• Author / Uploaded
• Enrique Luque García

Citation preview

M A G ISTER OPOSICIONES AL PROFESORADO Filosofía TEM A? LA LÓ G IC A C O M O SISTEM A FO R M A L A X IO M Á TIC O : LO S L ÍM IT E S DE LOS SISTEM AS FO R M A LES A X IO M Á TICO S. 1 “LÓGICA”. 2. ¿QUÉ ES UN SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO? 2.1. Motivaciones históricas de la fomialización. 2.2. Formalización. 2.2.1. Reseña histórica. 2.2.2. Términos. 2.2.3. Reglas de formación. 2.2.4. Axiomas. 2.2.5. Reglas de transformación o inferencia. 2.2.6. Resumiendo. 2.2.7. Simbolización. 2.3. Formalización del CP y del CC. 2.3.1. Formalización del CP.. 2.3.2. Formalización del CC de primer orden. 2.4. Propiedades metalógicas del CP y del CC. 2.4.1. Propiedades metalógicas del CP. 2.4.2. Propiedades metalógicas del CC. 3. OTRO EJEMPLO DE TEORÍA FORMALIZADA: EL SISTEMA DE PEANO PARA LA ARITMÉTICA. 4. TEORÍA DE LA PRUEBA O METAMATEMÁTICA. 4.1. Los méritos de Hilbert. 4.2. Teoría - objeto. 4.3. Metateoria. 4.4. Recapitulación. 4.5. Un resultado deseado: la consistencia. 5. ALGUNOS METATEOREMAS LIMITATIVOS. PROPUESTA DE RESUMEN. BIBLIOGRAFÍA. PREGUNTAS.

Filosofía

© M A G IST E R

T em a?

1. “ L Ó G IC A ” . L a L ógica es una cien cia a b stra cta que tien e p o r o b jeto e l a n á lisis fo r m a l de lo s argum entos. M ás concisam ente, es la teo ría fo r m a l d e la d ed u cció n . (G A R R ID O , pp. 20-21). E l objeto de la lógica son los argum entos, b u en o s y m alos, y su lab o r consiste en p ro v eer m étodos p a ra d istinguir los argum entos buenos de los m alos. E ntre los argum entos, la b o n d ad reside en la validez, y u n argum ento es válido si es im posible que sus p rem isas sean v erd ad eras y su conclusión falsa. Q uizá fuera conveniente añadir que entendem os p o r "lógica" lo que usu alm en te se conoce com o ló g ica de p rim e r ord en , que com prende el C P y el C C de p rim e r orden, en que las variables son variables de individuo exclusivam ente. E n los últim os años es u su al tam b ién co n sid erar com o cálculos lógicos el cálculo de identidad y el cálculo de descripciones: en ellos se to m an com o sím bolos prim itivos " = " (el signo de identidad) y " 1 " (el descriptor), respectivam ente. E n lo que sigue, sin em bargo, (para aliviar la exposición) sólo m e referiré al C P y al C C , que son los cálculos básicos. 2. ¿ Q U É E S U N S IS T E M A F O R M A L A X IO M Á T IC O ? D urante m ucho tiem po se pensó que la m atem ática era la "ciencia de la cantidad". Según N ag el y N ew m an, e sta concepción "es equ iv o cad a adem ás de engañosa". (C fr. N A G E L «fe N E W M A N , pág. 26). H oy se tiende m ucho m ás a contem plar a la m atem ática com o la cien cia que, p o r excelencia, desarrolla sistem as form ales. P odem os conclu ir que la fo rm alizació n h a cam biado el carácter de la m atem ática y h a abierto ante ella p erspectiv as in esp erad as e inquietantes. (C fr. L A D R IE R E , pág. 339). A continuación estudiarem os, e n u n a prim era sección, las circim stancias que incidieron en el im pulso a la form alización de la m atem ática; después verem os, en abstracto, en que consiste esta form alización, p a ra luego ex p o n er un ejem plo concreto de la m ism a; acabarem os hacien d o m ención a la d isciplina que, históricam ente, p rim ero se ocupó del estudio, a nivel sintáctico, de los sistem as form ales; la m etam atem ática o te o ría de la p ru eb a . 2.1. M o tiv a c io n e s h is tó ric a s de la fo rm a liz a c ió n . H isto ria de la crisis: L o que en este trabajo se d ig a es de aplicació n a la m atem ática, aunque, subsidiariam ente, ciertas afirm aciones sean tam bién válidas respecto de la ló g ica com o sistem a form al axiom ático. A finales del siglo X IX y, sobre todo, en el p rim er tercio del X X , el afán form alizador era u n m orbo b ien im plantado entre los m atem áticos. C om o se sabe, la m atem ática h ab ía reco rrid o tres estadios históricos, el intuitivo, el axiom ático y el form alizado.

