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16-03-2012

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 1 de 93

GEODESIA GEOMÉTRICA

René Zepeda G. marzo 2006

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 2 de 93

(en blanco)

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G E O D E S I A

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G E O M É T R I C A

RENÉ ZEPEDA

G. – versión marzo 2004

APUNTE PROVISORIO, SUJETO A REVISIÓN Y CAMBIOS, NO REEMPLAZAN ANOTACIONES EN CLASES

Petr Vaniceck: “... la llave del conocimiento reside en el dominio de sus conceptos ...”

INTRODUCCIÓN La palabra Geodesia, tiene como origen la palabra griega Geodaisia, que significa “división de tierras” (geo = Tierra y daisia = dividido) Según diversas enciclopedias y diccionarios, Geodesia puede ser definida como una ciencia cuyo objetivo es determinar la forma de la Tierra y calcular sus dimensiones. Posee dos campos de pesquisa: uno teórico, que examina la configuración de la Tierra en su conjunto, considerando los factores internos y externos que la determinan; otro más práctico, que partiendo de la elaboración de los dados teóricos, prepara las soluciones apropiadas para representación cartográfica de la superficie terrestre. Camil Gemael (1981), “el objetivo de la Geodesia es la determinación de la forma y de las dimensiones de la Tierra. Encontrándose dividida en: Geométrica, Física y Celeste. la Geodesia Geométrica es ejecutada a través de la medición de los ángulos y/o distancias, proporcionando el cálculo de las coordenadas elipsoidales de un punto en la superficie física de la Tierra, sobre el modelo de referencia. La Física se preocupa con el estudio de la gravedad y sus aplicaciones geodésicas, mientras que la Celeste permite la determinación de la posición relativa o absoluta de puntos de la superficie terrestre.” Torge (1980), “la Geodesia puede ser dividida en global (global geodesy), de levantamientos (geodetic survey) y de levantamientos planos (plane surveying). La Geodesia Global es responsable por la determinación de la figura de la Tierra, incluido el campo de gravedad externa. La Geodesia de Levantamientos es responsable por la definición de las redes nacionales establecidas en los países. El Levantamiento Plano (levantamiento topográfico, catastral, etc.) es responsable por el detalle de la superficie; siendo o plano horizontal, normalmente, superficie de referencia en este caso. La integración entre ellas, se da de la siguiente forma: La Geodesia Global es responsable por la definición de los parámetros que determinan la forma de la tierra y, en consecuencia, de las medidas realizadas o conducidas, en su superficie. El

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Levantamiento Plano, a su vez, hace uso de los puntos de control establecidos por el Levantamiento Geodésico, y que son utilizados para el mapeo nacional y en los catastros estatales.” Langley (1992), dice que “es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la Tierra, incluido su campo de gravedad, en cuatro dimensiones, espacio-tiempo”. Considerando esta definición, es necesario por lo tanto, definir el sistema de coordenadas a ser adoptado, describir el campo de gravedad global y estudiar las variaciones temporales de posiciones, sean ellas por causas naturales o no. Aún en esta línea, Langley (1992) afirma que “cuando la Geodesia se refiere la superficie de la Tierra, significa referirse la superficie equipotencial. Aunque existan diversas superficies equipotenciales, apenas una tiene especial significado, es aquella que más se aproxima de la superficie de los océanos en reposo, y no a su nivel, cuando eles se prolongan bajo os continentes y se encuentran libres de los efectos de las mareas, ondas, vientos, corrientes, etc. Esta superficie es llamada geoide.” La forma real de la Tierra, según Torge (1991), “es el geoide, definido como la superficie equipotencial, que en cualquier lugar es perpendicular a la vertical dada por un hilo de plomo y que coincide con o nivel medio no perturbado de los mares.” Como el geoide es una superficie irregular, no puede ser matemáticamente definida; es importante no solo para la investigación científica así también, para diversas actividades cotidianas. A través del mapeo del geoide, se puede verificar la estructura de la costra terrestre y acompañar la evolución de la tectónica de placas; en actividades cotidianas, su uso pode ser comprobado la través de las altitudes referidas a la superficie, altitudes ortométricas, que normalmente son empleadas en el mapeo topográfico. Como el geoide es de difícil representación, la forma de la Tierra ha sido matemáticamente definida por un elipsoide de revolución; que es la figura geométrica que más se aproxima a la forma real de la tierra: achatada en los polos y alargada en el Ecuador. La superficie elipsoidal es conveniente como referencia y facilita las operaciones matemáticas. En razón de ello, esta es la superficie de referencia mas ampliamente empleada en levantamientos y mapeos; pues por ser una superficie matemáticamente desarrollada, es largamente utilizada en proyecciones cartográficas y en el establecimiento de coordenadas horizontales de las redes geodésicas, permitiendo la ejecución de cálculos diversos, con una precisión necesaria para la cartografía de grandes áreas. El elipsoide (superficie elipsoidal) es menos usado como superficie de referencia para las coordenadas verticales (altitudes), ya que no refleja una superficie física de nivel, pero sí una superficie geométrica. “La determinación de altitud, respecto al nivel medio de los mares es la operación normalmente ejecutada en nivelación. Esta altitud pode ser interpretada como la altura ortométrica, ya que o geoide es muy próximo al Nivel Medio de los Mares (NMM)”.

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Bomford (1975) destaca que “cabe la Geodesia establecer una red de puntos que pueda ser empleada para control de los levantamientos efectuados”. Objetivos de la geodesia Práctico: entregar referencias precisas para el control de levantamientos topográficos Determinación de la forma y dimensiones de la Tierra (y otros cuerpos celestes)

Definiciones / conceptos: Ciencia de medir o levantar la Tierra o parte de ella Ciencia que determina la figura geométrica de la Tierra y su interrelación con puntos seleccionados en su superficie Hosmer: Ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie de la Tierra Zakatov: Estudio de la figura (forma y medidas) y del campo gravitacional exterior de la Tierra Comittee on Geodesy – EEUU: Es el ramo de la metemática aplicada que determina, por medio de observaciones y mediciones, la exacta posición de puntos, figuras y áreas de grandes porciones de la superficie terrestre, la forma y tamaño de la Tierra y las variaciones de la gravedad terrestre National Research Council – Canadá: Es la disciplina que lidia con mediciones y representación de la Tierra, incluyendo su campo de gravedad, con variaciones en el espacio-tiempo Comunidad Europea: todas las actividades de evaluación, manejo de tierras, prueba de suelos, cartografía, levantamientos subterráneos, mapeo nacional, levantamiento de limites y SIG. OSU: Geodesia es una ciencia interdisciplinar la cual usa mediciones espaciales, aéreas y terrestres para estudiar la forma y tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar precisamente posición y velocidad de puntos y objetos en la superficie u órbita de los planetas, dentro de un sistema de referencia terrestre y aplicar esos conocimientos a una variedad de aplicaciones científicas y de ingeniería, usando herramientas de la matemática, física, astronomía y computación. Para lograr su objetivo puede valerse de operaciones geométricas realizadas sobre la superficie terrestre (medidas angulares y de distancias) asociadas a determinaciones astronómicas y gravimétricas; o más modernamente efectuadas sobre satélites artificiales. Áreas de la Geodesia: Geodesia Geométrica, Geodesia Física y Geodesia Celeste (incluye la Geodesia Satelital). Bajo otro punto de vista: Geodesia Teórica: que estudia el elipsoide y el geoide (y su relación); Geodesia Aplicada: descripción de la superficie terrestre. Problemas típicos:

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Conocimiento de la forma y dimensión de la Tierra; Estudio del elipsoide como superficie de referencia; Resolver problemas geométricos: métodos, fórmulas, aproximaciones; Representar el elipsoide de acuerdo a sistemas de proyección (cartografía y topografía); Estudio de redes geodésicas nacionales o globales; Estudio del campo gravitacional de la Tierra (fuerza de la gravedad y desvío de la vertical); Conocimiento del geoide (mapas geoidales); Determinación de alturas y del NMM; Estudio del movimiento de las placas terrestres; Procedimientos de terreno para apoyar trabajos de levantamientos; Establecer referenciales para proyectos de ingeniería.

Historia de la Geodesia 2400aC: Mapa más antiguo - valle del río Eufrates; 1333aC – 1300aC: catastro del valle del Nilo – Ramses II; Pitágoras (580 – 500aC) fue el primero a suponer la Tierra como esférica Aritósteles (384 – 322aC) observó el contorno circular de la sobra de la Tierra proyectada en la Luna durante los eclipses; estimó el diámetro de la esfera terrestre en 400.000 estadios (84.000 a 63.000km, dependiendo de la conversión). Arquímedes (287 – 212aC) calculó en 300.000 estadios (63.000 a 47.000km) usando diferente longitud de estadio Eratóstenes (276 – 194aC) filósofo y matemático, director de la biblioteca de Alejandría. Observó en Syene (margen derecha del Nilo) que el Sol cruzaba el meridiano en el cenit y en Alejandría el Sol causaba una sombra de 1/50 de circunferencia (7º12’). La distancia entre las dos ciudades es de 5.000 estadios (medido por los “geomensores” reales en días a camello). Suponiendo (errado) que ambas ciudades están en el mismo meridiano: ∆Z = ∆φ ;

d = 5.000 estadios ;

π = 256/81 = 3,16 y 1 estadio ≈ 157m

círculo = 5.000 estadios R = (5.000 x 50) / 2π = 39.556,96 estadios = 6.210km (error < 2%) Poseidonius (135 – 50aC). Un siglo después a través de la distancia Alejandría – Rodas recalculó el radio de la Tierra usando la estrella Canopus, obteniendo un valor semejante.

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I-Hing (China siglo IIXaC), monje budista matemático y astrónomo midió un arco de 11.440li (1 li ≈442m) resultando P ≈ 56.700km y R ≈ 9.000km Edad Media. obscuridad: prohibidos Copérnico, Kepler, Galileo, etc; Jean Fernel (Francia). En 1525 se midió el arco de 1º entre París y Amiens usando las revoluciones de una rueda. Fue obtenido 56.746 toesas (= 110.600 metros) Jean Picard (Francia 1620 – 1682) introdujo el telescópico para observar alturas de estrellas y ángulos en la traingulación; midió dos bases con reglas de madera. Calculó que 1º = 57.060 toesas (1 toesa ≈ 1,95m) 111.210m, R=6.372km Isaac Newton (Inglaterra 1642 – 1727) se valió de los resultados de Picard para sus estudios sobre gravitación, considerando la Tierra achatada en los polos Giovanni Cassini (Francia 1625 – 1712) concluyó que la longitud de un arco de meridiano disminuye con el aumento de la latitud: achatada en los polos> Demarca el inicio de la Geodesia Moderna. 1735 con el auspicio de la Academia de París organizan dos mediciones de arcos de 1º: a Perú (hoy Ecuador) con Pierre Bouguer, La Condamine y Godin resultando 110.613m y, a Laponia con Clairaut, Maupertuis y Camus, resultando 111.948m. Se adoptó el elipsoide de revolución; a= 6.376,45km y b= 6.355,88km 1790 se crea el metro 1924 la Asamblea General de la Asociación de Geodesia de la Unión de Geodesia y Geofísica Internacional (UGGI) realizada en Madrid resolvió adoptar el elipsoide de Hayford como de Referencia Internacional 1953 El IAGS (Servicio Geodésico Interamericano) terminó la triangulación desde México hasta el sur de Chile 1956 se recomienda para América del Sur el elipsoide de Referencia Internacional. Se adopta el PSAD56, con punto datum La Canoa (Venezuela) con deflexión de la vertical igual a cero. 1969 la UGGI recomienda para América del Sur el elipsoide de referencia 1967. Lleva a la definición del SAD69 con elipsoide GRS-67, con punto datum en Chua (Brasil) 1995 se efectúa la primera campaña del proyecto SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para América del Sur). Red científica medida con GPS, referida a ITRF95,4 que en la práctica es igual a WGS84. La segunda campaña se realiza en al año en 2000. 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000. En Chile se destacan, de cuerdo a información de los Anuarios del IGM, los siguientes hechos: 1893 medición de la Red de Triangulación entre Santiago y Batuco

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1896 primeros trabajos de Astronomía Geodésica en Chile, con la determinación de los azimutes Bases de Paine – Maipú. 1906 Determinación del Azimut Astronómico fundamental Observatorio Quinta Normal – Renca 1929 nivelación línea Cartagena – Pelequén – Almahue 1931 a 1934 nivelación hasta Santiago 1949 se inician los trabajos en conjunto con el IAGS (Interamerican Geodetic Survey) 2003 se adopta como referencia geodésica para Chile SIRGAS2000.

UNIDADES DE MEDIDA En la antigüedad la relación geométrica entre dos puntos dependía de las unidades, donde era adoptada y en que época Por ejemplo, no hay equivalencia exacta para el estadio en la medición entre Alejandría y Syene. Historiadores evalúan entre 157,5 y 190 m aproximadamente. Unidades Angulares Egipto: se pensaba que el Sol giraba la Tierra en 360 días, por ese motivo se asoció la traslación de 1 día a 1 grado. gon:

circunferencia

Unidades Lineales Estadio: al menos en dos diferentes lugares del mundo antiguo (Grecia y Roma), “carrera del estadio” Real Codo Egipcio: conocido como “auna”, empleado para construir pirámides; = 52.3 cm Legua: origen en Galia, Francia. 1 legua = 1,5 millas = 1500 pasos Milla: (mil) de los militares romanos; 1000 paso (doble paso); 1 paso = 5 pies romanos. Milla marítima: distancia entre dos puntos en la misma longitud y separados por 1’ en latitud (1.852m) Palma: mayor distancia entre el pulgar y el meñique Pulgada: Segunda falange del pulgar Pié: Inglaterra y EEUU; 12 pulgadas Yarda: girth: faja o cinturón; distancia medida, con el brazo extendido, de la nariz a la punta de los dedos; = 0.914 m Vara: trozo de madera con 5 palmas de longitud o 16 pies (Inglaterra); el juez poseía la “vara” legal. En Inglaterra: “ ... a la salida de la iglesia, después del oficio religioso, dieciséis hombres tomados al azar entre los fieles, altos y bajos, se colocarán en línea recta con sus respectivos pies izquierdos, unos enseguida de los otros ...” Vara Española: = 0.836 m Toesa: en Francia 1 toesa = 1.949 m

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Metro: 1791 Comisión de Pesos y Medidas (Francia), se adopta la unidad metro como el “ parte del cuadrante de meridiano terrestre”; los submúltiplos adoptan prefijos latinos (deci, centi, mili) y los múltiplos prefijos griegos (deca, hecto, kilo). 1973: adopción del sistema métrico provisional, 1 metro = 36 pulgadas, 11,46 líneas de la toesa del Perú 1795: se estableció la longitud del metro; 1 metro = cuadragésima millonésima parte del meridiano terrestre. 1 cuadrante = 5.130.740 toesas; 1 metro = 443,2959 líneas; 1 toesa (Perú) = 6 pies = 72 pulgadas = 864 líneas = 1,949 metros; 1m = 0,5130740 toesas. 1789: fueron fabricadas 4 barras bimetálicas en capas de cobre y platino 1870: primera tentativa internacional con la creación del “Bureau Internationale des Poids et Mésures” 1889: 30 copias fueron hechas y distribuidas a diferentes países 1890: surge el patrón natural en función de la longitud de onda de la radiación cadmio rojo 1960: redefinición como la longitud de onda de la luz – 1.650.763,73λ del gas cripton-86 en el vacío. Precisión 4 partes en 109 1983: La Conferencia General de Pesos y Medidas en París redefine en función del tiempo. La longitud que viaja la luz en el vacío durante 1/299.792.458 segundos. Precisión 1 parte en 1010 1 metro 1 vara Chile 1 milla terrestre 1 milla marítima 1 legua marítima 1 legua métrica 1 pié ingles 1 yarda

= = = = = = = =

39,7 pulgadas 0,835 metros 1.609,31 metros 1.851,85 metros 5.555,55 metros 5.500 metros 0,30479 metros 0,91438 metros

En Chile se adopta el Sistema Internacional (SI) de Unidades, homologada por la Norma Chilena NCh-30 de INN.

