado

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FIGURA 2.19 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS Para la transformación de coordenadas, se debe conocer los parámetros del elipsoide de referencia para realizar los cálculos. Ejemplo Obtener las coordenadas rectangulares geocéntricas de un punto en la Ciudad de La Paz, cuyas coordenadas geodésicas referidas al elipsoide WGS84 son: Latitud (φ): 16°29’44,6432” S Longitud (λ): 68°08’00,8465” O Altura elipsoidal (h): 3692.640 m Del numeral 2.7, los parámetros del elipsoide WGS84 son: PARÁMETRO Semieje mayor (a) Semieje menor (b) Aplastamiento

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CANTIDAD 6.378.137,000 m 6.356.752,314 m 298,2572236

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inverso (1/f ) Excentricidad (e2) 0,006694379990 Caculo de N √ Reemplazando los valores de los datos y cálculos en X, Y y Z y obtenemos: ( ( [(

) ) )

]

= 2.279.659,750 m = -5.680.446,180 m = -1.800.443,879 m

3.11.2 TRANSFORMACIÓN DE RECTANGULARES

COORDENADAS A GEODÉSICAS

Para realizar esta transformación hay dos métodos de cálculo: A. POR ITERACIÓN: Como se ha podido ver en las fórmulas para la transformación de coordenadas geodésicas a coordenadas rectangulares, las tres componentes X, Y, y Z son función de la latitud, incluyendo N que también lo es, por lo tanto la solución es hacer unas 3 o 4 iteraciones de la latitud hasta que la diferencia con el resultado anterior sea menor que la precisión que se requiere. El procedimiento es el siguiente: 1- Se obtiene la longitud ( ) 2- Se obtiene el valor de √ 3- Se obtiene el valor inicial de la Latitud 4- Con el valor de ϕ 0 se obtiene

[

)(

]

√

5- Se realiza la primera iteración y se obtiene ϕ 1 con la siguiente ecuación: (

)

6- Se obtiene la diferencia entre ϕ 1- ϕ 0 y se compara con la precisión requerida para los datos. 7- Si es mayor se vuelven a repetir los pasos 4 a 6 hasta que la diferencia entre dos valores sucesivos sea menor que la precisión requerida, es decir se realizan n iteraciones. 8- Se obtiene la altura elipsoidal h con la siguiente ecuación: Ejemplo:

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A partir de los resultados del ejemplo anterior obtener las coordenadas geodésicas y realizar el análisis correspondiente: X = 2.279.659,750 m Y = -5.680.446,180 m Z = -1.800.443,879 m Paso 1: Se obtiene la longitud

( )

λ = -1,18915510097 rad = -68,1335684722º = -68º 08’ 00,84649’’ Paso 2: Se obtiene el valor de

√

p = 6120810,1894 m Paso 3: Se obtiene el valor inicial de la latitud

[

)(

]

φ0 = -0,28608235592 rad = -16,3913115874º = -16º 23’ 28,72171’’ Si comparamos este resultado obtenido con la latitud del ejercicio anterior, vemos que la diferencia es importante, del orden de unos cuantos minutos (φ: 16° 29' 44,6432"S) Paso 4: Con el valor obtenido de φ0 se obtiene

√

N0 = 6379837,7855 m Paso 5: Se realiza la 1ra iteración y se obtiene φ1 con la siguiente ecuación: (

)

φ1 = -0,287893655177 rad = -16,4950913902º = -16º 29’ 42,32900’’ Paso 6: Se obtiene la diferencia entre φ1- φ0 y se compara con la precisión requerida para los datos. φ1- φ0 = 0,00181129926 rad = 0,10377980288º = 0º 06’ 13,60729’’ Como podemos apreciar la diferencia entre los dos valores de latitud es aún muy importante, por lo tanto es necesario hacer la 2da

iteración. Paso 7: Reemplazamos el valor de φ1 en N1= 6379858,799 m y luego obtenemos φ2 φ2 = -0,287904805662 rad = -16,4957302660º = -16º 29’ 44,62895’’ Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

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ϕ 1- ϕ 0 = 0,000011150485 rad = 0,0006388757º = 0º 00’ 02,29995’’ La diferencia de 2,29995’’ es aún importante, por lo tanto hay que hacer la 3ra iteración, pero podemos apreciar que converge rápidamente. Paso 8: Reemplazamos el valor de ϕ 2 en N2 = 6379858,928 m y luego obtenemos ϕ 3 ϕ 3 = -0,287904874287 rad = -16,4957341979º = -16º 29’ 44, 64311’’ ϕ 3- ϕ 2 = 0,000000068625 rad = 0,0000039319º = 0º 00’ 00, 01415’’ En nuestro caso estamos considerando la diezmilésima de segundo, es decir cuatro decimales en los segundos de latitud, por lo que habrá que hacer una nueva iteración. Paso 9: Reemplazamos el valor de ϕ 3 en N3 = 6379858,929 m y luego obtenemos ϕ 4 ϕ 4 = -0,287904874709 rad = -16,4957342221º = -16º 29’ 44, 64319’’ ϕ 4- ϕ 3 = 0,000000000422 rad = 0,0000000242º = 0º 00’ 00, 000089’’ Con esta última iteración vemos que la variación es menor que la diezmilésima de segundo, por lo tanto este es el valor de la latitud buscada. Ultimo paso: Se obtiene la altura elipsoidal h = 3692,640 m ϕ = -16º 29’ 44, 6432’’ λ = -68º 08’ 00,8465’’ Que si verificamos los datos de partida en el ejemplo de transformación de coordenadas Geodésicas a Cartesianas, encontramos que son los mismos, con lo que queda demostrado el procedimiento. B. POR FÓRMULAS CERRADAS: Algunos autores han determinado ecuaciones cerradas, las cuales dan los resultados buscados sin tener que hacer las iteraciones indicadas, por ejemplo se pueden emplear las siguientes formulas:

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Ejercicio: Realizar la anterior transformación utilizando las formulas cerradas.

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CAPÍTULO 4 4 FUNDAMENTOS DE CARTOGRAFIA 4.1 INTRODUCCIÓN La proyección topográfica, supone plana una determinada porción de la superficie de la Tierra, es del todo insuficiente cuando se necesita representar un fragmento de la superficie terrestre de cierta extensión, mayor a un triángulo geodésico de 3er orden (30 km2). Es entonces cuando se recurre a los métodos propios de otra de las ciencias como ser la Cartografía cuyo objetivo final será, por tanto, representar en un plano una parte más o menos extensa, e incluso la totalidad, de la superficie terrestre considerando la esfericidad de la misma. Teniendo en cuenta que la superficie de la Tierra, ya sea, que la consideremos esférica o elipsoídica, no es desarrollable sin deformaciones, está claro que será necesario aplicar una cierta transformación para lograr este objetivo.

FIGURA 4.1

DESARROLLO DE UNA ESFERA O ELIPSOIDE

Así, la Cartografía estudia los sistemas de proyección más adecuados para definir de forma biunívoca una correspondencia matemática entre los puntos del elipsoide y sus transformados en el plano (a cada punto del elipsoide le corresponde un único punto en el plano). A estos métodos se les llama Proyecciones Cartográficas. Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

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Esta transformación va a llevar consigo una serie de deformaciones, denominadas anamorfosis, que pueden ser lineales, superficiales o angulares. Por tanto, además del elipsoide de referencia (sobre el que se proyectaban los puntos del terreno y se calculaban sus coordenadas geodésicas), para poder representar esos puntos sobre un plano necesitamos otra superficie de referencia desarrollable sobre la que, a su vez, se proyectarán los puntos del elipsoide, siguiendo una determinada relación matemática, la cual vendrá definida por el sistema de proyección cartográfica elegido. Para clarificar un poco más este complejo proceso, podemos hacer un esquema como el que se muestra en la Figura 3.2.