©MAGISTER

Tema 7

El ímpetu formalizadnr procedía de. al menos, "dos fuentes*': a) El ejemplo histórico de la axiomática euclídea. que fue presentada durante siglos, y hasta el tedio, como el espejo en que debían mirarse las demás ciencias, y b) La sospecha de que, después de todo, la matemática clásica podía ser inconsistente, esto es, contener en sí misma contradicciones. No servía al propósito de mostrar la consistencia de la matemática, afirmar que sus principios eran intuitivamente evidentes, puesto que las peripecias de las geometrías'no-euclídeas habían exhibido plenamente que ima teoría puede ser contraintuitiva y, a pesar de ello; perfectamente consistente. La única pmeba de la consistencia de una teoría admisible para un matemático riguroso consistía en la formalizacíón de dicha teoría, y en la demostración de que estaba lógicamente excluida la posibilidad de derivar teoremas contradictorios de los axiomas postulados para la teoría. A finales de siglo. Cantor v Dedekind desarrollaban una teoría lo bastante abstracta y general como para servir al desarrollo, dentro de ella, de todo el edificio de la matemática clásica. Era la teoría de conjuntos. El problema de saber sí la matemática era consistente quedaba entonces reducido a indagar si lo era la teoría de conjuntos. La efusión de paradojas o contradicciones aparecidas a principios de siglo no dejó lugar a dudas sobre que la teoría de conjuntos inform al de Cantor y D edekind y , ju n to a ella, la m atem ática clásica (aritmética, álgebra, cálculo...), eran inconsistentes. Este descubrimiento recrudeció la importancia de obtener ima formalización satisfactoria de la teoría de conjimtos; pero ahora la form alización ya no era vista como un recurso riguroso para obtener la pmeba de la consistencia de la matemática -pues se acababa de averiguar que la matemática no era consistente-, sino como un medio para producir el resultado apetecido de la consistencia de los sistemas matemáticos. La formalización era la medicina que debía curar a la matemática -y a la teoría de conjimtos en primer lugar- de la enfermedad de la inconsistencia. Para esto, habrían de arbitrarse conjimtos de axiomas, o proposiciones primitivas, que impidieran la aparición de las paradojas conocidas. Los sistemas de teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel (ZF) (1908 y 1922) y von Newman - Bemavs - Godel fNEG) (1925) satisfacen este requisito, y pasaron a ser considerados como la base adecuada a partir de la cual reconstmir la matemática (no se olvide que la teoría de conjuntos formalizada es sólo una de las posibles respuestas a las paradojas). No obstante, aún quedaba un punto de importancia sobre el que hicieron particular hincapié los intuicionistas. Los sistemas (ZF) y (NBG) están inmunizados contra la presencia en su seno de las paradojas o antinomias conocidas, pero nada nos asegura que no puedan derivarse de ellos contradicciones desconocidas o no catalogadas hasta entonces. Los intuicionistas optaron, ante el peligro de empción de nuevas paradojas en la teoría de conjuntos, por desarrollar una matemática divergente de la clásica, y que evitase de raíz la reproducción de cualquier paradoja.

Filosofía

© M A G IS T E R

lem a 7

B ásicam ente, lo que hace la m atem ática intu icio n ista es denegar la interpretación de los conceptos

infinitos como entidades actuales o existentes, y a que es u n a tal interpretación la que, según los intuicionistas, d a lu g ar a las paradojas. F rente a ella, p ro p o n en u n p lan team ien to con stru ctiv o del in fin ito . El en foque in tuicionista de las m atem áticas es, resp ecto al clásico , bastante restrictiv o , e im pone d iv ersas am putaciones de im portancia a las teo rías y a los m éto d o s de p ru eb a tradicionalm ente em pleados p o r los m atem áticos. E stos inconvenientes h icieron que la resp u esta in tu icio n ista a las parad o jas n o o b tu v iera aceptación u niversal en la com unidad m atem ática. H ubo algim os que, co m o H ilb ert v su escu ela form alista, p refirieron seguir otro tip o de estrategia frente a las antinom ias. A ceptaron, en p rin cip io , que n o era im posible que en el futuro se dieran nuev as co n trad iccio n es en los sistem as aceptados de teo ría de con ju n tos, p e ro afirm aron que el ú nico m odo de so slay ar e sta co n tin g en cia y m antener, al m ism o tiem po, to d a la p o ten cia deductiva de la m atem ática clásica e ra o b ten er una p ru eb a de la consistencia de la teo ría de coniim tos form alizada. Si Z F o N B G son consistentes, entonces q u ed a p o r siem pre co n ju rad o el p elig ro de las paradojas en la m atem ática. E l pro g ram a hilbertiano tenía com o p rin cip al o b jetiv o la consecución de esta prueba de consistencia, y algim os resultados p arciales p arecían alen tad o res e n este sentido.

No obstante, un matemático de la misma escuela formalista, establecía, en 1931, la imposibilidad de obtener una tal prueba de con sisten cia representable en el simbolismo de la aritmética, y la improbabilidad de conseguirla de cualquier otro modo. Otro resultado mayor probado por Gddel en su celebre memoria de 1931 es ¡a incom p letu d esencial de la aritmética. D espués de esta fecha, se sucedieron alg p n as o tras d em o stracio n es m etateoréticas que tendían a p o n er en claro que la form alización de teorías -un pro ced im ien to en el que H ilb ert y otros m uchos m ateriiáticos h ab ían depositado un entusiasm o con fiad o - te n ía ciertas lim itaciones, y que algunos recursos intuitivam ente usados p o r los m atem ático s al elab o rar sus teo rías no p u ed en ser recogidos y reproducidos en

sistem a form alizado.

E ste es el trasfondo histórico en el que se m ueve to d o el trabajo, y lo que le d a -eso espero- un hilo argum ental y u n a cierta progresión dram ática. A ñádase que, inicialm ente, d esech ar la sospech a de que, d esp u és de todo, la m atem ática clásica podía ser inconsistente, significaba form alizar la m atem ática y red u cirla a im cuerpo de doctrina fundam ental, respecto del cual se p u d iera in v estig ar su consistencia. E ste cuerpo de doctrina fue, para Frege y los logicistas en general, la lógica ( C P + C C ). L a fo rm alizació n de la lógica -en su forma m oderna, sentencial- fue m otivada p o r la sosp ech a d e in co n sisten cia e n la m atem ática. (C fr. las secciones 7.1. y 7.3.1. de "D e la lóg ica clásica a la ló g ica sim bólica"). 2.2. F o rm a liz a c ió n .

