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TEMA 7 ANÁLISIS ESTATICO DE VIGAS SIMPLES 1.- INTRODUCCIÓN Las vigas son elementos estructurales muy usados en la construcción para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer los esfuerzos que producen las cargas a lo largo de su longitud, estos vienen dados por los valores de corte y momentos flectores en cada sección en estudio; los cuales se representan en sus respectivos diagramas 2.- OBJETIVO Determinar los valores de fuerzas cortantes y momentos flectores en vigas horizontales simples, elaborando sus diagramas representativos. 3.- VIGAS Las vigas son elementos estructurales de sección transversal recta y homogénea, cuya longitud es varias veces mayor que su sección transversal y sobre las cuales actúan cargas perpendiculares a los ejes centroidales (x e y) longitudinales. Las vigas se representan como líneas rectas horizontales en los D.C.L., la distancia entre apoyos se denomina luz de la viga y las cargas tienden a desplazar verticalmente el eje centroidal longitudinal, produciendo flexión en la viga. Limitaremos el estudio a vigas isostáticas, sometidas a cargas coplanares, que actúan sobre el eje vertical. 4.- CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS 4.1. POR LA FORMA: a. Vigas de alma llena: cuando la sección de la viga se mantiene constante en toda su longitud. b. Vigas de celosía: cuando la viga está formada por un sistema reticulado, no teniendo sección constante en toda su longitud. 4.2. POR CONDICIÓN ESTÁTICA: b.

Isostáticas o simples: Vigas en las cuales él número de reacciones en los apoyos puede ser determinadas con las ecuaciones de equilibrio disponibles ∑Fy, ∑Fx, ∑M, entre estas tenemos: (a) vigas simplemente apoyadas, (b) vigas en voladizo o ménsula, € vigas apoyadas con voladizo.

b. Hiperestáticas o Continuas: Vigas en las cuales él número de reacciones en los apoyos es mayores a las ecuaciones disponibles de estática, por lo que su resolución es competencia de la resistencia de materiales, poseen más de dos apoyos a lo largo de su longitud.

5. EFECTOS DE LAS CARGAS SOBRE LAS VIGAS: Para estudiar los efectos de las cargas sobre las vigas se parte del análisis de una sección de la viga, en la cual se hace un corte imaginario y se plantean las fuerzas y momentos que deben actuar para que la viga, pueda mantener su equilibrio externo después de seccionada; en ambos lados de la sección. Las fuerzas cortantes se representan con la letra V y los momentos flectores con las letras Mf. En la gráfica se puede observar una sección a-a, ubicada a una distancia x, de su longitud L desde el apoyo A, los sentidos de las fuerzas y momentos deben cambiar el sentido que tienen cuando se asumen las cargas del lado izquierdo y cuando se hacen por el lado derecho, para poder mantener el equilibrio de la sección.

5.1. Efecto de Corte:

Se produce por el antagonismo entre las cargas que actúan hacia abajo y las reacciones que actúan hacia arriba, produciendo fuerzas cortantes en la sección transversal de la viga. El efecto es máximo en los apoyos y disminuye a medida que se aleja de los mismos, hasta llegar al punto donde se hace nulo, considerado como la sección más peligrosa de la viga, ya que es donde se produce el mayor desplazamiento vertical del eje longitudinal de la viga (flexión máxima). Los valores de fuerzas cortantes (V) se obtienen por la suma algebraica de las fuerzas verticales ubicadas a un lado de la sección en estudio. ∑Fy = Fy↑ - Fy↓ - V =0

de donde V= Fy↑ - Fy↓

Se presentan dos situaciones, cuando las cargas tienden a desplazar la sección izquierda hacia arriba respecto a la sección derecha el corte es positivo y en el caso contrario el corte es negativo , tal como se muestra en los dibujos siguientes.

