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Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Cátedra de Teoría Microeconómica

Teoría de los Juegos

Prof. Ruth Guillén Microeconomía II

¿Qué es un juego?

¿Qué es un juego?

¿Qué es un juego?

¿Qué es un juego? • Son situaciones en que el bienestar de los individuos (jugadores) depende directamente de las decisiones de los otros (interacciòn estratègica). (Vial y Zurita, 2006). • Cualquier problema de toma de decisiones, donde el rendimiento (que obtiene una persona) depende no sólo de sus propias decisiones sino también de las decisiones de las otras personas que participan en el juego (Maddala y Miller, 1991).

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS TEORÍA DE LOS •Explicación •Predicción

JUEGOS

•Enfrentamiento de jugadores •Toma de decisiones, estrategias.

OBJETIVO DE LA TEORÍA DE JUEGOS: Es la determinación de patrones de comportamiento racional en situaciones de interdependencia estratégica..

DESCRPCIÒN DE UN JUEGO JUGADORES

REGLAS

RESULTADOS

PAGOS

¿Quiénes son los participantes? Son los que deben elegir los cursos de acción. ¿Qué pueden hacer los jugadores? ¿Qué es lo que ellos conocen en el momento de hacer sus movimientos? ¿Cuàl es el orden de las jugadas?

Para cada combinación posible de acciones por parte de los jugadores, ¿cuál será el resultado del juego?

¿Cuàl es la funciòn de utilidad de cada jugador con respecto a los resultados del juego?

Formas de representar un juego La representación de un juego de manera simplificada puede realizarse a través de: 1) Un árbol de juego (forma extensiva). 2) Una matriz de ganancias.

Formas de representar un juego 1.- Árbol de juego (Forma extensiva): Es una representación gráfica de una situación estratégica. Cada nódulo representa los posibles cursos de acción para cada jugador, al final del árbol se presentan las ganancias que obtiene cada jugador.

Para realizar la representación extensiva de un juego se requiere conocer: • El orden en que intervienen los jugadores • Las alternativas para cada jugador cuando le toca su turno de jugar. • La información que tiene cada jugador en cada uno de estos turnos. • Las ganancias para cada jugador como una funciòn de las jugadas seleccinadas. • Las distribuciones de probabilidad de las jugadas segùn los estados de la naturaleza..

ELEMENTOS DE UN JUEGO (Ejemplo 1). En una ciudad pequeña del país Florenzuela operan únicamente dos grandes compañías que suministran el servicio de telefonía por cable: Netodos y Intercuerda. En los actuales momentos ambas empresas cobran una misma tarifa sus servicios. No obstante, Netodos está analizando la conveniencia de colocar una tarifa más baja que la competencia o dejar su tarifa en el mismo nivel actual. El gerente de Intercuerda que tiene espías en Netodos se ha enterado de esta situación por lo cual está tambien analizando la posibilidad de reducir o no sus tarifas. Si ambas empresas disminuyen las tarifas sus ganancias individuales serán de $5000; si ambas mantienen las tarifas actuales ganaran $6000. Si sólo una disminuye su tarifa, la que la disminuye ganará $10.000 y la que mantiene la tarifa actual ganará sólo $2000.

Formas de representar un juego. Árbol de juego: Ejemplo 1 (Netodos vs. Intercuerda) Disminuir tarifas

5.000;5.000

INTERCUERDA Disminuir tarifas

Mantener tarifas

NETODOS

10.000;2.000 Disminuir tarifas

Mantener

2.000; 10.000

tarifas

INTERCUERDA

Mantener tarifas 6.000;6.000

Formas de representar un juego. Árbol de juego: Ejercicio • Construye el árbol de juego para el ejemplo Nro. 2 relacionado con las decisiones de fecundidad. Para estimar las ganancias netas de cada pareja suponga que: a) El costo por cada hijo propio es de 10 u.m. b) El costo por cada hijo ajeno es de 2 u.m. c) El beneficio por cada hijo propio es de 50 u.m. d) No se obtiene beneficio alguno por cada hijo ajeno.

Formas de representar un juego. Matriz de ganancias 2.- Matriz de ganancias: Es una representación de una situación estratégica a través de una tabla. Las estrategias de cada jugador se presentan a la izquierda y en la parte superior de la tabla. Las ganancias obtenidas por cada uno de los jugadores al final del juego se presentan en la parte interior de la tabla.