Filosofía

©M AGISTER

Tema 7

2.2.1. Reseña histórica. El descubrimiento del método axiomático-deductivo en matemáticas es atribuido tradicionalmente a Pitágoras (S. VI a. C.), y nos ha llegado a través de Euclides (365? - 275? a. C.) de cuyos Elementos se dice que es libro que ha circulado más que otro alguno, a excepción de la Biblia. Lo esencial del método axiomático parece que estaba claro para Platón, que en el libro VI de la República, ad finem, dice: "No ignoras, creo yo, que los geómetras y los aritméticos suponen dos clases de números, el uno par, el otro impar, figuras, tres especies de ángulos, y así de lo demás, y proceden luego como si las conocieran, cuando en realidad no las han tratado sino como hipótesis; por lo cual consideran que no tienen en absoluto por qué dar razón de ellas ni a sí mismos ni a los demás, dándolas así por evidentes a todos. De ellas arrancan, en suma, para recorrer lo que les resta, hasta terminar, por deducciones consecuentes, en la proposición por alcanzar la cual emprendieron la marcha". (Cfr. PLATON pág. 204). Aristóteles también tenía ima intuición certera de este método: "Toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables; de otro modo, los pasos de la demostración serian infinitos. De estos principios indemostrables algunos son (a) comunes a todas las ciencias; otros son (b) peculiares de una ciencia particular; en (a), los principios comimes son los axiomas, generalmente ejemplificados por el axioma de que si se sustraen cantidades iguales de cantidades iguales, los restos son iguales. En (b) tenemos, primero, el género o materia tratada cuya existencia hay que suponer". 2.2.2. Térm inos. Una teoría matemática puede ser contemplada como un conjunto de proposiciones presentadas como verdaderas por razones formales exclusivamente. Podemos reparar en primer lugar en los términos empleados en dichas proposiciones. Los dividiremos para empezar en: a) Lógicos u ordinarios, y b) Técnicos, descriptivos o extralógicos. Los términos lógicos son las constantes lógicas: conectivas y cuantificadores. Los términos técnicos son el resto. Los términos lógicos son, por lo general, comimes a todas las teorías. De este modo, los términos extralógicos constituyen el vocabulario característico de la teoría que se formaliza. Otra característica relevante del vocabulario de una teoría es que unos términos se pueden definir con ayuda de otros, y estos últimos recurriendo a terceros. Obviamente, este proceso de definición debe tener un fin, para no producir un regresus. Tendremos, dicho de otra forma, que escoger im conjunto

de términos (llamados primitivos o esenciales) indefinidos, y con ayuda de los cuales podamos definir todos los demás (los términos inesenciales o no primitivos). Esta elección es, en principio, materia de decisión, algo convencional, y no debe suponerse que los términos primitivos contengan excelencias metafísicas ausentes en los demás. Tenemos, entonces, una nueva clasificación del vocabulario de la teoría: 1) Términos primitivos o esenciales. 2) Términos no-primitivos o inesenciales. 2.2.3. Reglas de form ación. El sistema de proposiciones de la teoría debe ser expuesto de manera totalmente explícita. Esto no significa que haya que incluir en una lista todas las proposiciones que pertenecen a la teoría. Semejante tarea resulta imposible, pues el número de sentencias que puede tener una teoría es infinito. Para nuestros propósitos, basta con especificar las condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia cualquiera de signos sea considerada un emmciado de la teoría. Esto es lo que hacen las reglas de formación. 2.2.4. Axiomas. Como afirma Aristóteles, para demostrar cualquier enunciado hay que partir, en última instancia, de principios indemostrables. Estos enunciados primitivos de la teoría son los axiomas. Los axiomas, aparte de ser los principios básicos para demostrar, cumplen una segimda función: todas las propiedades de los términos no definidos o primitivos -técnicos u ordinarios- y, en primer lugar, su significado, han de ser expresadas por los axiomas. Los axiomas, según esto, pueden ser: a) Lógicos, y b) Técnicos. Según interesen una clase de términos u otra. En general, los axiomas de una teoría -salvo si esta es una teoría lógica- son axiomas técnicos, dándose los lógicos por supuestos. Esta segunda función de ios axiomas es importante, pues, al no definirse los términos primitivos, su significado parece quedar indeterminado. Cuando se formaliza la teoría se suele afirmar que el significado de los términos esenciales de la misma queda determinado por su ociurencia en los axiomas (i.e., que los axiomas defínen implícitamente su propio vocabulario). Esto, en la práctica, equivale a afirmar que todas las características o "notas" de los términos están expresadas en los axiomas y que los términos primitivos, en sí mismos, carecen de significado. 2.2.5. Reglas de transform ación o inferencia.

OMAGISTER

Tema 7

La tarea de desproveer de signifícado al vocabulario primitivo de la teoría se realiza en parte mediante los axiomas y en parte mediante las reglas de inferencia, que mdican las transformaciones de unas sentencias en otras permitidas en la teoría. 2.2.6. Resumiendo. Al enunciar las reglas de inferencia hemos concluido la formalización. La formalización de la teoría consiste, por tanto, en exponer su base primitiva, que se compone de: 1) Términos esenciales + definiciones. 2) Reglas de formación. 3) Axiomas. 4) Reglas de transformación. (1) - (2) constituyen una definición de "sentencia en la teoría", ya que toda secuencia de signos constituida por términos esenciales de la teoría o por otros reducibles a ellos mediante defínicíones apropiadas y que, además, satisfaga las reglas de formación, es una sentencia de la teoría. (3) - (4) son una definición de "tesis del sistema". Toda sentencia (i.e., toda expresión que satisfaga (1H 2) que, o bien sea un axioma, o bien se deríve de los axiomas por aplicación de las reglas de inferencia es una tesis (axioma o teorema) del sistema. El valor de la formalización reside en resumir en la base primitiva las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de los elementos más inqiortantes del sistema teórico (término, sentencia, tesis...), lo que permite un cómodo estudio del mismo, al ser reducido lo ñmdamental de la teoría a proporciones domésticas. Decimos que la teoría ha sido formalizada porque hemos abstraído enteramente el contenido o materia de la teoría misma, exhibiendo sólo su forma. En su estructura, la teoría ya no es un sistema de proposiciones con pleno signifícado (no tiene, en consecuencia, sentido decir que son verdaderas o falsas), sino un conjunto de sentencias consideradas como secuencias de palabras, que son, a su vez, secuencias de letras. Por la sola referencia a la forma indicamos qué combinaciones de palabras son sentencias, y qué sentencias son tesis de la teoría. Al formalizar una teoría, despojamos de significado a sus términos v enunciados. Los términos primitivos, por ej., ya no designan nada particular sino, en principio, cualquier cosa que satisfaga los axiomas, y que puede haber más de una clase de cosas que satisfaga una serie dada de axiomas, es decir, puede haber más de un modelo para la teoría. Las ventajas del método axiomático son claras. Aparte de su claridad v rigor, mencionamos el hecho de su economía expresiva: una teoría se refiere simultáneamente a dominios distintos de objetos, a saber, aquellos dominios que son modelos de la teoría.

OMAGISTER

Filosofía

Tema?

