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• D Soncco Ramos

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TEMA 4: Reducción de la gravedad.

TEMA 4: REDUCCIÓN DE LA GRAVEDAD. 4.1

INTRODUCCIÓN.

Para la resolución de la integral de Stokes es necesario que las anomalías de gravedad representen valores de contorno sobre la superficie del geoide, lo que nos lleva a dos necesidades imprescindibles para el cumplimiento de tal condición: la primera es que las anomalías de gravedad deben presentar valores de contorno reales fuera de las masas atrayentes, por lo que será necesario que no existan masas por encima del geoide, lo que obliga a eliminar esas masas existentes por encima del geoide o bien a condensarlas dentro del mismo. En segundo lugar, la gravedad medida sobre la superficie física del terreno se debe reducir al geoide, es decir: las observaciones de gravedad las haremos sobre la superficie terrestre que es irregular y sobre la que tendremos una superficie equipotencial diferente para cada punto (P, Q) observado, figura 4.1, por lo que no tendremos todas las medidas referidas a la misma superficie de nivel, así que deberemos reducirlas a una única superficie de nivel (el geoide) para que los valores de gravedad observados sean comparables entre sí y permitan formarse una idea del relieve gravimétrico. WQ Q P

WP Topografía

Geoide, WO PO Figura 4.1: Superficies equipotenciales diferentes que pasan por puntos de la superficie topográfica.

La explicación al concepto de relieve gravimétrico será la siguiente: no debemos olvidar que las anomalías de gravedad provienen de irregularidades en la repartición de las masas terrestres que provienen de los excesos y defectos de masas interiores. Así las anomalías reducidas pueden ser positivas o negativas, en el primer caso indican una

1

TEMA 4: Reducción de la gravedad. gravedad observada más fuerte que la que resultaría si las masas situadas por debajo de la estación e interiores al geoide obedeciesen a la ley teórica de repartición de densidades realizada sobre nuestro elipsoide de referencia ideal compuesto de capas homogéneas concéntricas. Habrá, por tanto, por debajo de la estación, en este caso, masas de fuerte densidad anormal, y, al contrario, una anomalía negativa pone de manifiesto una débil densidad anormal de las masas mencionadas (Sans Huelin 1946). Unas veces estas anomalías son meramente locales, originadas por masas perturbadoras de densidad anormal, de extensión limitada, y, otras presentan carácter de anomalías regionales, del mismo signo para una región de la superficie terrestre. Las reducciones de la gravedad empezaron a estudiarse con seriedad y rigor a finales del siglo XIX, cuando el número de observaciones de gravedad sobre toda la tierra era ya elevado y se podía empezar a plantear la resolución de los problemas que genera la geodesia física.

4.2

REDUCCIÓN DE BOUGUER.

El objeto de la reducción de Bouguer sobre la gravedad es la eliminación completa de las masas topográficas, es decir, de las masas exteriores al geoide. El potencial que genera toda la topografía sobre un punto P(XP,YP,ZP), figura 4.2, en la superficie terrestre debido a las masas situadas sobre el geoide puede escribirse en aproximación plana mediante:

∫∫∫ [( H

V ( X P , YP , Z P ) = K

0

E

ρ(X ,Y , Z) X − X P ) + (Y − Y P ) + (Z − H P ) 2

2

]

1 2 2

dZdYdX

(4.1)

Donde K es la constante de gravitación universal, E el área de interés (resolución local del geoide), HP y H son las alturas sobre el geoide en el punto de cálculo y en el punto integral (alturas ortométricas, con Z=H en la resolución integral) y ρ es la función de densidad, normalmente desconocida y supuesta constante con lo que saldrá fuera de la integral.

2

TEMA 4: Reducción de la gravedad. Normalmente el efecto de las masas por encima del geoide sobre la gravedad es separado en dos partes, una la corrección por lámina de Bouguer y otra el efecto de la topografía, es decir, primero, con la corrección terreno, eliminamos las irregularidades topográficas (eliminamos por encima y rellenamos por debajo del punto P), dejando el área de alrededor de la estación gravimétrica P completamente plana, figura 4.2 horizontal y con masas uniformes de la misma densidad, y luego eliminamos las masas que hay entre el geoide y la lámina de Bouguer que ha quedado al eliminar la topografía:

Topografía Lámina Bouguer

P

HP Geoide Figura 4.2: Reducción de Bouguer.