Notación: Metro: m Gramo: g Segundo: s

Múltiplos y submúltiplos: 10-6 : µ (micro) 10-3 : m (mili) 103 : k (kilo) 106 : M (mega)

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PROBLEMAS GEODESICOS Y TOPOGRÁFICOS PRÁCTICOS. Transportar coordenadas: problema directo (α,D)

(X,Y)

Calcular distancia y acimut: problema inverso (X,Y)

(α,D)

Determinar

forma de la Tierra (geoide)

2

XB = XC + dBC sen α

dBC = ∆X + ∆Y

YB = YC + dBC cos α

α = arctg

2

∆X ∆Y a

b =

En triangulación: Ley de los senos sen Aˆ

sen Bˆ

∆h = di ⋅ cosDZ + i − s ∆h = di ⋅ senα + i − s ∆hAB = ∑atrás −∑adelante ∆h = dh ⋅ cotDZ + i − s ∆h = dh ⋅ tgα + i − s

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COORDENADAS ASTRONÓMICAS Todos los cuerpos en la Tierra están sujetos al campo gravitacional, resultante de la fuerza de atracción ejercida por la Tierra y la fuerza centrífuga. Superficies equipotenciales W=constante, denominados “geopes”. Líneas de fuerza perpendiculares a los geopes: líneas de fuerza de campo = verticales, representa la dirección del vector gravedad (eje de plomo o eje principal del teodolito). Latitud astronómica: ángulo entre la vertical e su proyección ecuatorial. Meridiano astronómico: plano vertical paralelo al eje de rotación terrestre Longitud astronómica: ángulo diedro entre el y el meridiano astronómico y el meridiano medio astronómico de Greenwich (origen). Por consecuencia del movimiento de los polos terrestres que alteran el eje de rotación y consecuentemente del ecuador, las coordenadas astronómicas son función del tiempo. Deben ser reducidas a una misma época.

SUPERFICIES DE REFERENCIA En geodesia se relacionan 3 superficies: 1. Superficie física terrestre: donde se realizan las operaciones de medida 2. Superficie del modelo geométrico de referencia, elipsoide de revolución: donde se realizan los cálculos geodésicos 3. Geoide, superficie que representa la forma real de la Tierra en función de su campo gravitacional; es una superficie equipotencial; un geope que más se aproxima al Nivel Medio del Mar (NMM); coincide con la superficie de los océanos en reposo extendida idealmente sobre los continentes; es una superficie “horizontal”; es el origen para las altitudes o altura ortométrica (distancia por la vertical de un punto al geoide). Se obtiene por nivelación geométrica asociada a gravimetría. Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la determinación de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal)

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(tarea: investigar las 2 superficies de referencia, elipsoide y geoide)

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE Elipsoide de revolución: cuerpo geométrico generado por la rotación de una elipse alrededor del eje menor, el eje menor coincide con el eje polar terrestre. FQ + F´Q = constante = 2·a En el elipsoide tri-axial: a=c=b c=b

esfera

elipsoide de revolución

El elipsoide de revolución es la “forma matemática de la Tierra”, donde se realizan los cálculos

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Z Q a F

φ

o

90+φ X

F´

d

a

b

x2 Ecuación de la elipse generatriz:

z2 + = 1 a2 b2

x2 + y2

z2 +

Ecuación del elipsoide de revolución:

2

=1 2

a b La excentricidad es la distancia focal expresada en términos del semi eje mayor (a) FO d e= = a a 2

e2 =

d =a a2

2

2

2

−b

= 1− b

a2

a2

El achatamiento es la razón de la diferencia entre los semi ejes, respecto del semi eje mayor: a−b f=

Achatamiento (f) :

b =1−

a 2 a2 −b2

a

e=

1 excentricidad (e): 2a excentricidad (e’):

a b2 2 =1− 2

a a −b e'2 = b

a a 2=

2 −1

b

Otras relaciones: e2 = 2⋅ f − f 2

e2 =

e'2

e'2 =

e2

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 14 de 93 2 2

1+ e'2

2

b a=

b = a⋅(1− f) = a⋅ 1− e2

2

1− e2

b2 = a2 ⋅(1− e2 )

= b⋅ 1+ e' 1− f

COORDENADAS GEODÉSICAS Basadas en un elipsoide de revolución generado por una elipse girada en torno al eje polar; es el modelo matemático de la Tierra.

Sección Normal: sección que contiene la normal al elipsoide en P Sección Meridiana: sección normal particular, contiene el eje menor (polar) Sección 1º vertical: perpendicular a la sección meridiana en P Gran Normal: segmento PQ de la normal; desde P hasta el eje polar

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Pequeña Normal: segmento PR, hasta el plano ecuatorial Meridiano Geodésico: intersección de la sección meridiana con el elipsoide Paralelo Geodésico: intersección de un plano paralelo al ecuador y el elipsoide, es un círculo Latitud Geodésica: ángulo formado por la normal en P y su proyección en el ecuador; (-) al sur del ecuador; varía de +90º a -90º Longitud Geodésica: ángulo formado entre el meridiano origen y la sección meridiana en P; (-) al este de Greenwich; varía 0º a 360º o a +/-180º Altura Geométrica o Elipsoidica: distancia por la normal entre el elipsoide (P) y el punto P1 Desvío de la Vertical (δ): ángulo entre la vertical local (en P1) y la normal al elipsoide; ayuda a transformar magnitudes astronómicas a geodésicas: Componente meridiana

ξ = φa – φ

Componente 1º vertical

η = (λa – λ) cos φ

= (Aa – A) cot φ

Ecuación de Laplace: A = Aa – (λa – λ) sen φ Usada en astronomía geodésica para orientar redes geodésicas. En vértices de triangulación que se realizan determinaciones astronómicas de azimut y longitud, se denominan “puntos de Laplace”

Datum PSAD-56

SAD-69

WGS-84

Sirgas

Elipsoide

Internacional 24

(GRS-67)

WGS-84

GRS-80

a

6378388

6378160

6378137

6378137

1/f

297

298.25

298.257223563

298.257222101

b

6356911.946

6356774.719

6356752.3142

6356752.3141

e2

0.00672267002

0.00669454185

0.00669437999

0.00669438002

e´2

0.00676817020

0.00673966080

0.00673949674

0.00673949677

(tarea: investigar los sistemas PSAD56, SAD69 y WGS84)

LATITUDES GEOCÉNTRICA Y REDUCIDA

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 16 de 93

M’ P M ρ

b Q

a

µ ψ

O

z φ

Q’

x

H P’

φ : latitud geodésica ψ : latitud geocéntrica µ : latitud reducida

En los problemas prácticos de la geodesia interfiere solo la latitud geodésica, pero en aspectos teóricos son útiles otros dos tipos de latitud: Latitud geocéntrica (ψ): ángulo entre el radio vector de un punto M con su proyección en el ecuador; Latitud reducida (µ): ángulo formado por el radio (M´O) y su proyección en el ecuador; M´O formado por la prolongación de la ordenada en M, hasta la circunferencia circunscrita de radio “a”.

M’

M b

z´

a b

µ

ψ x

z φ a

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N

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 17 de 93

z=N´senφ Nsenφ

φ φ

x=Ncosφ Z = N’ senφ = x tgψ N’= N(1-e2)

y

x = N cosφ

N(1-e2) senφ = N cosφ tgψ x = a cosµ

y

z = b senµ

z b ⋅ senµ b tgψ = = = ⋅ tg⋅µ = x a ⋅cosµ a tgψ = (1− e2 )⋅tgφ tgµ = (1− e2) ⋅tgφ

(1− e2) ⋅ tgµ RADIOS DE CURVATURA DE SECCIONES NORMALES En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, la intersección de estos con el elipsoide forman las secciones normales, todas ellas con curvatura diferente, pero hay dos principales, mutuamente perpendiculares, cuyas curvaturas son máxima (sección normal meridiana) y mínima (sección normal del primer vertical), con radios de curvatura denotados por M y N respectivamente. Gran Normal (N): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con eje Z (H)

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Pequeña Normal (N’): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con ecuador x2

z2 +

Elipse meridiana:

=1

2

2

a ∆τ Curvatura =

(1)

b

variación de dirección de la tangente τ =

∆S

var iación del arco S

Radio de curvatura R =

1 (2) K

y=f(x)

dy dx

ds dy

τ

y

dx

x

Según [Gemael, Rapp, Zakatov], para una curva plana z = f(x), el radio de curvatura es: 3

dz 2 2 1+( ) dx R = (3) d2z dx2 Deducción:

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ds2 = dx2 + dy2 dy

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 19 de 93

ds

==>

2=

1+

dy

2

==> ds =

2dx

dx dy dy ; diferenciando: dx

dτ = dx

dy

d

τ = arctg

=

dτ

dx

d arctg

duarctg( )u

=

dx ==>

u´

dx

siendo:

1+u2 , resulta:

2

dy dx

2

ds

dτ =dx; pero R = 1+

()

dτ

dydx 2

reemplazando:

2

dy 1+ dx

dx

2 dy dx2

1+ 2

dx

()

dy 2 dx

dy 2

1+ dx

R= =

dy dx2

Continuando: dz = tg(90 + φ) = −cotg

la tangente (pendiente) en el punto(x,y) es: φ (4) dx

x2 +

pero. de a2

→ b2x2 +a2 2z =a2 2b (5) , diferenciando:

z2 =1 b2

1+

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2

b2x⋅dx + a2z⋅dz = 0 →

dz

=−

(6)

b

x a2 z

dx

=−

cos

φ → b2x⋅senφ = a2z⋅cosφ

senφ

de la misma manera se encuentra x: a 2 cos φ (9) x= 1 2 2 2 2 2 (a cos φ+ b sen φ)

pero e 2 =

a 2 −b 2 a2

al cuadrado:

a cos φ

→ x=

(1− e sen φ) − a4z2 ⋅cos2 φ = 0 (7) 2

b4x2 ⋅sen2 φ

1

y z=

2

2

(

)

a 1 − e sen φ 2

(1− e sen φ) 2

2

1

(10)

2

multiplicando la (5) por (-b2 sen2φ) y sumando a la (7): b2senφ z = (8) 1

(a2 cos2 φ +b2sen2φ) 2

PRIMER CAMINO: diferenciando: dx = a(−senφ(1− e2sen

sen2φ)−32)dφ (11)

[

= a⋅senφ(1− e2sen2φ)−32 −(1− e2sen2φ)+ e2 ⋅cos2

]dφ

φ

−a(1− e2 )senφ

dx =

(12) [Rapp]

dφ

(1− e2sen2φ)32

dz

a(1− e2)cosφ =

análogamente: dφ

(1− e2sen2φ)32

d2z

1

dφ

1

1

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 21 de 93

reemplazando en la 2ª derivada de:

=

= (13) dx2 sen2φ dx

sen2φ

dx

dφ 3

−(1− e2senφ) 2

d2z = dx2

(14) a(1−

e2)sen3φ) d2z

dz reemplazando

y dx

en

R:

dx2

a⋅(1− e2) Designando por M el radio de curvatura De la

=

(15)

M 3

− e2 ⋅sen2φ) 2 (1 N= N

φ

z=N´sen φ

Nsen φ

φ

figura: x = N cosφ

y

z = N’ senφ

a 1 − e 2 ⋅ sen 2 φ

(16)

2

N' =

a ⋅ (1 − e ) 2

2

1 − e ⋅ sen φ

(17)

N'= N(1− e 2 ) (18)

SEGUNDO CAMINO:

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 22 de 93

x=Ncosφ

ds = M⋅dφ =

dz2 + dx2 =

dz

dz2 + dx2 =

dz dz

dx

= −cotgφ → tgφ dx dz

pero

= −

dz2

dx2 +

dz dz2

dx = dz 1+

dz2

a(1− e2)cosφ = dφ (1− e2sen2φ)32

dz

ds =

dz

1+ tg2φ =

=

M⋅dφ

→ M=

cosφ 1

a(1− e2) luego:

=

dz

cosφ dφ

M 3 2

2 2

(1− e sen φ)

Secciones principales (para

un punto): Sección meridiana, radio de curvatura mínimo Sección 1o vertical (acimut 90º), radio de curvatura máximo

Radio de curvatura de la sección meridiana (M): 2

M=

a ⋅(1− e ) (1− e 2 ⋅ sen2 φ)

3

2

Radio de curvatura de la sección del primer vertical (N): N=

a 1 − e ⋅ sen 2 φ 2

Radio de curvatura de una sección normal cualquiera con acimut α (Rα):

dz

2

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 23 de 93

Teorema de Euler: cos2 α =+ sen⋅ 2α

1

sen2α Rα =

N⋅M Rα M N N⋅cos2 α + M

En los Polos α = 90º

MP = NP Sección meridiana

Sección 1er vertical Radio medio de curvatura (Ro)

En el Ecuador α = 0º b2

a2 = RoP = b

ME = a

MP = NP

NE a= b

Ro = MN =

2

2

1− e ⋅sen φ Radio de un paralelo (r): r N= ⋅cosφ r tiene valor máximo en el ecuador (=a) y nulo en los polos

LONGITUD DE UN ARCO DE ELIPSE MERIDIANA

[Geodesia Geométrica, DMA 1982, Richard Rapp]

S

Para el caso de un arco circular: S = R·α Arco PP’ de la elipse meridiana. Radio de curvatura no varía.