FIGURA 4.2 PROCESO NECESARIO PARA LLEGAR A LA REPRESENTACIÓN PLANA DE UNA PORCIÓN DE LA SUPERFICIE TERRESTRE En todos los casos conservan o minimizan los errores, dependiendo de la magnitud física que se desea conservar; su superficie, las distancias, los

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ángulos, etc., teniendo en cuenta que únicamente se podrá conservar una de las magnitudes anteriormente descritas y no todas a la vez. Se recurre a un sistema de proyección cuando la superficie que estemos considerando es tan grande que tiene influencia la esfericidad terrestre en la representación cartográfica. La parte de la tierra entonces representada en papel u otro soporte se denomina “mapa”. Esta representación de la tierra entra dentro del campo de la Geodesia. 4.2 PROYECCIONES PLANAS Cuando la superficie a representar es pequeña y por esfericidad terrestre no va a influir en la representación por ejemplo en pequeños levantamientos topográficos, se representación de forma plana, de forma que todos representados están vistos desde su perpendicular:

lo tanto la cartográfica, recurre a su los puntos

FIGURA 4.3 PROYECCIÓN PLANA A la representación plana de pequeñas superficies obtenida, ya sea en soporte papel o en soporte magnético, se le denomina “plano”. Esta representación de la superficie, generalmente en el sistema de planos acotados, está dentro del campo de la Topografía, la Agrimensura, etc.

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4.3 TIPOS DE PROYECCIONES CARTOGRAFICAS EN FUNCION DE LA VARIALE A CONSERVAR Las proyecciones cartográficas, son proyecciones en las que la esfericidad terrestre tiene repercusión importante sobre la representación de posiciones geográficas, sus superficies, sus ángulos y sus distancias. El sistema UTM (Universal Transverse Mercator) es el de mayor uso actual, es un sistema de proyección geodésica ideado en 1569 por Gerhard Kremer, denominado Mercator al latinizar su apellido. Es un sistema en el cual se construye geométricamente el mapa de manera que los meridianos y paralelos se transformen en una red regular, de manera que se conserven los ángulos originales. Este tipo de transformación se la denomina conforme. Dentro de las transformaciones posibles existen fundamentalmente tres tipos en función de la variable que conservan una vez proyectados: 1)

PROYECCIONES CONFORMES: Aquellas en las que los ángulos se conservan, con una relación de semejanza de un valor de “1” en el centro de la proyección hasta un valor máximo de “1+φ” en los límites del campo de proyección. Esta alteración “φ” es proporcional al cuadrado de las distancias que une el centro de la proyección con el punto a proyectar. Esta variación en los ángulos se subsana multiplicando todas las escalas por un factor de “1-(2/φ)". Otro ejemplo de proyección conforme es la proyección Lambert.

2) PROYECCIONES EQUIVALENTES (Equiarea): Son aquellas en las que la superficie se conserva después de la proyección. Como ejemplo de las proyecciones equivalentes esta la proyección Bonne, Sinusoidal y la Goode. 3) PROYECCIONES AFILACTICAS: son aquellas en las que no se conservan ni los ángulos ni las distancias. Un ejemplo de este tipo de proyecciones es la “UPS”, “universal polar stereographics”, que como su nombre indica es la más usada en latitudes polares. Una proyección no puede ser a la vez equivalente y conforme, ni a la inversa. En cartografía se emplean sobre todo las Conformes, ya que interesa la magnitud angular sobre la superficial.

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4.4 CLASIFICACIÓN DE LAS PROYECCIONES CARTOGRAFICAS EN FUNCION DE LA SUPERFICIE DESARROLLABLE 4.4.1 PROYECCIONES CILÍNDRICAS NORMALES Una proyección cilíndrica se concibe, en su caso más simple, como un cilindro que coloca tangente a la Tierra por el Ecuador. Si se proyectan los puntos del Globo sobre el cilindro, y posteriormente desarrollamos éste, obtenemos un plano. Según la colocación del cilindro, podemos tener diversas variantes de la proyección:

FIGURA 4.4

PROYECCIONES CILÍNDRICAS

4.4.1.1 PROYECCIONES CILÍNDRICAS NORMAL El cilindro es tangente o secante en el Ecuador. Los paralelos y meridianos son líneas perpendiculares entre sí. La escala en el Ecuador es real. La mayor ventaja es que se trata de proyecciones de sencilla construcción que, además, pueden adaptarse para ser equidistantes (se conservan las distancias), equiáreas (se conservan las superficies) o conformes (se mantienen los ángulos tras la transformación). Dentro de las proyecciones cilíndricas regulares podemos citar las siguientes:

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A.

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EQUIRECTANGULAR: se trata del más antiguo sistema de proyección, inventado sobre el año 100 a.C. Fue popular durante el Renacimiento, aunque declinó su utilización en el siglo XVIII.

FIGURA 4.5 PROYECCIÓN CILÍNDRICA EQUIRECTANGULAR B. PROYECCIÓN DE MERCATOR: Es una proyección conforme (se conservan los ángulos después de la transformación). Fue ideada en el año 1569 por Gerardus Mercator y se convirtió en la única utilizada para las cartas marítimas durante los siglos XVII y XVIII. Esto último tiene explicación: Mercator dotó a su proyección de la propiedad consistente en que el trazado de líneas de igual rumbo (loxodrómicas) en el plano, fuera una línea recta. Consiguió esto alterando la separación entre paralelos. Las ventajas de su empleo en navegación eran evidentes. Ha sido también profusamente empleada durante el siglo XX. Introduce deformaciones progresivamente crecientes con la latitud, razón por la cual se considera inutilizable a partir de los 80º de latitud Norte o Sur.

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FIGURA 4.5

FIGURA 4.6

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PROYECCIÓN DE MERCATOR

MAPAMUNDI DE MERCATOR, 1587

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C. PROYECCIÓN CILÍNDRICA EQUIÁREA DE LAMBERT: Fue introducida por Lambert en el año 1772. Tiene la propiedad de conservar las áreas del terreno. Los meridianos están regularmente espaciados, mientras que los paralelos se van juntando a medida que aumenta la latitud. Otras proyecciones cilíndricas pueden ser la Proyección cilíndrica estereográfica de Gall o la cilíndrica de Miller

FIGURA 4.7 PROYECCIÓN EQUIÁREA 4.4.1.2 PROYECCIONES CILÍNDRICAS TRANSVERSAS Son aquellas en las que la colocación del cilindro tangente a la Tierra ha sido girada 90º, de manera que en lugar de colocarse tangente al Ecuador, lo hace respecto al meridiano central.

FIGURA 4.8 Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

PROYECCIÓN CILÍNDRICA TRANSVERSAL Página 59

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Citaremos las siguientes: A. PROYECCIÓN TRANSVERSA DE MERCATOR: Fue introducida por Lambert en el año 1772, y ha sufrido diversas modificaciones por Gauss (1822, dando origen a la actual UTM) y Kruger (1912). Esta proyección constituye la base para el sistema UTM (Universal Transverse Mercator). B. PROYECCIÓN DE CASSINI: consiste en una proyección equirectangular con el cilindro colocado transversalmente.Fue inventada por Giovanni Cassini y se utilizó en Francia para mapas topográficos hasta 1803. En 1810 fue modificada por Soldner y se utilizó en Alemania y el Reino Unido. Durante el siglo XX ha dejado de utilizarse. 4.4.1.3 PROYECCIONES CILÍNDRICAS OBLICUAS En ellas la colocación del cilindro ha sido rotada 45º con respecto a la posición original (tangente al Ecuador). Dentro de estas proyecciones citaremos: A. PROYECCIÓN OBLICUA DE MERCATOR: introducida por Charles Peirce en 1894, ha sido utilizada en Asia y América Central (Atlas de Debes). 4.4.1.4 PROYECCIONES PSEUDOCILÍNDRICAS Entre ellas podemos citar la de Mollweide, la de Robinson, las proyecciones de Eckert y la proyección sinusoidal.