Formas de representar un juego. Matriz de ganancias. Ejemplo 1 (Netodos vs. Intercuerda) INTERCUERDA

NETODOS

Disminuir tarifas Mantener tarifas

Disminuir Tarifas

Mantener Tarifas

5.000;5.000

10.000; 2000

2.000; 10.000

6.000;6.000

ELEMENTOS DE UN JUEGO (Ejemplo 2). Decisiones relacionadas con la fecundidad: Dos parejas viven juntas y cada una tiene que decidir el número de hijos que van a tener. La crianza de los hijos tiene un coste si son nuestros de “c” unidades monetarias por hijo. Por otra parte, como las dos parejas viven juntas, los hijos de la otra también imponen un coste, éste coste es igual a “d” por hijo ajeno. Tener hijos también genera beneficios, cada pareja sólo obtiene beneficios de sus propios hijos. El beneficio total de tener “n” hijos es igual a A(n). Si cada pareja puede tener como máximo dos hijos. Identifique cada uno de los elementos que componen el juego.

ELEMENTOS DE UN JUEGO (Ejemplo 3). Protección de una industria: Una industria monopolística está protegida por un arancel. Debe decidir si reduce o no los costes y aumenta su competitividad internacional. Tras tomar esta decisión, el Gobierno observa si la industria ha reducido o no los costes y decide entonces si elimina o no el arancel que la protege. Tras estas decisiones, tanto el Estado como la industria obtienen unos resultados. Identifique: Quiénes son los jugadores, cuáles son las estratégias para cada uno de ellos.

TIPOS DE JUEGOS JUEGOS COOPERATIVOS Los jugadores pueden negocias contratos vinculantes. “Eligen estrategias de manera conjunta”.

JUEGOS NO COOPERATIVOS Los jugadores NO pueden negociar contratos vinculantes. “Cada uno elige su estrategia óptima independientemente”. •Comprender el punto de vista de un adversario “racional”. •Deducir su respuesta a nuestros actos.

TIPOS DE JUEGOS • Por la información que poseen los jugadores: J. de Información Incompleta y J. de información Completa. • Por el orden de las jugadas: J. de Movimientos simultáneos y Juegos de movimientos sucesivos o secuenciales. • Por su vigencia en el tiempo: Estáticos y Dinámicos.

EQUILIBRIO DENASH NASH EQUILIBRIO DE Sea un juego de 2 jugadores, podemos definir π1(S1,S2) y π2 (S1,S2), como las ganancias que tienen los jugadores 1 y 2 cuando ellos eligen las estrategias S1 y S2 respectivamente. Un equilibrio de Nash se define matemáticamente como: π1(S1*,S2*) π2 (S1,S2*), ∀ S1≠S1* π2(S1*,S2*) π2 (S1*,S2), ∀ S2≠S2*

Equilibrio de Nash • En otras palabras: Conjunto tal de estrategias (S1*,S2*) tal que a ninguno de los jugadores les conviene recurrir a otras estrategias, por cuanto, cada jugador hace lo mejor para él dado lo que hacen sus adversarios.

John, Nash

Una forma de hallas el equilibrio de Nash es mediante la eliminación de las estrategias dominadas. ESTRATEGIA DOMINANTE: Es aquella estrategia que resulta óptima para un jugador independientemente de los que hagan su(s) adversario(s) Ejemplo 4: (Varian, 1996) Supongamos que dos personas están jugando a un juego sencillo: La A escribe en un papel “arriba” o “abajo”. Al mismo tiempo la B escribe independientemente “izquierda” o “derecha”. Una vez hecho esto, se examinan los papeles y cada uno de ellos obtiene el resultado que se muestra en el siguiente cuadro.

Estrategias dominantes B

A

Arriba Abajo

Izquierda

Derecha

1;2

0;1

2;1

1;0

•Si el jugador A elige Arriba a el jugador B le conviene elegir izquierda. •Si el jugador A elige Abajo al el jugador B le “Izquierda” será la conviene elegir izquierda. estrategia dominante para el jugador “B”

¿El jugador A tendrá una estrategia dominante? Indique cuál podría ser dicha estrategia.