Así la integral (4.1) se dividirá en dos partes (una suma de integrales):

HP

V = Kρ

∫∫ ∫ E

0

1 dE dZ +Kρ d

∫∫ ∫ E

H

HP

1 dE dZ d

Donde:

[

d = S + (Z − H P ) 2 O

]

1 2 2

Y:

[

2

3

]

1 2 2

S O = ( X − X P ) + (Y − YP )

(4.2)

TEMA 4: Reducción de la gravedad. La primera de las integrales corresponderá a la lámina de Bouguer y la segunda al efecto de la topografía. Comenzaremos primero por la integral correspondiente a la lámina de Bouguer, considerando que la atracción vertical A es la derivada negativa de V respecto a la altura obtendremos que:

∂V = − Kρ B' = − ∂H P

HP

∫∫ ∫ E

(Z − H P )

0

d

3 2

dE dZ

(4.3)

La lámina de Bouguer representada por la ecuación anterior tendrá siempre resultado positivo ya que el punto integral Z estará siempre por debajo de HP, por lo que la eliminación de dicha capa (-B’), actuará de forma negativa sobre el punto P, tal como es de esperar, ya que la eliminación de la lámina de Bouguer situada debajo del punto P debe hacer que la gravedad en P disminuya. Para el cálculo de un valor numérico podemos desarrollar el potencial que genera un cilindro sobre un punto P situado sobre el mismo, figura 4.3, tal como se desarrolla en (Heiskanen et al. 1984, pg 127-128), donde, para evitar la confusión de signo anterior, se ha puesto:

[

d = S O2 + (H P − Z )

]

1 2 2

Z

P l b

dm

HP SO

Z a

Figura 4.3: Potencial y atracción de un cilindro circular sobre un punto situado en su superficie.

4

XY

TEMA 4: Reducción de la gravedad. La atracción de dicho cilindro sobre el punto P resulta:

(

B = 2πKρ a + H P − a 2 + H P2

)

Y tomando a → ∞ , aplicando la teoría de límites:

B = 2πKρH P

(4.4)

Como es lógico, el área de integración no es infinita, por lo que asumiendo que el área E está limitada por Xmin, Xmax, Ymin, Ymax , el efecto de la lámina de Bouguer será (Peng et al. 1995) :

H

P Y ⎡⎡ X max ⎤ max ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ ⎡( X P − X ) ln[(Y P − Y ) + r ] + (Y P − Y ) ln[( X P − X ) + r ] −⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ B ( X P , Y P , H P ) = Kρ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( X P − X )(Y P − Y ) ⎤ 1 − ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ( H P − Z ) tg ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣ ( H P − Z )r ⎣ ⎦ ⎥ ⎦ X min ⎦ Ymin ⎦ ⎥0 ⎣⎢ ⎣

(4.5) donde:

[

r = ( X P − X ) 2 + (YP − Y ) 2 + ( H P − Z ) 2

]

1 2

Para puntos alejados las fórmulas deben tener en cuenta la esfericidad terrestre, por lo que serán más complicadas. Para la consideración de la segunda parte de la integral (4.2), o efecto de la topografía, procederemos de la siguiente manera (Sideris 1990):

VTop. = Kρ

∫∫∫ E

H HP

1 dZdE = Kρ d

∫∫∫ E

H HP

1 ⎡ ⎛ Z −HP ⎢1 + ⎜ S O ⎢ ⎜⎝ S O ⎣

5

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

−

1 2

dZdE

(4.5)

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Para

Z −HP SO

≤ 1 cosa normal en nuestro caso, ya que la diferencia de alturas

suele ser muy pequeña en comparación con las distancias tratadas (SO), el término entre corchetes puede ser desarrollado en serie binomial de la siguiente forma: el desarrollo binomial responde a la expresión:

(1 ± X )n

= 1± n X ±

n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3 X ± X ±" 2! 3!

⎛ Z −HP 1 y X = ⎜⎜ Aplicado a nuestro caso donde n = − 2 ⎝ SO

2

⎞ ⎟⎟ , el desarrollo resulta ser ⎠

igual a la serie:

⎡ ⎛Z −H P ⎢1 + ⎜⎜ S ⎢⎣ ⎝ O

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

−

1 2

∑ ∞

=

r =0

ar =

⎛ Z − HP (−1) a r ⎜⎜ ⎝ SO r

⎞ ⎟⎟ ⎠

2r

(2r )!

(2 r!) r

2

Introduciendo la serie en la integral 4.5 resulta la expresión:

H

V = Kρ

∞

∫∫ ∫ ∑ E HP

1 SO

r =0

⎛ Z −HP (− 1) a r ⎜⎜ ⎝ SO r

2r

⎞ ⎟⎟ dZ dE ⎠

La atracción vertical resulta ser:

A=−

∂V = Kρ ∂H P

∫∫∫ E

H

HP

1 SO

∞

∑

(−1) r a r 2r

r =1

(Z − H P )2 r −1 S O2 r

dZ dE

Donde el sumatorio comienza ahora desde r=1, ya que para r=0 el resultado sería cero.