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FIGURA 4.9

FIGURA 4.10

PROYECCIÓN DE CASSINI

PROYECCIÓN PSEUDOCILÍNDRICA DE MOLLWEIDE

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FIGURA 4.11

PROYECCIÓN SINUSOIDAL

4.4.2 PROYECCIONES CÓNICAS La proyección se efectúa sobre un cono tangente (o secante) a la Tierra a lo largo de un paralelo que suele estar situado a una latitud media (es una circunferencia de menor diámetro que el Ecuador). El aspecto directo es aquel en el coincide el eje del cono con el eje de rotación terrestre. Los planos meridianos cortarán al cono según sus generatrices, que se convierten en las imágenes de los meridianos en la proyección. Los paralelos son secciones normales del cono, con radio variable en función de la latitud. Tras desarrollar el cono (Mario Ruiz Morales, Manual de Geodesia y Topografía) se obtiene la representación, formada por un conjunto de rectas convergentes (las imágenes de los meridianos) y por una serie de circunferencias concéntricas, con radio dependiente de la latitud. Las proyecciones cónicas no son excesivamente utilizadas debido a que la zona de precisión que abarcan es relativamente pequeña, razón por la que normalmente se coloca el cono secante a lo largo de dos paralelos. Aun así, las distorsiones rápidamente se acentúan. Este tipo de proyecciones son más adecuadas, por tanto, para mapas que representen zonas o países en los que predomine la dimensión horizontal Este-Oeste sobre la dimensión vertical Norte-Sur. Este puede ser el caso de E.E.U.U., que frecuentemente pueden verse representados en este tipo de proyecciones. Dentro de las proyecciones cónicas, mencionaremos las siguientes:

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    

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Proyección Proyección Proyección Proyección Proyección

cónica simple o equidistante (conserva las distancias) cónica conforme de Lambert (conserva los ángulos) cónica equiárea de Albers (Fig. 4.12) cónica equiárea de Lambert policónica

FIGURA 4.12

PROYECCIÓN CÓNICA EQUIÁREA DE ALBERS

4.4.3 PROYECCIONES ACIMUTALES O PLANARES En este caso, se coloca un plano tangente al Globo. Si se una fuente de luz en el interior del Globo sobre la meridianos y paralelos, ésta será proyectada sobre el plano a alguno de los tipos de proyecciones acimutales, en dónde esté situada la fuente de luz.

hace incidir retícula de dando lugar función de

Hablaremos de las siguientes proyecciones planares:  Proyección gnomónica: el haz luminoso está situado en el interior del Globo.  Proyección estereográfica: el haz luminosa está situado en las antípodas del punto considerado, es decir, diametralmente opuesto.

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

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Proyección ortográfica: cuando la fuente luminosa está situada en el infinito y los haces de luz son paralelos entre sí.

4.5 ANAMORFOSIS Como ya decíamos al principio de este capítulo, toda proyección cartográfica, cualquiera que sea la elegida, conllevará una deformación en la superficie representada. Podemos distinguir las siguientes deformaciones: 4.5.1 ANAMORFOSIS LINEAL: Sea L una longitud medida en el terreno y L’ su homóloga en la proyección. El módulo de deformación lineal o anamorfosis lineal será:

4.5.2 ANAMORFOSIS SUPERFICIAL: De igual modo, se designa por anamorfosis superficial la expresión:

4.5.3 ANAMORFOSIS ANGULAR: Un ángulo del terreno (α) tendrá su homólogo en la proyección (α’), de forma que el módulo de deformación angular, o anamorfosis angular será la diferencia de ambos ángulos (α-α’).

4.6 LA PROYECCIÓN UTM (O “CILÍNDRICA TRANSVERSA CONFORME DE GAUSS”) Este sistema de proyección geodésica o cartográfica está hoy muy extendido con carácter universal. Fue llamada UTM (“Universal Transverse Mercator), ya que por ser cilíndrica es parecida a la de Mercator, pero el cilindro se coloca transversalmente, es decir, con el eje sobre el ecuador. La proyección UTM conserva, por lo tanto, los ángulos pero Distorsiona todas las superficies sobre los objetos originales así como las distancias existentes. Se toma como superficie desarrollable un cilindro (es una proyección cilíndrica) que se coloca tangente al elipsoide de referencia, de manera que el eje del cilindro está dentro del plano del ecuador, es decir, que el cilindro es tangente al elipsoide a lo largo de una línea que define un meridiano tomado como origen (véase Figura 4.12).

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Se proyectan los puntos del elipsoide sobre el cilindro según una determinada relación matemática. Luego se desarrolla el cilindro para obtener el plano, de forma que el eje Y queda determinado por la línea del meridiano de origen (que es la única línea automecoica1 de la proyección) y el eje X es la generatriz tangente al ecuador del cilindro.

FIGURA 4.13

PROYECCIÓN UTM. CILINDRO TANGENTE A LA TIERRA

Línea automecoica: línea en la que se conservan las distancias sin sufrir deformación (anamorfosis lineal) en una determinada proyección cartográfica. 1

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Las coordenadas UTM de un punto sobre el plano se determinarán, mediante relaciones matemáticas, a partir de las coordenadas geográficas determinadas sobre el elipsoide. Por tanto las coordenadas UTM son coordenadas cartesianas correspondientes al plano que resulta al hacer la transformación de los puntos del elipsoide sobre una superficie desarrollable elegida que es el cilindro. Puede establecerse así una correspondencia biunívoca entre las coordenadas geográficas (longitud y latitud) referidas al elipsoide y las coordenadas UTM (x,y) (cartesianas) referidas al plano transformado. Para la elaboración del sistema de proyección UTM se han adoptado las siguientes premisas 

Elección de un elipsoide de referencia: En 1930 la Asociación Internacional de Geodesia recomendó la utilización del Elipsoide Internacional de Hayford, aunque el sistema UTM es válido para cualquier otroelipsoide sin más que cambiar sus parámetros (semieje mayor y aplanamiento).

 Elección de un punto astronómico fundamental o “datum”. En Bolivia se usa el datum PSAD56: Preliminay South American Datum 1956 para la elaboración de mapas. 

Elección de un sistema de representación plano conforme (que conserva los ángulos, como el de Gauss). Este sistema presenta el inconveniente de que no puede aplicarse a grandes extensiones, pues se alcanzan unas deformaciones intolerables. Para subsanar el problema, se subdivide el Globo en 60 husos iguales de 6º de longitud (los cuales se muestran en la Tabla 4.1) paralelos a los meridianos. Este sistema, por la misma razón, tampoco es aplicable a altas latitudes, por lo cual se limitan éstas a 80º de latitud Norte y Sur. De aquí hacia arriba (hacia los polos) se encarga el sistema UPS (Universal Polar Stereographic)

Con este sistema Bolivia queda incluida dentro de los husos 19,20 y 21; desde Buen Fin en el Departamento de Santa Cruz, hasta el Cerro Mauripalca en el departamento de La Paz. 4.6.1 HUSOS Se define un huso como las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos comprendidos entre dos meridianos. Cada huso puede

contener 3º, 6º u 8º. El Sistema UTM emplea Husos de 6º de Longitud.