Una teoría formal no es verdadera o falsa hasta que no es interpretada. Interpretar una teoría consiste en asignar objetos, relaciones v propiedades a los distintos signos de la misma. Estos objetos, propiedades y relaciones forman una estructura semántica. Las ventajas del método axiomático impusieron rápidamente su adopción por la matemática que, al ser formalizada, dejo de aparecer como "la ciencia de la cantidad" (los modelos de una teoría matemática pueden ser números, pero también otras entidades) para convertirse en una disciplina demostrativa sinqilemente, que extrae conclusiones de tm conjunto de axiomas característico (en general: los axiomas de la teoría de conjuntos). Ahora puede comprenderse el sentido del célebre epigrama de Russell: "...las matemáticas pueden definirse como la ciencia en que nunca sabemos de qué hablamos, ni si lo aue decimnf es vprdad” (Cfr. RUSSELL, pág, 92). En efecto, una teoría matemática formalizada es exactamente esto. 2.2.7. Simbolización. Aimque no es necesario, estrictamente hablando, simbolizar una teoría después de formalizarla, lo cierto es que resulta más que conveniente hacerlo, incluso por motivos psicológicos (así evitamos asociar los signifícados usuales a los términos de la teoría formalizada). Conviene, en todo caso, recordar que el proceso de formalización es algo distinto del de simbolización. El principal motivo para simbolizar una teoría expuesta en el lenguaje natural es que éste es demasiado embarazoso, demasiado irregular en su construcción, y demasiado ambiguo y lleno de tranq>as, al decir de algunos fílósofos que cifran en la intrincada gramática lógica de los lenguajes naturales la causa principal de los problemas metafísicos. La simbolización consiste, en el caso general, en establecer estas correspondencias: Lenguaje simbólico

Lenguaje natural Expresiones sincategoremáticas: ("no", "y", "o", "Todos", etc.) Términos.

Constantes lógicas: (conectivas, cuantifícadores) Variables/constantes individuales

->

Predicados.

Letras predicativas.

Enunciados.

Fórmulas.

Los lenguajes simbólicos no tienen los inconvenientes de los lenguajes naturales. Su vocabulario es tan grande como deseemos; su gramática, tan clara como nosotros establezcamos; su alcance, tan ilimitado o limitado como queramos. En general, es su susceptibilidad de manejo por parte de quien lo crea, y la no necesidad de presuponer nada con respecto a ellos, lo que los convierten en el instrumento adecuado para expresar teorías.

«i í

8

Tema?

OMAGISTER

Filosofía

Convendría decir también, a título de apunte histórico, que muchos consideran que la distribución en fíguras de los silogismos y el ptqjel asignado a los silogismos de la primera fígura (a modo de axiomas), asi como las reglas de conversión (a modo de reglas de inferencia), de la lógica aristotélica convierten a esta en el primer ejenq>lo -bien que primitivo- de sistema formalizado. Tampoco quedaría mal mencionar los indemostrables del CP estoico, si bien recalcando que se trata de reglas primitivas y no de sentencias primitivas (o axiomas). Como se sabe, el CP estoico carece de axiomas, está más próximo a la deducción natural. 2.3. Formalización del C P v del C C . Empezaremos dando nuestra tabla de símbolos formales. (Cfr. GARRIDO, pág. 53) Símbolos del lenguaje-objeto: A. Símbolos lógicos: , V,

1. Conectivas: 2. Cuantifícadores: B. Símbolos extralógicos: 3. Variables proposicionales: 4. Variables predicativas: 5. Letras individuales: 5.1. Variables: 5.2. Constantes: 6. Letras ñmtoríales:

< ->

A,V p, q, r,... P, Q, R,... X, y, z,... 8> ít,...

Símbolos del metalenguaje: 7. Metavaríables proposicionales: 8. Definidor o igualador semiótico:

A, B, C,.

9. Raya de deducción: Símbolos auxiliares: 10. Paréntesis:

(.).[.]» { J.e tc .

23.1. Formalización del CP. ( Expondremos el sistema L de Church (1956), GARRIDO, pp. 250 - 252 ). 1. Términos lógicos.

Filosofía

© M A G IST E R

1.1. E senciales o prim itivos:

Tema 7

, -> R ecu érd ese que tam b ién se p o d ría n h ab er escogido otros

conjuntos de sím bolos p rim itiv o s p a ra CP: 1.2. Inesenciales: 2

etc.

* ,v , < -->

)efin icio n es de los térm inos inesenciales: 2.1. A * B 2.2. A V B

^ A -> B (A ^ B

A->B ^

B ^ A

B^A

R eglas de form ación de fó rm u las: 3.1. U n a fórm ula atóm ica es u n a fó rm u la de L (las v ariab les p rep o sicio n ales son las ■brmulas atóm icas). 3.2. Si A es u n a fórm ula de L , enton ces -- A es u n a fó rm u la de L. 3.3. Si A y B son fórm ulas de L , ento n ces A 4

B es u n a fó rm u la de L.

A xiom as

L os que sig uen son, m ás que axiom as, esquem as de axiom as, y a que están form ulados m etalingüísticam ente -co n m etavariab les p ro p o sicio n ales-. L a v en taja de esta presentación reside en que nos p erm ite p re scin d ir de la reg la d e sustitución, p u es, p o r definición, u n a m etavariable p rep o sicio n al está p o r c u alq u ier fórm ula, y es entonces indiferente que sustituyam os im a fórm ula o subfórm u la b ien fo rm ad a p o r o tra fó rm u la b ien form ada, siem pre que lo hagam os im iform em ente. L a id ea de traslad ar la re g la de sustitución al plano m etalingüístico es de v o n N eu m an n (1927). (C ff. G A R R ID O , pág. 282). 4.1

A ^ (B ^ A )

4.2

A ^ (B ^ C)]

4.3

-A ^ -B )^ (B ^ A

[(A ^ B ) -> (A » C)]

R eglas de inferencia. A ^ B A

M odus Ponens B

2.3.2. F o rm a liz a c ió n d e l C C d e p r im e r o rd e n ; erm inos lógicos érm inos esenciales

(m ás los del C P)

0

Filosofía

OMAGISTER

.2. Términos ínesenciales;

Tema

V (más los del CP)

2. Definición del término inesencial: 2.1. Vx Px = - ’ A x-• Px

(más los del CP)

3. Reglas de formación: 3.1. Términos extralógicos: 3.1.1. Cualquier variable individual de L es un término de L. 3.1.2. Cualquier constante individual de L es un término de L. 3.1.3. Cualquier letra ñmtorial n-ádica seguida de n constantes o variables individuales de L es un término de L. a.