α R

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y b a

Q

∆φ

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 24 de 93

P’ ds P

φ

O

x

M

Z

∆λ C

B

D

A

a

o

Y

b

X

M: radioEl radio de curvatura (M) de la sección meridiana es expresado como:

ds = M⋅dφ de ese modo el arco S se obtiene integrando: S=

φ2

∫φ1

Haciendo: φ2

2

ds = a ⋅ (1 − e ) ⋅

φ2

∫φ1

2

2

(1 − e ⋅ sen φ)

W = (1 − e 2 ⋅ sen 2 φ)

−3 / 2

dφ

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 25 de 93

∫ ds

d φ1

(1

W

Usando el desarrollo en serie de McLaurin:

12

2φ

+e4sen4φ

+e6sen6φ +e8sen8φ +... = 1+e sen 3

W Se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples:

1 1 sen2φ= − cos2φ 22 3 sen4φ= − 82

sen6φ= sen8φ=

1 cos2φ+cos4φ

15 15 − cos2φ+cos4φ−cos6φ 16 32 35 128 16

−

7

cos2φ+cos4φ−cos6φ+cos8φ

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Para el cuadrante meridiano: φ1 = 0º ; φ2 = 90º Para SAD69

s = 10.002.001,23m

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 26 de 93

s = a(1-e2) A π/2

[Rapp]

Zakatov en 1962:

[

s = a ⋅∆φ⋅1 −e ⋅ ( 2

1 3 3 3 15 1 2 4 2 + ⋅ cos2φm ) −e ⋅ ( + ⋅ cos2φm − ⋅ cos4φm ) + ⋅ e ⋅∆φ ⋅ cos2φm ] 4 4 64 16 64 8

Se considera exacta para líneas hasta 600km Zakatov simplificada: Mm = radio de curvatura de la latitud media. 1 2 2 s = Mm ⋅∆φ⋅[1+ ⋅ e ⋅∆φ ⋅ cos 2φm ] 8 .Para

s = Mm ⋅∆φ

precisión 1mm hasta aprox. 400 km

distancias muy cortas se puede simplificar por: precisión 1mm hasta aprox. 1 km

LONGITUD DE UN ARCO PARALELO Puntos de longitudes λ1 y λ2 en el mismo paralelo, sea L el arco: r = N cosφ

L = r ⋅∆λ = N⋅cosφ⋅∆λ (Calcular la distancia por el paralelo desde el Meridiano Greenwich a Santiago) (tarea: calcular y graficar 1” de arco meridiano y paralelo para diferentes latitudes en Chile)

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO ELIPSOIDICO Considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos (d y ). AB = CD = M dφ AD = BC = N cosφ dλ Ärea diferencial: dA = AB * AD = M N cosφ dφ dλ φ2λ2 φ2

A=

∫ ∫M⋅N⋅cosϕ⋅ dϕ⋅ dλ = (λ

2−

λ1)

φ1λ1

∫M⋅N⋅cosϕ ⋅ dϕ φ1

Área de la zona elipsoidica (dφ x 2π)

A' =1+ 21e2 + 38 e4 +165 e6 +12835 e8 + B' = 61 e2 +163 e4 +163 e6 +19235 e8 +

e10 e10

d

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C' = 803 e4 +161 e6 + 645 e8 + D' = 1121 e6 + 2565 e8 + E' = 23045 e8 +

e10

∆φ = φ2 − φ1

y

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 27 de 93

e10

e10

Área del cuadrilátero elipsóidico (dφ x dλ) A = 2 ⋅ b2 ⋅ ∆λ[A'⋅sen ∆φ ⋅ cos φm − B'⋅sen3∆φ ⋅ cos 3φm + C'⋅sen5∆φ ⋅ cos 5φ− − ...] ∆φ = φ2 − φ1

;

∆λ = λ2 − λ1

y

APROXIMACIÓN ESFÉRICA En ciertos problemas la aproximación esférica (considerar la Tierra como esfera) puede ser suficiente, para triángulos geodésicos pequeños. Se adopta una familia de esferas con radios entre b2/a y a2/b, que son los radios medio de curvatura en el ecuador y en los polos, respectivamente. A cada triángulo corresponde un radio R0 = M⋅N calculado en función de la latitud media del triángulo. 2⋅a + b Radio de esfera con media aritmética de los 3 ejes:

R= 3

Radio de una esfera de igual área que el elipsoide (RA): RA =

AE 2 3 4 5 = b ⋅ (1 + ⋅ e 2 + ⋅ e 4 + ⋅ e 6 + ⋅ e 8 + ...) 4π 3 5 7 9

Radio de una esfera de igual volumen que el elipsoide (RV): VESFERA

VELIPSOIDE

b

RV = 3 a2 ⋅b = a6 (1− e2)

CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS Sección normal directa respecto al punto “A”: sección normal en A que contiene el punto. Sección normal recíproca respecto al punto “A”: sección normal en C que contiene el punto.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 28 de 93

En general, para puntos distintos, las normales en A y C no son coplanares secciones normales directa e inversa no son coplanares “camino” normal A-C ≠ “camino” normal C-A. Coplanares solo si los puntos están en la misma latitud o misma longitud. Se fuera posible calar con un teodolito, instalado en el elipsoide según la normal, los planos de observación A-C es diferente a C-A, o sea, son diferentes direcciones. Para punto más al sur

curva directa más al sur.

Secciones normales no definen un triángulo geodésico. El mejor camino entre los dos puntos es una curva, generalmente reversa, comprendida entre los planos directo y recíproco, denominada línea geodésica.

SEPARACIÓN ENTRE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS Considérense dos puntos sobre el elipsoide (A y B) en diferentes latitudes y longitudes. Al estar a diferentes latitudes sus normales no son colineales (no se intercectan en el mismo punto sobre el eje de rotación). La visual directa (A→B) está contenida en la sección normal A→B, mientras que la visual recíproca (B→A) está en la sección normal recíproca B→A. Esto quiere decir que la intersección entre los planos directo y reciproco se produce en la cuerda AB.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 29 de 93

En la práctica interesan las diferencias en distancia y acimut entre secciones normales recíprocas. Ángulo auxiliar (β [Gemael] tgβ =

e2

⋅(N1 ⋅senφ1 −N⋅senφ ⋅) cosφ

N+ e2 ⋅(N1 ⋅senφ1 −N⋅senφ ⋅) senφ Ángulo ortogonal (V): [Gemael]

V = β⋅senA

A: acimut Z: ángulo cenital [Rapp]:

S V = 1 ⋅e2( )⋅cos2 φm ⋅sen2A 2 N1

S: distancia geodésica A: acimut Para S = 100km; φm = 45º; A = 45º :

V = 6”

(valor máximo en A = 45º)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 30 de 93

Separación acimutal (θ): N

B A A’

S

2θ/3

θ/3

A1

Ángulo en el plano tangente (horizontal) en N [Gemael]: θ = β⋅senA cot⋅ gZ e2 θ=

[Rapp]:

S ⋅(

4 e2 θ=

[Jordan]:

)2 ⋅cos2 φm ⋅sen2A N1 S

⋅( 2

)2 ⋅cos2 φ ⋅1 senA12 ⋅(cosA12 − N1

Para φm = 0º y A = 45º S

200km

100km

50km

θ”

0,36”

0,09”

0,023”

100km

30km

Para φm = 52º y A = 45º S

150km

θ” 0,057” 0,032” 0,003” En la práctica se hacen correcciones a distancias > 30km

SEPARACIÓN ENTRE ARCOS En el punto medio entre A y C, la separación “L” será máxima: e2 ⋅S3 ⋅cos2 φ ⋅sen2A [Gemael]:

L= 16⋅N2

Para φm = 45º y A = 45º S

200km

100km

50km

tg 1 S φ ⋅ ) 2 N1

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L máximo

0,050m

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 31 de 93

0,006m

0,0008m

Para φm = 52º y A = 45º S

150km

100km

30km

L máximo

0,013m

0,0038m

0,0001m

REDUCCIONES GEODÉSICAS ANGULARES 1- Corrección del acimut debido a la altura del punto observado Las direcciones se miden entre puntos sobre la superficie terrestre, sin embargo los cálculos se efectúan sobre la superficie del elipsoide, por lo tanto existe influencia de la altura del punto visado en el acimut calculado. Desde A se cala B, a altura h. Acimut deseado: A; Acimut observado: Ah Puesto que el elipsoide es achatado, se debe considerar la diferencia (A – Ah)

B A

Ah

b’ δ2

B´ A NB

NA

[Rapp ]

δ2 =

S

⋅e

2

cos φm ⋅ cos A AB ⋅ 2

Mm

h δ = A − Ah = ⋅e2 ⋅cos2 φm ⋅sen2AAB ⋅ 2Mm

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 32 de 93

La corrección no depende de la distancia entre los puntos. Esta corrección se aplica solamente cuando el punto calado (B) está en altura, independiente si el punto origen (A) de las visadas está en altura. (tarea: hacer gráfico de corrección por altura, para diferentes latitudes) LÍNEA GEODÉSICA

B normal B-A

Geodésica entre AyB A

normal A-B meridiano C tangente

B

A

Para obtener un único triángulo elipsóidico, los vértices deben estar conectados por líneas geodésicas. Línea geodésica, yacente a una superficie, es la que en todos sus puntos el plano osculador es normal a la superficie Es única entre dos puntos Es la distancia más corta sobre la superficie En el plano es una recta En una esfera es un arco de círculo máximo En el elipsoide es reversa (curvatura espacial) ; no es plana Propiedad importante: la normal principal de la geodésica coincide, en cualquier punto, con la normal del elipsoide. La normal (principal) está contenida dentro del plano osculador que pasa por tres puntos infinitamente cercanos en la curva. La sección normal no tiene esta propiedad. característica: r senA = constante

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 33 de 93

(¿Paralelos y meridianos son líneas geodésicas?)

2- Corrección ángulo geodésica – sección normal. Se necesita transformar el acimut de una sección normal en el acimut correspondiente de la línea geodésica, ya que esta representa sin ambigüedad el lado de un triángulo geodésico. La línea geodésica divide el ángulo “θ” de las secciones normales recíprocas (excepto en los casos de acimut 90º o 270º), en razón 1:2, estando siempre más cerca de la sección normal directa. Designando por “τ” la corrección: r = N cos φ N cosφ sen A = cte = K Ecuador A = 90º Meridiano A = 0

2

2

= A'−A = ⋅[cos2 φ⋅sen2A − S⋅sen2φ⋅senA]⋅ρ" e ⋅S

τ" = θ"

2

3

2N

12N

N

B A A’

2θ/3

S

θ/3

A1

τ=

θ"

e2 ⋅S2 = A'−A =

⋅cos2 φ⋅sen2A

K=N K=0

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3

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 34 de 93

12N2

(tarea: calcular la reducción anterior para diferentes distancias en azimut 45º) Si los dos puntos están sobre el mismo meridiano, solo existe una sección normal entre ellos, la geodésica es el meridiano (τ = 0). Pero ..... Si los dos puntos están sobre el mismo paralelo, solo existe una sección normal entre ellos, sin embargo la geodésica NO coincide con esta sección normal. La geodésica estará fuera de las secciones normales. La diferencia no influye en la distancia.

3- Corrección por deflexión de la vertical. (cenit geodésico ) Z ξ meridiano

η

e

Z’

A

Debido a que las mediciones no se efectúan sobre el elipsoide y sí sobre la Tierra verdadera, bajo influencia del campo gravitacional, los ángulos se miden en la horizontal local (perpendicular a la vertical) y deben ser llevados al plano perpendicular a la normal del elipsoide. La diferencia se llama deflexión de la vertical, con componentes ξ (componente meridional) y η (componente en el 1er vertical).

1 δ3 = −(ξsenAAB − ηcosAAB)⋅

⋅ρ" tgZ

Z: distancia cenital del punto observado = (90-φ) δ3 =−(ξsenAAB −ηcosA AB) ⋅

1 ⋅ρ" tg(90−φ)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 35 de 93

Esta corrección es normalmente muy pequeña Corrección total:

Ac=Ao+δ+τ+δ3

TRIANGULACIÓN Cabe resaltar que las triangulaciones están en desuso, actualmente la materialización de redes geodésicas se realiza mediante GPS de alta precisión, siendo este al menos 10 veces más preciso que las triangulaciones. Sin embargo la densificación puede ser realizada por poligonación de precisión, alcanzando precisiones de las triangulaciones (10 ppm). La materialización del sistema cartográfico se efectuaba por un proceso llamado de “triangulación” (proviene de la época en que se formaban solo triángulos adyacentes) y los puntos llamados “vértices geodésicos”. La marca física se llama marco o monolito y representan geométricamente las visadas realizadas con teodolito. Las medidas son hechas sobre el terreno. Imposiciones iniciales: Posición; punto origen (o datum) de coordenadas geodésicas conocidas, amarración al elipsoide (evita translación); Orientación; conocer un acimut de partida (evita rotación); Escala; base geodésica inicial medida y reducida, significa imponer una escala. Con las 4 imposiciones iniciales se puede proyectar la triangulación sobre el elipsoide y se pueden transportar coordenadas. El problema del datum La mayoría de las triangulaciones geodésicas se caracterizan por la imposición inicial: ξ0 = η0 = N0 = 0 Desvío de la vertical = 0; ξ: componente meridiana; η: componente 1o vertical Coinciden en el punto origen la normal y la vertical y, elipsoide con geoide coincidencia entre coordenadas geodésicas y astronómicas. φ0 = φa ; λ0 = λa ; A0 = Aa De esta manera fueron definidas 3 de las imposiciones iniciales, por determinaciones astronómicas. La escala se define “midiendo” una base.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 36 de 93

PSAD-56. Con origen en el vértice La Canoa (Venezuela); elipsoide Hayford (Internacional). Hito XVIII = PSC-63 (Provisional Southern Chile 63). Origen en el Hito XVIII; elipsoide Internacional. SAD-69. Origen en vértice Chuá (Brasil); elipsoide SAD-69 (GRS-67). φ0 = 19º 45’ 41,6527”S ; λ0 = 48º 06’ 04,0639”W ; Aa = 271º 30’ 04,05” φa = 19º 45’ 41,34” S ; λa = 48º 06’ 07,80” W ; Aa = 271º 30’ 05,42” ξ0 = 0,31” ; η0 = 3,59” ;

N0 = 0 Paralelo al sistema terrestre medio.

