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TEORIA DE JUEGOS

DOCENTE ING. EDISON ALBERTO SUAREZ DOMÍNGUEZ

INTEGRANTES JOSE CARLOS ANDRADE AVILEZ YAIR ANTONIO COHEN NEGRETE

PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA MONTERIA 2014

Introducción Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real. El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acunados por la estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios. Pero la Teoría de Juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas. La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado una gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía (Equilibrio General, Distribución de Costos, etc.), se han visto beneficiados por las aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son solo economistas y matemáticos sino sociólogos, biólogos o psicólogos. Existen también aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o conciliación, etc.

1. TEORIA DE JUEGOS  QUE ES UN JUEGO? Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.  CUÁL ES LA HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS? La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima. En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash (1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de juegos nocooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa época, el Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió

las investigaciones en el tema, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar. John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas. El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani. En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que lo dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo científico durante dos décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su salud mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones, consiguiendo en 1994 el Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos. En los 60 y 70 Harsany (1967) extendió la teoría de juegos de información incompleta, es decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego: por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta.

La última aportación importante a la teoría de juegos es de Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el premio Nóbel de economía en el año 2005. En The Strategy of Conflict, Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias sociales. Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del empeoramiento de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia puede ser más útil que la habilidad para resistir un ataque Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los juegos con sucesos repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender los requisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación cuando hay muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la interacción. La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la guerra de precios y las guerras comerciales.  A QUE SE DENOMINA JUGADOR, PAGOS, ESTRATEGIA, RESULTADOS DEL JUEGO. ESTRATEGIA DOMINANTE.  JUGADOR: son entes decisores que se consideran racionales, no necesariamente humanos, porque las nuevas tendencias de la Biología explican la formación de los instintos o de numerosos mecanismos de cooperación animal por medio de la Teoría de Juegos.  PAGOS: Indica la utilidad que alcanza el jugador, una vez que la naturaleza y el resto de los jugadores han seleccionado sus acciones y se ha desarrollado el juego.  ESTRATEGIA: Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.  RESULTADOS DEL JUEGO: El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia.

Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.  ESTRATEGIA DOMINANTE: Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.  EN QUE CONSISTE LA FORMULACION DE JUEGOS? La formulación de Juegos consiste en dar solución a situaciones real. Básicamente se requiere construir modelos simplificados de la realidad. En estos modelos, se tendrá que representar a cada jugador con sus respectivas formas de conducta. Cuando se trata de un juego en que usted enfrenta a un único rival, normalmente puede usted decir que conoce perfectamente cuál es su propia forma de actuar, pero ignora o conoce sólo en parte la de su rival u oponente. Por esto se hace más fácil representar simplificadamente su propia conducta que representar la conducta del rival. En cualquier caso, se requiere representar adecuadamente las conductas de los dos (o más) jugadores que intervienen. Nuestra conducta será conocida con certidumbre, mientras que la del rival sólo en forma probable (en lenguaje científico, estocástica). A veces se necesitará plantear dos o más representaciones de la conducta probable del rival. Cada representación recibe el nombre de escenario. Cada escenario es un juego simple. El conjunto de dos o más escenarios es un juego compuesto.  JUEGOS CON EXTRATEGIAS MIXTAS Una estrategia mixta es una combinación de decisiones tomada de acuerdo a una serie de probabilidades, la suma de las cuales debe necesariamente dar el 100%. Cuando un problema no alcanza una solución vía estrategias puras, con frecuencia puede ser enfocado desde una perspectiva de estrategias mixtas. Así, se dice que los problemas que no tienen solución vía estrategias puras pueden tenerla vía estrategia mixtas. Ambas situaciones pueden ser vistas como soluciones ciertas versus gamas de soluciones probables. Al utilizar este tipo de estrategia hay que tener en cuenta:

 Un jugador elige su estrategia para que su oponente esté indiferente entre sus puras  Si mi oponente sabe lo que haré, entonces perderé  Si lo hace bien, entonces su oponente obtiene los mismos pagos con cualquiera de sus estrategias.  SOLUCION DE JUEGOS SENCILLOS En este tipo de juego se rige reglas fijas, como sería el caso de las apuestas de cara o cruz, tres en raya, ajedrez o póquer.

2. JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA. Estos juegos son característicos por lo siguiente:  Elección simultánea.  Información completa de pagos, estrategias, número de jugadores.  Racionalidad (cada uno maximiza su pago) Conocimiento mutuo de la racionalidad. Yo soy racional y sé que los otros jugadores son racionales y también sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales y que yo sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales…. 3. JUEGOS DINÁMICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA. Los jugadores están perfectamente informados de lo ocurrido hasta el momento en que juegan. Ejemplo: ajedrez Elementos de la forma extensiva: 1) Árbol: vértice inicial del que salen varias ramas que llegan a otros vértices, de los que pueden salir otras ramas, y así sucesivamente. Los vértices de los que no salen ramas se llaman vértices finales. 2) Asignación de los vértices no finales entre los jugadores: Cada vértice debe ser de algún jugador y ningún vértice puede corresponder a más de uno. 3) Asignación de acciones a cada jugador en cada uno de los vértices que tiene asignados.

4) Asignación de pagos (utilidades): En cada vértice final se asignará un pago a cada jugador.

Estrategia en un Juego Dinámico • Una estrategia en un juego dinámico es un plan contingente que prescribe qué acción tomará el jugador en cada una de las posibles ocasiones (vértices) en las que le puede tocar mover, incluso en aquellas situaciones en las que no se sigue el plan inicial. • Obsérvese que la definición de estrategia no requiere que se lleven a cabo todas las acciones en ella. Se realizarán unas acciones u otras según el desarrollo del juego. • Saber lo que se haría hipotéticamente en situaciones a las que no se llega en el equilibrio nos permite argumentar por qué se llega a un determinado equilibrio.

4. Juegos estáticos con información incompleta. En los juegos con información incompleta al menos un jugador no está seguro de la función de ganancias de otro jugador. Un ejemplo común de un juego estático con información incompleta es una subasta de sobre cerrado: cada participante conoce su propia valoración del bien subastado, pero no conoce las variaciones de los otros participantes, por la que la decisión de los jugadores pueden considerarse simultáneas. Este tipo de juego se caracteriza por:  Racionalidad  Elección simultanea  Información incompleta de pagos de los jugadores Ejemplos:  

Duopolio de Cournot pero sin saber los costes marginales de la otra empresa Subasta sin saber las valoraciones de los demás participantes

  

Contribuciones privadas a un bien público sin conocer costes o valoraciones de los demás Negociar con alguien sin conocer su disposición a pagar Batalla de los sexos sin saber si al otro le gusta más el fútbol o el cine

5. JUEGOS DINÁMICOS CON INFORMACIÓN INCOMPLETA (JDII). Algún jugador no conoce el resultado de algún movimiento de azar a la acción que ha tomado otro que ha jugado antes, ejemplo: parchís, mus. Características:  Cuando un jugador no sabe en cuál de sus vértices se encuentra diremos que los vértices pertenecen a un mismo conjunto de información (CI).  En un JDII, un CI puede contener cualquier número de vértices  Gráficamente unimos con líneas de puntos los vértices que pertenecen a un mismo conjunto de información. ESTRATEGIAS EN UN JDII  

En una situación de información imperfecta, no se puede condicionar la acción al vértice en que se encuentra, sino al conjunto de información. Para que esto tenga sentido el número de ramas que parten de cada vértice de un determinado conjunto de información debe ser el mismo.(si no fuera así, el jugador adquiere nueva información al contar las alternativas de que dispone).