Fórmulas: 3.2.1. Cualquier variable predicativa n-ádica de L seguida de n términos de L, es una fórmula de L. 3.2.2. Si A es una fórmula de L, entonces (para cualquier variable individual x de L) Ax A es una fórmula de L.

(A estas reglas de formación de fórmulas hay que añadir las propias del CP) (Cfr. MOSTERÍN, pág. 35). 4. Axiomas: 4.1. Ax Px ->Pa 4.2. (A ^ Pa)

(A

Ax Px)

(Condición critica: a no debe ocvirrir en A ni en Px). (Añádanse los axiomas de CP). 5. Reglas de inferencia: 5.1

A ^Pa A -> Ax Px

(Con la misma condición critica que para 4.2.) (Añádase la regla de inferencia del CP). 2.4. Propiedades m etalógicas del C P y del C C . Una de las tareas de la metateoria consiste en considerar el sistema desde un punto de vista global y analizar si posee las propiedades de consistencia, com pletad y decidibilidad.

11

Filosofía

© M A G IST E R

Tem a?

L a tesis de c o n siste n c ia p o d ría em m ciarse diciendo que: si u n a fórm ula A es form alm ente deducible en el sistem a, entonces es lógicam ente verdadera. M ás brevem ente: si |- A , entonces |= A . L a tesis de c o m p le ta d p uede enunciarse así: si u n a fó rm u la A es ló gicam ente verdadera, entonces es form alm ente deducible en el sistem a. M ás brevem ente: si |= A , en to n ces |- A. L a tesis de consistencia exige que sólo p u ed an d educirse v erd ad es lógicas, m ien tras que la tesis de com p letad exige que p u ed an deducirse todas las v erdades lógicas. L a conjim ción de am bas tesis constituye u n a aserción del m áxim o interés: la aserció n de la co in cid en cia o equivalencia entre sintaxis y sem ántica. E n sím bolos: |- A sii |= A . L a d ecid ib ilid a d consiste en que ex ista u n algoritm o o p ro cedim iento decisorio que perm ita d eterm inar m ecánicam ente si u n a fórm ula cu alq u iera es o no deducible. Finalm ente, m encionarem os la in d e p en d e n c ia -c u e stió n de m en o r im portancia- señalando que un sistem a form al es independiente cuando no se d a el caso de que alguno de sus axiom as o alguna de sus reglas prim itivas p u ed a ser d erivada de los otros axiom as o de las otras reg las p rim itivas. 2.4.1. P ro p ie d a d e s m e ta ló g ic a s d e l C P . L a pru eb a de co n sisten cia del sistem a de lógica de em m ciados se b a sa en la siguiente estrategia: 1) determ inar im a pro p ied ad que co n tra la contradicción; y 2) dem ostrar a continuación que esa p ro p ied ad perten ece a to d a fórm ula del sistem a, tanto a los axiom as com o a los teorem as. L a p ro p iedad e n cuestión p a ra dicho sistem a es la ta u to lo g icid a d , o p ro p ied ad de ser tautología. La tautologicidad inm uniza frente a la contradicción, p u esto que p o r d efin ició n la excluye. D ado que p ro b ar que todo teorem a es tau to lo g ía n o es ta re a efectuable en u n tiem po finito, nos cabe el siguiente recurso: p ro b a r que las reglas de in feren cia del sistem a tran sm iten hereditariam ente esa p ro p ied ad a las conclusiones siem pre que las p rem isas las posean. E n un sistem a axiom ático usual el catálogo de reglas p rim itiv as de in feren cia de la lógica de enunciados,

puede

reducirse

al

m odus

p o n e n s.

A seg u rarse

de

que

esta

reg la

transm ite

hereditariam ente la tau tologicidad si sus p rem isas son tautologías, consiste en in sp eccio n ar la prim era línea de la ta b la de verd ad correspondiente a vma im plicación. E l ex am en nos hace ad v ertir que si el antecedente A de u n a im plicación y la im plicación m ism a A -> B son am bos verdaderos, entonces, necesariam ente, tam bién lo es el consecuente A 1 V 2 V

B. B V F

A ^B V F

3

F

V

V

4

F

F

V 12

Tema?

OMAGISTER

Queda, pues, demostrado que la regla MP transmite hereditariamente la tautologicidad cuando sus premisas la poseen y, por tanto, la consistencia de la lógica de enunciados: toda fórm ula deducible en lógica de enunciados es una tautología. El teorema de com pletad de la lógica de enunciados exige que toda verdad lógica de este sistema, es decir, toda tautología sea form alm ente deducible’. si A es una tautología, entonces A es derivable. La prueba de este teorema que más se emplea en tratados y manuales es la de Kalmar (1934-35) que se basa en la previa demostración de un lema por el que se establece una conexión entre el concepto semántico de atribución veritativa y el concepto sintáctico de deducibilidad. Lo que este lema pretende es mostrar que cada una de las lineas horizontales que componen una tabla de verdad puede ser considerada como una deducción. Por ejen^)lo, las cuatro lineas de la tabla de verdad de una implicación darían lugar a estas cuatro deducciones: A V

B V

A -> B V

V

F

F

V

F

F

F

1 2

A ,B A ,- B

1- A ^ B 1- - ( A ^ B )

V V

3 4

-’ A ,B

[-

- A ,- B

A ^B 1- A -^B

El enunciado del lema podría ser este: para toda fórm ula A y para toda atribución veritativa de la misma, si la atribución verifica a A, A es deducible; y si la falsifica, es deducible ~‘A. La demostración del lema se efectúa por inducción matem ática sobre el grado lógico de A. (Cfr. GARRIDO, Págs. 313-314). Una vez probado el lema, la demostración del teorema discurre así: Según la hipótesis del mismo, A es tautología. Pero si A es tautología, entonces, de acuerdo con la deñnición de dicho concepto, A es verdadera para todas y cada una de sus atribuciones verítativas. Y a su vez, si A es verdadera para todas y cada una de sus atribuciones verítativas, entonces, y de acuerdo con el lema, se sigue que A es positivamente deducible de cualquiera de ellas. La lógica de enunciados es decidible si se cuenta con un procedim iento decisorio o algoritmo que permita resolver mecánicamente el problem a de saber si una fórm ula es deducible en el sistem a. La deducibilidad de la lógica de enunciados se demuestra de un modo muy sencillo. La unión de los metateoremas de consistencia y com pletad en el sistema de la lógica de enunciados, permite afirmar que una fórm ula es deducible en este sistem a si y sólo si es tautología. La tautologicidad resulta ser asi condición necesaria y suficiente de la deducibilidad. Para decidir si una fórmula es tautológica existe una diversidad de procedimientos algorítmicos, entre los que se cuentan el método de las tablas de verdad y el método de reducción a formas normales.