1980: UGGI definió el GRS-80 adoptado por Transit y después por GPS. Cálculo de la triangulación. Operaciones astronómicas: puntos de Laplace (φ y A) Operaciones geodésicas: - Medida de base geodésica inicial y de verificación. - Medida de ángulos o direcciones horizontales. - Medida de ángulos verticales. La triangulación (y cualquier medición) está sujeta a errores observación (accidentales) figuras no cierran coordenadas dependen del “camino” utilizado. Después de eliminar los errores sistemáticos, se procede al ajuste por el Método de los Mínimos Cuadrados (MMC) solución única coordenadas únicas. Precisión nominal ..... 1/100.000 ó 10ppm. Los ángulos verticales se usan en la nivelación trigonométrica, no tan precisa como nivelación geométrica. Esta es conducida en redes separadas a la triangulación. Rigidez. La figura básica de la triangulación es el cuadrilátero completo, con lados y diagonales visados en ambas direcciones. Rigidez es un concepto precursor de las técnicas modernas de optimización basadas en elipses de errores. En la práctica ya no se usa. Consiste, a partir de la ley de propagación de errores, en el error probable del logaritmo de un lado, calculado por la solución de uno o varios triángulos. Medición de Ángulos Horizontales por reiteración. Reiteración. Se usa diferentes partes del limbo horizontal. Reconocimiento. Objetivo: adoptar una figura prefijada; asegurar intervisibilidad; lugares accesibles y permanentes; evitar refracción lateral.

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Materialización. Marcos o monolitos de concreto con identificación y marca de centrado. Mediciones de 1er orden se efectúan normalmente en la noche, por causa de menos refracción y visibilidad. Se necesitan lámparas eléctricas. Centrado. En caso de no haber visibilidad se construye una torre de madera o metal. Las prefabricadas usadas por el DMA se llaman Torres Bilby de hasta 38m; consiste en dos torres concéntricas independientes. Plomo óptico ni cualquier otro sirve para instalar el teodolito; se usa un colimador vertical.

MEDICIONES DE BASES GEODÉSICAS. Distanciómetros mecánicos. Hasta fines del siglo 19 eran medidas con reglas rígidas bimetálicas. En 1885 en Suecia se inventó la liga Invar (acero con 35% níquel) con bajo coeficiente de dilatación. Coef. dilatación acero ~ 0,000 01 Coef. dilatación invar ~ 0,000 000 04 (250 X); más blando y menos elástico que acero. Se usó hasta unos 40 años atrás. Hilos (o cinta) de invar eran de 24 o 50m y poseían en los extremos pequeñas reglas graduadas de 8 centímetros . Se debía estacar cada 24 o 50m ±15cm. Se aplican tensores de 10kg en los extremos. Se hace nivelación geométrica en las estacas para reducir al horizonte más correcciones de temperatura, flecha, variación de tensión, etc. Después era reducida al geoide. .... semanas de trabajo para medir una base.

Distanciómetros electrónicos. En 1947 se inventó en Suecia el Geodímeter (Geodetic Distance Meter) basado en onda luminosas; en 1957 en Sudáfrica se inventó el Telurómetro (microondas), el más popular en geodesia.

REDUCCIONES GEOMÉTRICAS Para convertir la distancia electrónica en distancia geodésica se deben efectuar algunas correcciones geométricas. 1- Reducción de distancia geométrica a distancia inclinada

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REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ELECTRÓNICAS.

! !

"

# !

$

,

%)%- ,. ,

/*)

%&' 01 2 3

! $ 0.29065 * P Cd(ppm) = 281.8 −

X

0.0004126 *h

1+ 0.003660 *T − 1+ 0.003660 *T·10

7.5*T X=

+ 0.7857 237.3+T

,

Cd(ppm) = 281.8 −

, 0.2904* P[hPa] 1

+ 0.003660*T

(Leica)

272.479+T

(Trimble)

79.146*P[hPa] Cd(ppm) = 255−

106.033*P[mm/ Hg] Cd(ppm) = 273.15+T

279.66 − (Topcon)

$

! $ 2

− 0.2904

2

2

0.2904* P*0.00366

2

%(' !

&)'

*)+

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+

=

dD 0.003660*T

dP +

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(1+ 0.003660*T)2

$

dT 2 1

% -

%)

%4

!

!

5

! %4

-

!

26

2

78 26

!

m-i

DG Z Z´

i

m

Di Cz

Di

Dh

2 2

9

!

Di = DG2 +(m − i)2 −2*DG *(m − i)*cos Z´

# : !

3 !

7 < 78= "

;!

# 3

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7 78 "

$ 3 3

m−i

(m − i)⋅senZ´

Di =

sen(cz)

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 40 de 93

→

cz =

senZ´

Di !

2,"

2

7

3

26

78

2- Reducción al horizonte. La distancia electrónica (Di) es inclinada y la distancia horizontal (Dh) es:

Dh = Di * cosα

; α = ángulo vertical respecto al horizonte, o

Dh2 = Di2 - ∆H2

; ∆H = desnivel

terreno A

Siendo la corrección

Ch = Dh – Di = (Di - ∆H )

Dh

B

2 2 1/2

– Di m

NMM elipsoide

h Dr S

3- Reducción al geoide (NMM). Designando por H la altura ortométrica conocida (al geoide) de la base, o del lado de la poligonal; por De el lado proyectado en el elipsoide:

Rm

sea la corrección Ce = Dh – Dr 2

H H − CP = Dh ⋅(R R2 +...) R: radio de la sección normal del acimut. Fórmula de Euler. En ciertos casos se puede tomar un radio medio. (notar semejanza con la corrección al NMM, deducida por otro camino)

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sen2A

1 =

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cos2 A +

RA

N

M

En rigor la corrección debe hacerse al elipsoide (superficie donde serán realizados los cálculos), pero recordar que H = h – N, y cuando N ó h eran desconocidos (antiguamente), los geodestas reducían las bases al geoide, no obstante los cálculos de la triangulación fueran realizadas en el elipsoide.

Reducción al elipsoide Otra forma de realizar la reducción al elipsoide, es a través de un factor de escala debido a la altura (h) sobre el elipsoide, denominado factor de escala debido a la altura (Kh). De la semejanza de triángulos:

Dh De

R h + = constante para un mismo h = Kh

= R

Kh relaciona (como factor de escala) Dh y De. R +h Kh = = R

R +H+N R

Si no se conoce h (elipsoidal), se debe usar H (ortométrica) y N (ondulación geoidal). En caso de desconocer N, que en Chile varía entre 10 y 30 metros, aproximadamente respecto a WGS-84, se introduce un error, por ejemplo a N=20 m: R + ∆N 6378000 + 20 ∆K∆N

=

= 6378000

mm

=1.00000470 = 4.7 km R

Nótese que aquí se ha usado un radio aproximado R=6378 km, debido a que siendo la variable del numerador (∆N ó h) de la expresión de Kh, muy pequeña respecto al radio, la precisión de Kh casi no es afectada.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 42 de 93

4- Reducción al arco elíptico.

S

Esta corrección es aditiva (contrario a las anteriores) S = R⋅α

De

=

De 2R⋅sen

α α3

α

R

R⋅α3 ⋅α

CG ⋅α −

⋅α + R⋅α3

De3 2

CG

24R (Analizar si esta corrección es significativa) De [km]

corr [m]

1

0.000

2

0.000

5

0.000

10

0.001

20

0.008

30

0.028

40

0.066

50

0.128

PPM

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 43 de 93

TRIÁNGULO GEODÉSICO. El objetivo inmediato de la geodesia es determinar coordenadas de puntos en la triangulación, trilateración y poligonales de precisión. Las coordenadas son transportadas vértice a vértice. Significa que todos los lados deben ser conocidos y surge el problema de resolver los triángulos geodésicos. No se pueden utilizar los valores observados, pues las coordenadas dependerían del camino utilizado. Debe haber solución “única”, para eso los valores deben ser ajustados. Aquí no se abordará el ajuste por el Método de los Mínimos Cuadrados (MMC). El ajuste presupone una resolución preliminar de los triángulos geodésicos. El modelo geométrico adoptado es el elipsoide, por lo tanto los triángulos geodésicos son elipsóidicos y no esféricos. Pero como el elipsoide tiene poca excentricidad, se puede asumir como esféricos, siempre que se les atribuya una esfera correspondiente de radio igual a el radio medio R0 en función de la latitud del centro de gravedad del triángulo, o latitud media. R0 =

M⋅N

En un triángulo esférico, la suma de los ángulos interiores es mayor que 180º (excluyendo errores de medición) EXCESO ESFÉRICO Es el valor que excede dos ángulos rectos. ε = A+B+C-180º ó =A+B+C-200g TEOREMA DE LEGENDRE. Se conservan los lados y varían los ángulos. A’

A

β

γ

B

S’ B’

α

β'

γ’

S

C

α'

C’

Sean dos triángulos, esférico y plano, cuyos lados correspondientes son iguales en longitud: α = α’ ; β = β’ ; γ = γ’ Condiciones del teorema de Legendre: 1. Los dos triángulos tienen la misma área (S = S´) 2. Los ángulos del triángulo esférico son iguales a los correspondientes del triángulo plano, más 1/3 del exceso esférico (ε) (A-A´=ε/3) En la práctica:

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 44 de 93

Se miden triángulos elipsóidicos. Se suponen esféricos se “transforman” en planos

Se calcula el exceso esférico Se calculan los lados

Se transportan coordenadas S' ε= S´: superficie triángulo esférico R2 S

R = MN

senA´ β⋅α ⋅senA'

"

ε=

ρ" 2MN 1

esférico : m =

ρ"

;

"

'

factor ε = m⋅β⋅α ⋅senA

de

exceso

2MN Cálculo provisorio del triángulo. El cálculo definitivo de los triángulos es después del ajuste de los ángulos y este presupone conocer el exceso esférico, que a su vez exige el cálculo preliminar de los triángulos. Recordando que cuando los ángulos de un triángulo tienen el mismo peso, son corregidos en 1/3 del error de cierre (E). Por Legendre, los ángulos planos corregidos se obtienen de los ángulos esféricos “observados”.

A' = A − B' = B −

ε + E= A − 3

ε + E= C − 3

E : error de cierre

3

ε + E= B − 3

C' = C −

A + B + C −180o A + B + C −180o 3 180o A+B+C− 3

Resuelto el cálculo provisorio (ángulos A´,B´ y C´), se determina el exceso esférico (ε), posteriormente se ajustan los triángulos y finalmente se transportan las coordenadas.

Reducción de valores observados.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 45 de 93

Obviamente los valores brutos no pueden ser considerados en los cálculos geodésicos. Ellos vienen con errores de medición debido al observador, al equipo y a los efectos ambientales. Después de la eliminación de los errores sistemáticos, las observaciones son ajustadas. Como las observaciones son realizadas en la superficie física de la Tierra y los cálculos son en el elipsoide, ellas deben ser reducidas. 1 Ángulos horizontales. 1.1 reducción geométrica: efecto de la altura de la mira y ángulo sección normal - geodésica 1.2 reducción física: medidas sobre la vertical y cálculos en el elipsoide: corrección del desvío de la vertical 2 distancias. 2.1 Reducciones geométricas: al horizonte; al elipsoide; al arco 2.2 Ángulos verticales. Se verá en nivelación trigonométrica.

MÉTODO DE LOS ADITAMENTOS (O AGREGACIONES). Se mantienen fijos los ángulos y se modifican los lados Permite resolver triángulos geodésicos como triángulos planos α'

senA =

Del triángulo plano:

β'

senB α3 α' = α −

β3 β' = β −

2

6R

χ3 γ' = γ −

2

6R

2

6R

aditamentos que convierte el triángulo esférico en plano Este procedimiento es poco usado, pero tiene la ventaja que de una serie de triángulos solo el primer lado es convertido a plano; de allí en adelante se resuelven todos como planos. TRANSPORTE DE COORDENADAS

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 46 de 93

N N

1

A12 2

S12

A21

A23

α β S23

4

3

Problema directo de la geodesia. Dadas las coordenadas de un punto P1 en el elipsoide, la distancia y acimut a un punto P2, determinar las coordenadas de P2. (φ1, λ1, S1-2, A1-2) calcular (φ2, λ2, A21) φ2 = φ1 + ∆φ ; λ2 = λ1 + ∆λ ; A21 = A12 + ∆A + 180º Este es el objetivo inmediato de la geodesia (transporte de coordenadas). Problema inverso de la geodesia. Dadas las coordenadas de dos puntos P1 y P2 en el elipsoide, determinar la distancia y los azimutes entre P1 y P2.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 47 de 93

(φ1, λ1, φ2, λ2) calcular (S1-2, A1-2, A2-1) Se pueden considerar dos hipótesis: Distancias pequeñas < 50km, fórmulas son equivalentes en precisión Distancias grandes > 50km, fórmulas pierden precisión respecto a la distancia y deben ser tratados con más cuidado. M⋅ dφ = cosA ⋅ ds N⋅cosφ ⋅ dλ = senA ⋅ ds dA tgφ = senA ds N desarrollando en serie:

= ds

=

dA − senφ dλ − senφ

dλ

dλ ds ds

γ

FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA DIRECTO) Las fórmulas derivadas por el geodesta francés

P’

Puissant son las más utilizadas en líneas hasta 80km [Rapp]. Latitud

P

Se utiliza la esfera de Jacobi en el teorema de Dalby para el transporte de latitud. La esfera auxiliar es tangente al elipsoide en el 1er vértice. P1 es el vértice conocido y B2 es el vértice a determinar.

P A12

PP1 y PP2 son los meridianos geodésicos; P’P1 y P’P2 son los respectivos esféricos.

Elipsoide y

P2

s

1

φ1

esfera tienen en común el paralelo (φ) de P1, su radio coincide con la Gran Normal (N’) en ese

φ2

N

punto, su centro es en (o); significa que en el

φ Ecuador elipsoide latitudes esférica y geodésica son iguales. El Ecuador esfera acimut y la distancia son iguales en la esfera y en el elipsoide. vértice P1 las

φ

H

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 48 de 93

Fórmula de los 4 elementos aplicado al lado P’P1 del triángulo esférico y el valor angular (σ) del arco P1P2 , o sea σ = s/N s

s

senφ2 = senφ1 ⋅cos

+ cosφ1 ⋅ sen N1

⋅cosA12 N1

s

s

sen(φ1 + ∆φ') = senφ1 ⋅cos

+ cosφ1 ⋅ sen N1

⋅cosA12 N1

2

∆φ' =

s ⋅cosA12 − N1

3

s 2 ⋅ tgφ1 ⋅ sen2A12 −

2N1

3

s 3 ⋅cosA12 +

∆φ6'

6N1

Una mejor aproximación en la iteración es: 2

s ∆φ'

=

2

s ⋅cosA12

N1

−

2⋅

tgφ1 ⋅ sen A12

2N1 s

∆φ' =

s2

s3

N1 ⋅cosA12 −

2N12 ⋅ tgφ1 ⋅ sen2A12 − 3tg2φ1) + ...