6. JUEGOS REPETIDOS En un juego repetido un grupo fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, observando el resultado de todas las jugadas pasadas antes que comience la siguiente jugada. La posibilidad de observar las acciones y los resultados pasados antes de que comience la siguiente jugada permite que los jugadores penen o premien las acciones pasadas, de modo que surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples no repetidos. Por ejemplo, repitiendo el juego del dilema del prisionero un número suficiente de veces da como resultado un equilibrio en el cual ambos prisioneros nunca confiesan.

7. JUEGOS COOPERATIVOS Los participantes pueden negociar contratos vinculantes que les permiten planear estrategias conjuntas.

8. LEA Y CONSULTE ALGUNOS DE LOS SIGUIENTES JUEGOS: - EL DILEMA DEL PRISIONERO - LA CAZA DEL SIERVO - JUEGOS DE VOTACIÓN (POLÍTICA) • JUEGOS DINÁMICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA • EL JUEGO DEL TRES PIES • EL JUEGO DEL CIEN PIES • JUEGO DEL ULTIMÁTUM

EL DILEMA DEL PRISIONERO El dilema del prisionero es un problema fundamental de la teoría de juegos que muestra que dos personas pueden no cooperar incluso si en ello va el interés de ambas. Fue desarrollado originariamente por Merrill M. Flood y Melvin Dresher mientras trabajaban en RAND en 1950. Albert W. Tuckerformalizó el juego con la frase sobre las recompensas penitenciarias y le dio el nombre del "dilema del prisionero" (Poundstone, 1995). Es un ejemplo de problema de suma no nula. Las técnicas de análisis de la teoría de juegos estándar, por ejemplo determinar elequilibrio de Nash, pueden llevar a cada jugador a escoger traicionar al otro, pero ambos jugadores obtendrían un resultado mejor si colaborasen. En el dilema del prisionero iterado, la cooperación puede obtenerse como un resultado de equilibrio. Aquí se juega repetidamente, por lo que, cuando se repite el juego, se ofrece a cada jugador la oportunidad de castigar al otro jugador por la no cooperación en juegos anteriores. Así, el incentivo para defraudar puede ser superado por la amenaza del castigo, lo que conduce a un resultado cooperativo. Ejemplo: En el Dilema del prisionero se analizan los incentivos que tienen 2 presos encarcelados por un delito menor para delatar al otro a la policía y acceder así a beneficios penitenciarios, teniendo siempre en cuenta la decisión que podría tomar el otro:

Este ejercicio considera el supuesto de que cada prisionero está encarcelado por separado, de tal forma que no pueden comunicarse entre ellos, ponerse de acuerdo, pactar sus decisiones o saber qué hace el otro. Las posibilidades de condena en función de la decisión tomada por ambos son las siguientes: a) NADIE DELATA: si ninguno de los dos delatase al otro a la policía, entonces cada uno recibiría una condena de 2 años: (-2, -2). b) UNO DELATA AL OTRO: si uno de los prisioneros delatase al otro, pero este otro no delatase al uno, entonces el prisionero que delata reduciría su condena hasta solo 1 año, mientras que el prisionero delatado vería incrementada su condena hasta 10 años: posibilidades (-10, -1) y (-1, -10). c) AMBOS SE DELATAN MUTUAMENTE: si ambos deciden delatar al otro, entonces recibirán una condena de 6 años de cárcel para cada uno (-6, -6). La conclusión que explica este ejercicio, es que el pensamiento lógico por separado de cada prisionero hace que al final cada uno tome por separado la decisión que es mejor para él individualmente y no la que sería la mejor decisión para el bien común. Si nos ponemos en la piel de uno de los dos prisioneros, sabemos que nuestra mejor decisión será la de delatar al otro en cualquier caso, pues así siempre minimizaremos nuestra condena, independientemente de lo que el otro haga. Y dado que el otro prisionero es igual de inteligente y razonará de