5.2. Efecto de Flexión: Se produce por el desplazamiento vertical (flecha) del eje centroidal longitudinal de la viga. Este desplazamiento es directamente proporcional a la magnitud de la carga y a la longitud de la viga. Los valores de la flexión en cualquier sitio de la viga se conocen como Momentos flectores (Mf). Los valores de momento flector se obtienen por la suma algebraica de los momentos de las fuerzas ubicadas a un lado de la sección en estudio. Mf =∑MF(i) = ∑MF(d)

i: sección izquierda; d: sección derecha

Como regla general las fuerzas dirigidas hacia arriba producirán momentos positivos y las dirigidas hacia abajo producirán momentos flectores negativos, en cualquier lado de la sección. La flexión origina sobre la sección transversal, esfuerzos de compresión (C) y de tracción (T), a ambos lados del centroide de la viga y cuyas posiciones determinarán flexiones positivas o negativas. Cuando la viga flexa cóncava hacia arriba, la flexión es positiva, en este caso las fibras de la sección por encima del eje centroidal están sometidas a esfuerzos de compresión y las fibras de la sección por debajo del eje están sometidas a esfuerzos de tracción.

Cuando la viga flexa cóncava hacia abajo, la flexión es negativa, en este caso las fibras de la sección por encima del eje centroidal están sometidas a esfuerzos de tracción y las fibras de la sección por debajo del eje están sometidas a esfuerzos de compresión.

6. DIAGRAMAS DE CORTES Y MOMENTOS FLECTORES Son la representación en gráficas de los valores de corte y momentos flectores que se presentan en diferentes secciones de la viga en estudio, en ellos la línea de las abscisas representa el eje horizontal de la viga y donde se ubicarán las posiciones de cada sección de trabajo, representándose en el eje de las ordenadas los valores de corte y momento flector en cada sitio de la viga. En el diagrama de corte las cargas concentradas se representan por líneas verticales, mientras que las cargas distribuidas se representan por líneas rectas con pendiente, en toda la longitud de trabajo; los espacios sin carga se unen por líneas horizontales. En estos diagramas los valores positivos se ubican en la parte superior de la línea base y los valores negativos en la parte de abajo. Donde los valores cambian de signo se conocen como puntos de corte nulo y son los sitios de la viga donde se produce la máxima flexión. En el diagrama de momentos flectores los valores de momento producidos por cargas concentradas se unen mediante líneas rectas, mientras que los producidos por cargas distribuidas se unen por líneas curvas parabólicas, de actuar ambos tipos de carga sobre un mismo tramo, predominará la forma parabólica. En estos diagramas los valores positivos se ubican en la parte inferior de la línea base y los valores negativos en la parte de arriba; simulando la curva elástica que toma la viga al flexarse. La distancia donde los valores de momento flector cambian de signo se conocen como puntos de inflexión y se calculan igualando a cero la ecuación de momento f1ector a esa distancia (xi) Mf(xi) = 0; en estos puntos de la viga donde se produce un cambio de los esfuerzos internos de las fibras de la sección transversal de las vigas, siendo de gran interés para el diseño. 7. PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS DE UNA VIGA 1- Hacer el Diagrama de Cuerpo Libre de la viga. -Representar la viga por una línea horizontal. -Sustituir los apoyos por las reacciones correspondientes. -Representar todas las cargas actuantes sobre la viga. -Definir puntos de interés sobre la viga, para las secciones de trabajo. 2- Calcular los valores de las reacciones, aplicando ecuaciones de equilibrio estático. ∑Fy = 0; ∑Fx = 0; ∑M = 0 3- Calcular los Cortes en los puntos de interés, aplicando la suma de fuerzas verticales. ∑Fy=V -Dibujar el Diagrama de cortes, ubicando los sitios de interés en el eje horizontal y colocando el valor del corte en el eje vertical en cada punto. -Unir los valores de cortes consecutivos a través de líneas rectas. -Calcular el punto donde el corte se hace cero (punto de corte nulo).