6

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Separando las integrales tendremos:

∂V A=− = Kρ ∂H P

∞

∫∫ ∑ E

1 SO

r =1

⎤ ⎡ H (Z − H )2 r −1 P ⎢ (−1) a r 2r dZ ⎥ dE S O2 r ⎥ ⎢H ⎦ ⎣ P

∫

r

Donde la integral entre corchetes es igual a:

⎤ (H − H ) 2 r ⎡ H (Z − H )2 r −1 P P ⎢ dZ ⎥ = 2r 2r S 2 r S ⎥ ⎢H O O ⎦ ⎣ P

∫

Con lo que la atracción quedará:

A=−

∂V = Kρ ∂H P

∞

∫∫ ∑ E

1 SO

(−1) r a r

(H − H P ) 2 r S O2 r

r =1

dE

Si se considera únicamente el término r=1 del sumatorio anterior, se obtendrá, finalmente:

1 A = − Kρ 2

∫∫

(H − H P ) 2 S O3

E

dE

La atracción de la topografía afectará de forma negativa al punto P de cálculo, por lo que su eliminación será positiva (aumentará la gravedad sobre P) y será llamada corrección topográfica (Moritz 1980 pg. 415):

1 C ( X P , YP , Z P ) = Kρ 2

∫∫

(H − H P )2 S O3

dE

(4.6)

E

Para las masas por encima de la lámina de Bouguer, que atraen hacia arriba en el punto P, el ser eliminadas provocará un aumento de la gravedad en P, y las masas

7

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

deficientes, que se deben rellenar, producen en P un aumento de gravedad también, con lo que la corrección topográfica siempre tendrá carácter positivo, como ya se ha visto. Una vez encerrada toda la topografía en la lámina de Bouguer ésta se elimina, lo que equivale a restar su atracción de la gravedad observada, con lo que la corrección total sobre P será:

CORR( X P , Y P , Z P ) = − B( X P , Y P , Z P ) + C ( X P , Y P , Z P )

(4.7 )

Siendo B la corrección Bouguer, ecuación (4.4) y C la corrección de terreno, ecuación (4.6). Con todo esto obtenemos finalmente la corrección a la gravedad observada que la totalidad de las masas topográficas situadas por encima del geoide producen, es decir, hemos eliminado esa topografía, pero la estación estará todavía a una altura HP sobre el geoide, debemos, por tanto, bajarla al geoide, para ello utilizaremos la reducción airelibre:

F =−

∂g H ∂H

(4.8)

Para muchos fines prácticos es suficiente usar el gradiente de la gravedad normal, es decir, (apartado 2.4.3):

F ≈−

∂γ H = (0.3086 mgal / m) H ∂H

(4.9)

Con signo positivo hacia el centro de masas terrestres. El proceso total de corrección nos lleva a la gravedad Bouguer y a la conocida anomalía de Bouguer refinada:

g B = g observada − BBouguer + Ctopo gra fia + F Δg Bouguer = g B − γ O

8

(4.11)

(4.10)

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Como anomalía relacionada se puede hablar también de las anomalías de gravedad aire-libre:

Δg AL = g observada + F − γ O 4.3

(4.11b )

REDUCCIONES ISOSTÁTICAS.

Se podría pensar que las masas topográficas están simplemente superpuestas sobre una corteza homogénea. Si este fuera el caso, la reducción de Bouguer refinada eliminaría las principales irregularidades del campo gravífico, de modo que las anomalías Bouguer serían pequeñas y fluctuarían alrededor de cero. No obstante justamente lo contrario sucede: las anomalías Bouguer son sistemáticamente negativas en zonas montañosas y, aproximadamente, disminuyen 100 mgal por cada kilómetro de altitud, es decir, parece que se esté eliminando más masa de la que se debería eliminar en realidad con la corrección anterior. La única explicación posible es que existe algún tipo de deficiencia de masas bajo las montañas, esto significa que las masas topográficas están compensadas de alguna manera. Para explicar y evaluar dicha compensación se desarrollaron dos teorías diferentes casi al mismo tiempo, la de Pratt en 1854 y la de Airy en 1855.

•

SISTEMA DE PRATT-HAYFORD. Ideado por Pratt y puesto en forma matemática por Hayford, el principio se basa

en que por debajo del nivel de compensación la densidad es uniforme, figura 4.4. Por encima, las masas de cada columna de igual sección son iguales, esto quiere decir que si llamamos D a la profundidad del nivel de compensación, entonces la densidad ρ de una columna D+h debe satisfacer la ecuación:

(D + h )ρ = Dρ O Para mantener el equilibrio de masas propuesto.