la misma manera, lo que al final ocurrirá es que ambos acabarán pasando 6 años entre rejas (-6, -6), mientras que si hubieran cooperado hubieran sido condenados sólo 2 (-2, -2). LA CAZA DEL CIERVO En teoría de juegos, la caza del ciervo es un juego que describe un conflicto entre seguridad y cooperación social. Otros nombres para este juego o sus variantes son "juego de la seguridad", "juego de coordinación" y "dilema de la credibilidad". Jean-Jacques Rousseau describió una situación en la que dos individuos van a cazar. Cada uno elige cazar un ciervo o una liebre. Cada jugador debe elegir una acción sin conocer la del otro. Si un individuo caza un ciervo, debe cooperar con su compañero para tener éxito. Un jugador individual puede cazar una liebre por sí mismo, pero una liebre vale menos que un ciervo. Esta situación se considera una analogía importante con la cooperación social. Ejemplo: Tenemos dos lobos, Rómulo y Remo, que pueden decidir ir a cazar un Conejo o cooperar para cazar un Ciervo. Si uno de ellos decide cazar un Conejo, come. No es que se pegue un festín, pero vaya, come. Si ambos deciden ir juntos a cazar un Ciervo, ambos se pegan un festín de la leche. No solo comen, sino que además se ponen las botas, y pueden dedicar las energías sobrantes a, por ejemplo, la reproducción. Pero si uno de ellos decide ir a por el Ciervo, y el otro va a por el Conejo, el que decidió ir a por el Ciervo se queda sin nada, porque él solo no es capaz de cazarlo (no obstante, su “amigo”, que se fue a por el Conejo, sí come). Podemos representar esto según la siguiente matriz de pagos (primero ponemos la recompensa de Rómulo y luego la de Remo):

Rómulo Ciervo Conejo

Remo Ciervo 4,4 3,0

Conejo 0,3 3,3

Representamos con un 3 el hecho de que comen, con 4 el hecho de que no solamente comen, sino que se pegan un festín, y con 0 el hecho de que se quedan con el estómago vacío. ¿Existe una estrategia dominante para alguno de los jugadores? Recordemos cómo se buscaba: para cada una de las posibles decisiones del otro jugador, elegíamos nuestra mejor opción. Si en todos los casos es la misma elección, eso es una estrategia dominante. Pues no, en este caso no existe estrategia dominante. Si Remo elige Ciervo, la mejor elección de Rómulo es Ciervo. Pero si Remo elige Conejo, la mejor elección de Rómulo es Conejo. Es decir, Rómulo no tiene una estrategia dominante (ni tampoco Remo, pues su situación es la misma). ¿Existe algún equilibrio de Nash? Sí, existen dos equilibrios de Nash: CiervoCiervo y Conejo-Conejo. 





Si ambos eligieron Conejo, el que cambie su elección a Ciervo se queda sin nada, así que no está tentado de cambiar. Luego Conejo-Conejo es un equilibrio de Nash. Si ambos eligieron Ciervo, el que cambie su elección a Conejo pasa de cobrar 4 a cobrar 3, así que no le interesa hacerlo. Luego Ciervo-Ciervo es un equilibrio de Nash. Si uno elige Conejo y otro Ciervo, cualquiera de los dos cambios beneficia a alguien. Si el que eligió Conejo cambia a Ciervo, pasa de ganar 3 a ganar 4. Así que está tentado de cambiar. Y el que eligió Ciervo, que actualmente gana 0, también sale beneficiado (pasando a ganar 3) si cambia a Conejo. Luego Conejo-Ciervo y Ciervo-Conejo no son equilibrios de Nash.