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La proyección UTM genera husos comprendidos entre meridianos de 6º de Longitud, generándose en cada huso un meridiano central equidistante 3º de longitud de los extremos de cada huso. Los husos se generan a partir del meridiano de Greenwich, 0º a 6º E y W, 6º a 12º E y W, 12 a 18º E y W, .... Esta red creada, (“grid”), se forma huso a huso, mediante el empleo de un cilindro distinto para generar cada uno de los husos, siendo cada uno de los cilindros empleados tangente al meridiano central de cada huso, cuya longitud es de 3º, o múltiplo de esta cantidad con 6º de separación.

TABLA 4.1 DETALLE DE LOS HUSOS UTM

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Esta situación del cilindro de proyección, tangente al meridiano central del huso proyectado, hace que únicamente una línea es considerada como automecoica, la del meridiano central. Sobre esta línea, el modulo de deformación lineal K es la unidad (1), creciendo linealmente conforme se aumenta la distancia a este meridiano central. Esta relación entre las distancias reales y las proyectadas presenta un mínimo de 1 y un máximo de 1.01003, (distorsión lineal desde 0 a 1.003%):

FIGURA 4.14 HUSOS

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Para evitar que la distorsión de las magnitudes lineales aumente conforme se aumenta la distancia al meridiano central se aplica a la un factor Kc a las distancias Kc=0.9996, de modo que la posición del cilindro de proyección sea secante al elipsoide, creándose dos líneas en las que el modulo de anamorfosis lineal sea la unidad.

FIGURA 4.15

DISTORSIÓN DE LAS MAGNITUDES LINEALES

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La transformación geométrica creada con la proyección hace que únicamente dos líneas se consideren “rectas”, (en la misma dirección de los meridianos y paralelos); el meridiano central del huso y el paralelo 0º (ecuador), en los que ambos coinciden con el meridiano geográfico y el paralelo principal, (ecuador). El meridiano central, por lo tanto, se encuentra orientado en la dirección del Norte Geográfico, y el paralelo 0º se encuentra orientado en rumbo 90º - 180º, dirección Este (E) y Oeste (W). El factor de escala aumenta en mayor magnitud conforme aumenta la distancia al meridiano central.

FIGURA 4.16

DISTORSIÓN LINEAL

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4.6.2 LÍNEAS LOXODRÓMICAS Y ORTODRÓMICAS 4.6.2.1 LÍNEA ORTODRÓMICA Una línea ortodrómica (también llamada línea geodésica) tal como se señalo en el numeral 3.12, es la distancia más corta entre dos puntos sobre la superficie del elipsoide, la forma más simple de trazarla es aquella que se traza siguiendo el arco de un círculo máximo. Algunas tipos de proyecciones, tales como la gnomónica, convierten las ortodrómicas en líneas rectas. Esta es una propiedad deseable para la navegación, siempre que las demás distorsiones generadas no sean muy grandes. Una característica de la línea ortodrómica es que presenta un ángulo diferente con cada meridiano,(excepto cuando dicha ortodrómica coincide con un meridiano o con el ecuador). Esta característica representó un grave inconveniente para la navegación, recién solucionado hacia los últimos años del Siglo XX con el sistema GPS, porque antes del mismo, era difícil trazar una ruta de navegación que siguiera la ortodrómica ya que obligaría a continuos cambios de rumbo. Cuando las distancias eran grandes y seguir el camino más corto suponía un ahorro significativo, se realizaba una aproximación marcando una serie de puntos intermedios, en los cuales se cambiaba de rumbo, y de ésta manera se lograba una aproximación a las correspondientes loxodrómicas.

FIGURA 4.17 DISTANCIA ORTODRÓMICA ENTRE DOS PUNTOS

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La ortodromia posee tres puntos relevantes que son: Punto de salida (A), Punto de llegada (B), Vértice: el punto de mayor latitud, que puede estar dentro o fuera del arco considerado. 4.6.2.2 LÍNEA LOXODRÓMICA Se denomina loxodrómica o loxodromia, a la línea que une dos puntos cualesquiera de la superficie del elipsoide cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo. La loxodrómica, por tanto, es fácil de seguir manteniendo el mismo rumbo marcado por la brújula. Su representación en el mapa dependerá del tipo de proyección del mismo, por ejemplo en la de Mercator es una recta. Las diferencias entre loxódromas y ortódromas son pequeñas cerca del ecuador y grandes en los polos, dado que la primera traza una espiral infinita sin terminar de llegar al polo, como se muestra en la Figura 4.18.

FIGURA 4.18 LÍNEA LOXODRÓMICA 4.6.2.3 LINEAS LOXODRÓMICAS Y ORTODRÓMICAS SOBRE EL TERRÁQUEO

GLOBO

Curiosamente un barco que navegue siguiendo este rumbo constante, fácil de conservar en la navegación marina, describirá un recta llamada Loxodrómica, la cual no será el camino más cortó entre los dos puntos a recorrer. A la línea de menor recorrido entre los dos puntos se la denomina Ortodrómica. Ver figura 4.19 y 4.20

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Esta diferencia entre el recorrido Loxodrómico y el recorrido Ortodrómico es más acusado en zonas próximas a los polos, por encima de los 80º de Latitud, por lo que en estas zonas se recurre a otro tipo de proyecciones para su empleo en las cartas marinas.

FIGURA 4.19 LINEAS LOXODRÓMICAS Y ORTODRÓMICAS SOBRE EL GLOBO TERRÁQUEO

FIGURA 4.20 PROYECCIÓN DE MERCATOR VS PROYECCIÓN GNOMÓNICA

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4.6.3 VENTAJAS DEL SISTEMA UTM El sistema de Proyección UTM tiene las siguientes ventajas frente a otros sistemas de proyección:    

Conserva los ángulos No distorsiona las superficies en grandes magnitudes, (por debajo delos 80ª de Latitud). Es un sistema que designa un punto o zona de manera concreta y fácil de localizar. Es un sistema empleado en todo el mundo, empleo universal, fundamentalmente por su uso militar.

El sistema UTM es un sistema comúnmente utilizado entre los 0º y los 84º de latitud norte y los 80º de latitud sur, por lo que es un sistema estandarizado de empleo en Bolivia. No se emplea a partir de los 80º de latitud ya que produce una mayor distorsión cuanto mayor es la distancia al ecuador, como ocurre en los polos, por ello no se emplea, tanto en el hemisferio Norte como en el hemisferio Sur por estas latitudes. Para la cartografía de zonas existentes en los polos se emplea normalmente el sistema de coordenadas UPS (Universal Polar Stereographic).

FIGURA 4.21 UNIVERSAL POLAR STEREOGRAPHIC UPS

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4.6.4 ORIGEN DE COORDENADAS UTM El Origen del sistema de coordenadas UTM es la intersección del meridiano central del huso con el ecuador, en el hemisferio norte, toma un valor en X (Este) = 500.000 metros e Y (Norte) = 0 metros. De esta manera se evita que el sistema genere, en el hemisferio Norte, coordenadas negativas en el sistema. En una hoja del mapa que contiene varios husos, habitualmente se representa con el sistema de coordenadas de ambos husos, por lo tanto con los dos orígenes distintos

FIGURA 4.22 ORIGEN DE COORDENADAS SISTEMA UTM HEMISFERIO NORTE Sobre el hemisferio sur el origen es el mismo pero con distintas coordenadas de origen: Se toma como coordenada X (Este) = 500.000 metros, la misma que en el hemisferio norte y de coordenada Norte Y (Norte) = 10.000.000 metros, y de la misma manera, no puedenexistir coordenadas negativas en las

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coordenadas

correspondientes al hemisferio sur, ya que la mínima coordenada, situada en la latitud 80º S, sería de 671.621 metros.

