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Teoría del Campo I Ing. Adolfo Santana Rey

Tema 7: Dieléctricos y Capacitancia Eléctrica

Resistencia En el capítulo anterior la resistencia eléctrica está definida como:

  V  E  dl R    I  E  dS El problema de encontrar la resistencia de un conductor de una sección no uniforme puede utilizarse los siguientes pasos: 1. Utilizar un sistema adecuado de coordenadas. 2. Asumir un Vo como la diferencia de potencial entre los terminales del conductor.

2Vpara obtener V. Luego se determina E desde E=- V e I de I=EdS.

3. Resolver la ecuación de Laplace de 4. Finalmente obtener R como Vo/I.

Capacitancia Un capacitor consta de dos o más conductores portadores de carga iguales pero de signo contrario separados por el vacío ó por un dieléctrico. La diferencia de potencial entre los conductores V está dada por: 1

  V  V1 V2   E  dl 2

Donde E es le campo eléctrico que existe entre los conductores y se supone que el conductor 1 porta carga positiva y que E es siempre normal a las superficies conductoras. La capacitancia C del capacitor es la razón de la magnitud de la carga en una de las placas a la diferencia de potencial entre ellas, es decir:

  Q   E  dS C    V  E  dl

La energía almacenada en un capacitor es: 2 2

1 1 Q WE  CV  QV  2 2 2C

Nota: se elimina el signo menos porque lo que interesa es el valor absoluto de V y las unidad de la capacitancia es el Farad (F)

Capacitancia Los dos conductores deben tener la misma carga Q (en magnitud) es decir un conductor con +Q y el otro con +Q.

Hay dos métodos donde se puede calcular la capacitancia C: 1. Se presume Q y se calcula V en términos de Q (uso de ley de Gauss). 2. Se presume V y se calcula Q en términos de V (uso de la Ecuación de Laplace).

Capacitor de placas paralelas

Q S  Se tiene que: S  S  Q Valor E conocido: E  (ax )   ax  S  2  d Q   Qd V   E  dl   ax  dx ax  1 0 S S Q S S Finalmente: C    r o V d d

Capacitor coaxial

Q L  L  Q  E a 2   L a   V   E  dl   2

1

Q  Q b  a  d a  ln  b 2   L 2  L  a  Q 2  L 2 L C    r o V b b ln  ln  a a

Capacitor esférico

 E a   V   E  dl   2

1

b

Q  a 2 r 4  r

Q  Q 1 1  a  dr ar    2 r  4  r 4   a b 

Q 4  4 C    r o V 1 1 1 1  a  b   a  b 

Capacitores serie-paralelo

1 1 1    C C1 C2 C1  C2 C C1  C2

C  C1  C2

Tiempo de Relajación Se tiene que R y C son:

  V  E  dl R    I  E  dS

  Q   E  dS C    V  E  dl

El producto de de estas dos expresiones se le llama el tiempo de relajación T, de la cual es válida para medios homogéneos:

 T  RC   Esta expresión es importante pues se puede obtener la resistencia de los capacitores ya descritos. Nota: Se puede hacer esto sí y sólo sí el sentido del campo eléctrico es el mismo para R y para C.

Ejemplo 6.8 Una barra metálica de conductividad  se dobla para formar un sector plano de 90°de radio interno a, radio externo b y grosor t como se observa en la figura. Demuestre que a) la resistencia de la barra entre las superficies verticales curvas en =a y =b es:

b 2 ln  a R    l y b) la resistencia entre las dos superficies horizontales en z=0 y z=t es:

R' 

4t   b2  a2





Ejemplo 6.8 a) Entre los extremos curvos en =a y =b la sección transversal no es uniforme. Se tiene que en V(=a)=0 y en V(=b)=Vo se aplica la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Resolviendo se tiene:

1 d  dV  V      0  d  d  2

1 d  dV      0  d  d  d  dV      0 d  d  dV  A d V  Aln()  B

Calculando las variables A y B con las condiciones en la frontera:

V (  a)  0  Aln(a)  B  B   Aln(a) V (  b)  Vo  Aln(b)  Aln(a) Vo  A ln(b / a) Vo V ( )  ln( / a) ln(b / a)

Ejemplo 6.8 Calculando el campo E a partir de V se tiene:

Vo V ( )  ln( / a) ln(b / a)  Vo  dV  A E  V   a   a  a d   ln(b / a) Calculando la corriente I a partir de E se tiene:

  J  E

  dS   d dz a

Vo   t  Vo  d dz   0 z 0  ln(b / a) 2 ln(b / a) Vo 2 ln(b / a) R  I t     /2 t I   J  dS   

