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´ Y DE CENTRO DE INVESTIGACION ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO ´ POLITECNICO NACIONAL UNIDAD ZACATENCO ´ DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMATICO

DESIGN, MODELING AND CONTROL OF AN EXOSKELETON TESINA PREDOCTORAL

En la especialidad de ´ CONTROL AUTOMATICO

presenta Suresh Kumar Gadi

Director de Tesis

Rub´ en Alejandro Garrido Moctezuma

Rogelio Lozano-Leal Co-Director de Tesis

Ciudad de M´exico, D. F.

Julio 2012

Contenido Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lista de Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introducci´on 1.1. Clasificaci´on de los exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Historia de los exoesqueletos antropom´orficos y pseudo-antropom´orficos activos 1.3. Desaf´ıos en el dise˜ no de exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Organizaci´on de los cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Estudio de los esquemas de control para la interacci´on humano-m´aquina 2.1. Esquema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El algoritmo de Kazerooni del a˜ no 1988 . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. El algoritmo de BLEEX del a˜ no 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del a˜ no 2009 . . . . . . . 3. Modelo del movimiento humano 3.1. Definiciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Los m´ usculos y la movilidad . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Descripci´on del Movimiento Humano . . . . . . . . . . 3.4. Hip´otesis de control biol´ogico del movimiento humano 3.5. El esquema del movimiento humano . . . . . . . . . . 3.6. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4. Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de 4.1. Modelado del DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Interacci´on entre el brazo humano y el DAF . . . . . . . 4.3. Esquema del controlador aplicado al DAF . . . . . . . . 4.4. An´alisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. An´alisis del desempe˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Selecci´on de los par´ametros del controlador . . . . . . . 4.7. Resultados de la simulaci´on y experimentales . . . . . . iii

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

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. . . .

. . . . . .

(DAF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . .

iii v vii 1 1 2 3 4 5

. . . .

7 7 8 11 12

. . . . . .

15 15 17 18 21 22 24

. . . . . . .

27 27 29 30 31 35 36 37

iv

Contenido

5. Conclusiones y trabajo futuro 5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42

Referencias

45

A. Modelo del motor el´ectrico y del amplificador

53

B. Simplificaciones de las ecuaciones

55

C. Prueba de estabilidad

59

D. El modelo experimental

65

Lista de Figuras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Esquema general propuesto de la interacci´on entre piloto y m´aquina. . . . . 8 El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en [Kazerooni88]. Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema b´asico propuesto. 9 El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05]. . . . . . . . 11 Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema b´asico propuesto. . 11 El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestra en [Kong09]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7. Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema b´asico propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8. Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka. 14 3.1. Un ejemplo ense˜ nando un par de m´ usculos antagonistas, el m´ usculo b´ıceps y el m´ usculo tr´ıceps, actuando la articulaci´on del codo (Imagine tomada de [Saburchill12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. La anatom´ıa de un m´ usculo (Imagine tomada de [Cram10]). . . . . . . . . . 3.3. Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posici´on del brazo en movimiento del punto a punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano. . . . 3.5. Resultados de simulaci´on del modelo empleando los valores dados en la Tabla 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Esquema y fotograf´ıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF). . . . . . 4.2. Diagrama a bloques del DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Brazo interactuando con el DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado. . . 4.5. Simplificaci´on del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4. . . . 4.6. Resultados de la simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano desp´ ues de 15 s. 4.8. Diagrama de lugar de las ra´ıces para el sistema en lazo cerrado. . . . . . . . 4.9. Resultados experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Grafica de la posici´on contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162 ms donde se observa que el sistema se vuelve inestable. . . . . . . . . . . . . . . v

18 19 20 23 25 28 29 30 31 32 37 37 39 39 40

9

Lista de Figuras

vi

A.1. Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador conectado con realimentaci´on en corriente, es decir en modo par. . . . . . . .

54

C.1. Separaci´on del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerrado S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

D.1. D.2. D.3. D.4. D.5.

66 67 68 68 69

Figura 3D muestrando el bloque mec´anico. . . . Dimensiones del bloque mec´anico. . . . . . . . . Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza. . . . . Cirquito electr´onico del sensor de fuerza. . . . . .

. . . . . . . . . . husillo. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Lista de Tablas 1.1. Cantidad m´ınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00] . . . .

5

3.1. Valores representativos de los par´ametros de un modelo humano [McIntyre93]. 24 4.1. Valores de los par´ametros para la simulaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

38

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on El exoesqueleto es un esqueleto externo al cuerpo de un animal, y puede ser natural o artificial. En esta tesis el t´ermino exoesqueleto representa una estructura artificial externa para humanos. Al usuario de un exoesqueleto lo llamaremos piloto.

1.1.

Clasificaci´ on de los exoesqueletos

Los exoesqueletos se pueden clasificar en activos o pasivos, dependiendo del uso o no de energ´ıa externa respectivamente. Tambi´en, se pueden clasificar en antropom´orficos, no-antropom´orficos o pseudo-antropom´orficos por su cinem´atica [Zoss05]. La bicicleta es un ejemplo de un exoesqueleto pasivo no-antropom´orfico. Por otra parte, la literatura se refiere a exoesqueletos activos cuando habla de exoesqueletos rob´oticos, exoesqueletos alimentados y extendidos. Muchos no-antrom´orficos como la bicicleta y antropom´orfico pasivo como la armadura tienen una larga historia. Las investigaciones m´as recientes centran su inter´es en los exoesqueletos antropom´orficos y en los pseudo-antropom´orficos activos. 1

2

1.2.

Cap´ıtulo 1: Introducci´on

Historia de los exoesqueletos antropom´ orficos y pseudoantropom´ orficos activos En 1961, el pent´agono hizo una invitaci´on abierta a los inventores para contribuir

al desarrollo de un exoesqueleto llamado servo-soldado. Lo que pretend´ıan era hacer un soldado resistente a la guerra bacteriol´ogica, al gas venenoso, al calor y la radiaci´on de las explosiones nucleares [Cormier61]. En el a˜ no de 1966, la Universidad de Cornell desarroll´o, para la oficina de Investigaciones Navales de los Estados Unidos, un exoesqueleto con la capacidad de cargar 1000 libras en cada brazo. Esto con el objetivo de ayudar a sus marines en el manejo de maquinaria y bombas pesadas [Cloud65]. Posteriormente, en 1969, un exoesqueleto alimentado llamado Hardiman fue probado por la Compa˜ n´ıa “General Electric”, el cual era capaz de amplificar la fuerza humana por 25 veces y manejar una carga de hasta ´ 1000 libras [Operation69]. Este se realizo con base en el concepto de maestro-esclavo. En contraste, en 1988, H.Kazerooni desarroll´o uno extendido con un grado de libertad (GDL) en el cual las se˜ nales de informaci´on fueron tomadas directamente de la interacci´on hombrem´aquina [Kazerooni88]. En el a˜ no 2000, la agencia “Defense Advanced Research Projects Agency” (DARPA) adjudic´o un contrato a la empresa “Millenium Jet Inc.”, de Sunnyvale, Calif. para desarrollar y probar un exoesqueleto volador, bajo el programa “Exoskeleton for Human Performance Augmentation Program” (EHPA) [ofDefense00]. En el a˜ no 2001, la DARPA patrocin´o a la empresa “Sarcos Research Corp.” de Salt Lake City Utah, el desarrollo de un robot antropom´orfico energ´eticamente aut´onomo, en Ingl´es: “Wearable Energetically Autonomous Robot” (WEAR) [ofDefense01, Marks06, Pappalardo04]. El dise˜ no del exoesqueleto de la empresa Sarcos ten´ıa 24 horas de autonom´ıa energ´etica [Huang04]. Adem´as, bajo el patrocinio de la DARPA, la Universidad de California en Berkeley desarroll´o el exoesqueleto BLEEX (“Berkeley Lower Extremity Exoskeleton”) [Zoss05], que en el a˜ no 2003 permiti´o a un piloto manipular grandes pesos, haci´endole sentir solo una parte de la carga real [IES04]. Otro proyecto, muy conocido, patrocinado por la DARPA es el exoesqueleto cuasi-pasivo del “Massachusetts Institute of Technology” (MIT) [Guizzo07], que usa elementos pasivos como resortes y amortiguadores. La electr´onica del exosqueleto usa muy poca energ´ıa alrededor de 2W para controlar los amortiguadores y ayudar en la

1.3. Desaf´ıos en el dise˜ no de exoesqueletos

3

liberaci´on controlada de la energ´ıa almacenada en los resortes [Walsh06]. Los exoesqueletos como el Sarcos y el BLEEX usan actuadores hidr´aulicos [Yang04, Megraw07]. En contraste el “Institute of Systems and Engineering Mechanics” de la Universidad de Tsukuba,en Jap´on, desarroll´o en el a˜ no de 2002 un exoesqueleto con actuadores el´ectricos llamado “Hybrid Assistive Limb” (HAL) [Lee02].La u ´ltima versi´on de este exoesqueleto es el llamado HAL-5, el cual est´a disponible comercialmente para usos dom´esticos como caminar, subir escaleras y cargar objetos en interiores y exteriores, con autonom´ıa energ´etica de aproximadamente 2 horas y media de uso continuo, utilizando bater´ıas recargables [Guizzo05, Inc.11a]. El Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas para la Asistencia Social del Instituto Tecnol´ogico de Kanagwa,en Jap´on, ha desarrollado un exoesqueleto alimentado con actuadores pneum´aticos, para ayudar a las enfermeras en su trabajo. Este exoesqueleto no tiene ninguna parte mec´anica en el frente del cuerpo del piloto, de tal manera que permite a las enfermeras manejar a los pacientes sin riesgo de da˜ no [Yamamoto02].

1.3.

Desaf´ıos en el dise˜ no de exoesqueletos Si consideramos de manera estricta el dise˜ no de un exoesqueleto pseudo-antropom´orfi-

co, la cantidad m´ınima de grados de libertad (GDL) que se requieren est´a dado en la Tabla 1.1; la cual muestra un total de 29 GDL para un exoesqueleto de cuerpo completo, lo que significa un reto bastante complicado para el dise˜ no de la estructura mec´anica y el procesamiento de la informaci´on para el control. Dado que una sola fuente de alimentaci´on aut´onoma no puede suministrar la energ´ıa y la potencia requeridas para los exoesqueletos, nos encontramos con otro desaf´ıo; el que obliga a tener sistemas h´ıbridos de alimentaci´on. Por ejemplo: motores de combusti´ on interna con super capacitores, celdas de combustible con super capacitores o motores de combusti´on interna con bater´ıas [Jansen00]. En cuanto a los actuadores, se ha encontrado en los estudios comparativos realizados, entre los de tipo electromec´anico, hidr´aulico y neum´atico, que los m´as aceptables para los exoesqueletos son los hidr´aulicos [Jansen00]. En este caso el reto es suprimir el ruido

4

Cap´ıtulo 1: Introducci´on

inherente a este tipo de actuadores y manejar adecuadamente su comportamiento no lineal. Por otra parte, en los exoesqueletos nos encontramos con el desaf´ıo de medir la intenci´on o prop´osito del piloto. Al respecto, los sensores usados son: el sensor de fuerza, el sensor de electromiograf´ıa (EMG) y el sensor de dureza del m´ usculo. El sensor de fuerza presenta el problema de eleg´ır el mejor lugar para ubicarlo, de tal manera que en ese lugar exista el sensado requerido, que represente de manera m´as fiel la fuerza que est´a desarrollando el piloto. En cuando al sensor de electromiograf´ıa de superficie (EMGS), ´este tiene una baja relaci´on se˜ nal/ruido (RSR), tambi´en requiere mucho tiempo para calibrarlo [Guizzo05], adem´as de que su calibraci´on debe ser personalizada [Murray95]. M´as a´ un, para una misma persona la se˜ nal entregada cambia despu´es de que el m´ usculo ha trabajado para desarrollar la misma tarea varias veces [Bonato02]. Respecto al sensor de dureza del m´ usculo, el problema principal es su ubicaci´on en el m´ usculo, de tal manera que entregue buenos niveles de se˜ nal [Yamamoto02]. Tambi´en es un problema su falta de disponibilidad en el mercado, de tal manera que necesitar´ıamos fabricarlo de acuerdo a [Moromugi06, Yamamoto04]. En cuanto a la detecci´on de fallas, en caso de mal funcionamiento de los sensores o actuadores, el controlador debe detectarlas en fracciones de segundo para garantizar la seguridad del piloto. Para abordar la soluci´on de ´este problema se puede usar un filtro predictor para todo el sistema [Jansen00].