4-Calcular los valores de momentos flectores en cada uno de los puntos de interés, aplicando la ecuación de momento, tomando puntos de interés, aplicando la ecuación de momento, tomando indiferentemente las fuerzas situadas a la izquierda o a la derecha del punto, según sea más fácil el trabajo. Mfa = ∑F x b Mfa: momento flector en una sección de la viga a-a. F: carga o fuerza actuante a un lado de la sección tomada b: distancia desde la fuerza a la sección tomada. - Dibujar el diagrama de momentos flectores, representando cada uno de los valores obtenidos para el momento flector. - Unir los valores de momentos consecutivos: Líneas rectas entre cargas concentradas y parábolas entre cargas distribuidas. - Calcular él (los) punto(s) donde el momento flector se hace cero (punto(s) de inflexión). Mf = 0. 8. CASOS: A continuación se deducen dos casos especiales, los cuales se presentan con frecuencia en el diseño de estructuras y cuyas formulas pueden ser de aplicadas directamente en el análisis de las vigas en las mismas condiciones de apoyo y cargas: 8.1. Caso especial 1 Viga simplemente apoyada con carga concentrada en el centro de su longitud. Cálculo de Reacciones: ∑MB = 0 ; RAy *L - P*L/2 = 0
RAy = P/2 y por simetría, RBy = P/2

Cálculo de cortes: ViA = 0 VdA = RA = P/2 ViC = P/2 VdC = P/2 - P = - P/2 ViB = - P/2 VdB = - P/2 + P/2 = 0 Corte nulo a U2 del apoyo A

Cálculo de Momentos flectores MfA= 0 Mf (Ll2) = P/2 * L/2 = P * L/4 MfB = 0 Puntos de inflexión: no se producen.

8.2. Caso especial 2 Viga simplemente apoyada con carga distribuida uniformemente en toda su longitud.

Cálculo Reacciones: ∑MB = 0 ; ∑RAy * L - WL * L/2 = 0
RAy = WL/2 y, por simetría, RBy = WL/2 Cálculo de cortes: ViA = 0 VdA = RA = WL/2 ViC = WL/2 - WL/2 = 0 VdC = 0 ViB = - 0 – WL/2 = - WL/2

VdB = - WL/2 + WL/2=0 Corte nulo a U2 del apoyo A

Cálculo de Momentos flectores MfA= 0 Mf (L/2) = WL/2 * L/2 – WL/2 * L/4 = WL2/8 MfB = 0 Puntos de inflexión: no se producen.

9. REFERENCIAS: Beer, Ferdinand y Russell, Johnston. 1999. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática Editorial Mc Graw Hill. Pág. 349-369. Hibbeler, R. C. 1992. Mecánica para Ingenieros. Estática. Editorial. Pág. 269-274. Jiménez, Lenni. Guía de la asignatura. Tema N°. Tema 4. UCLA. Agronomía. Orozco, Enrique.1999. La Estática en los Componentes Constructivos. Universidad Nacional experimental del Táchira. UNET. SerieTexto. Pág. 149-172. Parker Harry, 1991. Texto simplificado de Mecánica y Resistencia de Materiales. Editorial Limusa S.A. de C.V, México, DF. Pág. 149-168. Pytel y Singer, Ferdinand. 1991. Resistencia de Materiales. Editorial Harla. México. Pág. 87-105. Singer, Ferdinand. 1991. Mecánica para Ingenieros. Estática. Editorial Harla. México. Pág. 261- 272. http://www.eng.iastate.edu/efmd/statics.htm#mecanics http://www.ual.es/aposadas/08 Estatica.pdf http://www.fisica.usach.e1/[didactic/estatica murrieta.pdf http://www.fisicanet.fateback.com/materias/f1 /f11 /estatica.html http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisicalteorialA Franco/problemas/estatica/estática.htm http://www.mec.puc-rio.br/prof/dreux/estatica.htm/ http://www.ociv.utfsm.c1/docencia/academicos/Estatica Estructuras/files/guia1.PDF http://www.ualg.pt/-rlanca/sebenta fisica/02 aulateoricaestaticadasparticulas no plano.pdf http://www.newton.cnice.es/4eso/estática/estatica4.htm http://www.virtual.unaledu.co/cursos/ingenieria/2001734/