13

Filosofía

©MAGISTER

Tema

Dada la existencia de tales métodos, queda demostrado sin mas que el sistema de lógica de emmciados es decidible. Un axioma es independiente en un sistema si no es posible obtenerlo por deducción a partir del resto del sistema. Las pruebas de independencia se confeccionan, ordinariamente, buscando modelos que satisfagan a todos los axiomas del sistema menos a aquel cuya independencia se pretende demostrar. Para la construcción de tales modelos se ha utilizado la idea de extrapolar o generalizar el método de las tablas de verdad, ampliando el criterio normal de bivalencia al de «-valencia. (Cfr. GARRIDO, págs. 318-323). 2.4.2. Propiedades metalógicas del CC. La lógica cuantificacional de primer orden es consistente y completa, pero no-decidible, o al menos sólo parcialmente. Trataremos separadamente cada una de estas cuestiones. La demostración de la consistencia de la lógica de predicados de primer orden se obtiene recurriendo a ima cierta reducción de la misma al plano de la lógica de enunciados y a la idea de tautologia (que es precisamente el eje de la prueba de la consistencia en ese plano). Si en una fórmula cuantificacional cualquiera. A, se efectúa la doble operación de 1) suprimir todos los cuantores y símbolos de individuo, y 2) reemplazar después convenientemente las letras predicativas por letras emmciativas que no figurasen antes en la referida fórmula A, caso de que las hubiera, se obtiene como resultado una fórmula enunciativa A ', a la que podemos llamar con Church fórm ula enunciativa asociada a la fórmula cuantificacional A. Por ejemplo, siendo A : AxPx -> Pa, la fórmula enunciativa asociada correspondiente se obtendrá eliminando primero los símbolos de cuantificador y de individuo y sustituyendo después en el resultado: P ^ P de esa transformación las letras predicativas por letras emmciativas: A ' : p p. La consistencia de L se establece considerando que Sus axiomas o bien son tautologías o bien tienen por fórm ula enunciativa asociada una tautología, y Sus reglas de inferencia transmiten la tautologicidad. De estas consideraciones se sigue sin dificultad que el sistema de lógica elemental L es consistente, es decir, que no es posible deducir de él un par de enunciados contradictorios \ - A y \ - - ' A . El sistema formal de lógica de cuantores será completo si todas las fórm ulas que representan verdades lógicas son form alm ente deducibles en el sistema. La tesis de completud pone en relación el

Filosofía

©MAGISTER

lem a 7

concepto semántico de verdad lógica con el concepto sintáctico de deducibilidad formal: si |= A, entonces - A. La completud de la lógica cuantificacional de primer orden fue demostrada por Gódel en 1930. En 1949 Henkin presentó una prueba más sencilla del teorema. El medio demostrativo de la prueba de Henkin es el establecimiento de una nueva relación que conecta la sintaxis con la semántica: la relación entre el concepto sintáctico de consistencia y el concepto semántico de satisfacibilidad. A este fin Henkin prueba primero el que llamaremos teorema de satisfacción, según el cual todo conjunto de fórmulas (y por supuesto, toda fórmula) que sea consistente es satisfacible. El teorema de satisfacción de Henkin puede enunciarse así: para cualquier conjunto F de fórm ulas de lógica elemental, si F e s consistente, entonces F e s satisfacible en un modelo enumerable. La demostración de este teorema se divide estratégicamente en dos partes una sintáctica y otra semántica. (Cfr. GARRIDO, págs. 327-328). Una vez establecido el teorema de Henkin, que pone en conexión la consistencia con la satisfacibilidad (si A es consistente, entonces A es satisfacible), se sigue sin diñcultad, a modo de corolario, el teorema de com pletud de Gódel (1930): Para toda fórm ula A de la lógica cuantificacional de prim er orden, si A es lógicamente verdadera, entonces A es deducible. O más brevemente: si |= A, entonces |- A. La pmeba del teorema de Godel se reduce a consignar las siguientes premisas: 1) A es lógicamente verdadera: |= A. 2) Si A es lógicamente verdadera, entonces -■ A es insatisfacible. 3) Si A es insatisfacible, entonces -• A es inconsistente. 4) Si “■A es inconsistente, entonces da lugar a contradicción: -■ A |- B y 5) Si “■A |- B y -• A

A |-

B.

B, entonces |- A.

Aceptadas estas premisas, basta el sencillo protocolo de aplicarles reiteradamente la regla MP, empezando por 2) y 1), siguiendo con 3) y el consecuente de 2), y así sucesivamente, hasta liberar el consecuente de 5): |- A, que es justamente la tesis del teorema de Godel, el cual queda, por consiguiente, demostrado. Del teorema de satisfacción de Henkin se deriva como corolario el importante teorema de Lówenheim-Skolem: Si un conjunto de fórm ulas cualesquiera F es sim ultáneamente satisfacible en cualquier dominio no vacío, entonces es sim ultáneamente satisfacible en un dominio enumerable.