1N13

⋅cosA12 ⋅ sen2A12 ⋅(1+

Hasta ahora se trabajó en una esfera de radio N y debe cambiar ∆φ’ (medido en la esfera de radio N1) por ∆φ a lo largo del meridiano. Para eso se asume que N1 ∆φ’ en la esfera es igual a la distancia correspondiente en el elipsoide. Permitiendo que Mm sea el radio meridiano de curvatura en la latitud media.

N⋅ ∆φ' = Mn ⋅ ∆φ

⇒

N

∆φ = ∆φ⋅' Mm

δφ: diferencia aproximada en latitud entre P1 y P2 ∆φ = B⋅s ⋅cosA12 − C⋅s2 ⋅ sen2A12 −E⋅h⋅s2 ⋅sen2A12 −D⋅ δφ( Con:

1

6N12

M1

)2

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δφ =

M1 ⋅cosA12 − ⋅cosA12 ⋅(1+ 3tg2φ1)

1

2M1N1 ⋅sen2A12 ⋅tgφ1 − = 3e2 ⋅senφ ⋅1 cosφ1

C= M1

s 6M 13N12 ⋅sen2A12

s s2

tgφ1

B=

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 49 de 93

D 2(1− e2 ⋅sen2φ1)

2M1N1

E = 1+ 3tg2φ1

h = s⋅cosA12

φ2 = φ1+∆φ Esta serie es rápidamente convergente. Los términos C y D son negativos en el hemisferio sur. Antiguamente (sin computadores) los cálculos eran realizados con tablas de logaritmos de B, C, D, y E. Longitud. Analogía de los senos al triángulo elipsóidico, supuesto esférico P1P2P’ (de radio N) con φ2 conocido.

sen∆λ = senA12 ⇒ sen∆λ = sen s ⋅ senA12 ⇒ sen∆λ = sen N cosφ2 2 sen N2

Desarrollado en serie: s

s2

senA

∆λ = ⋅ 12 ⋅[1− ⋅(1−

A12

sen2

)] N2 cosφ2 6N22 cos2

φ2 Contra acimut Usando las analogías de Napier: A c

b

B

C

cot

A

s ⋅ senA12 ⋅ sec φ2 s cosφ2 N2

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B

= A12 ;

C

= 360º-A21

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 50 de 93

b = 90º-φ2 ;

c = 90º-φ1 A = ∆λ

A21 = A12 + ∆A + 180º ∆A : convergencia meridiana sen φm ∆λ⋅ sen φm ∆λ ⋅ sen φm ( ) + − 12 cos( 21 ∆φ) cos 3 ( 1 ∆φ) cos( 21 ∆φ) 2 3

3

∆A = Resumen Calcular M y N

Calcular ∆φ’ aproximado Calcular ∆φ y φ2 Calcular N2 Calcular ∆λ y λ2 Calcular ∆Α y A21

FÓRMULAS DE PUISSANT (PROBLEMA INVERSO) (φ1, λ1, φ2, λ2)

calcular

(S1-2, A1-2, A2-1) usando la

ecuación directa de la longitud de Puissant. N2 ⋅ ∆λ ⋅cosφ2 = X (1) s ⋅ senA12 = s

[1−

2 2 ⋅(1−

2

2

sen A12 ⋅ sec φ2 )]

6N2 1 s ⋅ cosA12 = ⋅ ∆φ +[ D⋅ δφ( ) ]2 B

⋅h⋅s2sen2A12 +

1 s ⋅ cosA12 = 2 −E ⋅h⋅ X + D⋅ δφ( ) ]2 B

⋅ ∆φ +[

C⋅s2 ⋅sen2A12 −E (2) C⋅ X2

s ⋅senA12 tgA12 =

(3) s ⋅cosA12

Estas fórmulas son iterativas, acimut (A12) y distancia (s) están presentes en las ecuaciones. Calcular N1 , N2 y M1 Usando solo el denominador de (1) calcular (s*senA12), reemplazar en (2) y calcular (s*cosA12) Calcular (tgA12) con (3), resulta A12 aproximado

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 51 de 93

Usando (1) o (2) calcular “s” Realizar iteraciones. COORDENADAS CARTESIANAS. Comenzaron a tener uso más amplio con la geodesia satelital y los sistemas de referencia globales. Los cálculos 3-dimensionales se facilitan, pero tiene el inconveniente que es no es apto a la cartografía.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 52 de 93

Relación entre coordenadas geodésicas y cartesianas.

X = (N +h)⋅cosφ⋅cosλ Y = (N +h)⋅cosφ⋅senλ Z = (N⋅(1−e2) +h)⋅senφ d = (N + h)cos φ = X2 + Y2 X = d ⋅ cos λ Y = d ⋅ senλ N' = N ⋅(1− e2 )

N: Gran Normal N’: Pequeña Normal

Fórmulas directas de Bowring.

d

=

(X 2 + Y 2 )

ψ=

a⋅ Z arctan[ ] b⋅ d

SISTEMAS DE REFERENCIA CONVENCIONAL Sistema de Referencia Celeste Convencional (CCRS): Eje Xc apunta al equinoccio vernal medio de las 12h del 1º de enero de 2000 (día Juliano 2451545,0 – J2000); eje Zc apunta en la dirección del polo norte celeste medio de la misma época; eje Yc completa el sistema dextrógiro.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 53 de 93

Sistema de Referencia Terrestre Convencional (CTRS): Geocéntrico; centro de masa de la Tierra (Tierra y atmósfera) coincide con el origen Fijo a la Tierra - ECEF Orientación dada por el BIH (Bureau International de L’Heure) en la época 1984,0 Sin rotación Eje Z en la dirección del polo terrestre convencional (CTP); eje X en la dirección del meridiano medio de Greenwich . Se recomienda usar el elipsoide GRS80. El CTRS es definido como un ITRF (International Terrestrial Reference Frame) el cual es mantenido por el IERS (International Earth Rotation Service) La transformación entre CCRS y CTRS se efectúa usando rotaciones que consideran precesión, nutación rotación y orientación de la Tierra (incluyendo el movimiento del polo) Precesión: movimiento secular cónico del eje de rotación respecto a la eclíptica Nutación: movimiento del eje de rotación respecto del eje de la figura; es parte del movimiento del polo ITRS (International Terrestrial Reference System), es la idealización de un sistema CTRS definido por el IERS. ITRF (International Terrestrial Reference Frame), es el Marco de Referencia Terrestre Internacional del IERS - International Earth Rotation Service (Servicio Internacional de la Rotación Terrestre) es un referencial geocéntrico global de orden científico, tetradimensional SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas. Sistema ITRF y elipsoide GRS80 (del WGS84). Materializado por 58 estaciones en ITRF 1995,4. En la prática identico al WGS84. En Chile 8 estaciones SIRGAS. SIRGAS2000, materialización en el año 2000 de SIRGAS, referencia ITRF2000, es el nuevo Sistema Geodésico en Chile. (tarea: investigar el sistema ITRF)

SISTEMAS DE REFERENCIA. Sistema Geodésico: adopta un elipsoide de referencia fijado espacialmente respecto al cuerpo terrestre. Los sistemas de referencia continentales o nacionales no son geocéntricos y a veces no paralelos al CTS. Un sistema de referencia puede ser :

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 54 de 93

DEFINIDO: sistema abstracto - IDEAL: para no ser implementado - CONVENCIONAL: asociado a la implementación (constantes y modelos físicos), ejemplo es el ITRF REALIZADO: asume características físicas. Un sistema realizado es una Red de Referencia. La realización no siempre corresponde a la definición. La realización depende de las técnicas utilizadas. Ejemplo, SAD-69 es definido de forma única y realizado de formas diferentes. Se puede definir un sistema local pero al realizarlo se introducen errores. Al relacionar estos pueden aparecer rotaciones producto de las deformaciones naturales de la realización.

CATEG REDES

ORDEN

ORDEN “CLÁSICO”

PRECISIÓN PPM

PRECISIÓN 1/X

GEODINÁMICA ITRF - SIRGAS

AA

-

0,01

100.000.000

REF NAC PRIMARIA DEFORMAC

A

-

0,1

10.000.000

REDES LOCALES INGENIERÍA

B

-

1

1.000.000

C

1er orden

10

100.000

D

2o orden

20

50.000

CONTROL MAPEO

?

RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE SISTEMAS GEODÉSICOS. La transformación de sistemas se puede realizar de varias formas. Parámetros geocéntricos - 3 parámetros: solo translación (sistemas paralelos) - 6 parámetros: translación (3) y rotación (3) - 7 parámetros: translación, rotación y escala - n parámetros: distorsiones Modelos diferenciales: ej. Rapp, Veis, Molodensky, simplificadas de Molodensky, Vincenty. Modelos Cartesianos (o matriciales): más fáciles de “comprender”

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 55 de 93

Ángulos de Euler.

X´ cosω senω 0 =

R3(

cosω senω 0 cosω 0 )ω 0

=−senω 0

1

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Haciendo rotar el eje Y en ε: Z`= h+e X´= -g+f

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 56 de 93

X

X´

Z

e g ε X´

e = X senε f = X cosε g = Z senε h = Z cosε

f

ε

h Z´

ε

X Z´

X´= X cosε - Z senε Z´= X senε +Z cosε

ε Y

X´

X . Y Z

cosε − senε X

X´ = Z´

cosε 0 − senε

≡

. senε

cosε

cosε 0 − R2( )ε

=0

Y1 Z1

1

0

senε

1

0

senε 0 X1

Y´ = 0

Z

cosε X

= R3(ω ⋅) Y Z X

X2 Y2 Z2

X1 = R1( )ε ⋅ Y1

= R1( )ε ⋅R3(ω ⋅) Y Z

Z1

X

= R2(ψ ⋅) R1( )ε ⋅R3(ω ⋅) Y

X2 X3

Z

= R2(ψ ⋅) Y2 Y3 Z3

Z2

cosω senω

0

1

0

0

cosψ 0 −senψ

Z´ Z

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R3( )ω = −senω cosω

0

0

1

0

R1( )ε = 0

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 57 de 93

R2( )ψ =

cosε senε

0

0 −senε cosε

senψ

1 0

Z´

senε 0 cosε

0 cosψ

cosω⋅ cosψ − senω ⋅ senε ⋅ senψ R3( )ω ⋅R1( )ε ⋅R2( )ψ =

− senω⋅ cosε cosω⋅ senψ + senω⋅ senε ⋅ cosψ senω⋅ cosψ cosω⋅ senε senψ cosω cosε senω⋅ senψ cosω⋅ senε cosψ cosε

considerando que las rotaciones son pequeñas: sen(α ) = α ; cos(α )= 1 ; sen(α) sen(α) = 0 ω −ψ

1 E= −ω

1

ψ −ε

+ Rz − 1 Ry

1

ε

E = − Rz − Rx +

1 Ry

+ Rx 1

X3

TX

1

ω 1

Y3 = TY + k ⋅ − − ε ω Z3

TZ

ψ

−ψ ε

X1 Y1

1 Z1

Generalizando: X3 X Y3

= Y

y

k =1+ ∆L

+ ⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

cosε ⋅ cosψ

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Z3

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 58 de 93

Z

X = ∆X + X + ω⋅ Y − ψ ⋅ Z + X ⋅ ∆L Y = ∆Y + Y − ω⋅ X + ε ⋅ Z + Y ⋅ ∆L Z = ∆Z + Z + ψ ⋅ X − ε ⋅ Y + Z ⋅ ∆L Este corresponde al modelo completo de 7 parámetros: 3 traslaciones de origen (TX, TY, TZ) 3 rotaciones (ω, ε, ψ) escala (k) Los sistemas geodésicos son (generalmente) definidos y realizados (casi) paralelos al los sistemas convencionales; se utilizan mediciones modernas que no introducen escala. Se eliminan las rotaciones y escala. X3 Y3 Z3

TX

X1

= TY + Y1 TZ

Z1

La estimación de parámetros se realiza mediante técnica de Mínimos Cuadrados, usando como datos las coordenadas de varios puntos con coordenadas conocidas en ambos sistemas.

SISTEMAS GLOBALES DE REFERENCIA. El posicionamiento con GPS, así como su homólogo ruso GLONASS (GLobal NAvigation Satellite System), requiere sistemas de referencia bien definidos y consistentes, globales y geocéntricos, esto implica que consideran todo el globo terrestre y tienen su origen en el centro de masa de la Tierra. Sistema ITRF. El Sistema de Referencia Terrestre Internacional – ITRF (International Terrestrial Reference Frame), materializa un sistema global de carácter científico establecido por el Servicio Internacional de Rotación Terrestre - IERS (International Earth Rotation Service)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 59 de 93

y está materializado por redes geodésicas continentales implantadas a través de técnicas geodésicas espaciales modernas. Debido a la precisión alcanzada en la implantación y a los movimientos tectónicos sufridos en la corteza terrestre, las coordenadas asignadas a las estaciones deben ser reducidas a una época de referencia común t0. Significa esto la puesta en práctica de la geodesia global 4D (tetra-dimensional), donde a las coordenadas geocéntricas 3D les son asignadas sus variaciones o velocidades, o sea, las coordenadas pasan a tener validez respecto a una determinada época.