Aunque a algunos les parecerá obvio, debemos darnos cuenta de que las situaciones no son las mismas que en el dilema del prisionero, porque la

matriz no es exactamente igual, aunque sea parecida. Tomando una matriz de pagos genérica como la siguiente:

Jugador Alfa 1 Beta

Jugador 2 Alfa Beta a,a c,b b,c d,d

Generalmente se supone que estamos en un juego como la caza del ciervo si se cumple la relación a>b>=d>c (en nuestro juego, 4>3>=3>0), pero estamos en uno como el dilema del prisionero si se cumple la relación c>d>a>b (en nuestro ejemplo, 0>-1>-6>-10).[1] Como estamos considerando solo estrategias puras, los valores exactos de los números no afectan, pero si estudiáramos estrategias mixtas, que veremos más adelante, entonces no solo la relación es importante, sino también su valor exacto. Y también son importantes para saber si el juego es de suma cero o no. JUEGO DE VOTACIÓN Toda votación simple puede interpretarse como un juego estático cuyos jugadores son los votantes, cuyas acciones o estrategias se identifican con las posibles papeletas de voto que cualquier votante puede depositar, cuyos resultados hacen referencia a las alternativas o candidatos que pueden resultar elegidos, y cuyos pagos están determinados por las preferencias de los votantes hacia los posibles resultados. Pensemos, por ejemplo, en un comité de tres personas C1, C2 y C3, encargado de seleccionar para un puesto a una persona, de entre tres candidatos A, B y C, mediante votación. Para especificar completamente las reglas del juego, supongamos: — Que se vota escribiendo una papeleta con un sólo nombre, y no se puede votar en blanco. — Que gana el candidato que obtenga una mayoría de los votos, y que en caso de empate decide el voto del presidente C1. Así pues, los posibles resultados del juego son A, B y C. Supongamos también que las preferencias de los votantes son: Votante C1: A_B_C (donde _ significa «es estrictamente preferido a») Votante C2: B_C_A Votante C3: C_A_B

En este caso la forma estratégica del juego presenta tres trimatrices, una por cada jugada posible del tercer jugador. Se ha indicado entre paréntesis, junto a cada vector de pagos, el resultado del juego correspondiente (candidato vencedor).

JUEGOS DINAMICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA En los juegos dinámicos o secuenciales se especifica el momento del juego en que tiene lugar cada jugada y el jugador a quien le corresponde jugar. Se especifica asimismo qué sabe dicho jugador del desarrollo anterior del juego. Se supone además que la estructura del juego es de dominio público. Una suposición adicional es que la información es completa, es decir, las funciones de pagos o ganancias de los jugadores son de dominio público. Donde todas las decisiones se toman a la vez (o, expresándolo de manera equivalente, pero más adecuada, en el momento de tomar su decisión, ningún jugador conoce las decisiones de los demás). EL JUEGO DEL TRESPIÉS En este juego hay dos montones de monedas sobre la mesa, que inicialmente tienen una moneda cada uno, y dos jugadores, J1 y J2, uno junto a cada montón. Los jugadores toman, de manera alternada, decisiones consistentes en seguir (S) o en terminar (T). Comienza J1, y si elige T se acaba el juego, mientras que si elige S el juego prosigue de modo que los montones pasan a tener 0 monedas el primero y 3 el segundo y le toca el turno a J2. Si J2 elige T se acaba el juego, mientras que si juega S los montones pasan a tener 2 monedas el primero y 2 el segundo (es decir, disminuye en una moneda el montón del jugador que acaba de tomar la decisión S, y aumenta en dos monedas el montón del otro jugador), y el juego prosigue hasta una última jugada a cargo de J1. Si en su última jugada J1 elige T se acaba el juego y si elige S los montones varían de igual modo (pasando a tener una moneda el primero y 4 el segundo), y se acaba el juego. Cuando el juego termina, cada jugador recibe como pago su propio montón de monedas.