1.4.

Objetivo Los objetivos de este proyecto son el dise˜ no, modelado y control de un exoesqueleto

pseudo-antropom´orfico activo de cuerpo completo. En particular esta tesis se centra en el estudio de la filosof´ıa de control de los exoesqueletos y en el entendimiento de la intenci´on del piloto humano y la m´aquina. Para este prop´osito se ha construido un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF) que es un exoesqueleto no-antropom´orfico activo [Kazerooni08] muy simple en el que se estudiar´an y comparar´an deferentes esquemas de control que ya han sido utilizados y el que se propone en este trabajo. Como se mencion´o en el p´arrafo anterior, hemos seleccionado un DAF debido a que su modelo din´amico es lineal, solamente tiene un grado de libertad (GDL), por lo que

1.5. Organizaci´on de los cap´ıtulos

5

Tabla 1.1: Cantidad m´ınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00] Junta

GDL

Descripci´on

Pie

1

Extensi´on para junta metacarpofal´angica

Tobillo

1

Flexi´on-extensi´on

Rodilla

1

Flexi´on

Cadera

3

Flexi´on-extensi´on, abducci´on-adducci´on y rotaci´on medial-lateral Pelvis

3

Rotaciones planas coronal, sagital y transversal

Columna vertebral

3

Flexi´on-extensi´on, flexi´on lateral y rotaci´on

Hombro

3

Flexi´on-extensi´on, abducci´on y rotaci´on medial-lateral

Codo

2

Flexi´on y pronaci´on-supinaci´on del antebrazo

Mu˜ neca

2

Flexi´on-extensi´on y abducci´on-adducci´on

es sencillo de controlar. Otra raz´on muy importante para su utilizaci´on es la gran seguridad que presenta para el piloto humano, ya que todas las partes del piloto est´an fuera de la m´aquina. Actualmente este trabajo se encuentra en la etapa del estudio de la filosof´ıa de control a utilizar. En particular, en este momento se est´an estudiando algunas de las filosof´ıas de control de exoesqueletos m´as conocidas que son comparables con la que se propone en este trabajo. Tambi´en se est´a investigando el modelado matem´atico de los movimientos del brazo del piloto humano. Al respecto se han realizado simulaciones de la interacci´ on del piloto con el DAF, as´ı como experimentos, en tiempo real, con el DAF.

1.5.

Organizaci´ on de los cap´ıtulos El Cap´ıtulo 2 contiene el estudio de algunos esquemas de control para la interac-

ci´on humano-m´aquina, probados anteriormente. El siguiente cap´ıtulo se refiere al modelado matem´atico del movimiento del brazo humano. Posteriormente, en el Cap´ıtulo 4 se presenta la construcci´on del DAF y su modelado matem´atico que se est´a utilizando en la parte experimental, tambi´en la simulaci´on y el control con sus resultados experimentales. Finalmente

6

Cap´ıtulo 1: Introducci´on

en el Cap´ıtulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo y las perspectivas del trabajo futuro.

Cap´ıtulo 2

Estudio de los esquemas de control para la interacci´ on humano-m´ aquina Inicialmente en este cap´ıtulo se presenta un esquema general para el estudio de la interacci´on entre piloto y m´aquina. Posteriormente se estudia la filosof´ıa de tres de los esquemas de control m´as conocidos para los exoesqueletos.

2.1.

Esquema general En la Figura 2.1 se tiene un esquema general de la interacci´on entre piloto y

m´ aquina. El sistema nervioso central (SNC) del piloto genera una se˜ nal para el movimiento deseado de uno de sus brazos. Esta se˜ nal es transmitida a los m´ usculos esquel´eticos correspondientes. Los m´ usculos esquel´eticos generan un par τM en la articulaci´on espec´ıfica del esqueleto. El esquema tambi´en muestra el brazo de un exoesqueleto accionado y controlado, el cual suministra un par τA al exoesqueleto. Se aplican diferentes algoritmos en la estrategia de control del exoesqueleto, los cuales se presentan en las siguientes secciones. La interacci´on entre piloto y exoesqueleto est´a dada por el intercambio de fuerzas entre ellos. Cuando se tiene una diferencia entre 7

8

Cap´ıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interacci´on humano-m´aquina

Sistema nervioso central (SNC) τh

C1

Fh

Encéfalo θh Músculo τ + M Médula espinal

-1

Endoesqueleto

Sistema músculo-esquelético + -

E

τA Controlador

Actuador

+

Exoesqueleto θe τe

C2

Fe

Figura 2.1: Esquema general propuesto de la interacci´on entre piloto y m´aquina. la posici´on del brazo del piloto (θh ) y la posici´on del brazo del exoesqueleto (θe ), el brazo del piloto puede tocar el brazo del exoesqueleto en uno o m´as lugares y all´ı se genera una fuerza de reacci´on. Fe representa la fuerza de reacci´on del brazo del piloto sobre el brazo del exoesqueleto, de manera similar Fh es la fuerza que siente el brazo del piloto por la interacci´on con el brazo del exoesqueleto. E es una funci´on no lineal din´amica que mapea la diferencia de posici´on de los brazos del piloto y del exoesqueleto a la fuerza Fe . Matem´aticamente se puede escribir Fe (t) = E (θh (t) − θe (t), t)

(2.1)

donde t es el tiempo en s. C1 y C2 son constantes positivas que ayudan a convertir las fuerzas Fe y Fh en los pares τe y τh respectivos. El SNC tambi´en toma informaci´on de la posici´on del brazo (θh ) desde los huesos musculares respectivos. Este proceso se explicar´a m´as detalladamente en el Cap´ıtulo 3.

2.2.

El algoritmo de Kazerooni del a˜ no 1988 En la Figura 2.2 se presenta el algoritmo de control como se presenta en [Kazerooni88].

Agregando dicho algoritmo al esquema b´asico propuesto, se observa un resultado como el

2.2. El algoritmo de Kazerooni del a˜ no 1988

θd

Gk1

+

θh

9

Fe +

E

θe

. θe

∫

Gk2

Kk1

Sk

+ -

nr

Hk

KA

-1 Fh

Figura 2.2: El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en [Kazerooni88]. Sistema nervioso central (SNC)

Fh

C1

τh Encéfalo

θh Músculo τ + M Médula espinal

-1

Endoesqueleto

Sistema músculo-esquelético + -

E

τA KAHk

+ -

Kk1

Actuador

+

Exoesqueleto . θe τe

C2

θe Fe

Figura 2.3: Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema b´asico propuesto. de la Figura 2.3. Este algoritmo propone que la posici´on del brazo del piloto (θh ) sea dependiente de la trayectoria deseada (θd ) y de la fuerza que act´ ue sobre el brazo (Fh ). Gk1 y Sk son las funciones que mapean la trayectoria deseada (θd ) y la fuerza Fh a la posici´on del brazo del piloto (θh ). Para prop´ositos de simplificaci´on se toman las funciones como din´amicas y lineales. Matem´aticamente se puede escribir θh (s) = Gk1 (s)θd (s) + Sk (s)Fh (s)

(2.2)

donde s es la variable compleja de la transformada de Laplace. El bloque Gk2 representa la planta del exoesqueleto, con entrada de alimentaci´ on

10

Cap´ıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interacci´on humano-m´aquina

a su actuador y salida de velocidad angular del brazo del exoesqueleto. En este caso el algoritmo controlador Kk1 es uno del tipo proporcional, integral, derivativo (PID), el cual permite seguir la velocidad angular como trayectoria de referencia (nr ). En este algoritmo, para simplificar el bloque E, el autor tom´o una funci´on lineal din´amica. Tambi´en se utiliza un sensor de fuerza para medir Fe . La ganancia de amplificaci´on (KA ) aumenta la fuerza medida. Se usa un filtro de primer orden (Hk ) para reducir los ruidos de alta frecuencia. La funci´on de transferencia entre la trayectoria deseada (θd ) y la trayectoria de posici´on del exoesqueleto (θe ) es θe (s) θd (s)

=

E(s)Hk (s)KA Kk1 (s)Gk2 (s) (2.3) s(1 + E(s)Sk (s))(1 + Kk1 (s)Gk2 (s)) + E(s)Hk (s)KA Kk1 (s)Gk2 (s)

Utilizando el teorema de las peque˜ nas ganancias, la estabilidad del sistema completo en lazo cerrado est´a dada por la siguiente condici´on suficiente sobre KA . s(1 + Kk1 (s)Gk2 (s))(1 + Sk (s)E(s)) |KA | < Hk (s)Kk1 (s)Gk2 (s)E(s)

(2.4)

A partir de (2.3), se puede observar que la trayectoria del brazo del exoesqueleto (θe ) sigue estrechamente la trayectoria deseada (θd ), cuando la ganancia KA es alta. Sin embargo para satisfacer la condici´on (2.4) se limita la ganancia de KA . Se puede notar que (2.4) es una condici´on suficiente para la estabilidad. Entonces, dependiendo del sistema, se puede permitir un valor de KA mayor al valor indicado en la condici´on (2.4). Pros: • El sensor usado en este algoritmo es un sensor de fuerza muy sencillo de instalar. Contras: • La velocidad angular de referencia (nr ) es proporcional a la fuerza Fe , eso permite que el exoesqueleto cambie su posici´on cada vez que el piloto ejerce alguna fuerza sobre ´el. En otras palabras, el piloto no siente ninguna fuerza cuando el brazo del exoesqueleto est´a fijo en una posici´on. • Por la misma raz´on, la fuerza experimentada por el piloto (Fh ) no es dependiente del peso que carga el brazo del exoesqueleto.

2.3. El algoritmo de BLEEX del a˜ no 2005

11

τe

Sb Cb

Gb

+

. θe

θe

∫

Figura 2.4: El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05].

Sistema nervioso central (SNC) τh

Fh

C1

Encéfalo θh Músculo τM + Médula espinal

-1

Endoesqueleto

Sistema músculo-esquelético + -

E

τA Controlador

Actuador

+

Exoesqueleto . θe τe

C2

θe Fe

Figura 2.5: Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema b´asico propuesto.

2.3.

El algoritmo de BLEEX del a˜ no 2005 El esquema de control del “Berkeley Lower Extremity Exoskeleton” (BLEEX) para

un GDL est´a dado en la Figura 2.4. La Figura 2.5 muestra el algoritmo del BLEEX en el esquema b´asico propuesto. La velocidad del brazo del exoesqueleto (θ˙e ) es dependiente del par que produce el actuador y de la interacci´on entre piloto y exoesqueleto (τe ). El bloque Sb representa la funci´on que mapea el par τe a la velocidad θ˙e . Las din´amicas del actuador y del brazo del exoesqueleto est´an dadas en el bloque Gb . El controlador (Cb ) toma la velocidad

12

Cap´ıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interacci´on humano-m´aquina

θ˙e como realimentaci´on positiva. La sensibilidad de τe a θ˙e es θ˙e (s) τe (s)

=

Sb (s) 1 − Gb (s)Cb (s)

El autor propuso el siguiente controlador. ( ) 1 Cb (s) = 1− G−1 b (s) KA

(2.5)

(2.6)

donde KA es el factor de amplificaci´on. Usando el control (2.6), se puede reescribir (2.5) como θ˙e (s) τe (s)

= KA Sb (s)

(2.7)

Pros: • Usando este algoritmo no se necesita usar ning´ un sensor para medir la intenci´on del piloto. Contras: • El controlador usa una realimentaci´on positiva que da alta sensibilidad a perturbaciones externas. • El controlador necesita conocer el modelo del exoesqueleto (Gb ) con alta precisi´on. • Se necesita implementar el c´alculo de la inversa de la din´amica Gb , lo cual no es siempre f´acil dado que Gb tiene no linealidades.