Ejemplo 6.8 Método alternativo (no mostrado en el libro de texto), se tiene que:

l R S Haciendo el estudio para un diferencial de R y realizando un cambio de variables se tiene:

d d dR    S t  d   t dR   b d   t dR  a 

  t R   / 2  ln() a b

2 ln(b / a) R t 

Ejemplo 6.8 b) Sea Vo la diferencia entre las dos superficies horizontales que V(z=0)=0 y en V(z=t)=V(z) se aplica la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Resolviendo se tiene: 2

dV  V  2 0 dz V  Az  B 2

Calculando las variables A y B con las condiciones en la frontera:

V ( z  0)  0  0  B  B  0 Vo V ( z  t )  Vo  At  A  t

Por lo tanto:

Vo V ( z)  z t Calculando E:

Vo V ( z)  z t  Vo  dV  E  V   az   az dz t

Ejemplo 6.8 Calculando la corriente I a partir de E se tiene:

  dS   d dz az

  J  E



2 b

Vo    Vo   d d    0  0 t 2 t 2

  I   J  dS  

b

 /2

 Vo  b2  a2  4t a

Finalmente se tiene que:

Vo 4t R  I   b2  a2





Alternativamente se puede usar la misma fórmula del capítulo 5:

l t 4t R    S   b2  a2   b2  a2 4











Ejemplo 6.9 Un cable coaxial contiene un material aislante de conductividad . Si el radio del alambre central es a y el del recubrimiento es b, demuestre que la conductancia del cable por unidad de longitud es:

2  G b ln  a

Ejemplo 6.9 Considérese que L es en la figura del problema es la longitud del cable coaxial. Vea Vo la diferencia de potencial entre los conductores interno y externo, de tal forma que en V(=a)=0 y en V(=b)=Vo. Resolviendo se tiene:

1 d  dV  V      0  d  d  2

1 d  dV      0  d  d  d  dV      0 d  d  dV  A d V  Aln()  B

Calculando las variables A y B con las condiciones en la frontera:

V (  a)  0  Aln(a)  B  B   Aln(a) V (  b)  Vo  Aln(b)  Aln(a) Vo  A ln(b / a) Vo V ( )  ln( / a) ln(b / a)

Ejemplo 6.9 Calculando el campo E a partir de V se tiene:

Vo V ( )  ln( / a) ln(b / a)  Vo  dV  A E  V   a   a  a d   ln(b / a) Calculando la corriente I a partir de E se tiene:

  J  E

  dS   d dz a

Vo  2 L Vo  d dz   0 z 0  ln(b / a) ln(b / a) Vo 1 ln(b / a) Resistencia por unidad de longitud R   I L 2  1 2  G  Conductancia por unidad de longitud R ln(b / a)   2 L I   J  dS   

Ejemplo 6.10 Cascarones esféricos con radios a=10cm y b=30cm se mantienen en una diferencia de potencial de 100V, de modo que V(r=b)=0 y V(r=a)=100V. Determine V y E en la región entre los cascarones. Si r=2.5, en la región, determine la carga total inducida en los cascarones y la capacitancia del capacitor.

Ejemplo 6.10 Como V sólo depende de r, la ecuación de Laplace utilizando coordenadas cilíndricas:

1 d  2 dV   V  2 r 0 r dr  dr  1 d  2 dV  r 0 2 r dr  dr  2

d  2 dV  r 0 dr  dr  2 dV r A dr A V B r

Calculando las variables A y B con las condiciones en la frontera:

A A V (r  b)  0  BB  b b 1 1 V  A   b r  Vo 1 1  V (r  a)  Vo  A    A  1 1  b a  b  a  Vo 1 1  V (r)     1 1 r b  a  b 

Ejemplo 6.10 Sustituyendo a=0.1m, b=0.3m y Vo=100V se tiene que:

100 1 10 1 10 V (r)     15   V  1010/ 3  r 3   r 3   100  15  E 2 ar  2 ar V / m r 10 10/ 3 r 109 (2.5)  (100) Q  4  4.167nC 36 10 10/ 3 Q 4.167109 C   41.67 pC Vo 100

Ejemplo 6.11 Determine la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas utilizando la ecuación de Laplace, suponiendo que el potencial entre las placas es Vo, es decir que las condiciones de frontera son V(x=0)=0 y V(x=d)=Vo.

Ejemplo 6.11 Como V sólo depende de x, la ecuación de Laplace utilizando coordenadas cartesianas: 2 d V 2  V  2 0 dx V  Ax  B

Calculando las variables A y B con las condiciones en la frontera:

V ( x  0)  0  0  B  B  0 Vo V ( x  d )  Vo  A d  A  d Vo V ( x)  x d

Calculando la carga Q en una de las placas, se tiene:

Q   S dS       S  D  an   E  an   E  ax  Vo  dV  E  V   ax   ax dx d Vo Vo S Q   S dS    dS   d d Finalmente, calculando C, se tiene:

Vo Vo S V ( x  d )  d  Vo Q   d d S C d

Método de las Imágenes Ideado por lord Kelvin en 1848, establece que una configuración de carga dada sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución del plano conductor.