9

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Para D se adopta un valor medio de 100 Km, y para

ρ O = 2.67

g cm 3

6 Km 4 Km

Cota cero sobre el nivel del mar

3 Km

2 Km

h' = 5 Km

2.67

2.62

2.57

2.52

2.59

2.76

D=100 Km

Nivel de compensación

Figura 4.4: Sistema de compensación isostática de Pratt-Hayford. Con esto podremos saber la diferencia de densidad entre cada columna y la teórica:

Δρ = ρ O − ρ =

h ρO D+h

(4.12)

En los océanos la condición de igualdad de masas se expresa como:

(D − h')ρ + h' ρW Donde

ρ W = 1.027 g / cm 3

= Dρ O

es la densidad del océano y h’ su profundidad. Por

tanto hay un exceso de densidad teórica de la columna suboceánica dada por:

10

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

ρ − ρO =

•

h' (ρ O − ρW ) D − h'

(4.13)

SISTEMA DE AIRY-HEISKANEN. Airy propuso este modelo y Heiskanen le dió una formulación más precisa para

fines geodésicos y lo aplicó extensivamente. El

principio

ρ O = 2.67 g / cm pero fluida

3

se

basa

en

que

las

montañas

de

densidad

constante

pero rígidas, flotan sobre una capa más densa de densidad constante

ρ1 = 3.27 g / cm 3 , figura 4.5.

Si pensamos en la corteza terrestre como una masa elástica, comprenderemos que las montañas tengan raíces que se hunden dentro del manto para mantenerse en equilibrio y que los océanos presenten antiraices.

h

Cota cero sobre el nivel del mar

h'

T = 30 Km

Densidad = 2.67

t'

t Densidad = 3.27

Figura 4.5: Sistema de compensación isostática de airy-Heiskanen. 11

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Si designamos por h la altitud de la topografía y por t el espesor correspondiente a la raíz, la condición de equilibrio flotante que la hidrodinámica nos proporciona como el efecto del empuje de Arquímedes sobre un medio más denso se transforma en:

tΔρ = hρ O

(4.14)

Donde hemos llamado:

Δρ = ρ1 − ρ O = 0.6

g cm 3

A la diferencia de densidades, así de la ecuación (4.14) podemos extraer:

t = 4.45 h

(4.15)

Para los continentes. Para los océanos la condición de equilibrio flotante será:

t ' Δρ = h' ( ρ O − ρ W ) Con lo que la antirraiz valdrá:

t ' = 2.73 h' El espesor normal de la corteza terrestre se designa por T y se suele expresar como 30 Km. (aproximadamente la profundidad de la discontinuidad de Mohorovicic). Se ha puesto de manifiesto por observaciones que la tierra está isostáticamente compensada en un 90%, pero es difícil decidir cual es el mejor modelo isostático, ya que, dependiendo de la zona, parece que se ajuste más un modelo que otro. Para los cálculos, eligiendo un modelo isostático de compensación, deberemos proceder a evaluar esa autocompensación de las masas. Aquí debemos retocar un poco el concepto anterior de eliminación de masas topográficas.

12

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Ahora el objeto de la reducción isostática de la gravedad es la regularización de la corteza terrestre según algún modelo de isostasia; las masas topográficas no son completamente eliminadas como en la reducción de Bouguer, sino que, idealmente, son utilizadas para compensar esas deficiencias de masa. En el modelo isostático de PrattHayford las masas topográficas son distribuidas entre el nivel de compensación y el nivel del mar para llevar la densidad al valor constante

ρO

y en el modelo de Airy-Heiskanen

las masas topográficas de altura se utilizan para rellenar las raíces de los continentes y llevarlas a densidad 3.27 g/cm3. Resumiendo: la topografía se autocompensa, si la eliminamos deberemos eliminar también esa autocompensación, llevando la corteza a un estado teórico de densidad 2.67 g/cm3 y espesor constante D (modelo Partt-Hayford) o T (modelo Aity-Heiskanen). Así, la reducción total de la gravedad sobre el geoide isostáticamente reducida es:

g I = g − BBouguer + CTop + F + AIsos.

(4.16)

Donde AIsos será la atracción de la compensación; equivaldrá a esa carencia de masa que la topografía rellena, y, por tanto, tendrá una influencia negativa sobre la gravedad observada, ya que ahora suponemos menor masa (densidad), por debajo de la estación, evidentemente su eliminación (eliminación de la compensación isostática) será positiva (hay que recordar que las anomalías Bouguer daban sistemáticamente números negativos). Si

los

modelos

son

exactos

y

existe

equilibrio

isostático,

la

anomalía

correspondiente debe ser nula o cercana a cero. Si no lo es, las masas superficiales deben tener tendencia a subir (si la anomalía es negativa) o a bajar (si es positiva). Ello ha sido controlado por ejemplo en zonas escandinavas, área que presenta anomalías negativas y que se está elevando lentamente, descargada hoy de la masa de los glaciares cuaternarios. Si las masas no se desplazan o lo hacen en sentido contrario del que reclama la isostasia es porque una fuerza profunda les afecta: es lo que ocurre particularmente en las fosas oceánicas, donde se constatan fuertes anomalías negativas y tendencias al hundimiento (Foucault et al. 1985). A pesar de esto las interpretaciones de las anomalías isostáticas deben hacerse con extrema cautela, un mapa de anomalías isostáticas mostrará con claridad las variaciones laterales en densidad de las rocas de superficie y profundidad media (Blakely 1996), con lo que lo único cierto es que las anomalías positivas presentan una densidad grande y las negativas una densidad