2.4.

El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del a˜ no 2009 El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se presenta en

la Figura 2.6. La Figura 2.7 muestra este algoritmo aplicado al esquema b´asico propuesto. El bloque Ht representa las din´amicas del brazo del exoesqueleto. Usando menos masa para el brazo del exoesqueleto, los autores han ignorando las din´amicas del brazo del exoesqueleto en Ht . Tambi´en los autores asumen que el sistema es estable sin actuador (At ). Las din´amicas del actuador y el controlador est´an dadas por los bloques At , Ct . Considerando que el

2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del a˜ no 2009

+

θd

Cerebro

Músculo

τM

-

+ τA

13

Ht At

θh Ct

Figura 2.6: El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestra en [Kong09]. Sistema nervioso central (SNC) τh

C1

Fh

Encéfalo τM

θh +

Músculo

-1

Endoesqueleto

Médula espinal + -

+ Controlador

Actuador

τA

+

E

Exoesqueleto θe τe

C2

Fe

Figura 2.7: Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema b´asico propuesto. controlador puede realizar la inversa de la din´amica At , los autores ignoraron la din´amica del actuador, es decir At (s) = 1. Los autores han propuesto el siguiente controlador. Ct (s) =

( ) 1 1− Ht−1 (s) KA

(2.8)

donde KA es un factor de amplificaci´on. Agregando este control al esquema mostrado en la Figura 2.6, se puede simplificar como el esquema presentado en la Figura 2.8. Tambi´en se observa que el par que producen los m´ usculos (TM ) se aumenta en un factor KA . Debido al esquema de la Figura 2.6, se tiene τM (s) + τA (s) = Ht−1 (s)θh (s)

(2.9)

14

Cap´ıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interacci´on humano-m´aquina

+

θd

Cerebro

Músculo

τM

KA

Ht

θh

-

Figura 2.8: Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka.

Para implementar este controlador se necesita el conocimiento de la inversa de la din´amica del brazo del piloto. Cuando no se tiene el modelo o es dif´ıcil realizar su inversa, se puede usar un sensor de EMG o de dureza del m´ usculo para medir el par que produce el m´ usculo (τM ). Los autores proponen que el sistema es estable, porque el cerebro es inteligente y controla al sistema adaptativa y robustamente, sin embargo los autores no recomiendan generar inestabilidad en el lazo interno del esquema de la Figura 2.6. Entonces se requiere una medici´on de τM de alta precisi´on. Los autores proponen que, para garantizar la estabilidad del lazo interno, en un sistema lineal con un error (∆) en la estimaci´on de Ht , se necesita satisfacer |KA (jΩ) − 1| < |∆(jΩ)|−1

(2.10)

Con cero error en la medici´on, se puede usar cualquier ganancia de amplificaci´on (KA ). Pros: • Realizar este algoritmo es f´acil usando un sensor para medir τM . Contras: • En cuanto al sensor de dureza del m´ usculo, ´este se encuentra todav´ıa en la fase de desarrollo. El sensor de EMG tiene baja relaci´on se˜ nal/ruido (RSR), lo que no permite estimar τM con alta precisi´on. • Los autores asumen que el cerebro estabiliza el sistema, sin demostraci´on.

Cap´ıtulo 3

Modelo del movimiento humano Un exoesqueleto activo necesita un controlador que le permita ser estable. Para esto, se requiere del conocimiento del modelo del movimiento humano. En este cap´ıtulo se estudia el movimiento que realiza el cuerpo humano de forma natural. Adem´as, se estudia como un brazo humano sigue una trayectoria deseada, y por u ´ltimo se estudia el modelo matem´atico que representa la din´amica de un brazo.

3.1.

Definiciones Importantes

´ Cerebelo: Es una regi´on del cerebro humano ubicado en la parte trasera del cr´aneo. Esta parte del cerebro es responsable de la coordinaci´on del movimiento [Association06]. Corteza cerebral: Es la sustancia gris que se encuentra en la parte m´as exterior del cerebro humano. Esta parte del cerebro es responsable de las funciones motoras m´as complejas [Medterms12]. Husos musculares: Los husos musculares o receptores de estiramiento son las fibras musculares dentro de un m´ usculo que detectan cambios en la longitud de ´este, proporcionan al SNC informaci´on para que se desarolle la propiocepci´on que le permite al individuo obtener informaci´on acerca de la posici´on del cuerpo o el movimiento de ´este en el espacio. Interneurona: Son las neuronas que conectan dos neuronas. Este tipo de neuronas est´an 15

16

Cap´ıtulo 3: Modelo del movimiento humano

disponibles en un n´ umero grande en comparaci´on con las neuronas motoras o las neuronas sensoriales [Bear07]. Motoneurona: son las neuronas que comadan los m´ usculos [Bear07]. Motoneurona alfa (MN-α): Es una categoria de las neuronas motoras inferiores de la m´edula espinal, las cuales son directamente responsables de la generaci´on de fuerzas en los m´ usculos. MN-α se alimentan de las siguientes tres fuentes [Bear07]: 1. Las se˜ nales procedentes del huso muscular, que llevan la informaci´on de la longitud del m´ usculo. 2. Las se˜ nales procedentes de las neuronas motoras superiores, las cuales juegan un papel cr´ıtico en la iniciaci´on de un movimiento. 3. La fuente m´as grande de todo viene de las interneuronas de la m´edula espinal. Motoneuronas Gamma (MN-γ): Son las neuronas motoras inferiores que inervan los husos musculares [Bear07]. Neurona sensorial: Son las neuronas que llevan la informaci´on sensorial desde los ´organos sensoriales al SNC [Bear07]. Neuronas motoras inferiores: Son las neuronas procedentes de la m´edula espinal que inervan el m´ usculo esquel´etico [Bear07]. Neuronas motoras superiores: Son las neuronas que suministran la informaci´on motora desde el cerebro a la m´edula espinal [Bear07]. Propiocepci´ on: Es la capacidad para detectar la posici´on, ubicaci´on, orientaci´on y el movimiento del cuerpo y sus partes. Tambi´en se le conoce como sensaci´on corporal [Bear07, Princeton12]. Realimentaci´ on sensorial: El flujo de informaci´on sensorial de un ´organo particular al cerebro [Babbush08]. Reflejo: Son las acciones autom´aticas en respuesta a est´ımulos particulares. Tambi´en se le denomina realimentaci´on refleja sobre el est´ımulo.

3.2. Los m´ usculos y la movilidad

17

Reflejo de estiramiento: El reflejo de estiramiento o reflejo miost´atico es una contracci´ on muscular en respuesta a un estiramiento dentro del m´ usculo [Babbush08]. Sistema nervioso central (SNC): Est´a constituido por el enc´efalo y la m´edula espinal. [Nieuwenhuys07]. Sistema m´ usculo-esquel´ etico: La combinaci´on de los huesos y los m´ usculos vinculados a estos se conoce como sistema m´ usculo-esquel´etico [Association06].

3.2.

Los m´ usculos y la movilidad El m´ usculo es la parte de cuerpo donde se transforma la energ´ıa qu´ımica en energ´ıa

mec´anica. Los m´ usculos se pueden clasificar como: m´ usculos voluntarios y m´ usculos involuntarios. Los m´ usculos esquel´eticos que usamos en la vida diaria para caminar, manipular objetos, etc., se agrupan dentro de los m´ usculos voluntarios. Cada conjunto de estos m´ usculos se anclan a los huesos a trav´es de los tendones. Los m´ usculos suelen trabajar en pares [Cram10]. Debido a la caracter´ıstica de elasticidad del m´ usculo, cuando un m´ usculo se contrae, el m´ usculo asociado se estira por reacci´on a la contraci´on y esto genera un par motor en la articulaci´on. Se dice que los m´ usculos son antogonistas. La figura 3.1 muestra un ejemplo del papel desempe˜ nado por la contracci´on muscular y por la relajaci´on en el movimiento del brazo. Cada m´ usculo est´a compuesto de fasc´ıculos musculares. Los fasc´ıculos musculares se componen a su vez de fibras musculares y estas est´an formadas por peque˜ nas hebras llamadas miofibrillas. Una miofibrilla contiene a su vez muchos sarc´omeros. Cada sarc´omero contiene una sola unidad de superposici´on de filamentos gruesos y finos y los denominados puentes atravesados (“cross bridges”) entre ellas separadas por l´ıneas Z, como se muestra en la figura 3.2. El filamento grueso del sarc´omero y los puentes cruzados contienen la miosina, el filamento fino del sarc´omero contiene actina [Cram10]. MN-α inervan el sarc´omero para contraer, por lo tanto, el m´ usculo se contrae. Este es un proceso qu´ımico-el´ectrico donde se convierte la energ´ıa qu´ımica en energ´ıa mec´anica. La explicaci´on detallada de este proceso se puede ver en la secci´on: fibras musculares y

18

Cap´ıtulo 3: Modelo del movimiento humano

(a) Un brazo con b´ıceps contra´ıdo

(b) un brazo con b´ıceps rela-

y tr´ıceps relajado.

jado y tr´ıceps contra´ıdo.

Figura 3.1: Un ejemplo ense˜ nando un par de m´ usculos antagonistas, el m´ usculo b´ıceps y el m´ usculo tr´ıceps, actuando la articulaci´on del codo (Imagine tomada de [Saburchill12]). su funcionamiento en el cap´ıtulo 2 de [Cram10]. La energ´ıa asociada con el movimiento muscular no est´a en funci´on de la amplitud del pulso enviado por MN-α, sino de su duraci´on y del n´ umero de las fibras musculares que se utilizan [Cram10]. Los husos musculares son las c´apsulas fibrosas que est´an en los m´ usculos. Las fibras musculares que est´an en la c´apsula fibrosa son fibras intrafusales. Las que est´an fuera son fibras extrafusales que son la mayor´ıa de las fibras musculares. Las MNs-α inervan las fibras extrafusales y las MNs-γ inervan las fibras intrafusales. Cuando las MNs-γ inervan los husos musculares, ´estos estimulan las MNs-α hasta que las fibras extrafusales tienen una longitud igual a la de los husos musculares. As´ı los husos musculares ofrecen Propiocepci´on y los cambios en actividades de las MNs-γ act´ uan como cambio en el punto de referencia del movimiento de los m´ usculos [Bear07].

3.3.

Descripci´ on del Movimiento Humano En [McIntyre93] McIntyre y Bizzi mencionan que Merton [Merton53] sugiere que

los movimientos en el cuerpo del humano son u ´nicamente cambios en la postura. Las trayectorias de los movimientos punto a punto de un brazo humano son usualmente trayectorias

3.3. Descripci´on del Movimiento Humano

Figura 3.2: La anatom´ıa de un m´ usculo (Imagine tomada de [Cram10]).