El dilema del prisionero (Tucker,1940) Dos personas “Kauffman” y “Durán” son arrestadas por cometer un delito. El fiscal del distrito tiene pocas pruebas y está deseoso de conseguir una confesión. Separa a los sospechosos y le dice a cada uno: “Si usted confiesa y su compañero no, le prometo que la condena será menor (seis meses), mientras que, en función de su confesión, su compañero será condenado a 10 años. Si confiesan ambos, cada uno será condenado a 3 años”. Cada uno de los sospechosos también sabe que si no confiesa ninguno de los dos, la falta de pruebas hará que sean juzgados por un delito menor por el que serán condenados a dos años”. Actividad: Construya la matriz de ganancias asociada a esta situación e indique cuál es el conjunto de estrategias que constituyen el equilibrio de Nash.

El dilema del prisionero y el equilibrio de Nash Constituye el equilibrio de Nash, hay estabilidad en el resultado.

Kauffmann Confesar No confesar

Durán Confesar

No confesar

3 años ;3 años

0.5 años ;10 años

10 años ;0.5 años

2;2 años

Examinemos la dominación en las siguientes matrices A

B

C

X

2,2

1,0

0,3

Y

4,4

7,2

6,1

Z

3,5

2,6

8,3

L

R

U

1,3

2,3

M

2,0

0,1

D

2,1

3,2

Una estrategia está débilmente dominada para un jugador si existe otra estrategia que lleva a resultados por lo menos tan buenos como la primera cualesquiera que sean las estrategias seguidas por los demás jugadores, y estrictamente mejores que la primera para alguna combinación de estrategias de los demás”.

C

D

A

4,4

4,4

B

0,1

6,3

Estrategias dominantes No siempre los jugadores tienen estrategias dominantes. Ejemplo 5: Pindyck y Rubinfeld, 1998. Dos empresas duopólicas, supongamos la empresa A y la empresa B venden productos rivales y tienen que decidir si emprenden o no una campaña publicitaria. La decisión que tome cada una afectará a la de la otra. Si la matriz de ganancia está representada por el cuadro siguiente indique si alguna de las empresas presenta una estrategia dominante.

Empresa B Empresa A Hacer publicidad No hacer publicidad

Hacer publicidad

No hacer publicidad

10;5

15;0

6;8

10;2

Estrategias dominantes Ejemplo 5: Pindyck y Rubinfeld, 1998 (Continuación) Si ahora la matriz de ganancias fuera como la que se presenta en la siguiente tabla ¿Seguirán teniendo estrategias dominantes las empresas?

Empresa B

Empresa Hacer publicidad A No hacer publicidad

Hacer publicidad

No hacer publicidad

10;5

15;0

6;8

20;2

Equilibrio de Nash Ejercicio: Identificar las estrategias que constituyen el equilibrio de Nash para el ejemplo 4. B

A

Arriba Abajo

Izquierda

Derecha

1;2

0;1

2;1

1;0

Equilibrio de Nash Ejercicio: Identificar las estrategias que constituyen el equilibrio de Nash para el ejemplo 5 (Nota: emplear la segunda matriz de ganancias de este ejemplo). Empresa B

Empresa Hacer publicidad A No hacer publicidad

Hacer publicidad

No hacer publicidad

10;5

15;0

6;8

20;2

Los juegos y el equilibrio de Nash No todos los juegos tienen un único equilibrio de Nash. 1.- Algunos juegos pueden tener más de un equilibrio Ejemplo: La guerra de los sexos María y Jorge están planeando unas vacaciones. María prefiere la playa, Jorge la montaña. Ambos jugadores prefieren pasar sus vacaciones juntos a pasarlas separados. Su matriz de ganancias es:

María

Jorge

Montaña

Playa

Montaña

2,1

0,0

Playa

0,0

1,2

2.- Algunos juegos pueden no tener un equilibrio de Nash (de estrategias puras) tal como lo hemos definido hasta ahora .

Ejemplo: Piedra, papel o tijera.

Los juegos y el equilibrio de Nash Ejercicio: Gallina ó Halcón-Paloma: Dos adolescentes “Gabo” y “Juan” los cuales se creen muy machos participan en el juego de la “gallina”, que consiste en ir a toda velocidad en sentido contrario por una carretera de un solo carril. El primero que frene es calificado de gallina, mientras que el otro consigue la estima del. Naturalmente si ninguno de los dos frena, ambos mueren en el choque resultante. Si la matriz de ganancias es la que se presenta a continuación indique si este juego tiene un equilibrio de Nash.

Juan

Gabo

Gallina

No gallina

Gallina

2,2

1,3

No gallina

3,1

0,0

Estrategias maximin Son estrategias en la cual se maximiza la ganancia mínima que se puede obtener en un juego. Una estrategia maximin es conservadora (evita riesgos) no maximiza beneficios.