13

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

pequeña de las rocas o material que la provoca, el resto de interpretaciones puede ser muy subjetivo, necesitando de más información para poder extraer conclusiones ciertas.

4.4

MODELOS

DE

TRANSFERENCIAS

DE

MASAS:

SEGUNDO

MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT. Este segundo método de condensación de Helmert es el más utilizado en la mayoría de determinaciones actuales de geoide que utilizan el método integral de Stokes, y, por eso, nos referiremos exclusivamente a él (Sevilla 1995), (Sideris et al. 1995), (Smith et al. 1999), (Zhang 1999), (Zhang et al. 2000). En este tipo de métodos la masa topográfica no es eliminada, sino que se condensa sobre el geoide (Heiskanen et al. 1985, pág. 145). En este caso la topografía se condensa para formar una capa superficial sobre el geoide, por ejemplo la columna de la figura 4.6 se condensará con una densidad de

κ = ρH

Topografía

H

Geoide

κ=ρΗ Figura 4.6: Principio del segundo método de condensación de Helmert.

Lo cual nos llevará a una integral doble (toda la superficie del geoide). Para evaluar este efecto topográfico, se aproxima el geoide por un plano horizontal, lo que lleva, en los cálculos posteriores de N, para áreas de integración de 6º y alturas topográficas de 2 Km., a errores menores de 2-3 cm.(Vanicek et al. 1987).

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TEMA 4: Reducción de la gravedad.

El proceso será el siguiente: La gravedad reducida sobre el geoide, eliminando las masas topográficas es, según ya hemos visto, figura 4.7:

(4.17)

g PO = g P − 2π K ρ H P + C + F

Q Topografía

P HQ

HP PO

QO Geoide

SO

Figura 4.7: Atracción sobre un punto P de un punto Q situado sobre la topografía y sobre el geoide.

Ahora, sobre el geoide (punto PO), se restauran las masas con densidad de condensación κ, por lo que para el cálculo del potencial gravitatorio ahora se debe resolver una integral de superficie del tipo:

V P'O = Kκ

∫∫ S

1

E

dE = Kρ

O

∫∫ S

H

E

dE

(4.18)

O

Ahora la densidad de condensación será ρH para cada punto, por lo que en cada será diferente: en PO será de ρHP y en QO será de ρHQ, por lo que se puede dividir también el efecto en una lámina de condensación ρHP como la de Bouguer más la lámina de

15

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

densidad ρ(H-HP) sobre cada punto diferente de P siguiendo la idea de la condensación de la topografía por encima o por debajo de la lámina de Bouguer, es decir:

V P'O = Kρ

∫∫ E

HP dE + Kρ SO

∫∫ E

H − HP dE SO

(4.19)

La primera de las integrales será la correspondiente a la lámina de Bouguer condensada, la atracción de esta lámina (A1) será, (Heiskanen y Moritz, pg. 129), (figura 4.3 con b=0):

⎛ A1 = 2πK κ ⎜1 − ⎜ ⎝

(a

HP + H P2

2

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Y como H P = 0 , ya que el punto se encuentra sobre el geoide, obtenemos finalmente:

A1 = 2πK κ = 2πKρH P

(4.20)

La resolución de la segunda integral de la ecuación 4.19, correspondiente al efecto de la atracción gravitatoria de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer condensada. Se resuelve de forma sencilla si intentamos evaluar la atracción gravitatoria (A2) en vez de el mismo potencial y si consideramos que, en este caso

(H − H P )

tiene que ver con la densidad de condensación, no con una posición

susceptible, por tanto, de derivación:

∂V 2' ∂ A2 = − = − Kρ ( H − H P ) ∂H P ∂H P

∫∫ S

1

E

dE = 0

O

Densidad de condensación de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer.