19

Cap´ıtulo 3: Modelo del movimiento humano

Velocidad (rad/s)

10

1

Velocidad 0.5 Posición

5

0 0

0.5 Tiempo (s)

Posición (rad)

20

0 1

Figura 3.3: Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posici´on del brazo en movimiento del punto a punto.

rectas con un perfil de velocidad en forma de campana [Randall Flanagan90]. Esta observaci´on permite emplear una funci´on sigmoide como trayectoria deseada. La Figura 3.3 muestra un ejemplo de esta trayectoria. Para que el cuerpo humano realice un movimiento, se tienen que ejecutar las siguientes acciones [Schweighofer98a]: Transformaci´ on de coordenadas: El sistema de coordenadas intr´ınseco es un sistema de coordenadas interno del cuerpo humano y de la misma manera el sistema de coordenadas externo al cuerpo es un sistema de coordenadas extr´ınseco. Las coordenadas espaciales son un ejemplo del sistema de coordenadas extr´ınseco. Una articulaci´on es un punto de conexi´on entre dos huesos. Los m´ usculos esquel´eticos se unen con los huesos por mediaci´on de los tendones. Un sistema de coordenadas intr´ınsecas puede constar del sistema de coordenadas angulares de la articulaci´on, que tiene como base la posici´on angular de ´esta, y del sistema de coordenadas de los m´ usculos que tiene como base la longitud de ´estos [Oshima00]. Caminiti [Caminiti90b, Caminiti90a, Caminiti91] sugiere que el cerebro emplea el sistema de coordenadas intr´ınsecas para realizar el movimiento del cuerpo. Esto quiere decir que se realiza una transformaci´on de coordenadas del sistema extr´ınseco al sistema de coordenadas intr´ınseco con el objecto de realizar el movimiento [Shaikh04]. Planificaci´ on de trayectoria: Korbinian Brodmann dividi´o el cerebro en 52 ´areas basan-

3.4. Hip´otesis de control biol´ogico del movimiento humano

21

do en su citoarquitectura [Brodmann06]. Citoarquitectura es el patr´on caracter´ıstico de disposici´on de las c´elulas dentro de un tejido u ´organo particular. El ´area 5 de Brodmann es la que genera la trayectoria deseada y la que tambi´en calcula las necesidades cinem´aticas incluyendo la aceleraci´on para realizar el movimiento del cuerpo [Schweighofer98a]. Generaci´ on del comando del motor: Despu´es de determinar una trayectoria deseada para la generaci´on de un comando a una articulaci´on, se necesitan compensar las fuerzas de las articulaciones adyacentes que afectan al movimiento. Los estudios presentados en [Bastian96] surgieren que es el cerebelo el que compensa esta acci´on de las articulaciones adyacentes sobre la articulaci´on bajo estudio.

3.4.

Hip´ otesis de control biol´ ogico del movimiento humano El control biol´ogico del movimiento humano se puede realizar por realimentaci´ on,

por prealimentaci´on o por ambos. El control por prealimentaci´on es m´as r´apido que el control realimentado [Schweighofer98a]. Muchos de los modelos antiguos de control usaron realimentaci´on [McIntyre93] y las teor´ıas posteriores apoyan el concepto de prealimentaci´ on en sus modelos [Schweighofer98a, Schweighofer98b]. Uno de los modelos posteriores es el modelo din´amico inverso, que explica el control del movimiento humano. Inicialmente este modelo usa realimentaci´on para entrenar una red neuronal en el cerebro que describe al sistema m´ usculo-esquel´etico, que por efecto de experiencia tiende un modelo inverso del sistema que se est´a controlando. Basado en este modelo el cerebro genera una se˜ nal de prealimentaci´on (feed-forward) y desp´ ues de efectuar el movimiento en cuesti´on, usa realimentaci´ on para actualizar el modelo neuronal. Esto es, el control consta de dos componentes: un control inicial prealimentado m´as un control realimentado. Conforme se repite el movimiento, la parte de realimentaci´on disminuye en importancia y la parte dominante del control la efect´ ua la red neuronal realizando un control prealimentado o en lazo abierto, haciendo la acci´on del movimiento del brazo m´as r´apida [Schweighofer98a]. El estudio del modelo humano en la fase de realimentaci´on para el control de un exoesqueleto es suficiente para nuestro prop´osito, porque el cerebro desarrolla el modelo inverso requerido que estabiliza al

22

Cap´ıtulo 3: Modelo del movimiento humano

sistema.

3.5.

El esquema del movimiento humano El bloque correspondiente al sistema m´ usculo-esquel´etico de la Figura 3.4 muestra

comportamiento del brazo humano y la articulaci´on del codo. Este es un sistema de un GDL. Matematicamente el par que act´ ua sobre el brazo puede expresarse de la siguiente manera. τh (t) = J θ¨h (t) + B θ˙h (t) + K(θh (t) − θv (t))

(3.1)

donde θh es la posici´on angular del brazo humano, τh es el torque externo que act´ ua sobre el brazo, J es la inercia del brazo humano, B es la viscosidad total de la articulaci´on, K es la rigidez muscular total y θv es la trayectoria virtual. La trayectoria virtual es la trayectoria alcanzada por la articulaci´on en ausencia de los pares externos, del par del momento de inercia de la masa y del par de fricci´on viscoso [Latash91, Hogan84, McIntyre93]. El SNC genera una trayectoria virtual deseada (θvd ) [McIntyre93]. Aunque la trayectoria del brazo siga o no a la trayectoria virtual, la trayectoria deseada siempre se alcanza. La realimentaci´on sensorial a la m´edula espinal no es instant´anea. Existen retardos en la realimentaci´on de la posici´on y de la velocidad que se denotar´an por d1 y d2 respectivamente. La m´edula espinal genera un realimentaci´on refleja para estimular las MNs-α. De acuerdo con los siguientes hallazgos, el bloque de realimentaci´on refleja de la Figura 3.4 fue dise˜ nado por [McIntyre93]. • Referencia [Bizzi78] muestra que los monos pueden alcanzar un objetivo en la ausencia de la realimentaci´on refleja. • Las MNs-α y las MNs-γ se activan simult´aneamente, cuando se inicia un movimiento [Vallbo70, McIntyre93]. • Los sujetos con ausencia de realimentaci´on sensorial pueden realizar movimientos complejos, pero la precisi´on de ´estos por alcanzar el objetivo depende de la realimentaci´on sensorial [Vallbo70, McIntyre93].

3.5. El esquema del movimiento humano

Torque externo actuando sobre el brazo humano τh

23

Retardo (d2)

Realimentación sensorial Sistema músculo-esquelético B

Realimentación refleja +

Velocidad deseada virtual . θvd

+

ev

_1_ Js

τM Gv Posición deseada virtual θvd

+

_1_ s

Posición del brazo θh

K θv MN-α

+ -

Gp MN-γ

ep +-

Retardo (d1)

Realimentación sensorial

Figura 3.4: Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano. El bloque de realimentaci´on refleja de la Figura 3.4 se puede representar matem´aticamente como θv (t) = θvd (t) + Gp (ep (t), t) + Gv (ev (t), t)

(3.2)

ep (t) = θvd (t) − θh (t − d1 )

(3.3)

ev (t) = θ˙vd (t) − θ˙h (t − d2 )

(3.4)

donde Gp y Gv son ganancias positivas variables en el tiempo. El humano tiene la capacidad de cambiar las ganancias Gp y Gv para adaptarse a cambios del sistema m´ usculo-esquel´etico [Feldman86, Houk81]. Para simplificar el modelo se pueden aproximar como invariantes en el tiempo [McIntyre93]. Sustituyendo (3.2)-(3.4) en (3.1), escribiendo en el dominio de la frecuencia, se obtiene [ ] [ τh (s) = θh (s) Js2 + (B + KGv e−d2 s )s + K(1 + Gp e−d1 s ) − θvd (s) KGv s ] +K(1 + Gp )

(3.5)

El bloque de realimentaci´on refleja se puede considerar como un controlador proporcional derivativo (PD) con Gp , Gv , ep y ev como la ganancia proporcional, ganancia derivada, error y derivada del error respectivamente.

24

Cap´ıtulo 3: Modelo del movimiento humano

Tabla 3.1: Valores representativos de los par´ametros de un modelo humano [McIntyre93]. J

K

B

(N m rad−1 s−2 )

(N m rad−1 )

(N m rad−1 s−1 )

I

0.10

4.00

0.89

II

0.10

4.00

III

0.10

IV

0.10

Grupo

3.6.

Gp

d1

Gv

d2

(s)

(s)

(s)

2.50

0.065

0.60

0.025

0.50

1.40

0.065

0.50

0.025

4.00

0.89

2.00

0.040

0.30

0.040

4.00

0.50

1.50

0.040

0.35

0.040

Simulaci´ on En 1978 Dufresne, Soechting, y Terzuolo estimaron el valor de los retardos en el lazo

reflejo en 47 ms. Posteriormente ellos mismos en 1979 estimaron los retardos en 25 ms y 65 ms en los lazos de retorno de la velocidad y de la posici´on respectivamente [McIntyre93]. Los autores de [McIntyre93] estimaron la inercia de un sujeto en 0.1 N m rad−1 s−2 . Experimentos de [Bennett92, Lanman80, McIntyre93] estiman que la frecuencia natural para un codo en movimiento r´apido est´a entre 1 Hz y 3 Hz . Los autores de [McIntyre93] elaboraron una tabla de valores posibles que se muestra en la Tabla 3.1, en donde los valores de J, K, d1 , y d2 son resultados experimentales y B, Gp , Gv son valores seleccionados adecuadamente para obtener un sistema estable con buen amortiguamiento. La Figura 3.5 muestra los resultados de simulaci´on del modelo humano de la Figura 3.4 con los valores de par´ametros de la Tabla 3.1 en Simulink de MATLAB.

3.6. Simulaci´on

1.5

Posición del brazo ( θh ) Posición deseada virtual ( θ

vd

)

1

0.5

0 0

0.5

1 1.5 Tiempo (s)

Posición (rad)

Posición (rad)

1.5

25

Posición deseada virtual ( θ

)

0.5

2

vd

1

0.5

0 0

2

Posición del brazo ( θh )

1 1.5 Tiempo (s)

(a) Resultados de la simulaci´ on usando

(b) Resultados de la simulaci´ on usando

los valores del Grupo I de la Tabla 3.1.

los valores del Grupo II de la Tabla 3.1.

1.5

1.5

Posición del brazo ( θ )

1

0.5

0 0

0.5

1 1.5 Tiempo (s)

Posición del brazo ( θ ) h

Posición deseada virtual ( θvd )

2

Posición (rad)

Posición (rad)

h

Posición deseada virtual ( θvd )

1

0.5

0 0

0.5

1 1.5 Tiempo (s)

2

(c) Resultados de la simulaci´ on usando

(d) Resultados de la simulaci´ on usando

los valores del Grupo III de la Tabla 3.1.

los valores del Grupo IV de la Tabla 3.1.

Figura 3.5: Resultados de simulaci´on del modelo empleando los valores dados en la Tabla 3.1.

Cap´ıtulo 4

Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF) En este cap´ıtulo se presenta la configuraci´on mec´anica de un DAF, la interacci´ on entre el DAF y el humano, el controlador propuesto, los resultados de simulaci´ on y los resultados del experimento en tiempo real.

4.1.

Modelado del DAF La Figura 4.1(a) muestra un bosquejo del Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

y la Figura 4.1(b) es su fotograf´ıa. Se compone de un bloque mec´anico, de la masa (M ) conectada a un motor el´ectrico a trav´es de un mecanismo de tuerca husillo. El mecanismo de tuerca husillo convierte la fuerza de rotaci´on (par, τA ) generada por el motor a una fuerza rectil´ınea (FA ) que mueve el bloque mec´anico. La posici´on del bloque mec´anico se considera que es cero cuando el bloque se encuentra en contacto con el l´ımite inferior de la carrera mec´anica del mecanismo de la tuerca husillo y positivo cuando el bloque est´a arriba de ese nivel. Un codificador de posici´on angular ´optico conectado al motor permite la medici´on indirecta de la posici´on del bloque 27

28Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

Sensor de posición Motor de la CD

Tuerca husillo Sensor de posición

Tuerca husillo Apoyo del motor electrico y de la tuerca husillo

El motor eléctrico fijado al estructura fija

Bloque mecánico

Sensor de fuerza

Bloque mecánico

y

Sensor de fuerza

Brazo humano

x (a) Esquema del DAF mostrando el actua-

(b) Fotograf´ıa de un piloto operando el

dor, el bloque mec´ anico conectado a una

DAF.

tuerca husillo y los sensores.