Método de las Imágenes Calcular el campo eléctrico E, el potencial V y la carga inducida de un punto de carga Q situado a una distancia h del plano a tierra z=0.

Método de las Imágenes El campo eléctrico E y el potencial V se pueden calcular de la siguiente manera:

     Q r1 Q r2 E  E  E   3 3 4  or1 4  or2  r1  ( x, y, z)  (0,0, h)  ( x, y, z  h)  r2  ( x, y, z)  (0,0,h)  ( x, y, z  h)       x a  y a  ( z  h ) a x a  y a  ( z  h ) a   Q x y z x y z E   2 2 2 4  o  x  y  ( z  h) x2  y2  ( z  h)2    Q Q V   E  dl  V V   4or1 4or2  Q  1 1 V   2 2 1 / 2 1/ 2  2 2 2 2 4or1  x  y  ( z  h) x  y  ( z  h) 



 



Método de las Imágenes La densidad de carga superficial y la carga total inducida son:

  S  Dn   o En z0  

Qind   S dS  

 Qh





2 3/ 2

2 x  y  h   Q h dx dy



 

2



2

2



2 3/ 2

2 x  y  h 2

 2  x2  y2 dx dy   d d 

Qh 2   d d Qh Qind       Q 3 / 2 1 / 2 2 2 2 2 2 0 0   h  h  0









Como era de esperar, puesto que todas las líneas de flujo que terminan en el conductor habrían terminado en la carga de imágenes en ausencia del conductor.

Método de las Imágenes Calcular el campo eléctrico E, el potencial V y la carga inducida Q de un conductor de carga infinita con densidad del plano a tierra z=0.

L C/m situada a una distancia h

Método de las Imágenes La línea infnita se ubica en x=0, z=h y es paralela a y por lo cual el campo eléctrico E y el potencial V se pueden calcular de la siguiente manera:

   E  E  E 

L   L  a1  a2 2  o 1 2  o 2

 1  ( x, y, z)  (0, y, h)  ( x,0, z  h)  2  ( x, y, z)  (0, y,h)  ( x,0, z  h)      L  x ax  ( z  h) az x ax  ( z  h) az  E  2  2 2 2  o  x  ( z  h) x  ( z  h)2     1  L  L L V   E  dl  V V  ln(1 )  ln(2 )  ln  2or1 2or2 2or1  2   x2  ( z  h)2  L  V ( z  0)  0 V ln 2 2 4or1  x  ( z  h) 

Método de las Imágenes La densidad de carga superficial y la carga total inducida por longitud son: La carga inducida superficial en el plano conductor es:

  S  Dn   o En z0 

 L h  x2  h2





La carga inducida por longitud en el plano conductor es:

 Lh  dx  Lh  / 2 d ind   S dx    L 2 2     x  h   / 2 





Como era de esperar, puesto que todas las líneas de flujo que terminan en el conductor habrían terminado en la carga de imágenes en ausencia del conductor.

Ejemplo 6.14 Una carga puntual Q se localiza en el punto (a,0,b) entre dos planos conductores semiinfinitos que intersectan en ángulo recto como se muestra en la figura. Determine el potencial en el punto P(x,y,z) y la fuerza sobre Q.

Ejemplo 6.14 Solución: La configuración de imágenes aparece en la siguiente figura. Tres cargas son necesarias para satisfacer las condiciones enunciadas .

Método de las Imágenes El potencial V se puede calcular de la siguiente manera:

Q 1 1 1 1  V      4  o  r1 r2 r3 r4 

  r  ( x  a)  y  ( z  b)  r  ( x  a)  y  ( z  b)  r  ( x  a)  y  ( z  b)  2

2

2 1/ 2

2

2

2 1/ 2

2

2

2 1/ 2

2

2

2 1/ 2

r1  ( x  a)  y  ( z  b) 2

3

4

Método de las Imágenes Con base en la figura b anterior, la fuerza sobre Q es:

    F  F1  F2  F3  F

  2 2  Q 2 a a  2 b a Q2 Q   x z a  a   3/ 2 2 z 2 x 2 2 4  o (2b) 4  o (2a) 4  o (2a)  (2b)





 Q2  a 1  b 1  F  2 2 3/ 2  2  ax   2 2 3/ 2  2  az  16  o  (a  b ) a  b    (a  b )

Método de las Imágenes En general, este método se aplica a un sistema consistente en una carga puntual entre dos planos conductores semiinfinitos inclinados en un ángulo  (en grados), el´número de imágenes está dada por:

360  N  1    Si la carga puntual está entre dos paredes conductoras semiinfinitas en =60°hay N=5 imágenes como se muestra en la figura.