16

(4.21)

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Así, finalmente, la suma de los efectos de la eliminación topografía sobre el punto P y su posterior reducción al geoide, ecuación 4.17, y posterior restauración de la topografía condensada sobre el geoide (sobre el punto P0), ecuaciones 4.20 y 4.21, se traduce en el valor de gravedad Helmert:

g H = g p − 2πK ρ H P + C + F + 2πK ρ H P = g p + C + F

(4.22)

Con lo que, finalmente, la anomalía de gravedad según la segunda teoría de condensación de Helmert se traduce en:

Δg H = Δg PAL + C

(4.23)

A este término también se le conoce con el nombre de anomalía de Faye refinada. Así pues este método se reduce a calcular únicamente la corrección topográfica (ecuación (4.6)), de ahí que sea el utilizado actualmente en determinaciones de geoide utilizando la integral de Stokes; de todas formas, si nos fijamos con detenimiento, nos podremos dar cuenta de que el segundo método de Helmert no es más que un caso límite de la reducción isostática de Pratt-Hayford cuando la profundidad de compensación D se hace cero.

4.5

EFECTO INDIRECTO.

La eliminación o desplazamiento de masas que conllevan las reducciones de la gravedad cambian el potencial gravífico y, por tanto, el geoide. Este cambio del geoide es un efecto indirecto de las reducciones de la gravedad. Por lo tanto, la superficie calculada por la fórmula de Stokes a partir de las anomalías isostáticas, por ejemplo, no será el geoide mismo, sino una superficie ligeramente diferente: el cogeoide. A cada reducción de la gravedad le corresponde un cogeoide diferente.

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TEMA 4: Reducción de la gravedad.

4.5.1 EFECTO INDIRECTO EN EL SEGUNDO MÉTODO DE CONDENSACIÓN DE HELMERT

Sea

N C la ondulación del cogeoide (obtenida por la resolución de la integral de

Stokes), la ondulación del geoide real se obtiene mediante:

N = N C + δN

(4.24)

Recordemos donde nos situamos: actualmente nos encontramos con la anomalía de gravedad situada sobre el geoide (o cogeoide, en este caso), y ahora debemos evaluar el efecto sobre la ondulación del geoide que tiene el haber llevado las masas topográficas a condensarlas sobre el geoide. El potencial indirecto deberá, por tanto, ser evaluado como el potencial gravitatorio de las masas topográficas que afectan al punto PO, figura 4.7, situado en el cogeoide menos el potencial gravitatorio de las masas topográficas después de la reducción sobre el mismo punto, de esta forma llevamos el potencial del cogeoide al geoide (del efecto de las masas condensadas al efecto de la topografía real). Al igual que antes, podremos dividir el potencial indirecto en el potencial ejercido por una lámina de densidad constante (lámina de Bouguer), y por el efecto de la topografía. Para obtener una fórmula de trabajo para la lámina de Bouguer utilizaremos el desarrollo del potencial que ejerce un cilindro sobre un punto P o PO, figura 4.11, (el valor sería el mismo debido a la simetría del cuerpo generador del potencial) situado sobre el mismo (Heiskanen et al. 1985 ec. 3-5):

P

hP a PO

Figura 4.8: Potencial y atracción de un cilindro.

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TEMA 4: Reducción de la gravedad.

⎛ ⎛ ⎜ 2 ⎜h ⎛ h2 2 2 2 V = πKρ ⎜ − h P + h P a + h P + a ln⎜ P + ⎜⎜1 + P2 ⎜ ⎜ a ⎝ a ⎝ ⎝

1 ⎞⎞ ⎞ 2 ⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎟⎟ ⎠⎠

(4.25)

De donde:

a 2 + hP2 Puede ser visto como:

⎡ ⎛ h2 a ⎢⎜⎜1 + P2 ⎢ a ⎢⎣⎝

1 ⎤ ⎞2 ⎥ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎦

Y, por tanto, desarrollado en serie de Taylor de la forma:

(1 + X )

1 2 2

Siendo X=hP/a y quedándonos con los términos hasta X2 del desarrollo, obtenemos que:

⎡ 1 hP2 ⎤ a + h ≈ a ⎢1 + + "⎥ 2 ⎣ 2a ⎦ 2

2 P

Desarrollando de igual forma el término:

⎛ ⎜h ⎛ h2 ln⎜ P + ⎜⎜1 + P2 ⎜ a ⎝ a ⎝

1 ⎞ ⎞2 ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠

Considerando el desarrollo anteriormente visto, se obtiene:

19

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

⎛ hP2 ⎜⎜1 + 2 ⎝ a

1

⎞2 1 hP2 ⎟⎟ ≈ 1 + +" 2 a2 ⎠

Resulta finalmente, desarrollando en serie el logaritmo:

⎛ h 1 hP2 ln⎜⎜1 + P + a 2 a2 ⎝

⎞ hP ⎟⎟ ≈ +" ⎠ a

Con lo que la ecuación (4.25) quedará de la forma:

⎛ ⎞ ⎡ 2 ⎡ 1 h P2 ⎤ 1 h P3 ⎤ 2 hP ⎟ π ρ 2 + = − + + a K h h a V = πKρ ⎜ − h P2 + h P a ⎢1 + ⎥ ⎢ P P 2 ⎥ ⎜ 2 a⎦ a ⎟⎠ ⎣ ⎣ 2a ⎦ ⎝

(4.26)

Ecuación que representará el potencial gravitatorio real de la lámina de Bouguer sobre PO. Ahora debemos hallar el potencial gravitatorio de las masas condensadas, siguiendo la misma idea de la lámina de Bouguer, pero esta vez con espesor cero (condensación sobre el geoide), se llega a la expresión (Heiskanen et al. 1985 ec 3-9):

V ' = 2πKρhP

(a

2

+ h P2 − h P

)

(4.27 )

En nuestro caso hP=0 (altura del punto PO), con lo que la ecuación anterior presenta la forma:

V ' = 2πKρhP a

(4.28)

Esta última ecuación representa el potencial gravitatorio de la lámina de Bouguer condesada sobre el punto PO; lo único que resta para obtener el potencial indirecto es restar (4.26) menos (4.28), obteniendo:

Vind

hP3 1 = −πKρh + πKρ 2 a 2 P

20

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Si hacemos tender a → ∞ , obtendremos, finalmente, la ecuación:

(4.29)

lami na Bouger Vind = −πKρh P2

Para la obtención del efecto indirecto en el potencial debido a la topografía se procede de la siguiente manera (Wichiencharoen 1982 pág. 25-28): El potencial gravitatorio en el punto PO sobre el geoide de la topografía real por encima y por debajo de la lámina de Bouguer se puede expresar por (Figura 4.7):

H

V = Kρ

dE dZ d Z =H

∫∫ ∫ E

(4.30)

P

Q Topografía

Lámina de Bouguer

P

d

Z

HP PO

QO Geoide

SO

Figura 4.9: Efecto indirecto de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer.

Donde seguimos considerando la aproximación plana de la topografía. De la figura 4.9 se obtiene:

d 2 = SO2 + Z 2

21

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Por lo tanto:

1 1 ⎛ Z2 ⎞ = ⎜1 + ⎟ d SO ⎝ SO2 ⎠

−

1 2

Si expresamos la expresión entre paréntesis en serie binomial se obtiene:

⎞ 1 1 Z2 3 Z4 1 1 ⎛ 1 Z2 3 Z4 = + + "⎟ = − + +" ⎜1 − 3 5 d SO ⎝ 2 SO2 8 SO4 ⎠ SO 2 S O 8 S O Sustituyendo

el

desarrollo

anterior

en

la

ecuación

(4.30),

quedándonos

únicamente con los dos primeros términos obtenemos:

V = K ρ ∫∫ E

⎛ 1 1 Z2 ⎞ ∫ ⎜ S − 2 SO3 ⎟⎠dZ dE = V1 + V2 Z =HP ⎝ O H

( 4.31)

Siendo:

V1 = K ρ ∫∫

H

∫

E Z =HP

dZ dE Z ; V1 =K ρ ∫∫ SO SO E

H

Z =HP

H

dE ; V1 = K ρ ∫∫ E

1 Z2 1 1 Z3 V2 = K ρ ∫∫ ∫ − dEdZ V K ; ρ = − 2 ∫∫E 3 SO3 2 SO3 2 E Z =HP

H

Z =HP

H − HP dE SO

H 3 − H P3 1 dE ; V2 = − K ρ ∫∫ dE 3 6 S O E

Considerando, como sabemos, que, en este caso, Z=H. De manera que la ecuación 4.31 se transforma en:

V = Kρ

∫∫ E

H −HP 1 dE − Kρ 6 SO

∫∫ E

H 3 − H P3 S O3

dE

(4.32)

El potencial V’ de la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer condensada sobre el punto PO en el geoide viene dado por la segunda suma de la expresión (4.19):

22

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

V'= Kρ

∫∫ E

H −HP dE SO

(4.33)

Así, para obtener el potencial indirecto que genera la topografía por encima y por debajo de la lámina de Bouguer queda, únicamente, restar las ecuaciones (4.32) y (4.33), obteniendo finalmente:

V

topografia ind

1 = − Kρ 6

∫∫ E

H 3 − H P3 dE S O3

(4.34)

Para transformar los potenciales indirectos (4.29) y (4.34) en efecto indirecto sobre las ondulaciones de geoide tal como exige la ecuación (4.24), utilizaremos la fórmula de Bruns, considerando que el efecto indirecto es suficientemente pequeño como para que sea válida esta suposición, obteniendo, finalmente:

δN =

δVbouguer γO

+

δVtopografia γO

=−

πKρH P2 Kρ − 6γ O γO

∫∫ E

H 3 − H P3 dE S O3

(4.35)