SISTEMA WGS-84. El Sistema Geodésico Mundial 1984 – WGS-84 (WorldGeodetic System 1984), es el sistema de referencia para el GPS y compatible con un ITRF básicamente bajo los siguientes aspectos: Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo océanos y atmósfera; Orientación: - eje Z en la dirección del Polo de Referencia IERS; - eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano ecuatorial; eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido mano derecha). Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también de WGS-84. Este elipsoide posee los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 – GRS80. Refinamientos del WGS-84 han llevado a la realización del denominado WGS-84 (G730), WGS-84 (G873) y WGS-84 (G1150). El último WGS-84 es compatible con ITRF2000 Los parámetros del WG-S84 son: Semieje mayor:

a = 6 378 137m

Achatamiento:

f =1 / 298,257 223 563

Velocidad angular de la Tierra:

ω = 7 292 115 *10-11 rad/s

Constante gravitacional:

µ = 3 986 004,418 *108 m3/s2

SISTEMA SIRGAS. La comunidad geodésica de América del Sur ha desarrollado un proyecto, aún en ejecución, denominado SIRGAS (SIstema de Referencia Geocéntrico para las

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 60 de 93

Américas), con fines de adoptar, para el continente, una red de referencia de precisión compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, principalmente GPS. SIRGAS adopta como sistema de referencia el ITRF y elipsoide del WGS-84, que en la práctica es idéntico al WGS-84. El órgano representativo de Chile ante el Proyecto SIRGAS, es el Instituto Geográfico Militar – IGM, responsable por la Red Geodésica Nacional - RGN. La materialización de SIRGAS se realizó en dos etapas, mayo de 1995 y marzo 2000. La adopción de SIRGAS por parte de varios países sudamericanos como referencia para los sistemas geodésicos nacionales, refleja la tendencia global de compatibilizar éstos a las tecnologías modernas y Chile en el futuro no debe estar fuera de ese contexto. Chile cuenta oficialmente con 269 estaciones materializadas en SIRGAS2000.

(tarea: investigar SIRGAS)

SISTEMAS PSAD-56 Y SAD-69. En las décadas de los años cincuenta y sesenta, para fines geodésicos y cartográficos fueron definidos los sistemas de referencia sudamericanos Datum Provisorio Sudamericano 1956 – PSAD-56, con su vértice de origen en La Canoa, Venezuela y Datum Sudamericano 1969 – SAD-69, con origen en Chua, Brasil. En Chile, el Instituto Geográfico Militar (IGM) implementó el PSAD-56 como sistema de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud 43º 30‘ Sur, lo que coincide aproximadamente con el límite entre las regiones X y XI. En el sur de Chile se usa el SAD-69 como referencia cartográfica, como también el datum Hito XVIII en el extremo sur de la XII Región. La cartografía sistemática escala 1/50 000 editada por el IGM es referida a los datums PSAD-56, SAD-69 e Hito XVIII, en cada región correspondiente. Las cartas escala 1/25 000 son referidas al SAD-69.

Datum

Elipsoide

Semi-eje mayor (a)

Achatamiento (1/f)

PSAD-56

Internacional (Hayford)

6 378 388m

297

SAD-69

SAD-69 (UGGI-67)

6 378 160m

298,25

Hito XVIII

Internacional (Hayford)

6 378 388m

297

WGS-84

GRS-80

6 378 137m

298,257223563

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 61 de 93

Parámetros de Transformación entre Sistemas. La transformación de coordenadas respecto a diferentes sistemas es de fundamental relevancia al compatibilizar sistemas de referencia, especialmente en posicionamiento por GPS, donde esta fase de cálculo se realiza de forma automática por los programas que acompañan a los equipos y no siempre es clara la metodología ni los valores utilizados, llevando en algunos casos, al usuario a realizar una transformación poco rigurosa o incorrecta. La figura ejemplifica la relación entre el datum GPS, WGS-84 y el datum SAD-69. Por definición, ellos son considerados paralelos, habiendo en este caso solo translación tridimensional entre sus orígenes, aunque en su materialización puedan existir deformaciones que produzcan rotaciones. Por ese motivo, el trío de valores correspondientes a tal translación, se denominan “parámetros de transformación” – PT entre datums, a saber ∆X, ∆Y y ∆Z, los que deben ser adicionados (considerando su signo) a las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) del punto a ser transformado.

ZSAD-69

ZWGS-84 YSAD-69

XSAD-69 TZ YWGS-84 TX XWGS-84

TY

Entre los diversos enfoques para la transformación de coordenadas, las formas más usadas de aplicar los PT, son: las Ecuaciones Diferenciales de Molodensky y los Modelos Cartesianos, aunque también existe el modelo de “Regresión Múltiple”, basados en desarrollo polinomial. A continuación se muestran los dos primeros modelos. Ecuaciones Diferenciales Simplificadas de Molodensky. Estas ecuaciones se usaron en el pasado, son de mediana precisión (decímetros) Este modelo posee la particularidad de transformar coordenadas, del primer datum al

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 62 de 93

segundo, en un solo modelo de ecuaciones, donde las coordenadas transformadas al 2o datum son dadas por: φ2 = φ1 + ∆φ , λ2 = λ1 + ∆λ y h2 = h1 + ∆h 1 [(a1 ⋅ ∆f + f1 ⋅ ∆a)⋅ sen2φ1 − TX ⋅ senφ ⋅1 cosλ1 − TY ⋅ senφ ⋅1 senλ1 + TZ ⋅ cosφ1] M1 1 ∆φ = ∆λ

=

∆h

=

[−TX ⋅ senλ + N1 ⋅ cosφ1 1 TY ⋅ cosλ1] TX ⋅ cosφ ⋅1 cosλ1 + TY ⋅ cosφ ⋅1 senλ1 + TZ ⋅ senφ1 + (a1 ⋅ ∆f + f1 ⋅ ∆a)⋅ sen2φ1 − ∆a

∆φ = ∆φ ρ

Con: M1 =

∆λ = ∆λ ρ

a1 ⋅(1− e12) 2

2

;

(1 − e1 ⋅ sen φ1 )

e2 = 2⋅f − f2

3

a1 , f1 : parámetros del primer elipsoide a2 , f2 : parámetros del segundo elipsoide ∆a = a2 – a1 , ∆f = f2 – f1 TX, TY, TZ : parámetros de translación entre los datums

Modelo Cartesiano. Este modelo es exacto, se recomienda su uso. La aplicación de las ecuaciones trigonométricas de transformación de coordenadas geodésicas a cartesianas, y viceversa, comenzaron a emplearse preferentemente con el advenimiento de las computadoras y aunque siendo este método de mayor número fases analíticas, es de más fácil visualización en cuanto a su concepto.

Sist. Geodésico 1

(φ, λ , h)1

Sist. Geodésico 1

(X, Y, Z)1

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 63 de 93

MOLODENSKII

CARTESIANO

Sist. Geodésico 2

Sist. Geodésico 2

2

(X, Y, Z)2

(φ, λ, h)

Este se basa en la conversión a coordenadas cartesianas y aplicación por separado de los PT, de acuerdo a las siguientes etapas: Convertir las coordenadas geodésicas en el primer sistema a coordenadas cartesianas en el mismo sistema: (φ,λ,h)1 (X,Y,Z) Aplicar los PT a las coordenadas cartesianas, trasladando el origen del sistema al segundo sistema: (X,Y,Z)1 + (TX,TY,TZ) = (X,Y,Z)2 Convertir las coordenadas cartesianas del segundo sistema a coordenadas geodésicas: (X,Y,Z)2 (φ,λ,h)2 Valores de Parámetros de Transformación. Considerando los sistemas geodésicos materializados según la región geográfica de que se trate, los programas utilizados y la literatura técnica consultada indican diferentes valores para los PT. Se muestra a título indicativo los valores de PT entre diferentes datums, calculados y difundidos por la Agencia Nacional Estadounidense de Imágenes y Mapas – NIMA, usados por muchos programas GPS y SIG: TRANSFORMACIÓN

VALORES [m]

OBSERVACIÓN

PSAD-56

WGS-84

TX = -270 ± 25 TY = +183 ± 25 TZ = -390 ± 25

Válidos para Chile, al norte del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 1 estación

WGS-84

TX = -305 ± 20 TY Válidos para Chile, al sur del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 3 = +243 ± 20 estaciones TZ = -442 ± 20

WGS-84

Válidos para Chile, al sur del paralelo 53ºS TX = +16 ± 25 calculados con 2 TY = +196 ± 25 TZ aproximadamente; estaciones = +93 ± 25

PSAD-56

Hito XVIII

SAD-69

WGS-84

TX = -75 TY = -1 TZ = -44

± 15 ± 8 ± 11

Válidos para todo Chile, calculados con 9 estaciones

Especial atención merecen las precisiones asociadas a los parámetros de translación. Programas que acompañan los equipos GPS, pueden tener incorporados diversos valores de PT, aplicados según diferentes modelos de transformación de sistemas,

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 64 de 93

incluyendo una opción para que el usuario imponga valores de PT y modelo de transformación, según su propio criterio. El año 2003, el IGM anunció oficialmente la adopción de SIRGAS2000 como nuevo referencia geodésico para Chile. Junto a ello difundió las monografías de los 269 puntos que materializan el marco de referencia y los parámetros de transformación con los sistemas clásicos, por zonas delimitadas en latitud, con precisión de ±5 metros:

SIRGAS A PSAD-56 17° - 26°

26° - 36°

36° - 49°

TX =

302

328

352

TY=

-272

-340

-403

TZ =

360

329

287

SIRGAS A SAD-69 17° - 26°

26° - 36°

36° - 49°

49° AL SUR

TX=

59

64

72

79

TY =

11

0

-10

-13

TZ =

52

32

32

14

(tarea: investigar como se comporta la diferencia de traslación en las coordenadas horizontales, en metros) SISTEMA TOPOCÉNTRICO Un sistema de coordenadas con origen en la superficie terrestre, con el eje “n” paralelo al meridiano local, el eje “h” sobre la normal y “e” perpendicular a los anteriores, forman un sistema dextrógiro.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 65 de 93

Este sistema denominado por Leick, sistema geodésico local, es topocéntrico. Como se nota existen dos rotaciones entre los sistemas (X,Y,Z) y (u,v,h): en torno a X: R1 = (90º–φ) en torno a Z: R3 = (90º+λ) Expresado matricialmente: e

X − Xo n = R1(90 − φo)⋅R3(90

h

+ λo)⋅Y − Yo Z − Zo 1

R1(90−φo)=0

0

0

cos(90−φo)

sen(90−φo)

0 −sen(90−φo) cos(90−φo) cos(90 + λo)

sen(90 + λo) 0

R3(90 + λo) =− sen(90 + λo) cos(90 + λo) 0 1 0 0

resulta:

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e

− senλo n = − senφ ⋅o cosλo

h

cosφ ⋅o cosλo

cosλo − senφ ⋅o senλo cosφ ⋅o senλo

0 X

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−

Y

X

o

o

s

c

e

o

n

s

φ

φ

o

o

Z

⋅

−

Y

Z

−

o

Una alternativa, actualmente en uso, es la adopción de una proyección cartográfica local, como el sistema Transersal de Mercator Local. Este tópico se verá en detalles junto con los conceptos de proyección TM.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 67 de 93

ALTIMETRÍA.

La superficie de referencia altimétrica es el geoide, el cual está definido como la superficie equipotencial (de igual valor de atracción gravitacional) que coincide con la superficie de los océanos en reposo, extendida sobre los continentes, su denominación más común es Nivel Medio del Mar – NMM. La altura sobre el geoide (o sobre el NMM) se denomina “altura ortométrica”, también referida como altitud o elevación. La “altura ortométrica” se definie como la distancia vertical desde el geoide a un punto en la superficie de la Tierra. La altura elipsóidica se mide por la normal al punto en la superficie terrestre, como muestra la figura. Para fines prácticos ellas se consideran colineales, aunque rigurosamente no lo son. La relación entre la superficie elipsoidal y la superficie del geoide está dada por la “ondulación geoidal” , designada por “N”, ella representa en un punto la altura del geoide respecto al elipsoide. El conocimiento de este valor es necesario para la reducción de alturas elipsóidicas a alturas sobre el NMM, de acuerdo a la expresión: h = H + N. La altura elipsóidica sólo interesa en posicionamiento con GPS. El tratamiento matemático del geoide es un problema complejo que se resuelve puntualmente y el usuario debe recurrir a modelos geoidales. Los modelos existentes están presentes en algunos programas computacionales de procesamiento GPS o se puede recurrir externamente a modelos continentales o aún, modelos globales modernos como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996), para obtener valores de ondulación. El EGM96 es de uso público y está a disposición un programa de extracción automática, con su respectivo banco de datos, en el “web site” de la NASA (http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html

o

http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html). Aún así, los usuarios deben estar atentos a nuevos modelos globales, continentales o regionales mejor adaptados a nuestro país. (tarea: investigar EGM96)

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA René Zepeda

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 68 de 93

Se obtienen desniveles a partir de medición de ángulos cenitales (o verticales), a través de solución de triángulos planos. Antiguamente fue denominado también como nivelación “geodésica”, porque era ejecutado en las triangulaciones, al contrario de la “geométrica” que se transporta a lo largo de las vías camineras. Con los distanciómetros electrónicos (EDM) la nivelación trigonométrica tuvo un papel más importante en las operaciones de apoyo al mapeo.