15

Filosofía

© M A G IST E R

Tema 7

O tra co nsecuencia asim ism o im portante del teo rem a de satisfacció n es el teo rem a de com pacidad. S i todo su b co n ju n to fin ito de un co n ju n to in fin ito de en u n cia d o s es sa tisfa cib le, en to n ces ese conjunto es, todo él, sa tisfa cib le. El p ro b lem a de la d ecisió n en im sistem a ded u ctiv o consiste e n h a lla r u n pro ced im ien to m ecán ico o algoritm o que p erm ita d eterm in ar en xm núm ero finito de p a so s, p a ra vina fó rm ula cu alq u iera A , si esa fórm ula es o no deducible en e l sistem a (es decir, si A es o no teo rem a form al del sistem a). P o r lo que resp ecta a la ló g ica de cuantores, y a d iferen cia de lo que sucede en lógica de ju n to res, el p ro b lem a de la decisión no tiene solución g en eral satisfactoria. D e co n fo rm id ad con el teorem a descubierto p o r C hurch en 1936, no existe un p ro ce d im ie n to efectivo que p e rm ita reso lver el p ro b lem a de la d ecisió n en la ló s ic a cu a n tific a cio n a l d e p rim er o rd en . Según el teorem a de C hurch, la lógica cu an tificacio n al de p rim e r orden, con sid erad a com o u n todo, es in d ecid ib le. S in em bargo, hay determ in ad o s estrato s y zo n as de e sta p arte de la ló g ica que, considerados aisladam ente, so n decidibles. El

teo rem a de co m p letad autoriza, com o sabem os, el p a so de la v alid ez (v erd ad ) ló g ica a la

deducibilidad. E ste resultado sum inistra, en p rin cip io , u n h ilo c o n d u cto r p a ra ab o rd ar el p roblem a de la decisión. E l m éto do no p uede ser, ciertam ente, el m éto d o de las tab las de v erdad, que y a no es aplicable a esta parte de la lógica, a ex cep ció n de u n a z o n a lim itad ísim a de ella (fórm ulas cuantificacionales referidas a universo finito). Sin em bargo, hay m étodo s que p erm iten im a cierta red u cib ilid ad del p roblem a de estab lecer la validez de algunas fórm ulas cu an tificacio n ales al p ro b lem a de establecer la validez (tautologicidad) de fórm ulas enunciativas co n ellas em parentadas. A este fin, es necesario prim ero d esp lazar los cuantores de las fórm ulas y subfórm ulas problem a h acia la cabecera de ellas, de suerte que n in g ú n cu an to r q uede dentro de n in g ú n paréntesis (de ningim a m atriz). D e las fórm ulas resultantes de estas tran sfo rm acio n es se dice que están en fo rm a n o rm a l p ren exa . L a lógica cuantificacional m onádíca. considerad a com o sistem a aislado de la ló g ica cuantificacional p oliádica, es d ecid ió le, cualquiera que sea su un iv erso d e referencia. R especto a la lógica cuantificacional poliádica, no h ay solución general al p ro b lem a de la decisión. (C ff. G A R R ID O , pp. 341-348). E n o rd en a la d ecid ib ilid a d de la ló g ica cuan tificacio n al m o n ó d ica disponem os de u n resultado de gran im portancia cuyo descubrim iento se debe a L o w en h eim (1 9 1 5 ) que perm ite red u cir el problem a al contexto de universos finitos: S i una fó rm u la de ló g ica cu a n tific a cio n a l m onó d ica A , q u e co n ste de n le tra s p red ic a tiv a s distintas, es vá lid a en un universo de a l m enos 2" individuos, en to n ces es vá lid a en todo universo no vacío, cu a lq u iera que sea su cardinalidad.

16

©MAGISTER

Filosofía

Tema 7

3. O TRO E JE M PL O DE T E O R ÍA FO RM A LIZA D A : E L SISTEM A DE PEA NO PARA LA ARITM ÉTICA. Expondremos ahora la base primitiva de la aritinética elemental, según queda expuesta en el célebre sistema de Peano. Lo haremos primero en el lenguaje natural (o sea, en nuestro caso, en la prosa de Cervantes) y después transcribiremos la base a im lenguaje simbólico especial (básicamente, el de la teoría de conjuntos). A. Términos. A .l. Esenciales. A.1.1. Lógicos. A.1.1.1. Conectivas:

"no", "si...entonces".

A. 1.1.2. Cuantificadores: "todos". A. 1.2. Extralógicos. "...pertenece a...", "cero", "número", "sucesor". A. 2. Inesenciales. A.2.1. Lógicos. A.2.1.1. Conectivas: "o", "si y sólo si", "y". A.2.1.2. Cuantificadores: "algunos". A.2.2. Extralógicos. Identidad (la identidad puede ser tratada -y a menudo es tratada- como constante lógica primitiva). B. Reglas de formación. B . l. Una sentencia atómica es ima sentencia del sistema de Peano (P). B.2. Si "A" es ima sentencia de P, entonces "no-A" es una sentencia de P. B.3. Si "A" y "B" son sentencias de P, entonces "si A, entonces B" también lo es. B.4. Si "A" es vma sentencia (o fórmula) de P, entonces "para todo x. A" es también una sentencia deP.

17

Filosofía

©MAGISTER

Tema

C. Axiomas. C .l. Lógicos. C. 1.1. Cálculo proposicional: los de PM, por ejemplo. C.1.2. Cálculo cuantifícacional; los añadidos a PM. (Cfr. “De la lógica clásica a la lógica simbólica"!. C.2. Extralógicos. C.2.1. Cero es im número. C.2.2. El sucesor de un número es un número. C.2.3. Si dos números tienen un mismo sucesor, es que son iguales. C.2.4. Cero no es sucesor de ningún número. C.2.5. Toda propiedad que convenga a cero y al sucesor de cualquier número, si conviene también a ese número cualquiera, entonces conviene a todo número {principio de inducción matemática). Hemos subrayado los términos esenciales extralógicos que figuran en los axiomas. Su significado viene dado por su presencia en ellos, y, en todo caso, no significan nada concreto; en especial "cero" no significa cero; "sucesor" no significa sucesor; y "número" no significa número. Podríamos, por tanto, haber elegido cualquier otra colección de términos esenciales extralógicos que resultara menos sugerente, por ej., " p lif en lugar de "cero", " p la f en lugar de "número" y "p lu f en lugar de "sucesor". Hubiéramos, entonces, podido escribir los axiomas así; C .l. 1. Plif es un Plaf. C.2.2. El Pluf de un Plaf es un P laf C.2.3. Si dos Plaf tienen un mismo Pluf, es que son iguales. C.2.4. Plif no es Pluf de ningún P laf C.2.5. Toda propiedad que convenga a Plif y al Pluf de cualquier Plaf, si conviene a ese Plaf cualquiera, entonces conviene a todo Plaf. Este, desde luego, sería un conjunto de axiomas equivalente al anterior y tan significativo -o no significativo- como él. D. Reglas de transformación. Las del CP y CC habituales. La form ulación simbólica podría ser ésta: A'. Términos, A .l'. Esenciales. 18