Para una malla regular de puntos, la integral discreta será (Sideris et al. 1995):

N ind

πKρ 2 H (X =− γO

P ,YP )

K ρ ΔXΔY − 6γ O

XM

YM

∑∑

X = X 1 Y =Y1

H (3X ,Y ) − H (3X P ,YP ) S O3

(4.36)

Si cogemos valores de H=1000 m y γ=980 gales el primer término de la ecuación anterior será menor a seis centímetros, la segunda parte de la fórmula resultará en un efecto mucho menor pero que debe ser considerado para altas montañas, además, el 3

rápido incremento de S O garantiza un rápida convergencia de la ecuación, por lo que se puede evaluar únicamente para la vecindad del punto calculado (10-15 Km.). Con esto se quiere decir que para zonas donde las variaciones de topografía no sean muy elevadas, con utilizar el primer término de la ecuación anterior es suficiente (Hipkin 1994), (Smith et al. 1999).

23

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Pero, además, antes de aplicar la fórmula de Stokes, las medidas de la gravedad deben ser reducidas del geoide al cogeoide (que es donde se aplica la integral de Stokes). Esto se hace mediante una sencilla reducción aire-libre:

δg = 0.3086 δN Este es el efecto indirecto sobre la gravedad que, debido a su escasa repercusión en el cálculo posterior no se suele considerar (Sideris et al. 1995): El efecto indirecto sobre la ondulación del geoide no supera el medio metro, por lo tanto, si δN=0.5 m, δg=0.1543 mgal. Si consideramos que, a groso modo, 1 mgal equivaldría a 10 cm en los cálculos posteriores de N, vemos que la influencia de no considerar este efecto ser. Ahora las anomalías de gravedad se refieren estrictamente al cogeoide. La aplicación de la fórmula de Stokes da NC, que deberá ser corregida del efecto indirecto δN para dar la ondulación del geoide definitiva.

4.6

COMPARACIÓN

DE

LOS

DIFERENTES

MÉTODOS

DE

REDUCCIÓN. En principio, todas las reducciones de la gravedad son equivalentes y deben conducir al mismo geoide si son apropiadamente aplicadas, incluido el efecto indirecto. No obstante, existen ciertos requerimientos que restringen severamente el número de reducciones útiles en la práctica. Los principales requisitos son: a)

Las reducciones deben dar anomalías de la gravedad pequeñas y suavizadas, de modo que puedan interpolarse fácilmente y, si fuera preciso, extrapolarse.

b)

Las reducciones deben corresponder a un modelo con significado geofísico, de modo que anomalías resultantes sean también útiles para interpretaciones geológicas y geofísicas (representación del relieve gravimétrico).

c)

El efecto indirecto no deberá ser indebidamente grande. Considerando estos tres aspectos se puede construir un cuadro, tabla 4.1,

analizando todas las reducciones estudiadas, poniendo un positivo si es un requerimiento que la reducción cumple o un menos si no lo cumple:

24

TEMA 4: Reducción de la gravedad.

Requerimientos

Tipo de Reducción a

b

c

Bouguer

+

+

-

Aire-Libre

-

+

+

Isostática

+

+

+

Helmert

+

+

+

Tabla 4.1: Comparación de los diferentes métodos de reducción estudiados.

Las anomalías Bouguer refinadas (con efecto terreno) tienen buenas propiedades para la interpolación (suelen ser grandes en valor, pero de carácter suave), y son geofísicamente hablando, expresivas, pero la reducción Bouguer presenta un efecto indirecto excesivamente grande, del orden de 10 veces la propia ondulación del geoide, la razón es, cláramente, que la tierra está, en general, isostáticamente compensada; por consiguiente, las anomalías Bouguer no pueden usarse para la determinación del geoide. En cuanto a las anomalías aire-libre, que serán las que utiliza la teoría de Molodesky, como se verá en el tema 6, son pequeñas, pero extremadamente dependientes de la topografía, de manera que su interpolación será muy imprecisa, es decir, cuando trabajemos con anomalías aire-libre deberemos extremar las precauciones en la interpolación y nunca extrapolar. Las anomalías isostáticas y Helmert (estas últimas no dejan de ser una particularización de un modelo isostático) cumplen con los tres requerimientos: los modelos en los que se basan responden mejor a la realidad geológica y geofísica, son anomalías pequeñas, suaves e independientes de la topografía, de manera que son ideales para la interpolación y el efecto indirecto es moderado. Por lo tanto las anomalías isostáticas y de Helmert deben ser las consideradas para los cálculos del geoide en el presente contexto; actualmente se eligen las de Helmert ya que son mucho más fáciles de calcular (únicamente el efecto de la topografía debe ser considerado).

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