FIGURA 4.23 ORIGEN DE COORDENADAS SISTEMA UTM HEMISFERIO SUR Todas las coordenadas Norte UTM, estén situadas en el hemisferio sur, o en el hemisferio norte tienen un valor inferior a 10.000.000, empleándose para su designación menos de 8 dígitos. Ejemplo: localizar un punto, si se tienen los siguientes datos de coordenadas en el sistema UTM. X (Norte) = 462.130 Y (Este) = 4.634.140 Únicamente con estos datos el punto no queda definido ya que carece de los siguientes datos:   

Los datos no tienen Unidades: ej. Metro, Kilometro, etc. Los datos no localizan el hemisferio donde se encuentra Los datos no localizan el Huso UTM de proyección

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

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Los datos no localizan el Datum (Elipsoide y punto fundamental de referencia)

Para que el punto quede perfectamente localizado se debe de detallar como sigue: X (Este) = 462.130 m Y (Norte) = 4.634.140 m Huso = 30 Zona = N Datum: European 50 (ED50). Para la explicación del sistema se toma como ejemplo el huso 30, en su zona Norte, para todos los husos el sistema cubre desde los 80º S hasta los 84º N de latitud. 4.6.5 COORDENADAS EN EL HUSO 30 NORTE Las coordenadas del huso 30 norte en su intersección con los meridianos y paralelos principales es la siguiente:

FIGURA 4.23 COORDENADAS DEL HUSO 30 NORTE

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Obsérvese que la coordenada Norte Y, únicamente coincide en todos los puntos situados sobre el paralelo 0º (ecuador), 0ºN 0ºW, 0ºN 3ºW y 0ºN 6ºW. En todos estos puntos, situados en el ecuador toma el valor de 0.000.000 m. Recuérdese que únicamente esta línea está orientada según el paralelo del ecuador. A su vez únicamente coincide la coordenada Este X, sobre el meridiano (3ºw) que es el meridiano central del huso 30 norte, en el que toma el valor de 500.000 m. Recuérdese que únicamente esta línea es coincidente con un meridiano y se encuentra orientada al norte geográfico. 4.6.6 DISTANCIAS ENTRE PARALELOS Y MERIDIANOS Con el origen de coordenadas del sistema UTM y a causa de la proyección efectuada, hace que disminuya las distancias entre meridianos y aumente las distancias entre paralelos según se avanza en dirección Norte.

FIGURA 4.24 DISTANCIAS ENTRE MERIDIANOS Y PARALELOS Esta diferencia es mayor según aumenta la latitud y nos acercamos a los polos, con un máximo para el sistema en el paralelo 84ºN y en el 80º S en el Hemisferio sur.

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4.6.7 DESARROLLO DE LA TODA LA

PROYECCIÓN UTM EN SUPERFICIE TERRESTRE

El empleo de un cilindro de proyección para cada huso, con una posición distinta del cilindro de proyección, implica que cada zona geográfica comprendida en cada huso quede bajo un sistema coordenado distinto.

FIGURA 4.25 DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN UTM 4.6.8 LA CUADRÍCULA DEFINIDA EN LA PROYECCIÓN U.T.M. Ya se ha visto que en la proyección UTM se considera la superficie de la Tierra definida por husos de 6º en longitud (sentido horizontal), que se numeran del 1 al 60, partiendo del antimeridiano de Greenwich y contados en sentido Oeste-Este. A su vez, estos husos se dividen en “zonas” de 8º de amplitud en latitud (sentido vertical), desde los 84º de latitud Norte hasta los 80º de latitud Sur, que es la amplitud total en longitudes para la que se consideran tolerables las deformaciones o anamorfosis inherentes a la proyección UTM. Estas zonas se identifican por letras mayúsculas desde la C hasta M en el Hemisferio Sur y desde N hasta X en el hemisferio norte, excluidas la I, LL, Ñ y O (ver Fig. 4.26). De acuerdo a esta nomenclaturade la protección UTM, Bolivia se encuentra entre los husos 19,20 y 21, zonas L y K y La Paz, quedaría incluida dentro de la zona 19K.

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FIGURA 4.26 CUADRICULA DE LA PROYECCIÓN UTM 4.6.9 DESIGNACIÓN DE COORDENADAS UTM La designación de coordenadas UTM se puede realizar de distintas maneras: a) Designación de la coordenada indicando su ordenada y abscisa: X= 386.143 m Y= 4.560.137 m Huso 30 zona T Datum: ED50 b) Designación indicando su coordenada este y oeste E (Este) = 386.143 m N (norte) = 4.560.137 m Huso 30 zona T Datum: ED50 c) Designación de la cuadricula. El formato de designación de la cuadricula depende de la resolución con que se encuentran las coordenadas UTM. Para una resolución de 1 metro es el siguiente:

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Para nuestro ejemplo la designación de la cuadricula seria: 30T 3861434560137 Datum: ED50 Nótese que en la designación de la coordenada tiene (n) dígitos en la coordenada Norte “Y”, y (n-1) dígitos en la coordenada Este “X”.

4.7 ESQUEMA DEL TRABAJO CARTOGRÁFICO La consecución de un mapa o plano que represente con fidelidad la porción de la superficie de la Tierra que se va a estudiar no es una tarea sencilla y pasa por una serie de fases claramente diferenciadas que son:

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

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Toma de medidas en la superficie terrestre.

 Corrección de las medidas anteriores y traslado de las mismas al Geoide. 

Traslación de las medidas del Geoide al Elipsoide de revolución.



Definición de la correspondencia entre las medidas del Elipsoide y sus homólogas en el plano.



Confección del plano

No debe olvidarse que las medidas (angulares y de distancias), se realizan sobre la superficie terrestre, y para su utilización correcta hay que pasarlas al Elipsoide de referencia y luego de éste al plano mediante la proyección cartográfica elegida (en nuestro caso la U.T.M.). Este proceso se divide en dos fases: Reducción: con la reducción se pasan las medidas tomadas en el campo al elipsoide de revolución tomado como Elipsoide de referencia, sobre el que se ha calculado la Red Geodésica Nacional. Proyección: se establece la correspondencia entre las magnitudes del elipsoide y sus homólogas en el plano. En este caso particular se utilizará la correspondencia que establece la proyección U.T.M. Todo el trabajo ha de desarrollarse teniendo características de precisión de los aparatos precisiones requeridas y la tolerancia. Tendría poco correcciones de milímetros en medidas que se aparatos que sólo Permiten precisiones de centímetros.

4.8 REPRESENTACIONES DEL GLOBOS, PLANOS.

en cuenta las empleados, las sentido efectuar han tomado con

TERRENO. CARTAS, MAPAS,

4.8.1 GLOBOS Representación sobre una esfera todos los mares y continentes, además del relieve. Sería el sistema más perfecto si no fuese por la dificultad de su manejo, que hace necesario disponer de representaciones planas, sobre un papel.

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4.8.2 MAPA Cualquier representación plana de una porción de la superficie terrestre que, por su extensión (debido a la curvatura de la Tierra), requiera el uso de sistemas propios de la Cartografía 4.8.3 CARTA Es un mapa marino, en contraposición con los mapas terrestres. 4.8.4 PLANO Representación “plana” de una porción de la superficie terrestre que, por ser de pequeñas dimensiones, no requiere la utilización de sistemas cartográficos, pues la curvatura terrestre puede ser despreciada.