B A

Arriba Abajo

Izquierda

Derecha

1;0

1;1

-2000;0

2;1

En este ejemplo el jugador B tiene una estrategia dominante jugar “Derecha” , luego el jugador A debería jugar “Abajo”. No obstante, si A juega “Abajo” y el jugador B no sigue su estrategia dominante, el jugador “A” perderá mucho. Por lo anterior, es posible que A no desee arriesgarse tanto y emplee una estrategia “conservadora” en la cual maximiza la mínima ganancia.

Estrategias maximin Para saber cuál es la estrategia maximin de cada jugador suele ser conveniente descomponer la matriz de ganancias de la siguiente manera: Estrategias y ganancias correspondientes al jugador “A” Mínima ganancia por estrategia

Arriba Jugador A Abajo

1

1

1

-2000

2

-2000

Máxima ganancia mínima

Si el jugador “A” siguiera la estrategia maximin debería jugar “Arriba”.

Estrategias maximin Estrategias y ganancias correspondientes al jugador “B”

Jugador B

Mínima ganancia por estrategia

Izquierda

Derecha

0

1

0

2

0

1

Máxima ganancia mínima

Si el jugador “B” siguiera la estrategia maximin debería jugar “Derecha”.

Estrategias maximin: Equilibrio Ahora si ambos jugadores siguen la estrategia maximin el equilibrio estaría representado por las estrategias Arriba (Jugador A) y Derecha (Jugador B)

B

A

Arriba Abajo

Izquierda

Derecha

1;0

1;1

-2000;0

2;1

Estrategias maximin: Equilibrio (ejercicio) Ejercicio: Suponga que dos jóvenes a llamados “El gringo” y “El monje” están participando en un juego. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez dólares que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos. MATRIZ DE PAGOS “El monje”

“El gringo”

A

B

C

A

9|1

1|9

2|8

B

6|4

5|5

4|6

C

7|3

8|2

3|7

Si ambos jugadores siguen estrategias maximin. Indique cuál será la estrategia seguida por cada jugador y el equilibrio

Estrategias mixtas • En los casos analizados anteriormente el jugador elige un curso de acción específico (estrategia) y lo mantiene. Ejemplo: Una empresa puede elegir aumentar la tarifa o no modificarla; un jugador puede elegir derecha o izquierda. A este tipo de estrategias se les denomina estrategias puras. No obstante, en algunos juegos no existe un equilibrio de Nash de estrategias puras, por lo cual es indispensable ampliar el concepto de equilibrio de Nash incorporando el concepto de estrategias mixtas.

Estrategias mixtas Ejemplo Nro. 4 (modificado)

B

A

Arriba Abajo

Izquierda

Derecha

0;0

0;-1

1;0

-1;3

Según Pindyck y Rubinfeld (1998) “una estrategia mixta es aquella en la que el jugador elige aleatoriamente entre dos o más opciones posibles, basándose en un conjunto de probabilidades elegidas”. ilustración: Siguiendo el ejemplo 4 (modificado), el jugador A podría elegir arriba en el 50 por ciento de los casos, abajo en el otro 50 por ciento, y B podría elegir izquierda en el 50 por ciento de los casos y derecha en el otro 50 por ciento, en esta situación ambos jugadores tienen estrategias mixtas. .

Estrategias mixtas Si A y B siguen las estrategias mixtas mencionadas antes, tienen una probabilidad de ¼ de terminar en cada una de las cuatro casillas de la matriz de resultados. Por lo tanto, el resultado medio de A es 0 y el de B es 0.5. Ejemplo Nro. 5. El juego de las monedas. En este juego cada jugador elige cara o cruz y los dos tiran sus monedas al mismo tiempo. La matriz de ganancias está representada por: B

A

Cara Cruz

Cara

Cruz

1;-1

-1;1

-1;1

1;-1

En este juego el jugador A podría elegir cara con una probabilidad de ½ y cruz con una probabilidad de ½. El valor esperado de su ganancia sería igual a “0”.

Estrategias mixtas y el Equilibrio de Nash En las estrategias mixtas el equilibrio de Nash es aquel en el que cada agente elige la frecuencia óptima con la que seguirá sus estrategias, dadas la frecuencia que elija el otro (Varian, 1996). Pueden ser estrategias no muy razonables en las situaciones estratégicas de las empresas.