Figura 4.1: Esquema y fotograf´ıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF).

mec´anico (ye ). Considerando la Figura 4.1(a), la fuerza impulsora (FA ) de un mecanismo de tuerca husillo es proporcional a la salida del par del motor el´ectrico (τM ) [Inc.11b, Inc.12], la cual se puede escribir FA (t) =

2π = Km τA (t) Pm

(4.1)

−1 , P es el paso del tornillo del mecanismo de tuerca husillo. donde Km = 2πPm m

Puesto que el amplificador de potencia del motor funciona en modo par, su din´amica es r´apida (vease el Ap´endice A). Haciendo caso omiso de esta din´amica se puede escribir τA (t) = KT VA (t)

(4.2)

4.2. Interacci´on entre el brazo humano y el DAF

29

Dinámica del bloque mecánico W FA

Kf - F +

+

1 ____ Ms

. ye

_1_ s

ye

Fe

Figura 4.2: Diagrama a bloques del DAF.

donde KT es una constante positiva y VA es el voltaje de entrada al servomecanismo. Sustituyendo (4.2) en (4.1), se produce FA (t) = Km KT VA (t)

(4.3)

Sea M la masa del bloque mec´anico y Kf el coeficiente de fricci´on viscosa. Por lo tanto, el modelo del bloque mec´anico se puede escribir como: M y¨e (t) = −Kf y˙ e (t) + F (t) F (t) = FA (t) + Fe (t) − W

(4.4) (4.5)

donde W = M g es el peso del bloque mec´anico, F es la fuerza total ejercida sobre el bloque mec´anico y Fe es la fuerza ejercida por el piloto. En la Figura 4.2 se representa la din´amica del DAF. La siguiente ecuaci´on la representa en el dominio de la frecuencia, con condiciones iniciales nulas. ye (s) F (s)

4.2.

=

1 M s 2 + Kf s

(4.6)

Interacci´ on entre el brazo humano y el DAF La Figura 4.3 muestra la interacci´on entre el brazo y el bloque mec´anico. Sea d el

ancho del dedo, que se deforma una distancia ε cuando ejerce una fuerza sobre el bloque mec´anico, as´ı que ε = yh − ye . Debido a la diferencia entre la posici´on del brazo (yh ) y

30Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

Brazo humano

θh

Bloqueo mecánico

Sensor de fuerza

d

d-ε

(a) Brazo en contacto con el bloque

(b) Brazo

mec´ anico.

mec´ anico.

empujando

el

bloque

Figura 4.3: Brazo interactuando con el DAF. la posici´on del DAF (ye ), se produce una fuerza de reacci´on entre ellos. La fuerza ejercida sobre el DAF por el brazo humano (Fe ) y es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el DAF sobre el brazo del piloto (Fh ), lo que se puede escribir como [Pataky05] Fe (t) = −Fh (t) = εE = (yh (t) − ye (t))E

(4.7)

τh (t) = Fh (t)la = εEla = (ye (t) − yh (t))Ela

(4.8)

por lo que entonces

donde la es la longitud del brazo, y E representa la compliancia f´ısica de la carne y los sensores de fuerza existentes entre el humano y el DAF. La rigidez del sensor de fuerza es muy alta comparada con la de la carne humana, por lo tanto E puede considerarse como la compliancia de la carne [Kazerooni88]. El valor estimado de E es una constante para valores peque˜ nos de ε [Pataky05].

4.3.

Esquema del controlador aplicado al DAF El siguiente algoritmo de control se puede aplicar como se muestra en la Figura

4.4. FA (t) = (KA − 1)Fe (t) − Kd y˙ e (t) − Kp ye (t)

(4.9)

donde KA es la ganancia del amplificador de fuerza, Kp es la ganancia proporcional y −Kd y˙ e representa una realimentaci´on de velocidad que introduce amortiguamiento en el sistema.

4.4. An´alisis de estabilidad

31

Computador Kp Kd -

+ (KmKT)-1

. ye

W VA F F Actuador A +

Dinámica del bloque mecánico

ye

KA-1 + yh

E

Fe -1

le θh

Fh

le

τh

Modelo del brazo . θvd θvd

le-1 le-1 . yvd yvd Modelo humano

Figura 4.4: Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado. Sustituyendo (4.5), (4.7) y el algoritmo de control (4.9) en (4.4), se obtiene M y¨e (t) = −W − (Kd + Kf )y˙ e (t) − Kp ye (t) + KA Fe (t)

(4.10)

M y¨e (t) = −W − (Kd + Kf )y˙ e (t) − Kp ye (t) + KA (yh (t) − ye (t))E

(4.11)

o

4.4.

An´ alisis de estabilidad La Figura 4.5 es una simplificaci´on de la Figura 4.4. Empleando (4.11), se obtiene

la funci´on de transferencia entre ye y yh , la cual se puede escribir como ye (s) yh (s)

=

M s2

KA E + (Kd + Kf )s + Kp + EKA

(4.12)

La trayectoria del brazo humano yh sigue la trayectoria deseada yd . En el SNC se genera yd , tambi´en se calcula la trayectoria virtual deseada yvd , y se hace una transformaci´on

32Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

. Kd ye F Dinámica del + bloque mecánico ye W

Kp +

KA Fe

+ yh

E

-1 Fh

la

τh

ye

Modelo del brazo yvd

. yvd

Figura 4.5: Simplificaci´on del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4.

de coordenadas de la trayectoria virtual deseada a ´angulos θvd como se muestra en el bloque del modelo humano de la Figura 4.4. La din´amica del brazo est´a dada por (3.5) y se puede reescribir como

[ ] [ la τh (s) = yh (s) Js2 + (B + KGv e−d2 s )s + K(1 + Gp e−d1 s ) − yvd (s) KGv s ] +K(1 + Gp ) (4.13)

Ignorando los retardos d1 y d2 (i.e. d1 = d2 = 0) y substituyendo (4.8) en (4.13), se obtiene

[ ] [ Ela2 ye (s) = yh (s) Js2 + (B + KGv )s + K(1 + Gp ) + Ela2 − yvd (s) KGv s ] +K(1 + Gp ) (4.14)

4.4. An´alisis de estabilidad

33

Sustituyendo (4.12) en la ecuaci´on anterior, se obtiene yh (s) yvd (s)

=

[ (Gv KM )s3 + (Gv K(Kd + Kf ) + (Gp + 1)KM )s2 + ((Gp + 1)K(Kd +Kf ) + Gv KKp + EGv KKA )s + (Gp + 1)KKp + E(Gp / ] [ +1)KKA (JM )s4 + (BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM )s3 +(EM la2 + B(Kd + Kf ) + JKp + EJKA + Gv K(Kd + Kf ) +(Gp + 1)KM )s2 + (E(Kd + Kf )la2 + BKp + BEKA +(Gp + 1)K(Kd + Kf ) + Gv KKp + EGv KKA )s + EKp la2 ] +(Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA

ye (s) yvd (s)

(4.15)

/ [ ] [ = (EGv KKA )s + E(Gp + 1)KKA (JM )s4 + (BM +J(Kd + Kf ) + Gv KM )s3 + (EM la2 + B(Kd + Kf ) + JKp +EJKA + Gv K(Kd + Kf ) + (Gp + 1)KM )s2 + (E(Kd + Kf )la2 +BKp + BEKA + (Gp + 1)K(Kd + Kf ) + Gv KKp + EGv KKA )s ] +EKp la2 + (Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA (4.16)

El denominador de yh (s)/yvd (s) y de ye (s)/yvd (s) es el mismo, y se denota por D(s), que es un polinomio de cuarto grado en s. D(s) := a ¯4 s4 + a ¯ 3 s3 + a ¯2 s2 + a ¯1 s1 + a ¯0 a ¯4

=

JM

a ¯3

=

BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM

a ¯2

=

EM la2 + B(Kd + Kf ) + JKp + EJKA + Gv K(Kd + Kf )

(4.17)

+(Gp + 1)KM a ¯1

=

E(Kd + Kf )la2 + BKp + BEKA + (Gp + 1)K(Kd + Kf ) +Gv KKp + EGv KKA

a ¯0

=

EKp la2 + (Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA

Por el teorema de Routh-Hurwitz el sistema en lazo cerrado es estable cuando se

34Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

cumplen las siguientes condiciones.

a ¯0 > 0; a ¯1 > 0; a ¯2 > 0; a ¯3 > 0; a ¯4 > 0; a ¯5 > 0

(4.18)

¯3 a ¯2 − a ¯4 a ¯1 ¯b1 := a >0 a ¯3

(4.19)

¯b1 a ¯1 − a ¯3 a ¯0 >0 ¯b1

(4.20)

c¯1 :=

Las condiciones (4.19) y (4.20), se pueden simplificar como (vease el Ap´endice B)

¯b1 =

[ (BJ + Gv JK)(Kd + Kf )2 + (B 2 M + J 2 Kp + EJ 2 KA + G2v K 2 M +2BGv KM )(Kd + Kf ) + (Gp + 1)Gv K 2 M 2 + EGv KM 2 la2 / ] [ ] +B(Gp + 1)KM 2 + BEM 2 la2 (B + Gv K)M + J(Kd + Kf ) > 0 (4.21)

4.5. An´alisis del desempe˜ no

c¯1s =

35

[ B 3 EKA (Kd + Kf )M + B 3 (Kd + Kf )Kp M + B 2 E 2 KA M 2 la2 +3B 2 EGv KKA (Kd + Kf )M + B 2 EJKA (Kd + Kf )2 +B 2 E(Kd + Kf )2 M la2 + B 2 (Gp + 1)K(Kd + Kf )2 M + 3B 2 Gv K(Kd + Kf )Kp M +B 2 J(Kd + Kf )2 Kp + 2BE 2 Gv KKA M 2 la2 + 3BEG2v K 2 KA (Kd +Kf )M + 2BEGv JKKA (Kd + Kf )2 + 2BEGv K(Kd + Kf )2 M la2 +BEJ(Kd + Kf )3 la2 + 2B(Gp + 1)Gv K 2 (Kd + Kf )2 M + B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )3 + 3BG2v K 2 (Kd + Kf )Kp M + 2BGv JK(Kd + Kf )2 Kp +E 2 G2v K 2 KA M 2 la2 + E 2 J 2 KA (Kd + Kf )2 la2 +EG3v K 3 KA (Kd + Kf )M + EG2v JK 2 KA (Kd + Kf )2 +EG2v K 2 (Kd + Kf )2 M la2 + EGv JK(Kd + Kf )3 la2 + (Gp +1)G2v K 3 (Kd + Kf )2 M + (Gp + 1)Gv JK 2 (Kd + Kf )3 +G3v K 3 (Kd + Kf )Kp M + G2v JK 2 (Kd + Kf )2 Kp + Gv K(Kd ( )2 +Kf ) − EM la2 + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM ( +2E 2 Gv JKKA (Kd + Kf )M la2 + B(Kd + Kf ) − EM la2 )2 +JKp + EJKA − (Gp + 1)KM + 2BE 2 JKA (Kd / ] [ ] +Kf )M la2 BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM > 0

(4.22)

De las ecuaciones (4.17), (4.21) y (4.22), se puede notar que todos los t´erminos de a ¯0 , a ¯1 , a ¯2 , a ¯3 , a ¯4 , ¯b1 , y c¯1 son positivos, lo que satisface las condiciones de estabilidad (4.18)-(4.20). Una prueba de estabilidad detallada en Ap´endice C.

4.5.

An´ alisis del desempe˜ no El punto de equilibrio, (4.10) se puede reescribir como Fe (t) =

W + Kp ye (t) KA

(4.23)

lo que pone de manifiesto que el piloto siempre percibe una parte relativamente peque˜ na del peso cuando KA > 1.

36Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

Cuando el operador quita la mano del sensor de fuerza, la din´amica del sistema es M y¨e (t) = −W − (Kd + Kf )y˙ e (t) − Kp ye (t)

(4.24)

que es estable porque Kp y Kd + Kf son positivos. La posici´on del bloque mec´anico (ye ) en el punto de equilibrio es: ye (t) = −

W Kp

(4.25)

La posici´on ye anterior es negativa, sin embargo, el tope mec´anico evitar´a que el bloque se mueva por debajo del l´ımite inferior de la carrera mec´anica de la tuerca husillo (ye = 0).

4.6.

Selecci´ on de los par´ ametros del controlador

Selecci´ on de Kp : La ecuaci´on (4.23) muestra que la fuerza ejercida por el brazo humano depende del peso del bloque mec´anico y de la posici´on de ´este. En condiciones ideales la fuerza ejercida por el brazo humano (Fei ) debe ser proporcional al peso, es decir Fei (t) =

W KA

(4.26)

Seando el error e :=

Fe (t) − Fei (t) × 100 % Fei

si se desea que no sea superior al 10 %, se debe tener que ( ) 0.1W Kp ≤ m´ın ye (t) 0.1W Kp ≤ Yem

(4.27)

(4.28) (4.29)

donde Yem = m´ax (ye (t)). Selecci´ on de Kd :

Cuando el piloto quita la mano del bloque mec´anico, no se desean osci-

laciones en el bloque. En otras palabras, el factor de amortiguamiento del sistema mostrado en (4.24) no puede ser menor que 1, matem´aticamente Kd + Kf √ 2 Kp M

≥ 1

√ Kd ≥ 2 Kp M − Kf

(4.30) (4.31)

37

0.4

4

0.3

3

Posición deseada virtual ( yvd )

0.2

Posición de bloque mecánico ( ye )

0.1 0 0

5

10 15 Tiempo (s)

20

Fuerza (N)

Posición (m)

4.7. Resultados de la simulaci´on y experimentales

2 1 0 0

25

Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )

(a) Posici´ on vs tiempo.

10 20 Tiempo (s)

30

(b) Fuerza vs tiempo.

Figura 4.6: Resultados de la simulacion. 4

Posición de bloque mecánico ( ye )

0.3

Fuerza (N)

Posición (m)

0.4

0.2 0.1 0 0

5

10 15 Tiempo (s)

20

(a) Posici´ on vs tiempo.

25

Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )

3 2 1 0 0

10 20 Tiempo (s)

30

(b) Fuerza vs tiempo.

Figura 4.7: Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano desp´ ues de 15 s.

Selecci´ on de KA :

De (4.23) se observa que la fuerza ejercida por el piloto se amplifica

cuando KA > 1 y se aten´ ua cuando 0 < KA < 1. El piloto puede seleccionar KA seg´ un se requiera.

4.7.

Resultados de la simulaci´ on y experimentales En esta secci´on se presentan los resultados de las simulaciones y los experimen-

tales. Los valores empleados para las simulaciones, se obtuvieron haciendo un an´alisis de la geometr´ıa del dispositivo real y con la ayuda de los manuales de las partes de ´este. Los

38Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

Tabla 4.1: Valores de los par´ametros para la simulaci´on. Parameter

Value

Unit

B

0.89

N m rad−1 s−1

d1

0.04

s

d2

0.04

s

E

920

N m−1

Gp

2

Gv

0.3

s

J

0.1

N m rad−1 s−2

K

4

N m rad−1

KA

125

Kd

65

Kf

0

Km

1.047 × 103

Kp

45

KT

1.2753

la

0.35

m

M

23.393

kg

Pm

6 × 10−3

m

W

229.409

N

0.5

m

yem

kg s−1 N m−1 s m−1 kg s−2 N m V−1

4.7. Resultados de la simulaci´on y experimentales

39

30 20 Eje real

10 0 −10 −20 −30 −11

−10

−9

−8

−7 −6 −5 Eje imaginario

−4

−3

−2

−1

Figura 4.8: Diagrama de lugar de las ra´ıces para el sistema en lazo cerrado.

0.3 0.2 0.1 0 0

40

Posición de bloque mecánico ( ye )

Fuerza (N)

Posición (m)

0.4

10 20 Tiempo (s) (a) Posici´ on vs tiempo.

Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )

30 20 10 0 0

5

10 15 Tiempo (s)

20

(b) Fuerza vs tiempo.

Figura 4.9: Resultados experimentales.

25

40Cap´ıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)

Posición (m)

0.4 0.3 Posición del bloque mecánico ( ye )

0.2

Posición deseada virtual ( yvd )

0.1 0 0

5

10 15 Tiempo (s)

20

25

Figura 4.10: Grafica de la posici´on contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162 ms donde se observa que el sistema se vuelve inestable. valores de Kp , y Kd se han selecionado de la Tabla 4.1 de tal manera que satisfagan los condiciones (4.29) y (4.31). El resto de los valores para los par´ametros de la simulaci´on se encuentran tambi´en en esta tabla. Los valores de los par´ametros del modelo humano se tomaron del Grupo III de la Tabla 3.1. Las trayectorias de la posici´on del brazo humano (ye ) y de la fuerza ejercida por el piloto Fe se muestran en la Figura 4.6. La Figura 4.7(a) muestra la situaci´on cuando el piloto quita la mano despu´es de 15 s. En la Figura 4.8 se muestra el lugar de las ra´ıces para el sistema en lazo cerrado. Se puede observar que para todos los valores de KA las ra´ıces siempre est´an del lado izquerdo del plano complejo lo que implica la estabilidad del sistema. Resultados de la simulaci´on muestran que para retardos iguales a o superiores a 162 ms, el sistema se vuelve inestable. El an´alisis que se ha presentado es v´alido para valores del retardo menores a 162 ms como muestran las simulaciones. La Figura 4.10 muestra una simulaci´on con retardos d1 = d2 = 162 ms. La plataforma en la cual se llevaron a cabo los experimentos est´a constituida, en la parte de programaci´on por el sistema operativo Windows XP con MATLAB-SIMULINK y WinCon, este u ´ltimo es un n´ ucleo que permite realizar el control en tiempo real. Los datos del actuador, del sensor y del bloque mec´anico se dan en el Ap´endice D. El periodo de muestreo utilizado en el modelo fue de 1 ms. La salida de voltaje del control fue limitada por programa con un saturador de ±6 V. La Figura 4.9 muestra los resultados del experimento en tiempo real.

Cap´ıtulo 5

Conclusiones y trabajo futuro En esta propuesta de tesis se presenta un modelo del movimiento humano, un exoesqueleto no-antrom´orfico, un controlador, el an´alisis de estabilidad del sistema hombreexoesqueleto, selecci´on de los par´ametros de control, resultados de simulaciones del esquema de control propuesto, y resultados experimentales obtenidos a partir de la aplicaci´on del control propuesto al modelo de laboratorio construido.

5.1.

Conclusiones Los par´ametros usados en la simulaci´on se seleccionaron en base a estimaciones

de los par´ametros del dispositivo experimental. Se puede observar que los resultados de las simulaciones y los resultados experimentales se asemejan. El valor estimado para el coeficiente de fricci´on viscosa (KF ) se tom´o como 0 N s m−1 , que puede ser incorrecto pero resulta en un valor de Kd tal que sistema es estable. Por esta raz´on la trayectoria de bajada ye de la simulaci´on, no coincide con la del experimento. De la observaci´on de los resultados de la simulaci´on y experimentales, se puede ver que el piloto siempre siente una fuerza cuando levanta el bloque mec´anico o cuando lo mantiene en una posici´on fija. Un requisito del dise˜ no es que el piloto siempre sienta una parte de la carga que est´a levantando. Aunque el an´alisis de estabilidad se ha realizado despreciando los retardos en el lazo de realimentaci´on del modelo humano, las resultados de las simulaciones y experimen41

42

Cap´ıtulo 5: Conclusiones y trabajo futuro

tales muestran que el sistema con retardos cuando se aplica el algoritmo propuesto que no considera los retardos, es estable.

5.2.

Trabajo futuro El an´alisis de estabilidad del esquema propuesto se realiz´o suponiendo que los

retardos en el modelo humano son iguales a cero y que la fuerza aplicada por el piloto no est´a limitada en magnitud. El resultado es que el sistema es estable para toda KA . Como trabajo futuro deber´a considerarse el papel desempe˜ nado por los retardos y el hecho de que la fuerza que ejerce el piloto es limitada en magnitud. El esquema de un solo GDL que se presenta el problema de que si se considera el desplazamiento de la parte externa de la mano que toca al dispositivo, ´este describe una circunferencia con centro en la articulaci´on del codo. Para considerar que el punto del contacto con el dispositivo recorre una trayectoria vertical, que es lo que requiere para mover el bloque mec´anico hacia arriba o hacia abajo, es necesario considerar un segundo GDL que corresponde a la articulaci´on del hombro. Este trabajo es una aproximaci´on real por lo que un trabajo futuro deber´a considerar un esquema con dos GDL. Otra posible extensi´on del trabajo, es decir trabajo futuro, puede ser el apoyo a las personas con mal de Parkinson para que el DAF las ayude a minimizar el temblor. Tambi´en se puede extender el trabajo a la ayuda a las personas sin brazos. En este caso se necesitar´an emplear se˜ nales EMG para generar los comandos al dispositivo y se tendr´ıa que realizar el algoritmo de control correspondiente y su calibraci´on para el piloto en cuesti´on. El dispositivo experimental actual tiene un solo sensor de fuerza que detecta la intenci´on del piloto de mover el dispositivo verticalmente hacia arriba. Se puede incluir otro sensor de fuerza y realizar en el esquema de control los cambios pertinentes para detectar la intenci´on del piloto de mover el dispositivo hacia abajo. As´ı que se puede extender el trabajo para mover el bloque mec´anico verticalmente hacia arriba y hacia abajo usando dos sensores de fuerza. Otra posible extensi´on del trabajo puede ser la inclusi´on de un sistema de detecci´on de fallas en el exoesqueleto y la toma de decisiones adecuadas para evitar accidentes. Una

5.2. Trabajo futuro

43

falla el´ectrica, un corto circuito, una falla en los sensores, etc., pueden causar accidentes. Se puede implementar un lazo de control independiente que maneje estas situaciones de emergencia y garantice la seguridad del piloto. El proyecto actual considera solamente movimiento rectil´ıneo vertical del dispositivo, se tiene en principio un exoesqueleto no-antropom´orfico. Se puede extender el trabajo a la construcci´on de un dispositivo pseudo-antropom´orfico haciendo que ´este pueda realizar movimientos rotacionales.

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Ap´endice A

Modelo del motor el´ ectrico y del amplificador Un motor el´ectrico de corriente directa con escobillas puede modelarse como τA (s) KAt (JA s + BA ) = VAm (s) LA JA s2 + (LA BA + RA JA )s + (KAe KAt + RA BA ) τA = KAt I

(A.1)

donde τA es el par del eje del motor en N m, VAm es el voltaje de entrada al motor en V, KAt es la sensibilidad del par del motor en N m A−1 , JA es la inercia total del eje en N m s2 , BA es la fricci´on en N m s rad−1 , LA es la inductancia del motor en Ω s, RA es la resistencia en Ω, KAe es la constante de fuerza contra-electromotriz del motor en V s rad−1 , y IA es la corriente el´ectrica del motor en A. En la configuraci´on usada en el experimento, el motor est´a conectado a un amplificador trabajando en modo par, con realimentaci´on de corriente, como se muestra en la Figura A.1. El sistema en lazo cerrado es (  KAp + τA (s) ( = KAt KAE  VA (s) 1+K K AC

)

 A (s) KAa VIAm (s)  ) IA (s) KAi + K Ap Aa VAm (s) s KAi s

(A.2)

donde VA es la entrada de voltaje al amplificador en V, que genera una referencia en corriente, KAC es la ganancia de realimentaci´on de la corriente en Ω, KAa es la ganancia del puente H del amplificador, KAE es la ganancia de entrada del amplificador, y KAp y KAi son 53

54

Ap´endice A: Modelo del motor el´ectrico y del amplificador

KAp VA

VAm KAE

+

+

KAa

DC Motor

θA

1 s

KAi

IA

KAC

Figura A.1: Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador conectado con realimentaci´on en corriente, es decir en modo par.

las ganancias proporcional e integral, respectivamente, para el controlador PI interno del amplificador. Seleccionando valores mucho mayores a 1 para KAi , (A.2) se puede simplificar como [ τA (s) = KAt KAE −1 donde KT = KAt KAE KAC .