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CAPÍTULO 5 5 FUNDAMENTOS DE GEODESIA ESPACIAL SISTEMAS GLOBALES DE NAVEGACIÓN SATELITAL 5.1 INTRODUCCIÓN Han ya 50 años desde que en 1957, la URSS puso en órbita el primer satélite artificial de la Tierra denominado Sputnik-1 (ver figura 4.1), que marcó un hito en la tecnología y el comienzo de la era de los satélites artificiales y su posterior uso en aplicaciones para el interés de la humanidad, desde entonces la tecnología ha avanzado de manera espectacular, y uno de los campos en los cuales ha manifestado especialmente dicho avance, es en las aplicaciones que conciernen a las Ciencias de la Tierra, y dentro de ellas, de manera notable en el estudio de su forma y dimensiones (Geodesia Esferoidal), así como, en el estudio de los fenómenos físicos que afectan y condicionan dicha forma y dimensiones (Geodesia Física). De esta manera se dio inicio a lo denominado internacionalmente como Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) donde una constelación de satélites que transmiten rangos de señales, son utilizados para el posicionamiento y localización en cualquier parte del globo terrestre, ya sea en tierra, mar o aire. Estos sistemas permiten determinar las coordenadas geográficas de un punto dado como resultado de la recepción de señales provenientes de constelaciones de satélites artificiales para fines de navegación, transporte, geodésicos, topográficos, hidrográficos, agrícolas y otras actividades afines.

FIGURA 4.1 SPUTNIK I, PUESTO EN ÓRBITA EN 1957 POR LA URSS Ing. Eduardo Jesús Garay Cuentas

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Este sistema de navegación basado en satélites artificiales puede proporcionar a los usuarios información sobre la posición y tiempo (cuatro dimensiones) con una gran exactitud, en cualquier parte del mundo, las 24 horas del día y en todas las condiciones climatológicas.

5.2 SISTEMAS DE POSICIONAMIENTO POR SATÉLITE Dentro de los grupos de sistemas que actualmente conforman el sistema GNSS, destacan la constelación NAVSTAR (Navegación por Satélite en Tiempo y Distancia), conocido internacionalmente por la sigla GPS (Global Positioning System – Sistema de Posicionamiento Global) y la constelación GLONASS (Global Navigation Satellite System Sistema Global de Navegación por Satélite). Ambas constelaciones fueron creadas por los Departamentos de Defensa de los Estados Unidos y Rusia, respectivamente, y su principal objetivo es poder posicionar un objeto (receptor GPS) en la superficie de la Tierra a través de las señales emitidas en forma de ondas de radio por los satélites de las mencionadas constelaciones, que dicho objeto (receptor GPS) procesa en la superficie, determinando así su posición con una precisión en función del tipo de información recibida, tiempo de recepción y condiciones de la emisión. El próximo sistema a integrarse a GNSS es el denominado GALILEO, que es una iniciativa de la Unión Europea y la Agencia Espacial Europea que acordaron desarrollar un sistema de alcance mundial propio, para evitar la dependencia del sistemas GPS y GLONASS que brindará un servicio preciso de geoposición bajo control civil, comprendiendo una constelación de 30 satélites divididos en tres órbitas circulares, a una altitud de aproximada de 24.000 km, que estarán apoyados por una red mundial de estaciones terrestres. El primer satélite fue lanzado el 28 de diciembre de 2005 y se espera que el sistema esté operativo a sus primeras aplicaciones comerciales partir del 2014 (cuatro años más tarde de lo inicialmente previstos), se prevé que el sistema esté completamente operativo a partir del 2018. A su vez, la República Popular China está implementando su propio sistema de navegación, el denominado Beidou, que prevén que cuente con entre 12 y 14 satélites entre 2011 y 2015. Para 2020, ya plenamente operativo deberá contar con 30 satélites. De momento (abril 2011), ya tienen 8 en órbita.

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5.2.1 SISTEMA GPS O NAVSTAR El SPG o GPS (Global Positioning System: sistema de posicionamiento global) o NAVSTAR-GPS es un sistema global de navegación por satélite (GNSS) que permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto, una persona o un vehículo con una precisión hasta de centímetros (si se utiliza GPS diferencial), aunque lo habitual son unos pocos metros de precisión (de 5 a 3 m). El sistema fue desarrollado, instalado y actualmente operado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. El GPS funciona mediante una red de 24 satélites en órbita sobre el planeta tierra, a 20.200 km, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. Cuando se desea determinar la posición, el receptor que se utiliza para ello localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno de ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo que tardan en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante "triangulación" (método de trilateración inversa), la cual se basa en determinar la distancia de cada satélite respecto al punto de medición. Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa respecto a los tres satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenada real del punto de medición. También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes atómicos que llevan a bordo cada uno de los satélites.

FIGURA 4.2 CONSTELACIÓN DE SATÉLITES GPS O NAVSTAR

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5.2.2 SISTEMA GLONASS GLONASS

(siglas rusas: ГЛОНАСС; ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система; Global'naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema) es un Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) desarrollado por la Unión Soviética siendo hoy administr*ado por la Federación Rusa y que representa la contrapartida al GPS estadounidense y al futuro Galileo europeo. Consta de una constelación de 31 satélites (24 en activo, 3 satélites de repuesto, 2 en mantenimiento, uno en servicio y uno en pruebas) situados en tres planos orbitales con 8 satélites cada uno y siguiendo una órbita inclinada de 64,8° con un radio de 25510 kilómetros. La constelación de GLONASS se mueve en órbita alrededor de la tierra con una altitud de 19 100 kilómetros (algo más bajo que el GPS) y tarda aproximadamente 11 horas y 15 minutos en completar una órbita. El sistema está a cargo del Ministerio de Defensa de la Federación Rusa y los satélites se han lanzado desde Baikonur, en Kazajistán. La llegada de GLONASS subraya la necesidad de que en el futuro GNSS adopte un sistema de referencia común. En efecto, como se puede observar en la tabla GPS y GLONASS usan diferentes referencias tanto de tiempo como de espacio. Esto no imposibilita el uso compartido de los 48 satélites que componen las dos constelaciones pero lo complica. GPS ya sigue las recomendaciones internacionales para las tramas de referencia con 10 cm y referencia de tiempo de 10 a 50 ns y la adecuación con el estándar mejora día a día. Éste no es el caso de GLONASS pero este año dos importantes comités internacionales (el Comité Internationale des Poids et Mesures y el Committee for the Definition of the Second) alcanzaron un acuerdo esperanzador que especifica las bases para la normalización de GPS, GLONASS y los GNSS´s venideros.

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CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DE LOS SISTEMAS GPS Y GLONASS

5.3 PROPAGACIÓN DE LAS EMISIONES RADIOELÉCTRICAS Cualquier onda electromagnética que provenga del espacio, debe atravesar tres zonas características antes de llegar a cualquier receptor en la superficie terrestre: el vacío, la ionosfera y la troposfera (ver figura 4.3) El retardo se define como el incremento en el tiempo que tarda una señal electromagnética en desplazarse desde los satélites a los receptores por un medio que no sea el vacío. Se debe a dos factores: la velocidad de propagación es menor y la trayectoria aumenta su longitud al curvarse por refracción. En el vacío el retardo es inexistente, siendo el tiempo de propagación proporcional a la distancia, en función de la velocidad de la luz, sea cual sea la frecuencia de onda considerada. En la ionosfera, entre 100 y 1000 Km de altitud, las radiaciones solares y otras radiaciones ionizan una porción de las moléculas gaseosas liberando

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electrones. El número de electrones liberados dependerá de la radiación solar, de la actividad de las manchas solares y otros fenómenos, como los geomagnéticos. El retardo ionosférico varía para cada punto concreto de recepción, según su latitud, longitud y momento de la observación.

FIGURA 4.3 CAPAS DE LA ATMOSFERA QUE PRODUCEN RETARDO La última zona que produce retardo es la troposfera (compuesta por la troposfera, estratosfera y mesosfera), que aunque llega hasta los 80 km, sólo en los 40 km más bajos se producen retardos significativos. Hay dos factores que producen retardos troposféricos: hasta poco más de 10 km, la humedad, y hasta los 40 km, la temperatura del aire seco, cuyo efecto es considerablemente mayor, hasta el 90% del total.