∆H = Di⋅cosZ +hi −hm ∆H = Di⋅senα +hi −hm ∆H = Dh⋅cotZ +hi −hm ∆H = Dh⋅tgα +hi−hm

CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD. Debido al efecto de la curvatura terrestre. Se adopta el modelo esférico. Sean dos puntos A y B en la horizontal de A encuentra al B’, “e” representa el efecto esfericidad. Es siempre positivo (se suma al desnivel). desnivel observado : ∆t = BB1 = D ⋅cosZA BB1

BB1 ≈ BB' = ∆ = cosω

Ángulo central ω: S ω=

D

= RR+H

Ejemplo, para S = 2.000 m el ángulo entre las dos normales: ω =0º 01´ 04,7”

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 69 de 93

BB1=∆t=S cos ZA=1256,430m BB´=∆= BB1/cosω=1256,455m; BB1= BB´ Corrección de esfericidad (o curvatura): e = B0B’ Del triángulo O-A-B’:

pero; pero: S2 ≈ S’2 = AB´2 R2

(R+e)2 = R2 +AB’2

+ 2eR + e2 = R2 + S2

D (m)

e (m)

100

0.0008

110

0.001

200

0.003

500

0.020

1000

0.078

2000

0.314

3000

0.706

5000

1.960

REFRACCIÓN TERRESTRE. El fenómeno refracción está presente en todas las operaciones geodésicas (astronomía, EDM, geodesia satelital, triangulación (lateral)). En las visadas de un vértice a otro, la refracción terrestre “levanta” el punto, obteniéndose elevaciones angulares aparentes más grandes que la verdadera. La refracción depende de las condiciones atmosféricas (temperatura, presión y humedad relativa) En condiciones de observaciones simultaneas la curvatura provocada por al refracción puede ser representada por un arco circular de radio R´ mucho menor que R 2

2

Del triángulo OAB´ : R´ +D =(R´+r)

D2

2

r=

2R´ Como no es posible conocer R´ se introduce un factor K representado por:

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1R K= ⋅ 2 R´

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 70 de 93

R 2K =

llamado coeficiente K de refracción R´

R reescribiendo:

R´= 2K D2

resulta:

r=

K R

Adoptando las hipótesis simplificadoras de Biot y Bouger, se admite que: Para una estación el ángulo de refracción ρ es proporcional a la distancia de la visada (S), o sea, al ángulo central correspondiente (w), a veces también llamado (c). definiendo la relación para el coeficiente m de refracción m=

ρ = m·w

De la figura siguiente, en que ρ es el mismo en ambas estaciones (por ser simultaneas): en el punto A:

ρ+Za+A=180º

en el punto B:

ρ+Zb+B=180º

sumando:

2ρ+(Za+Zb)+A+B=360º A+B+w=180º

pero: entonces:

2ρ+(Za+Zb)-w=180º 2ρ=180º+w-(Za+Zb)

(para observaciones simultaneas)

tomando Zm como la media de los cenitales Zm = (Za + Zb) 2ρ=(180º+w)-2·Zm pero como:

ρ = m·w

y

ρ= 90º+(w/2)-Zm

w=S/R resulta

ρ = (m·S)/R S

S = 90º+(

m R

2R

S )- Zm = (90º-Zm) + 2R

m = (90o − Zm)⋅R + S ⋅R = (90o − Zm)⋅R + 1

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S

2R S

(0,5−m) = (Zm−90o)⋅ R (0,5−m)⋅ω=(Zm−90o)

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 71 de 93

S

S

donde ω = R

2

S

fórmula para el cálculo de coeficiente de refracción

En algunas publicaciones se define K como K = (0,5-m) (DEBE SER CALCULADO PARA UNA ZONA ESPECÍFICA) Obviamente es necesario el conocimiento de K, este es un valor calculado por regiones, varia entre ~0,07 y 0,17. En diversas publicaciones se asume un valor medio de 0,08 y si R=6378km. Las correcciones por curvatura y refracción se pueden aplicar juntas: D2 r=

D2 ⋅K

r=

R

⋅(0,5 −m) R

En algunos libros y publicaciones aparece también m como K

CORRECCIÓN CONJUNTA (CURVATURA Y REFRACCIÓN). D2 e−r=

D2 −

2R

⋅K R

D2 = ⋅(0,5 − K) = 0,42 ⋅ R R

D2[km]

D2

= 15,18

Para observaciones simples: ∆H = S⋅cosZ + hi − hs + (e −r)

S: distancia geodésica

Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh donde Kh es la reducción al NMM Kh = (R+H)/R o Dh = S + Rh

donde Rh = ( S * H)/R

En razón que el coeficiente de refracción debe se determinado, o tabulado, para cada región, cualquier corrección que incluya un modelo de refracción será aproximado,

16-03-2012

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 72 de 93

especialmente en Chile, donde existen a lo largo del territorio, grandes diferencias de temperatura y humedad.

OBSERVACIONES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS.

B` A`

ZB

ZA

r

ρ

ρ

r

B

A HB

HA c

c geoide

R Z: ángulo con refracción ρ: ángulo de refracción r: efecto de refracción C: efecto de curvatura

ω

En los puntos A y B se miden los ángulos cenitales ZA y ZB ; sus alturas son HA y HB; e y r son los efectos de esfericidad y refracción. Sean: a = R + HA y b = R + HB donde a+b=2R + HA + HB a-b = HA - HB = ∆H los ángulos en A y B: Aˆ = 200g −(ZA + ρ) Bˆ = 200g −(ZB + ρ)

a + b(Aˆ +Bˆ) = a −b

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 73 de 93

Donde: A+B = 200 - ω A-B = ZB – ZA 2⋅R +HA +

HB

Reemplazando: ∆HBA

cotg cotg

cotg

de la figura: tg( )ω = 2

S

Hm =

2R S

∆H =

;

1 (Z − B

HA HB + 2 ZA )

(2R + 2Hm )⋅tg 2 2R S R

Luego: Hm ∆H = S⋅(1+ ) R haciendo:

∆Z = 21 (ZB − ZA )

Hm ) ∆H = S⋅(1+ R S: distancia geodésica

con Za y Zb cenitales corregidos a la línea

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Nótese que (1+ Hm ) = R

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 74 de 93

R H + = KH es la reducción de la distancia horizontal al NMM R

(o al elipsoide si se considera h). Cuando se emplea la distancia horizontal Dh = S * Kh

∆H =Dh⋅tg21 (ZB −ZA ) ZB y ZA corregidos a la línea en algunos libros se agrupan algunas correcciones: A = (1+H/R)

corrección a la distancia al NMM

B = 1+(S/2R)tg∆Z corrección a la distancia por el desnivel entre estaciones C = 1+S2/12R2

corrección a la distancia por curvatura

El término A es significativo y B es significativo de pendiendo de la distancia y desnivel.

Por lo tanto otra forma de expresar el cálculo del desnivel por observaciones recíprocas y simultaneas es: ∆H = S⋅ tg∆Z ⋅ A ⋅B⋅C

con la distancia geodésica, normalmente en

triangulación ∆H = Di⋅tg∆Z

con la distancia inclinada, normalmente en poligonales

electrónicas Esta proporciona el desnivel entre los dos puntos, sin intervenir la refracción ni la esfericidad, pero requiere medidas recíprocas (ZA y ZB) y simultaneas (iguales condiciones atmosféricas).

REDUCCIÓN DEL ÁNGULO AL TERRENO (A LA LÍNEA)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 75 de 93

m-i

DG Z Z´

m

Di Cz

i

Di

Dh

Es necesario considerar la altura del instrumento y del prisma. c = Z − Z´ m −i )c

s = sen( senZ

Z = Z´−c (m − i)⋅senZ →

c= s (m −i)⋅senZ´

como c es pequeño: Z´ = Z

c= s (m −i)

si Z´ es próximo al horizonte: senZ´ ≈ 1

c

= radianes) s

(c

en

CALIDAD DE LOS CENITALES ZA + ZB – ω – 200g + refracción = error de la medición recíproca D*K ρ=

ZB ZA

R ZA + ZB – ω – 200g + 2*ρ = error de la medición recíproca Si ZA y ZB tiene igual precisión (medidos con el mismo tipo de equipo, equipo, operador y procedimiento), se puede suponer que el error proviene de ambos cenitales en partes iguales, por lo tanto: error eZA 2 =

ω

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 76 de 93

Este error no se puede compensar en la medición recíproca, sirve para controlar la calidad de la medición conjunta. EJEMPLO OBS DIR

OBS RECIP

DE:

Astro Guallali

Buenos Aires

A:

Buenos Aires

Astro Guallali

Zenital (gg mm ss)

86.45388

93.14407

hi

0.280

1.430

hj

2.500

0.280

1.150

H aprox

978

1280

302

Di

5349.718

5349.718

Dh

5341.171

5341.14

gg

86

93

mm

45

14

ss

38.8

40.7

Zenital (gg.ggg)

86.76077778

93.24463889

Zenital (rad)

1.514261234

1.627425958

Corr. Línea (c) (rad)

0.000414312

-0.00021462

Corr. Línea (c) (")

85.45801449

-44.26855423

Zenital Corregido (rad)

1.514675546

1.627211338

w(") angulo central

172.71

err + ang central (") (desn m)

-112.02

-1.453

Corr Curvatura (m)

2.244

2.244

Corr Refracción (m)

0.359

0.359

Corr conjunta (curv/refr)

1.885

Desn topográfico c/(hi-hj)

300.066

-301.641

Desn topográfico c/c línea

300.073

-301.644

Desn corr curv y refrac

301.957

-299.760

∆H recíproco

300.854 m

1129.0

A 1.000177 B 1.000024

C

1.000000

0.200 0.007 0.000

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 77 de 93

S

0.207

-1.575 -0.001 -1.572

0.005

2.198

0.005

OBS DIR

OBS RECIP

OBS DIR

OBS RECIP

DE:

Astro Guallali

Buenos Aires

DE:

CH-IX-9

CH-IX-10

A:

Buenos Aires

Astro Guallali

A:

CH-IX-10

CH-IX-9

86.45388

93.14407

83.26101

96.34496

hi

0.280

1.430

hi

1.575

1.607

hj

2.500

0.280

hj

1.480

1.510

Zenital (gg mm ss)

Zenital (gg mm ss)

H aprox

978

1280

H aprox

806.92

745

Di aprox

5349.72

5349.72

Di aprox

532.8

532.8

5341.17

5341.14

Zenital (gg.ggg)

Dh

86.76077778

93.24463889

Zenital (rad)

Dh Zenital (gg.ggg)

529.29 96.58044444

1.514261234

1.627425958

1.456235339

1.685646749

Corr. Línea (c) (rad)

0.000414312

-0.00021462

Corr. Línea (c) (rad)

-0.000177135

Corr. Línea (c) (")

85.45798254

-44.26853768

Corr. Línea (c) (")

-36.53662085

Zenital Corregido (rad)

1.514675546

1.627211339

Zenital Corregido (rad)

1.456058204

0.000180858 37.30456889 1.685465891

w(") angulo central

172.98

err + ang central (") (desn m) Corr Curvatura (m)

-112.29

-1.456

2.244

2.244

Corr Refracción (m)

0.359

0.359

Corr conjunta (curv/refr)

1.885

Desn topográfico c/(hi-hj)

300.066

Desn topográfico c/c línea Desn corr curv y refrac recíproco c/Di (A)

300.854

Zenital (rad)

529.31 83.43613889

w(") angulo central

17.23

err + ang central (") (desn m) Corr Curvatura (m)

-31.37

-0.041

0.022

0.022

Corr Refracción (m)

0.004

0.004

Corr conjunta (curv/refr)

0.019

-301.641

Desn topográfico c/(hi-hj)

61.000

-60.961

300.073

-301.644

Desn topográfico c/c línea

60.998

-60.962

301.958

-299.760

Desn corr curv y refrac

61.017

-60.943

recíproco c/Di (A)

60.981

OBS DIR

OBS RECIP

OBS DIR

OBS RECIP

DE:

Astro Guallali

CX-IX-9

DE:

CH-IX-11

CH-IX-12

A:

CX-IX-9

Astro Guallali

A:

CH-IX-12

CH-IX-11

86.58159

93.00003

88.32495

91.28091

hi

0.280

1.550

hi

1.470

1.640

hj

1.750

2.460

hj

2.480

2.450

Zenital (gg mm ss)

Zenital (gg mm ss)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 78 de 93

H aprox

978

1121

H aprox

1843

1954

Di aprox

2739.4

2739.4

Di aprox

4343.1

4343.1

2735.57

2735.65

Zenital (gg.ggg)

Dh

86.97108333

93.00008333

Zenital (rad)

4341.70

4341.67

Zenital (gg.ggg)

Dh

88.54708333

91.46919444

Zenital (rad)

1.517931758

1.623157659

1.545438147

1.596438607

Corr. Línea (c) (rad)

0.000535864

0.000331734

Corr. Línea (c) (rad)

0.000232478

0.000186441

Corr. Línea (c) (")

110.5299263

68.42510102

Corr. Línea (c) (")

47.95203351

38.45630267

Zenital Corregido (rad)

1.518467622

1.623489393

Zenital Corregido (rad)

1.545670625

1.596625049

w(") angulo central

140.42

err + ang central (") (desn m) Corr Curvatura (m)

4.59

0.048

w(") angulo central

88.58

err + ang central (") (desn m) Corr Curvatura (m)

-13.42

-0.089

0.588

0.588

Corr Refracción (m)

0.094

0.094

Corr conjunta (curv/refr)

0.494

1.479

1.479

Corr Refracción (m)

0.237

0.237

Corr conjunta (curv/refr)

1.243

Desn topográfico c/(hi-hj)

143.280

-144.283

Desn topográfico c/(hi-hj)

109.111

-112.165

Desn topográfico c/c línea

143.284

-144.281

Desn topográfico c/c línea

109.112

-112.164

Desn corr curv y refrac

143.778

-143.786

Desn corr curv y refrac

110.354

-110.922

recíproco c/Di (A)

143.780

recíproco c/Di (A)

110.638

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA. ∆HAB = ∑atrás −∑adelante

La nivelación geométrica es el método más preciso para la obtención de desniveles. Las condiciones principales son: visadas horizontales (tangente al geop que pasa por el nivel) miras en la vertical graduaciones perfectamente calibradas. Las líneas de nivelación deben ser en circuitos cerrados y se extienden a lo largo de vías terrestres de comunicación. Debido a que las miras no son, generalmente, más altas que 3m, dificulta la medición en zonas de alta pendiente. Las líneas son niveladas y contra-niveladas, con visadas no superiores a 100m, recomendable máximo 50m. Los puntos son materializados se llaman “referencias de nivel” y son construidas con una placa metálica incrustada en bloque de concreto o clavada en lugar estable.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 79 de 93

La línea comprendida entre dos marcas de “referencia de nivel”, se llama “sección”, con longitud media de 3km. Errores que pueden ser evitados. Debido a la curvatura terrestre, un trecho de 110m tiene una corrección (por curvatura) de 1mm, es decir cada 110m se cometería un error de 1mm. Por esta y otras razones, se debe instalar el instrumento en el punto medio del tramo medido. Errores evitados al instalar en el punto medio del tramo: curvatura terrestre refracción, la influencia es la misma a las dos lecturas (trasera y delantera) colimación de eje. L1 l1 B A

d1

D1

L2 l2 B D2

A

d2

Error de colimación. El eje óptico del nivel puede no encontrarse perfectamente horizontal, la lectura será más efectada mientras más alejado de la mira. Si el instrumento es colocado exactamente al medio de las miras, el desnivel no será sujeto al error. Para verificar el instrumento se puede operar como indica la figura, a distancias desiguales de las miras. Sea “e” el error de lectura proporcional a la distancia. ∆H = L1 – e D1 – (l1 – e d1) en la posición (1) ∆H = l2 – e d2 – (L2 – e D2) en la posición (2) L1 – e D1 – l1 + e d1 = l2 – e d2 – L2 + e D2

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 80 de 93

e = L1 +L2 −(l1 + l2 ) D1 +D2 −(d1 + d2 )

La corrección será:

c = l1 +

l2 (L1 L2 ) − +

D1 +D2 −(d1 + d2 ) O de otra manera:

∑ lecturas más cercanas −∑ lecturas más alejadas c=

∑ dis tancias miras más alejadas −∑ dis tancias miras más cercanas Las lecturas antes de entrar en las ecuaciones deben corregirse de la curvatura y refracción o provenir de visadas equidistantes a la mira.

PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM) Algoritmos del Sistema de Proyección TM Gerhardus Mercator, nombre latinizado de Gerhard Kramer (1462-1532) creó la proyección cilíndrica entre 1511 y 1513 como ayuda a la navegación, situando el eje de un cilindro coincidente con el eje del mundo. En 1559, Edward Wright desarrolló la proyección matemáticamente. El inconveniente de la proyección es que las superficies se deforman significativamente con el aumento de la latitud. Johan Heirich Lambert (1782-1777) resolvió el problema de pérdida de escala y resolvió colocar el cilindro perpendicular al eje del mundo (transversal) pero fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que la desarrolló matemáticamente a partir de 1822, posteriormente L. Krugger, entre 1912 y 1919 publicó las fórmulas referentes al elipsoide. En Europa la proyección es conocida como Gauss-Krugger mientras que en otros países se la denomina como Transversal de Mercator - TM. Los meridianos y paralelos no son proyectadas como rectas, sino como curvas complejas, excepto el ecuador y el meridiano central.

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 81 de 93

En 1947 Estados Unidos adoptó la TM estandarizada recibiendo el nombre de Universal Transversal de Mercator – UTM, con constantes definidas y de uso entre las latitudes 80ºN y 80ºS. La proyección Transversal de Mercator es conforme, es decir mantiene en la proyección la magnitud de los ángulos infinitesimales formados en el elipsoide, es equivalente a decir que mantiene las formas infinitesimales. La proyección se forma implantando un cilindro cuyo eje es transversal al eje terciario del elipsoide adoptado (eje Z) y coincidente con el ecuador.

Husos UTM

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 82 de 93

16-03-2012

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 83 de 93

Se adoptaron husos de 6º de amplitud en longitud, numerados desde 1 a 60, partiendo del anti meridiano origen, en sentido Este. A Chile continental le corresponden los Husos 18 y 19.

Huso 18 Huso 19 -78 -16

-20

Las demás constantes son: Factor de Escala en el Meridiano Central (MC) = 0,9996 Norte Falso (NF) para el hemisferio sur = 10.000 km

-24

Este Falso (EF) = 500 km.

-28

El origen de las coordenadas ortogonales formada por la cuadrícula es en la intersección de las proyecciones

-32

del ecuador y el meridiano central. -36

-40

-44

-48

-52

-56

HUSO UTM PARA EL HEMISFERIO SUR

-75

-72

-69

-66

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 84 de 93

Ko=0,9996 K>1

K=1

K=1

K>1

Huso: 6º Ko=1-1/2.500 = 0,9996 FN(Y) = 10.000km FE(X) = 500km

ELEMENTOS DE LA PROYECCIÓN

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 85 de 93

Las fórmulas que se presentan a continuación provienen de un estudio realizado en la Universidad de Sao Paulo, Brasil, y son NO iterativas en el cálculo de la latitud. Las presentes fórmulas son diferentes a las expuestas en el Volumen 2 del Manual de Carreteras, Edición 2001, las cuales son de más amplio conocimiento pero son iterativas. Los resultados numéricos usando ambos conjuntos de fórmulas son idénticos. El lector puede utilizar unas u otras, de acuerdo a su facilidad de uso. ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM Valores auxiliares

A ⋅a ⋅(1− e2) α = o

ρ (1)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 86 de 93

180o o ρ = = 57 ,295779513082... π 180o *3600" 1" ρ= = 2062648,062470963551564 = π sen 1" o

A =1+ e2 + B = e2 + C= D=

e4 + e4 +

e4 +

e8 +

e6 +

e6 +

e6 +

E=

e6 + e8 +

e8 +

e10 +...

e10 + ...

e8 +

e8 +

e10 +...

e10 +...

e10 + ... =e10 + ...

F (2)

a−b

e2 e2 = f (2 − f ) 2

a 2 − b2

e=

2

e'2 = 1 2 e' =

f=

2

−e

a

a 2 − b2

a

(3)

2

b

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS PLANAS (ESTE Y NORTE) N = NF + N’

(=10.000.000m + N’)

N (-) al sur del Ecuador E = EF + E’ E (+) al este del MC E (-) al oeste del MC

N' = k0 ⋅ (B + N1 + N2 + N3)

(=500.000m + E’)

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N1

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 87 de 93

1" (4)

N2 N3 E'= k0 ⋅ (E1 + E2 + E3) E1 = ∆λ" N1 cos φ sen1" (5) E2 E3 con

∆λ" = (λo − λo0 ) ⋅ 3600 B = α φo −β sen2φ + γ sen4φ − δ sen6φ + ε sen8φ − ξ sen10φ N1 = 1−e sen2a 2φ

(6) t = tgφ η = e'cosφ

φ λ λ0 ∆λ B

latitud del punto considerado longitud del punto considerado longitud del MC del huso diferencia en longitud entre el punto considerado y el MC del huso arco de meridiano desde el ecuador, sobre el MC correspondiente a la latitud del punto K0 factor de escala en el MC (0,9996 para UTM) NF constante N en el ecuador (10.000.000 para UTM en el hemisferio sur) EF constante E en el MC (500.000 para UTM) N’ distancia plana del punto al ecuador E’ distancia plana del punto al MC a, b, e, e’ constantes del elipsoide del sistema (datum) de referencia TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS GEODÉSICAS (LATITUD Y LONGITUD)

φ=φ1 + cφ 2

2

4

c "φ =− E' t1 (1+η1 ) + E' 2

2

E'

2

t1 (5 + 3t1 + 6η1 −46η1

2

4

4

t1 −4 3η1 − 9η1

2

t1 ) −

2

2 N1 sen1" k0 6

2

24 N1 sen1" k0 2

4

2

t1 (61+ 90t1 + 45t1 +107η1 −162η1

−

2

2

t1 − 45η1

2

4

t1 ) 6

720 N1 sen1" k0

6

(*)(7)

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3

2

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 88 de 93

2

5

E' (1+ 2t1 +η1 )

E' ∆λ" = φ1 sen1" k0 N1 cos

−

E'

6 N13 cosφ1 sen1" k03 +

2

4

2

2

2

(5 + 28t1 + 24t1 + 6η1 + 8η1 t1 ) 120 N15 cosφ1 sen1" k05

(*)(8) (*) términos de correcciones de la latitud y longitud en segundos, primera aproximación de φ1:

N' φ=

(9) k0 αρ

o

φ1 =φ+∆φ (10)

∆φ= T +β1 T +β2 T +β3 T +β4 T +β5 T ... 2

φ1

3

4

5

corrección de φ

6

latitud del pié de la perpendicular del punto al MC; corresponde a la latitud de B.

L =αρo −2βcos2φ+4γ cos4φ−6δcos6φ+8εcos8φ−10ξcos10φ Funciones auxiliares:

α1 =− L1 (2βsen2φ−8γsen4φ+18δsen6φ) α2 =− L1 (43 βcos2

α5 =− L1 (154 βsen2φ− γcos4φ+36δcos6φ)

α3 =− L1 (23

βsen2

(

α4 =− L1

γsen4φ−54δsen6φ) γcos4

(12)

δcos6φ)

154

βcos2

γsen4φ+

δsen6φ)

β1 = α1 β2 = α2 + 2 α12 β3 = α3 +5 α1 α2 +5 α13 2

21α1 α2 +14 α1

2

4

(13) β4 = α4 + 6 α1 α3 +3 α2 +

(11)

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 89 de 93

(

)

β5 = α5 + 7(α1 α4 + α2 α3)+ 28 α12 α3 + α1 α22 +84 α13 α2 + 42 α15 T = L1 (β sen2φ− γ sen4φ+ δ sen6φ− ε sen8φ+ ξ sen10φ)

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE N, E

E'2 k = k0

E'4

2 M N + 24 M2 N2

= k0

1+ 2ER'22 + 24E'R44 (14)

k medio entre los puntos 1 y 2

3

12 2 k0 R

2 k0 R Fórmula aproximada E'2

k = k0 1

+

(16)

2

2R

N' φm = m o k0 αρ

M=

a N=

(1− e2 sen2φ)3

1− e2 sen2φ

(

)

1+ 1 E'12+E'1 E'2+E'22 1

22

(15)

1

22

a (1− e2)

= k0

1+

+ E'm2

1 ∆E2

k= k0

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 90 de 93

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE φ, λ

(

k = k0 1+ ∆λ"2 cos2φ sen21" (1+η2 ) + ∆λ"4 cos4φ sen41" (5

Fórmula aproximada ∆λ2 cos2 φ k = k0

− 4t2 ) ∆λ=(λ–λo) en rad

1+

)

(17)

(18)

2

CORRECCIÓN POR ALTURA. Es la corrección a las distancias horizontales para ser reducidas a geodésicas, expresada en términos de factor de escala, de allí su denominación Factor de Escala debido a la Altura h (Kh). Ella relaciona las distancias por: Kh * S = Dhz R+h R+H+N (20) Kh = = R R

Para H>0

KH>0

distancia elipsóidica

x KH = distancia terreno También sirve como Factor de Escala para una proyección TM genérica Local, que se comporta como un Plano Topográfico Local (PTL), es decir, para una proyección cuyo cilindro pase por el terreno a la altura “h”, convirtiéndose en una proyección considerada con deformaciones mínimas respecto a las distancias horizontales, tal como se adopta en el Manual de Carreteras. CORRECCIÓN ANGULAR (t-T) = ψ :

(21)

6k0 Rm

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 91 de 93

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)

ψ1 2− [ ]" = (NA −NB)(2E2A +2EB −3FE)· "ρ Nótese que: ψ1 2− = −ψ 2−1 6k0 Rm De otra fuente:

(1+ e'2 ⋅ cos2 φm ) (1⋅− e2 ⋅ sen2φm )

1

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco) 1 − ∆N(E'1− ⋅∆E) ψ1 2− [ ]" =

2 32

· "ρ

2⋅ a ⋅k0

Debido a que esta corrección es pequeña, se puede reemplazar R por un radio aproximado, por ejemplo R=6.780.000 m, sin perjudicar la precisión de la corrección. CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE φ, λ CM =∆λ senφ+ ∆λ3 senφ cos2φ (1+ 3η2 + 2η4)+151 ∆λ5senφ cos4φ (2− t2)

(22)

Fórmula simplificada:

CM=∆λsenφ Nótese que las unidades en que resultará expresada la CM dependerán de las unidades de ∆λ. CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE N, E

[

] E tg' φ1 − E'33tgφ13 (1+ t12 − η12 − 2η14 )

3t14 ) (23) CM rad = k0 N1

3 k0 N1

Fórmula simplificada:

[] CM " =

E' tgφ1· "ρ

+ E'55tgφ15 (2 + 5t12 +

15 k0 N1

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RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 92 de 93

k0 N1

Secuencia de cálculo para conversión de coordenadas: 1234567-

Dados (φ, λ) calcular (N, E) Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’ Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ usando (1) y (2) Calcular ∆λ” usando (6) Calcular B usando (6) Calcular N’ usando (4) Calcular E’ usando (5)

Dados (N, E) calcular (φ, λ) 1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ, ρo usando (1) 4- Calcular N’ 5- Calcular φ usando (9) 6- Calcular función auxiliar L y T usando (11) y (13) 7- Calcular los αi usando (12) 8- Calcular los βi usando (13) 9- Calcular ∆φ usando (10) 1011121314-

Calcular φ1 usando (10) Calcular N1, t1 y η1 usando (6) Calcular E’ = E – EF Calcular φ usando (7) Calcular ∆λ usando (8)

DATOS DE EJEMPLO DE TRANSFORMACION UTM → GEODESICAS (GG.MMSS) DATOS DE ENTRADA (WGS84) : A,E^2,E, 6378137.00000000 0.669437999014132D-002 0.818191908426215D-001 N,E,H,MC 6297641.737 343637.923 546.490000000000 -69 A,B,C,D,E,F: 1.00505250178821 0.506310859723875D-002 0.106275901587118D-004 0.208203782644488D-007 0.393237129380285D-010 0.655454778252015D-013 ALFA,BETA,... 111132.952547913 16038.5086626504 16.8326131614633 0.219843738776170D-001 0.311416246803449D-004 0.415259397939981D-007 57.2957795130823 DEQ(E'),FIMEDIO -3702358.26300000 -0.581683451896783 ELE(L) 6354692.54940169 T -0.231535674055095D-002 ALFA1, ALFA2... 0.461913030138781D-002 -0.135271845489754D-002 0.156547935730516D-002 -0.251396118487884D-003 0.607054662959559D-003 BET1, BET2... 0.461913030138781D-002 -0.131004572541514D-002 0.153473022052833D-002 -0.203119388634888D-003 0.585263273219358D-003 FIMEDIO,DELTAFIM,FI1,FI1(GRAD) -0.581683451896783 -0.231533196165746D-002 -0.583998783858441 -33.4606655558614 N,t,n,E' 6384637.02633239 -0.660898736573758 0.684884784189982D-001 -156362.077000000 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LATITUD (SEG)

16-03-2012

RENÉ ZEPEDA G. - GEODESIA GEOMÉTRICA - pag. 93 de 93

FI11-12-13 -41.1055412559478 -0.129466677784492D-001 -0.446447776928301D-005 FI1,DALAT(SEG),DALAT9RAAD) -0.583998783858441 -41.0925990526471 -0.199222542130721D-003 LAT,LAT(GRAD) -0.583799561316310 -33.4492509450135 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LONGITUD DEA1,DEA2.. -6057.45672639476 -1.13824006053108 -0.397469044983469D-003 DEA(SEG),DEA(RAAD) -6056.31888380328 -0.293618625202986D-001 LON(RAD),ALON(GRAD) -1.23363904639639 -70.6823108010565 CONVERGENCIA A PARTIR DE PLANAS TÉRMINOS CP1,CP2,CP3,CP(SEG),CP(GRAD) 3339.86587050979 0.956983923071687 0.381576390025727D-003 3338.90926816310 0.927474796711974 CONV RAD 0.161874889318890D-001 A PARTIR DE GEODESICAS TÉRMINOS CG1,CG2,CG3,CG(SEG),CG(GRAD) 3338.23185212101 0.931649828744238 0.125350663919404D-003 3339.16362730041 0.927545452027893 M: 6354816.89348335 ESCALA RIGU (PLANAS),PPM 0.999901190776070 -98.8092239301108 ESCALA APRX (PLANAS),PPM 0.999901175652225 -98.8243477752311 ESCALA RIGU (GEOD),PPM 0.999901431488548 -98.5685114520022 ESCALA APRX (GEOD),PMM 0.999899975205923 -100.024794077512 FACT ESCALA ALTURA, PPM 1.00008579512130 85.7951212997262 FACT ESCALA COMB, PPM 1.00018462258764 184.622587644538