] 1 VA (s) = KT VA (s) KAC

(A.3)

Ap´endice B

Simplificaciones de las ecuaciones Simplificaci´ on de (4.19)

¯b1 =

Sustituyendo a ¯1 , a ¯2 , a ¯3 , y a ¯4 en (4.19), se obtiene

[ (BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM )(EM la2 + B(Kd + Kf ) +JKp + EJKA + Gv K(Kd + Kf ) + (Gp + 1)KM ) − JM (E(Kd +Kf )la2 + BKp + BEKA + (Gp + 1)K(Kd + Kf ) + Gv KKp / ] [ ] +EGv KKA ) BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM

(B.1)

Expandiendo (B.1) y cancelando las t´erminos negativos con t´erminos positivos, (B.1) se puede escribir como (4.21). Ya que todos los t´erminos son positivos en (4.21), ¯b1 es positivo.

Simplificaci´ on de (4.20)

Ya que ¯b1 es positivo, (4.20) se puede simplificar como

c¯1s = ¯b1 a ¯1 − a ¯3 a ¯0 > 0 55

(B.2)

56

Ap´endice B: Simplificaciones de las ecuaciones

Sustituyendo a ¯0 , a ¯1 , a ¯3 , y ¯b1 en la condici´on anterior y expandiendo, se obtiene

c¯1s =

[ B 3 EKA (Kd + Kf )M + B 3 (Kd + Kf )Kp M + B 2 E 2 KA M 2 la2 +3B 2 EGv KKA (Kd + Kf )M + B 2 EJKA (Kd + Kf )2 + B 2 E(Kd +Kf )2 M la2 + B 2 (Gp + 1)K(Kd + Kf )2 M + 3B 2 Gv K(Kd +Kf )Kp M + B 2 J(Kd + Kf )2 Kp + 2BE 2 Gv KKA M 2 la2 2 +BE 2 J 2 KA (Kd + Kf ) + BE 2 (Kd + Kf )M 2 la4 − 2BE(Gp

+1)JKKA (Kd + Kf )M + 2BE(Gp + 1)K(Kd + Kf )M 2 la2 +3BEG2v K 2 KA (Kd + Kf )M + 2BEGv JKKA (Kd + Kf )2 +2BEGv K(Kd + Kf )2 M la2 + 2BEJ 2 KA (Kd + Kf )Kp +BEJ(Kd + Kf )3 la2 − 2BEJ(Kd + Kf )Kp M la2 + B(Gp +1)2 K 2 (Kd + Kf )M 2 + 2B(Gp + 1)Gv K 2 (Kd + Kf )2 M +B(Gp + 1)JK(Kd + Kf )3 − 2B(Gp + 1)JK(Kd + Kf )Kp M +3BG2v K 2 (Kd + Kf )Kp M + 2BGv JK(Kd + Kf )2 Kp +BJ 2 (Kd + Kf )Kp2 + E 2 G2v K 2 KA M 2 la2 2 +E 2 Gv J 2 KKA (Kd + Kf ) + E 2 Gv K(Kd + Kf )M 2 la4

+E 2 J 2 KA (Kd + Kf )2 la2 − 2E(Gp + 1)Gv JK 2 KA (Kd +Kf )M + 2E(Gp + 1)Gv K 2 (Kd + Kf )M 2 la2 +EG3v K 3 KA (Kd + Kf )M + EG2v JK 2 KA (Kd + Kf )2 +EG2v K 2 (Kd + Kf )2 M la2 + 2EGv J 2 KKA (Kd + Kf )Kp +EGv JK(Kd + Kf )3 la2 − 2EGv JK(Kd + Kf )Kp M la2 +(Gp + 1)2 Gv K 3 (Kd + Kf )M 2 + (Gp + 1)G2v K 3 (Kd +Kf )2 M + (Gp + 1)Gv JK 2 (Kd + Kf )3 − 2(Gp +1)Gv JK 2 (Kd + Kf )Kp M + G3v K 3 (Kd + Kf )Kp M +G2v JK 2 (Kd + Kf )2 Kp + Gv J 2 K(Kd / ] [ ] +Kf )Kp2 BM + J(Kd + Kf ) + Gv KM > 0

(B.3)

57

c¯1s tiene 6 t´erminos negativos en su numerador que son −2E(Gp + 1)Gv JK 2 KA (Kd + Kf )M − 2(Gp + 1)Gv JK 2 (Kd +Kf )Kp M − 2EGv JK(Kd + Kf )Kp M la2 − 2BE(Gp + 1)JKKA (Kd +Kf )M − 2BEJ(Kd + Kf )Kp M la2 − 2B(Gp + 1)JK(Kd + Kf )Kp M y 12 terminos positivos que son +2EGv J 2 KKA (Kd + Kf )Kp + (Gp + 1)2 Gv K 3 (Kd + Kf )M 2 2 +E 2 Gv J 2 KKA (Kd + Kf ) + Gv J 2 K(Kd + Kf )Kp2 + E 2 Gv K(Kd

+Kf )M 2 la4 + 2E(Gp + 1)Gv K 2 (Kd + Kf )M 2 la2 + 2BE(Gp +1)K(Kd + Kf )M 2 la2 + B(Gp + 1)2 K 2 (Kd + Kf )M 2 + BE 2 (Kd 2 +Kf )M 2 la4 + BJ 2 (Kd + Kf )Kp2 + BE 2 J 2 KA (Kd + Kf )

+2BEJ 2 KA (Kd + Kf )Kp sumando y restando al numerador los siguientes t´erminos 2E 2 Gv JKKA (Kd + Kf )M la2

(B.4)

2BE 2 JKA (Kd + Kf )M la2

(B.5)

es posible completar cuadrados y escribir lo siguiente: Gv K(Kd + Kf )(−EM la2 + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM )2 +2E 2 Gv JKKA (Kd + Kf )M la2 + B(Kd + Kf )(−EM la2 + JKp +EJKA − (Gp + 1)KM )2 + 2BE 2 JKA (Kd + Kf )M la2

(B.6)

por lo que tanto el numerador como el denominador de c¯1s son positivos. Por lo tanto c¯1s es positivo.

Ap´endice C

Prueba de estabilidad El sistema en lazo cerrado se puede dividir en los sistemas S1 y S2 como se muestra en la Figura C.1. Ignorando la entrada W en (4.10), el sistema S1 se puede escribir en el dominio de la frecuencia como

S1 (s) =

Fe (s) = ye (s)

1 M 2 KA s

+

Kd +Kf KA s

+

Kp KA

(C.1)

Ignorando los retardos y la entrada yvd en (4.13); y substituyendo (4.8) en (4.13), se puede escribir −yh (s) Fe (s)

=

la2 Js2 + (B + KGv )s + K(1 + Gp )

(C.2)

Simplificando el lazo cerrado en S2 , se puede escribir lo siguiente

S2 (s) =

−E[Js2 + (B + KGv )s + K(1 + Gp )] Fe (s) = ye (s) Js2 + (B + KGv )s + K(1 + Gp ) + Ela2

(C.3)

Los sistemas S1 y S2 se pueden generalizar como

S1 (s) = S2 (s) =

1 a2 + a1 s + a0 −c(b2 s2 + b1 s + b0 ) b2 s2 + b1 s + b0 + cd s2

59

(C.4) (C.5)

60

Ap´endice C: Prueba de estabilidad

S1 Kp +

. ye

Kd

F Dinámica del + bloque mecánico ye W

KA Fe

ye Fe

+ yh

E

-1 Fh

la

τh

ye

Modelo del brazo yvd

. yvd

S2 Figura C.1: Separaci´on del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerrado S1 y S2 . Polinomio caracter´ıstico (P (s)) de este sistema es el siguiente: P (s) = 1 − S1 (s)S2 (s) = 0 c(b2 s2 + b1 s + b0 ) =0 = 1+ (a2 s2 + a1 s + a0 )(b2 s2 + b1 s + b0 + cd) = (a2 s2 + a1 s + a0 )(b2 s2 + b1 s + b0 + cd) + c(b2 s2 + b1 s + b0 ) = 0

(C.6) (C.7) (C.8)

= a2 b2 s4 + a2 b1 s3 + a2 b0 s2 + a2 cds2 +a1 b2 s3 + a1 b1 s2 + a1 b0 s + a1 cds +a0 b2 s2 + a0 b1 s + a0 b0 + a0 cd +b2 cs2 + b1 cs + b0 c = 0

(C.9)

= (a2 b2 )s4 + (a2 b1 + a1 b2 )s3 + (a2 b0 + a2 cd + a1 b1 + a0 b2 + b2 c)s2 +(a1 b0 + a0 b1 + b1 c + a1 cd)s + (a0 cd + b0 c + a0 b0 )

(C.10)

La ecuaci´on anterior se puede escribir como P (s) := A4 s4 + A3 s3 + A2 s2 + A1 s + A0 = 0

(C.11)

61

donde A4 = a2 b2

(C.12)

A3 = a1 b2 + a2 b1

(C.13)

A2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 + b2 c + a2 cd

(C.14)

A1 = a0 b1 + a1 b0 + b1 c + a1 cd

(C.15)

A0 = a0 b0 + b0 c + a0 cd

(C.16)

De acuerdo con el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, el sistema es estable si y solo si las siguientes condiciones se satisfacen. A0 > 0; A1 > 0; A2 > 0; A3 > 0; A4 > 0

(C.17)

B1 :=

A3 A2 − A4 A1 >0 A3

(C.18)

C1 :=

B1 A1 − A3 A0 >0 B1

(C.19)

(a1 b2 + a2 b1 )(a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 + b2 c + a2 cd) − a2 b2 (a0 b1 + a1 b0 + b1 c + a1 cd) a1 b2 + a2 b1 [ 2 2 2 = a0 a1 b2 + a1 b1 b2 + a1 a2 b0 b2 +a1 b2 c + a1 a2 b2 cd | {z } | {z }

B1 =

a0 a2 b1 b2 +a1 a2 b21 | {z }

+

2 2 a2 b0 b1

+

4 2 a2 b1 b2 c +a2 b1 cd | {z }

1

3

− a0 a2 b1 b2 − a1 a2 b0 b2 − a2 b1 b2 c − a1 a2 b2 cd | {z } | {z } | {z } | {z } =

1 2 a0 a1 b2 +

2

a21 b1 b2

+

3

a1 b22 c

a1 a2 b21

+ + a1 b2 + a2 b1

4 2 a2 b0 b1

]/[ ] a1 b2 + a2 b1

+ a22 b1 cd

(C.20)

De la ecuaci´on anterior se puede observar que B1 es positivo y por tanto C1 se puede simplificar de la siguiente manera. C1s := B1 A1 − A3 A0 > 0 (( C1s =

a0 a1 b22 + a21 b1 b2 + a1 b22 c + a1 a2 b21 + a22 b0 b1 + a22 b1 cd a1 b2 + a2 b1 )

+a1 cd) − (a1 b2 + a2 b1 )(a0 b0 + b0 c + a0 cd)

>0

) (a0 b1 + a1 b0 + b1 c (C.21)