Juegos repetidos En la vida real las decisiones estratégicas no se toman una sola vez, los juegos podrían realizarse una y otra vez, es decir podrían repetirse. Ejemplos: Gabriela y Aymara (Ejemplo del dilema del prisionero son arrestadas en varias oportunidades y ya conocen las condiciones)

Las empresas toman decisiones respecto a sus precios, promociones o campañas publicitarias una y otra vez.

¿Afecta esto los resultados del juego?

Juegos repetidos El resultado del juego se ve afectado. Cada vez que se repite el juego los jugadores pueden ganarse una “reputación” sobre su conducta y estudiar la conducta de sus competidores. Los juegos pueden repetirse:

Infinitamente

De manera finita

Si los juegos se repiten muchas veces puede fomentarse la conducta de cooperación.

Juegos repetidos Ejemplo (Pindyck): Supongamos que dos empresas pueden cobrar un precio alto o bajo en su producto y la matriz de ganancias está representada por: Equilibrio de Nash

Empresa 1

Precio Bajo Precio Alto

Empresa 2

Precio Bajo

Precio Alto

10;10

100;-50

-50;100

50;50 Equilibrio cooperativo

Juegos repetidos Si pensáramos que este juego se repite en varias veces ¿el resultado del juego sé vería afectado?. Evolución del juego: Período

1

2

3

4

5

6

7

Empresa 1

Alto 50

Alto 50

Alto -50

Bajo 10

Bajo 10

Alto 50

Alto 50

Empresa 2

Alto 50

Alto 50

Bajo 100

Bajo 10

Bajo 10

Alto 50

Alto 50

Lo más racional para ambos jugadores sería mantener la cooperación, si los jugadores siguen una estrategia “ojo por ojo” el no cooperar implicará que se acumularán perdidas mayores a los beneficios obtenidos en el corto plazo (Axelrod).

Juegos consecutivos y la ventaja del que se mueve primero En la mayoría de los juegos los jugadores se mueven al mismo tiempo. En los juegos consecutivos los jugadores se mueven sucesivamente (primero uno y después el otro). Juegos NO consecutivos

Cournot: ambas empresas fijaban su nivel de producción simultáneamente.

Juegos consecutivos

Stackeberg: una empresa fija su nivel de producción antes que la otra.

Juegos consecutivos y la ventaja del que se mueve primero En un juego consecutivo la clave es imaginar las posibles acciones y reacciones de cada jugador. Ejemplo (Pindyck): Supongamos que dos empresas pueden lanzar al mercado dos tipos de cereales dulce o crujiente. Ambas empresas obtienen beneficios positivos si producen cerales diferentes. La empresa 1 es la primera en jugar ¿Cuál será el resultado de este juego? Empresa 2

Empresa 1

Crujiente

Dulce

Crujiente

-5;-5

10;20

Dulce

20;10

-5;-5

Juegos consecutivos y la ventaja del que se mueve primero Los juegos consecutivos suelen analizarse de manera extensiva.

Crujiente -5;-5 Empresa 2

Crujiente

Dulce

Empresa 1

10;20 Crujiente Dulce

20; 10

Empresa 2

Dulce -5;-5

Estrategias creíbles y vacías Supongamos que dos empresas pueden llevar a cabo una campaña publicitaria incurriendo en un gasto alto (campaña agresiva) o u gasto bajo (campaña poco agresiva) y que la matriz de ganancias está representada de la siguiente manera:

Empresa 2

Empresa 1

Bajo

Alto

Bajo

20; 5

15,10

Alto

10,-50

5;-25

Gran influencia de la empresa 1 en los resultados de la 2

¿Será posible que la empresa 1 amenace a la empresa 2 indicándole que si no elige un presupuesto bajo ella cobrará un precio alto?

Estrategias creíbles y vacías En el caso anterior, la amenaza de la empresa 1 no es creíble pues independientemente de lo que haga la empresa 2 a la empresa 1 le reporta más beneficios establecer una campaña moderada, es decir, con presupuesto bajo.

Para que una amenaza sea “efectiva” debe ser creíble

Establecer compromisos (anticipadamente) Actitud irracional, disposición a sacrificar ganancias para obtener reputación y/o no existir estrategias dominantes.

Estrategias creíbles y vacías Ejemplo (Pindyck y Rubineld): Elección de un producto. Far Out Engines (fabricantes de motores) y Race Car Motors (autos grandes).

Race Car Motors

Far Out Engines

Autos Pequeños

Autos Grandes

Motores pequeños

3; 6

3,0

Motores grandes

1,1

8;3

¿Podría amenazar Far Out Engines a Race Car Motors con producir motores grandes independientemente de lo que haga esta compañía? ¿Sería creíble?