EL JUEGO DEL CIEMPIÉS Al igual que en el juego del trespiés, los montones tienen inicialmente una moneda cada uno, y los dos jugadores, J1 y J2, toman, de manera alternada, decisiones consistentes en seguir (S) o en terminar (T). También las consecuencias de cada opción son análogas: tras la decisión T se acaba el juego y tras la decisión S se alteran las cantidades mediante el procedimiento ya descrito (disminuye en una moneda el montón de quien ha tomado la decisión S y aumenta en dos monedas el montón del otro jugador) y prosigue el juego. La única diferencia es que si en el caso del trespiés había tres nodos de decisión de los que salían tres pies rotulados como T, en el caso del ciempiés hay cien nodos de decisión de los que salen cien pies rotulados como T. Este juego fue inventado por Rosenthal, y debe su nombre al aspecto de ciempiés. Que tiene su representación en forma extensiva, la cual se muestra en la Figura.

JUEGO DEL ULTIMÁTUM El juego del Ultimátum es un juego experimental de economía en el cual dos jugadores interactúan de manera anónima y una sola vez, por lo que la reciprocidad no es un problema. A un jugador (A) se le propone que reparta una determinada cantidad de dinero (generalmente 100$) con otro jugador (B), según le convenga, haciendo una única y definitiva propuesta. El jugador (B), por su parte, podrá aceptar o no dicha propuesta. En caso de no aceptar, ningún jugador ganaría nada. Por el contrario, si acepta se procede al reparto según la propuesta realizada, por el jugador (A). Es de esperar que el jugador (B) siempre acepte la propuesta que se le realice, ya que, de todos modos, ésta siempre mejoraría su situación desde el principio, puesto que parte sin ninguna cantidad. Pues bien, este experimento se ha realizado en numerosos países a lo largo de muchos años, y la complejidad de la experiencia determina que ante una situación de abuso de poder y/o un trato de humillante, se prefiere castigar al contrincante y hacer que ambos lo pierdan todo, antes que aceptar la propuesta. Aunque en todas las pruebas que se han hecho se demuestra que el que propone el ultimátum nunca pretende abusar del que lo recibe, realizando una oferta altruista donde ambos ganen lo mismo (50% - 50%) e incluso, en determinadas ocasiones, ofrecen una cantidad superior.

Ejemplo: Un investigador entrega 10 dólares a uno de los individuos junto con las instrucciones de que valore cómo repartir el dinero con el otro individuo. En cuanto se propone un reparto, ya no se puede modificar. Y el otro individuo sólo puede decidir si acepta o rechaza la oferta. Si acepta, entonces el primer individuo se queda con la parte de los 10 dólares que ha propuesto, y el resto pasa al segundo individuo. Si el segundo individuo rechaza la oferta, entonces nadie se queda con nada. La lógica nos diría que si uno ofrece 9 de los 10 dólares al otro, el otro aceptará porque, al menos tendrá 1 dólar: en caso de rechazar la oferta, no tendrá nada. Un dólar es muy poco dinero, pero es más que 0 dólares. Sin

embargo, la vida real no funciona así, porque los seres humanos no son lógicas máquinas pensantes sino seres sociales preñados de sentimientos En resumidas cuentas: no importa las variaciones del juego que hagamos, no importa que establezcamos controles más severos, que las personas participantes sean anónimas. Finalmente, la mayor parte de la gente que proponía el reparto no lo hacía de forma demasiado egoísta, y la mayor parte de la gente que debía aceptar o no la proposición no aceptaba un reparto que se alejara demasiado de cierta percepción de justicia: se prefería no ganar nada a que el otro lo ganara todo.

9. BIBLIOGRAFIA  aVances en teorías de juegos con aplicaciones económicas y sociales – J.M. Bilbao, F.R fernandez  http://www.xatakaciencia.com/psicologia/el-juego-del-ultimatumno-podemos-evitar-ser-sociales  http://eltamiz.com/elcedazo/2011/01/03/teoria-de-juegos-xvii-lacaza-del-ciervo/  http://www.melusina.com/rcs_gene/caza_del_ciervo.pdf  http://mundodelaempresa.blogspot.com/2012/12/economia-lateoria-de-juegos-el-dilema.html  Teoría de juegos-joaquin perez  http://tellado.es/descargas/negociacion/teoria-del-juego.pdf