5.4 CÓMO FUNCIONA EL SISTEMA GPS? El sistema de posicionamiento global por satélite o G.P.S., se basa en la medición de distancias a partir de señales de radio transmitidas por un grupo de satélites artificiales cuya órbita se conoce con precisión y captadas y decodificadas por receptores ubicados en los puntos cuya posición se desea determinar.

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Si medimos las distancias de al menos tres diferentes satélites a un punto sobre la tierra, es posible determinar la posición de dicho punto por trilateración2. El sistema GPS funciona siguiendo 5 pasos básicos: 1. 2. 3. 4. 5.

Trilateración Satelital Medición de distancia desde los satélites Medición precisa del tiempo Conocimiento preciso de la órbita del satélite Corrección de errores en la propagación de la onda

5.4.1 TRILATERACIÓN SATELITAL Como ya se mencionó, los satélites del sistema de posicionamiento

global GPS se encuentran girando alrededor de la Tierra en órbitas predefinidas a una altura aproximada de 20.200 kilómetros, siendo posible conocer con exactitud la ubicación de un satélite en un instante de tiempo dado, convirtiéndose por lo tanto los satélites en puntos de referencia en el espacio. Supongamos que un receptor en la Tierra capta la señal de un primer satélite determinando la distancia entre ambos. Esto solamente nos indica que el receptor puede estar ubicado en un punto cualquiera dentro de la superficie de una esfera de radio R1 tal y como se muestra en la figura 4.4.

FIGURA 4.4 DISTANCIA AL PRIMER SATÉLITE La trilateración es un procedimiento similar a la triangulación pero basado en la medida de los lados de un triángulo 2

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Si medimos la distancia de un segundo satélite al mismo receptor se generará una superficie esférica de radio R2, que al intersecarse con la primera esfera se formará un círculo en cuyo perímetro pudiera estar ubicado el punto a medir (figura 4.5). Si agregamos una tercera medición, la intersección de la nueva esfera con las dos anteriores se reduce a dos puntos sobre el perímetro del círculo descrito (figura 4.6). Uno de estos dos puntos puede ser descartado por ser una respuesta incorrecta, bien sea por estar fuera de espacio o por moverse a una velocidad muy elevada.

FIGURA 4.5 DISTANCIA A DOS SATÉLITES

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FIGURA 4.6 DISTANCIA A TRES SATÉLITES Matemáticamente es necesario determinar una cuarta medición a un diferente satélite a fin de poder calcular las cuatro incógnitas x, y, z y tiempo (figura 4.7).

FIGURA 4.7 DISTANCIA A CUATRO SATÉLITES

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5.4.2 MEDICIÓN DE DISTANCIA DESDE LOS SATÉLITES La distancia de un satélite a un receptor se calcula midiendo el tiempo de viaje de la señal de radio desde el satélite al receptor. Conociendo la velocidad de la señal de radio, la distancia se determina por medio de la ecuación de movimiento con velocidad uniforme. D = v.t Dónde: D = distancia en kilómetros desde el satélite al punto considerado v = velocidad de la señal de radio, aproximadamente la velocidad de la luz (300.000 km/s) t = tiempo de viaje de la señal en segundos Para poder medir el tiempo de viaje de la señal, es necesario conocer el instante en que la señal parte del satélite. Esto se logra generando códigos pseudoaleatorios tanto en el satélite como en el receptor y sincronizando ambas señales de manera que sean generadas al mismo tiempo, luego, comparando las dos señales se mide el desfase en tiempo (Δt) en el que la señal del satélite y la del receptor generan el mismo código. El Δt representa el tiempo de viaje de la señal. Este proceso se esquematiza gráficamente en la figura 4.8.

 

Se sincronizan el satélite y el receptor de manera que generen el mismo código al mismo tiempo Se mide el desfase del tiempo de repetición del mismo patrón

FIGURA 4.8 ESQUEMA DE MEDICIÓN DEL TIEMPO DE VIAJE DE LA SEÑAL. 5.4.3 PRECISIÓN EN LA MEDIDA DEL TIEMPO La medición del tiempo de viaje es una actividad difícil de realizar. Debido a la gran velocidad de las señales de radio y a las distancias, relativamente cortas, a la cual se encuentran los satélites de la Tierra, los tiempos de viaje son extremadamente cortos. El tiempo promedio que una señal tarda en

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viajar de un satélite orbitando a 20.200 kilómetros a la Tierra es de 0,067 segundos. Este hecho hace necesario la utilización de relojes muy precisos. Los satélites portan relojes atómicos con precisiones de un nanosegundo, pero colocar este tipo de relojes en los receptores sería muy costoso. Para solucionar este problema los receptores corrigen los errores en la medición del tiempo mediante una medición a un cuarto satélite. 5.4.4 POSICIONAMIENTO DEL SATÉLITE Como se ha mencionado previamente, existen 24 satélites operacionales en el sistema NAVSTAR (Navigation Satellite Timing and Ranging) orbitando la Tierra cada 12 horas a una altura de 20.200 kilómetros. Existen seis diferentes órbitas inclinadas aproximadamente 55º con respecto al Ecuador. Alrededor de cada uno de estos planos giran cuatro satélites que son monitoreados constantemente por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. En Tierra existen cinco estaciones de seguimiento y control: tres estaciones para la alimentación de datos y una estación de control maestro. La estación de control maestro calcula, con los datos de las estaciones de seguimiento, la posición de los satélites en las órbitas (efemérides), los coeficientes para las correcciones de los tiempos y transmiten esta información a los satélites. 5.4.5 CORRECCIÓN DE ERRORES Los errores que afectan las mediciones con G.P.S. se pueden agrupar en tres tipos diferentes: A. Errores propios del satélite B. Errores originados por el medio de propagación C. Errores en la recepción A. ERRORES PROPIOS DEL SATÉLITE ERRORES ORBITALES: o de efemérides, que afectan la determinación de la posición del satélite en un instante determinado con respecto a un sistema de referencia dado. Estos errores se originan debido a que no se conocen con la exactitud necesaria las órbitas de los satélites. ERRORES DEL RELOJ: Aunque sumamente precisos, los relojes atómicos pueden presentar variaciones debido a la deriva propia del instrumento y a la acción de los efectos relativísticos que originan un

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diferencial del tiempo entre el sistema del satélite y del sistema del G.P.S. Este diferencial de tiempo no es constante para todos los satélites, sin embargo, estos errores, de muy poca magnitud, son ajustados por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. ERRORES DE CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA B. ERRORES ORIGINADOS POR EL MEDIO DE PROPAGACIÓN Como se mencionó anteriormente, los cálculos en el posicionamiento por satélite asumen que la señal viaja a una velocidad constante igual a la de la luz. Sin embargo, la velocidad de la luz se mantiene constante solamente en el vacío. Cuando la señal penetra la ionosfera y la troposfera, debido a los cambios en densidades de las diferentes capas, se producen las refracciones ionosféricas y troposfericas, reduciendo la velocidad de la señal. Actualmente los receptores de G.P.S. toman en cuenta estas demoras haciendo las correcciones pertinentes. EL ERROR POR RUTA MÚLTIPLE (MULTIPATH): se origina debido a la posibilidad de que una señal reflejada por objetos ubicados en la superficie de la Tierra lleguen al receptor por dos o más trayectorias diferentes (ver figura 4.9). Para minimizar los efectos del multipath se han desarrollado técnicas avanzadas de procesamiento de señales así como antenas para filtrar las señales que llegan de diferentes direcciones.