Estrategias creíbles y vacías En el ejemplo anterior no sería creíble la amenaza de Far Out Engines pues al Race Car Motors indicar que producirá autos pequeños Far Out Engines no tendrá incentivos para fabricar motores grandes. Modificando la matriz de ganancias del ejemplo anterior la amenaza de Far Out sí sería creíble.

Race Car Motors

Far Out Engines

Autos Pequeños

Autos Grandes

Motores pequeños

0; 6

0,0

Motores grandes

1,1

8;3

La Teoría de los juegos y el oligopolio Tal como estudiamos en el tema anterior una de las características más importantes del oligopolio es la interdependencia entre las empresas…las decisiones de unas (en relación con los precios, producción, publicidad, etc.) afectan los resultados de las otras. En este sentido la teoría de juegos permite representar muy fácilmente modelos de oligopolio tales como el de Cournot, Stackelberg, equilibrio cooperativo, entre otros. Ejemplo: Suponiendo que en un mercado oligopólico operan dos empresas cuya demanda de mercado es P=30-Q y siendo el coste marginal de las empresas igual a cero. Podríamos representar las decisiones de producción de cada empresa y las ganancias que obtendrían según los modelos de Cournot, Stackelbeg y Cartel, a través de una matriz de beneficios.

La Teoría de los juegos y el oligopolio Solución Cournot: Q1=Q2=10; P=10; BT1=BT2=100 Stackelberg (empresa 1 es la líder): Q1=15; Q2=7,5; P=7,5; BT1=112,5 y BT2=56,25 Colusión: Q1=Q2=7,5; P=15; BT1=BT2=112,5 Colusión

Duopolista 2

Duopolista 1

7,5

10

15

7,5

112.5;112.5

93.75;125

56,25;112,5

10

125;93.75

100;100

50,75

15

112.5;56.25

75;50

0,0

Stackelberg

Cournot

MODELO

COURNOT

BERTRAND

STACKELBERG

COLUSIVO

VARIABLE ESTRATTEGIC A

MOVIMIENT POSIBILIDAD TIPO DE OS COLUSION INFORMA CION

DESARROLL O EN EL TIEMPO

La Teoría de los juegos y el oligopolio Muchas otras situaciones pueden ser representadas a través de la teoría de los juegos, veamos algunas de ellas: Ejemplo (Anido, D.): Venezuela y Arabia Saudita, ambos vendedores de petróleo, acuerdan mantener baja la producción del mismo, para mantener alto el precio en el ámbito mundial. Tras acordar los niveles de producción, cada uno debe decidir si coopera y cumple el acuerdo, o hace caso omiso de él.

Venezuela

Arabia Saudita

Elevada Producción

Baja Producción

Elevada producción

40;40

60;30

Baja producción

30;60

50;50

Dodak, primera empresa en el mercado fotográfico, ha decidido introducir en el mercado una cámara fotográfica revolucionaria. En este mercado es inicialmente monopolista. Para producir este nuevo bien puede usar dos tecnologías: la A y la B. La A es conocida por todos (common knowledge) y viene representada por la función de costes Ca(y) = 10 + 8y. La tecnología B es de su propiedad (resultado de una investigación) y tiene unos costes fijos de producción más altos pero unos costes marginales más pequeños: Cb(y) = 60+2y. Se ha realizado una investigación de mercado y se ha observado que la demanda del mercado del nuevo producto es p(y) = 20 − y, donde y es la cantidad total demandada. Si Dodak está segura de que actuara como monopolio siempre, sin amenaza de entrada, ¿qué tecnología aconsejaría su director general? ¿Por qué? Supongan ahora que Dodak espera que su máximo rival Odak, considera la posibilidad de entrar en el mercado del producto usando la tecnología A. También sabe que si Odak entra, las dos empresas formarán un duopolio compitiendo `a la Cournot y llegarán al equilibrio de Nash-Cournot. ¿Decidirá Odak entrar si Dodak usa la tecnología A? ¿Decidirá Odak entrar si Dodak usa la tecnología B? Expliciten el juego en forma extensiva (juego en forma de árbol) que definiría este problema de entrada en el mercado, indicando los pagos en cada caso. ¿Qué tecnología aconsejará el director general de Dodak dada la amenaza a la entrada? Pensamos que este señor es un individuo racional y calcula equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.