62

Ap´endice C: Prueba de estabilidad

o ( (a0 a1 b22 + a21 b1 b2 + a1 b22 c + a1 a2 b21 + a22 b0 b1 + a22 b1 cd)(a0 b1 + a1 b0 + b1 c + a1 cd) ) −(a1 b2 + a2 b1 )(a0 b0 + b0 c + a0 cd)(a1 b2 + a2 b1 )

>0

(C.22)

o ( (a0 a1 b22 + a21 b1 b2 + a1 b22 c + a1 a2 b21 + a22 b0 b1 + a22 b1 cd)(a0 b1 + a1 b0 + b1 c + a1 cd) ) −(a1 b2 + a2 b1 ) (a0 b0 + b0 c + a0 cd) 2

>0

(C.23)

o ( (a0 a1 b22 + a21 b1 b2 + a1 b22 c + a1 a2 b21 + a22 b0 b1 + a22 b1 cd)(a0 b1 + a1 b0 + b1 c + a1 cd) ) −(a21 b22 + a22 b21 + 2a1 a2 b1 b2 )(a0 b0 + b0 c + a0 cd)

>0

(C.24)

o ( a20 a1 b1 b22 + a0 a21 b21 b2 + a0 a1 b1 b22 c + a0 a1 a2 b31 + a0 a22 b0 b21 + a0 a22 b21 cd | {z } | {z } + a0 a21 b0 b22 +a31 b0 b1 b2 | {z }

+

1

+a0 a1 b1 b22 c

a21 b0 b22 c +a21 a2 b0 b21 | {z }

+

2 2 2 a1 a2 b0 b1

+

6 2 a1 a2 b0 b1 cd

3

+

a21 b21 b2 c

+ a0 a21 b22 cd +a31 b1 b2 cd | {z }

+ a1 b1 b22 c2 + a1 a2 b31 c + a22 b0 b21 c +a22 b21 c2 d | {z } +

a21 b22 c2 d

+

a21 a2 b21 cd

+

4 a1 a22 b0 b1 cd

+ a1 a22 b1 c2 d2

5 2 − a0 a1 b0 b22 − a0 a22 b0 b21 −2a0 a1 a2 b0 b1 b2

| {z }

| {z }

1

2 2 2 2 − a1 b0 b2 c − a2 b0 b21 c −2a1 a2 b0 b1 b2 c

| {z }

| {z }

3

4

)

− a0 a21 b22 cd − a0 a22 b21 cd −2a0 a1 a2 b1 b2 cd | {z } | {z } 5

6

>0

(C.25)

63

o ( a20 a1 b1 b22 +a0 a21 b21 b2 + a0 a1 b1 b22 c +a0 a1 a2 b31 | {z } | {z } X

X

+a31 b0 b1 b2 + a21 a2 b0 b21 + a1 a22 b20 b1 + a1 a22 b0 b1 cd | {z } | {z } X

X

+ a0 a1 b1 b22 c +a21 b21 b2 c + a1 b1 b22 c2 +a1 a2 b31 c + a22 b21 c2 d | {z } | {z } X

X

+a31 b1 b2 cd + a21 b22 c2 d + a21 a2 b21 cd + a1 a22 b0 b1 cd + a1 a22 b1 c2 d2 | {z } | {z } X X ) − 2a0 a1 a2 b0 b1 b2 − 2a1 a2 b0 b1 b2 c − 2a0 a1 a2 b1 b2 cd {z } | {z } | {z } | X

X

>0

(C.26)

X

Reescribiendo la condici´on anterior al agrupar todos los t´erminos seleccionados entre par´entesis cuadrados y el resto de los t´erminos entre par´entesis, se obtiene [ a20 a1 b1 b22 + a0 a1 b1 b22 c + a1 a22 b20 b1 + a1 a22 b0 b1 cd + a0 a1 b1 b22 c + a1 b1 b22 c2 + a1 a22 b0 b1 cd ] +a1 a22 b1 c2 d2 − 2a0 a1 a2 b0 b1 b2 − 2a1 a2 b0 b1 b2 c − 2a0 a1 a2 b1 b2 cd +

( a0 a21 b21 b2

+a0 a1 a2 b31 + a31 b0 b1 b2 + a21 a2 b0 b21 + a21 b21 b2 c + a1 a2 b31 c + a22 b21 c2 d + a31 b1 b2 cd ) +a21 b22 c2 d + a21 a2 b21 cd

>0

(C.27)

Sumando y restando un t´ermino externo 2a1 b1 a2 b2 c2 d a la condici´on anterior para simplificar, se obtiene [ a20 a1 b1 b22 + a0 a1 b1 b22 c + a1 a22 b20 b1 + a1 a22 b0 b1 cd + a0 a1 b1 b22 c + a1 b1 b22 c2 + a1 a22 b0 b1 cd +a1 a22 b1 c2 d2 − 2a0 a1 a2 b0 b1 b2 − 2a1 a2 b0 b1 b2 c − 2a0 a1 a2 b1 b2 cd + 2a1 b1 a2 b2 c2 d ] ( −2a1 b1 a2 b2 c2 d +

a0 a21 b21 b2 + a0 a1 a2 b31 + a31 b0 b1 b2 + a21 a2 b0 b21 + a21 b21 b2 c + a1 a2 b31 c )

+a22 b21 c2 d + a31 b1 b2 cd + a21 b22 c2 d + a21 a2 b21 cd

>0

(C.28)

64

Ap´endice C: Prueba de estabilidad

o [ a1 b1 (a20 b22 + a0 b22 c + a22 b20 + a22 b0 cd + a0 b22 c + b22 c2 + a22 b0 cd + a22 c2 d2 ]

(

−2a0 a2 b0 b2 − 2a2 b0 b2 c − 2a0 a2 b2 cd − 2a2 b2 c2 d) + 2a2 b2 c2 d +

a0 a21 b21 b2 + a0 a1 a2 b31

+a31 b0 b1 b2 + a21 a2 b0 b21 + a21 b21 b2 c + a1 a2 b31 c + a22 b21 c2 d + a31 b1 b2 cd + a21 b22 c2 d ) +a21 a2 b21 cd

>0

(C.29)

Completando cuadrados a partir de los t´erminos subrayados en la ecuaci´on anterior, se puede escribir lo siguiente [

]

a1 b1 (a0 b2 − a2 b0 + b2 c − a2 cd)2 + 2a2 b2 c2 d +

( a0 a21 b21 b2 + a0 a1 a2 b31 + a31 b0 b1 b2

+a21 a2 b0 b21 + a21 b21 b2 c + a1 a2 b31 c + a22 b21 c2 d + a31 b1 b2 cd + a21 b22 c2 d ) +a21 a2 b21 cd

>0

(C.30)

Dado que todas las condiciones del criterio de estabilidad de Routh Hurwitz se satisfacen, el sistema en lazo cerrado es estable para todos los valores positivos de los coeficientes.

Ap´endice D

El modelo experimental El modelo experimental se muestra en la Figura 4.1(b), el bloque mec´anico se muestra en detalle en la Figura D.1 y sus dimensiones est´an dadas en la Figura D.2. Asumiendo la densidad del hierro, del acero, y del aluminio como 7200 kg m−3 , 7800 kg m−3 , y 2700 kg m−3 respectivamente, se puede estimar la masa del bloque mec´anico M

[ = 7200 × 0.51 0.216 × 0.01 + 0.01(0.216 − 0.025 × 2 − 0.03) ] [ +0.01(0.037 × 2 + 0.05 × 2) + 2700 × 2 0.064(0.2 × 0.01 ] [ π +0.17 × 0.052) − × 0.0252 × 0.17 + 7800 0.04 × 0.05 × 0.06 4] π 2 − × 0.025 × 0.04 4 = 19.3147 kg + 3.2957 kg + 0.7828 kg = 23.3932 kg

(D.1)

El movimiento del bloque mec´anico se realiza por medio de un mecanismo tuercatornillo. La tuerca es un peque˜ no bloque de acero que forma parte del bloque mec´anico. El tornillo es una barra vertical de acero con cuerda que gira por acci´on del motor conectado en su extremo superior. El giro del tornillo en un sentido o el otro hace que el bloque mec´anico se desplace hacia arriba o hacia abajo. Para evitar movimientos laterales del bloque ´este tiene dos soportes laterales de aluminio con dos orificios recubiertos de acero que permiten que el bloque se deslice a lo largo de dos barras de acero fijas paralelas al tornillo, que pasan por los orificios de estos soportes y que fungen como guias. Como la masa se desplaza a 90◦ con respecto a la tierra, el bloque mec´anico no 65

66

Ap´endice D: El modelo experimental

Hierro Hierro

Aluminio

Acero

Aluminio

(a) Parte frontal

(b) Parte trasera

Figura D.1: Figura 3D muestrando el bloque mec´anico.

ejerce ninguna fuerza horizontal sobre las barras guias. Por lo tanto se considera que entre las barras guias y el bloque mec´anico no existe fuerza de fricci´on cinem´atica. Por otro lado, se puede ignorar la resistencia del aire que causa fricci´on viscosa sin gran margen de error.

El motor que se emplea como actuador es un motor C34-L80-W40 de “Moog Components Group” [Group12] con un amplificador modelo 423 de “Copley Controls Corp.” [Corp.12]. La Figura D.3 muestra el mecanismo de tuerca husillo que est´a acoplado al motor. El momento de inercia total es la suma del momento de inercia del eje del motor

67

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(a) Dimensiones de la parte de hierro

(b) Dimensiones de la parte de aluminio y acero.

Figura D.2: Dimensiones del bloque mec´anico. (3.884 × 10−4 kg m2 ) y de la barra que act´ ua como tornillo. 7800π (0.0154 × 0.14 + 0.0224 × 0.045 2 +0.0274 × 0.64 + 0.0224 × 0.045 + 0.0154 × 0.14) 7200π (0.0254 × 0.06 + 0.0774 × 0.02) + 2 = 0.0132 kg m2

JA = 3.884 × 10−4 +

(D.2)

Con los valores de BA = 286.479 × 10−6 N m s rad−1 , KAt = 0.42 N m A−1 , LA = 11.20 × 10−3 H, RA = 4.90 Ω, KAe = 0.42 V s rad−1 , KAp = 21.58, KAi = 985.94 s−1 , KAA = 11.3, KAC = 0.2 Ω, y KAE = 0.6073, se puede obtener KT = 1.2753 N m V−1 Sensor de fuerza:

El dispositivo experimental emplea como sensor una resistencia va-

riable sensible a la fuerza (RSF), FSR 406 de “Interlink Electronics” [Electronics12] con 4.445 cm×3.81 cm, la Figura D.4 muestra la relaci´on fuerza-resistencia del sensor. La relaci´on fuerza-resistancia de la figura puede approximarse por ( log10

Fe (t) g

) = −1.327 × log10 (RRSF (t)) + 4.096

(D.3)

con un coeficiente de determinaci´on de 0.9945, donde RRSF es la resistencia del RSF en Ω, Fe es la fuerza aplicada al sensor en N, y g u 9.8 m s−2 . La Figura D.5 muestra al cirquito

68

Ap´endice D: El modelo experimental

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Hierro Acero

Figura D.3: Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca husillo.

Resistencia (kΩ)

100

10

1

0.1 0.01

0.1

1

10

Fuerza (kg)

Figura D.4: Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza.

que se emple´o para realizar la lectura de la fuerza con el dispositivo RRSF . La relaci´on entre el voltaje de entrada a la tarjeta de adquisici´on de datos VRSF y la fuerza Fe est´a dada por VRSF

=



12

 −1 1 + 4700  3000 + 10

 

( log10

)  Fe (t) −4.096 g  1.327

   

(D.4)

69

4.7 kΩ KA358 Voltaje a la tarjeta de adquisición de datos

12 V RSF

3 kΩ

Figura D.5: Cirquito electr´onico del sensor de fuerza.