FIGURA 4.8 ERROR DE RUTAS MÚLTIPLES O MULTIPATH

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C. ERRORES EN LA RECEPCIÓN Los errores en la recepción son dependientes del modo de medición y del tipo de receptor, en el presente capítulo haremos mención breve de ellos. Los errores en la recepción son: el ruido, centro de fase de la antena, errores del reloj oscilador y el error de disponibilidad selectiva (S/A), el cual es una degradación de la señal del satélite causada en forma intencional por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. El error de disponibilidad selectiva se corrige mediante la técnica de la corrección diferencial, en la cual se usa un receptor en una estación base cuya posición sea conocida con precisión y un receptor en el punto que se desea ubicar, recolectando datos simultáneamente (ver figura 10.8). Con la información obtenida en la estación base se calculan los diferenciales o correcciones que deben aplicarse a las mediciones del receptor en la estación del punto a ubicar.

FIGURA 4.9

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CORRECCIÓN DIFERENCIAL

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5.5 COMPONENTES DEL SISTEMA G.P.S. Un sistema G.P.S. está compuesto por el segmento espacial conocido como la constelación NAVSTAR conformado actualmente por 24 satélites (21 regulares más 3 de respaldo), el segmento de control conformado por estaciones de control master y de alimentación y el segmento usuario constituido por los receptores, recolectores de datos y programas de aplicación o software (figura 4.10).

FIGURA 4.10

COMPONENTES DEL SISTEMA G.P.S

5.5.1 EL SEGMENTO USUARIO. Diferentes fabricantes producen una gran variedad de equipos y productos para los usuarios de G.P.S. Debido al permanente desarrollo tecnológico, estos equipos son constantemente mejorados en calidad y precisión haciendo cada vez más común su aplicación en diferentes disciplinas.

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FIGURA 4.11 RECEPTOR MANUAL GPS NAVEGADOR El receptor, como su nombre lo indica es el instrumento que recibe y decodifica la señal del satélite calculando las coordenadas del punto deseado. Los receptores varían en precisión, tamaño, peso, capacidad de almacenamiento de datos y número de satélites que utilizan para calcular posición. En la actualidad los receptores G.P.S. están diseñados con la tecnología de canales múltiples paralelos conteniendoentre 5 y 12 circuitos receptores sintonizados cada uno ellos a la señal de un satélite en particular. Figura 10.10 Receptor manual Los componentes básicos de un receptor G.P.S. son: 1. Antena con preamplificador para recibir la señal. 2. Sección de radio frecuencia o canal. 3. Microprocesador para la reducción, almacenamiento y procesamiento de datos. 4. Oscilador de precisión para la generación de los códigos pseudoaleatorios utilizados en la medición del tiempo de viaje de la señal 5. Fuente de energía eléctrica

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6. Interfases del usuario constituidas por el panel de visualización y control o pantalla, 7. teclado de comandos y manejo de datos 8. Dispositivo de almacenamiento de datos o memoria almacenamiento

de

5.5.2 EL SEGMENTO ESPACIAL Cada uno de los satélites de la constelación NAVSTAR transmite dos señales de radio, L1 con una frecuencia de 1.575,43 MHz y L2 1.227,6 MHz. La señal L1 se modula con dos códigos de ruido pseudoaleatorios (Pseudo Random Noise, PRN), denominados Servicio de Posicionamiento Preciso (PPS) o código P o protegido, el cual puede ser encriptado para uso militar y el código de adquisición grueso (C/A Coarse/Adquisition) conocido como Servicio Estándar de Posicionamiento (SPS). La señal L2 se modula solamente con el código P. La mayoría de los receptores de uso civil usanel código C/A para obtener la información del sistema G.P.S. Además de los códigos, los satélites transmiten a los receptores información en un paquete de información repetitivo de cinco diferentes bloques con duración de 30 segundos.   

Bloque 1: Contiene los parámetros de corrección de tiempo y refracción ionosférica. Bloques 2 y 3: Contienen información orbital y precisa para el cálculo de efemérides Bloques 4 y 5: Con información orbital aproximada de todos los satélites del sistema en operación, tiempo universal coordinado, información ionosférica e información especial.

5.5.3 EL SEGMENTO DE CONTROL El segmento de control consiste de una estación de control maestro, 5 estaciones de observación y 4 antenas de tierra distribuidas entre 5 puntos muy cercanos al ecuador terrestre. El segmento de Control rastrea los satélites GPS, actualiza su posición orbital y calibra y sincroniza sus relojes. Otra función importante consiste en determinar la órbita de cada satélite y predecir su trayectoria para las siguientes 24 horas. Esta información es cargada a cada satélite y posteriormente transmitida desde allí. Esto permite al receptor GPS conocer la ubicación de cada satélite.

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Las señales de los satélites son leídas desde las estaciones: Ascensión, Diego García y Kwajalein. Estas mediciones son entonces enviadas a la Estación de Control Maestro en Colorado Springs, donde son procesadas para determinar cualquier error en cada satélite. La información es enviada posteriormente a las cuatro estaciones de observación equipadas con antenas de tierra y de allí cargadas a los satélites.

5.6 PRECISIONES CON G.P.S. La precisión obtenida con equipos G.P.S. puede variar en un rango entre milímetros y metros dependiendo de diversos factores. Es importante mencionar que la precisión obtenida en la determinación de las coordenadas horizontales (Norte y Este) es de dos a cinco veces mayor que la determinación en la coordenada vertical o cota. En general la exactitud obtenida en mediciones con G.P.S. dependen de los siguientes factores:    

Equipo receptor Planificación y procedimiento de recolección de datos Tiempo de la medición Programas utilizados en el procesamiento de datos.

Existen dos tipos de exactitudes, la absoluta y la diferencial. En cuanto a la exactitud absoluta, utilizando el Servicio Estándar de Posicionamiento (SPS) se pueden obtener exactitudes en el orden de 20 m. Si se usa el Servicio Preciso de Posicionamiento (PPS), o código P se pueden obtener exactitudes entre 5 y 10 m. En cuanto a la exactitud diferencial, se pueden obtener exactitudes de hasta ± 0,1-1 ppm y en proyectos científicos con equipos adecuados y un riguroso control en todas las etapas del trabajo se pueden lograr exactitudes de ± 0,01 m ± 0,1 ppm.

5.7 APLICACIONES DE LOS G.P.S Debido al constante desarrollo del sistema G.P.S., día a día se incrementa la aplicación de los mismos en las actividades científicas, profesionales, deportivas, recreacionales, etc.

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Sería muy largo describir las actividades en las cuales el G.P.S. es una herramienta fundamental por lo que nos limitaremos a mencionar algunas de las áreas dentro del campo de la ingeniería en las cuales el G.P.S. está siendo utilizado. Los geólogos, geógrafos e ingenieros forestalesutilizan los G.P.S., en combinación con los Sistemas de información geográfica (SIG) para la elaboración de mapas temáticos, captando en forma rápida y precisa la posición de puntos y asociando información y atributos a dichos puntos. En cuanto a la planificación del transporte urbano, constituye un método rápido de levantamiento de la red de transporte, ya que recorriendo las calles y avenidas del sistema con un receptor G.P.S. se puede elaborar automáticamente el plano de la red. En el mantenimiento vial, (drenajes, pavimentos, puentes, etc.), se pueden ubicar los puntos o sectores de la vía que necesitan mantenimiento, asociándole como atributo el tipo de estructura y mantenimiento a realizar. En el campo de la topografía, se están aplicando los G.P.S. en el levantamiento de grandes extensiones y de zonas de difícil acceso ya que se requiere menos personal, debido a lo complicado del traslado de equipos tradicionales y a que la captura de datos con el sistema G.P.S. acelera o acorta el tiempo de recolección de los mismos.

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