Tema 7

©MAGISTER

Filosofía

A .l.r . Lógicos. Conectivas: A. 1.1.2’. Cuantificadores:

^ A*

A. 1.2'. Extralógicos. A.1.2.1’.E ,0 ,N A.2'. Inesenciales. A .2 .r. Lógicos. ■A.2.1.r. Conectivas: A .2.1.2'. Ciiantificadores:

v ,V - > V

A.2.2'. Extralógicos: Las definiciones de los distintos términos inesenciales podrían ser estas (usamos "=" como definidor o igualador semiótico): A vB

=

-A '->B '

A*B

=

-(A ->-B )

AB =

(A

B) * (B ^ A)

V xA

=

- ’ A x -’ A

x=y

=

A z(zE x ^ y )

B'. Reglas de formación.

"^

B.2'. Si A es una sentencia de P, entonces -• A es una sentencia de P, B.3'. Si A y B son sentencias de P, entonces A

B es sentencia de P.

B. 4'. Si A es sentencia de P, entonces Ax A es ima sentencia de P. C . Axiomas. C . r . Lógicos. C .l.r . C P : Los d e P M . C.1.2'. C C : Los añadidos a P M. C.2'. Extralógicos. C.2.1'. O E N

19

©MAGISTER

Filosofía

Tema

C.2.2'. Ax ( x E N ^ x ' E N ) C.2.3'. A x y ( x E N * y E N *x' = y' ^ x = y) C.2.4'. Ax ( x E N ^ x 7 = 0 ) {" x' /= 0 " es una abreviatura de " (x = 0) "} C.2.5'. Az [ O E z * A x ( x E N * x E z - > x ' E z ) - > A x ( x E N ^ x E z ) ] {" z " designa una propiedad cualquiera} D'. Reglas de transformación. Las habituales de CP y de CC 4. TEO RÍA DE LA PRUEBA O M ETA M A TEM Á TICA La metamatemática o teoría de la prueba (TP) incluye la descripción o definición de sistemas formales como también la investigación de sus propiedades. [ La condición necesaria para que una teoría pueda ser objeto de estudio metamatemático es que previamente esté formalizada. El sistema sometido a estudio es la teoría-objeto; la TP que lo estudia es su metateoría.] 4.

Los m éritos de H ilbert.

Son dos, ante todo: a) Subrayar que la formalización estricta de una teoría envuelve la total abstracción del significado, dando por resultado lo que se denomina un sistema formal o formalismo. b) Hacer del sistema formal, considerado como vm todo, el objeto de un estudio metamatemático. La TP es una disciplina que surgió del programa hilbertiano, de la necesidad de nuevos conceptos e instrumentos teóricos que precisaban los formalistas para realizar con éxito su programa. 4.2. Teoría-objeto. Desde el punto de vista de la metateoría, la teoría-objeto no es, en rigor, una teoría tal y como usualmente se entiende el término, sino un sistema de objetos desprovisto de significado. La teoría-objeto es descrita v estudiada como un sistema de símbolos. Los símbolos se consideran, sencillamente, como tipos varios de objetos, susceptibles de ser reconocidos. Para fijar nuestras ideas, podemos imaginarlos, concretamente, como marcas sobre el papel. Los símbolos son en sí los objetos mismos, y ellos no se refieren a otra cosa distinta (en sentido estricto, no son tales símbolos: no simbolizan nada diferente de ellos).

20

OMAGISTER

Tema?

La mirada del metamatemático se detiene en esas marcas y no va más allá de ellas; son, por tanto, objetos sin interpretación ni significado. Esto desde la consideración metamatemática. Tomada en si misma la teoría-objeto constituye una formalización de una teoría primitiva; la interpretación pretendida de la teoría-objeto es justamente la interpretación de las palabras, sentencias, etc., de la teoría informal. 4 3 . M etateoría. Como la TP hilbertiana constituye una respuesta a las objeciones intuicionistas a la matemática clásica, e intenta convencer a los intuicionistas -mediante tma prueba de consistencia- de que los elementos ideales de la matemática no introducen en ella contradicciones, la metamatemática de Hilbert está para los requisitos intiiicionistas; es decir, emplea para probar la consistencia de la matemática clásica métodos cuya consistencia no está, a su vez, sujeta a controversia... tan ^o co por los intuicionistas: se trata de usar principios intuicionistas para demostrar cosas que ellos niegan. La metateoría pertenece a la matemática intuitiva e informal ( aunque podría, de hecho, formalizarse desde una metametateoría). La metateoría se expresa en el lenguaje ordinario o natural, con símbolos matemáticos introducidos de acuerdo con nuestras necesidades. Las aserciones de la metateoría han de ser comprendidas. Las deducciones han de conportar convicción, mediante inferencias intuitivas y no, como las deducciones de la teoría formal (o teoría-objeto), por aplicaciones de reglas establecidas. Las regias de inferencia se especifican para formalizar la teoría-objeto, pero ahora hemos de entender, sin reglas, cómo operan aquellas ya establecidas. Lo dicho ha de entenderse de este modo: la última instancia de apelación para iu.stificar una inferencia de la TP será el significado v la evidencia más bien que conjunto alguno de reglas convencionales. Ello no nos privará, en la práctica, de sistematizar nuestros resultados metamatemáticos en teoremas o reglas, que pueden ser aplicados cuasi-formalmente para abreviar el razonamiento intuitivo (éste es im procedimiento familiar en la matemática informal). Los métodos utilizados en la metateoría se restringirán a los denominados finitistas por los partidarios del formalismo, es decir: a) Se emplearan sólo objetos intuitivamente concebibles y procesos efectuables. b) Ninguna clase infinita será ahora considerada como un todo completo. c) Las demostraciones de existencia suministrarán, al menos implícitamente, un método para construir el objeto cuya existencia se haya de probar. Hilbert es infinitista en la matemática y finitista en la metamatemática. 4.4. Recapitulación. Tenemos tres teorías:

21

Filosofia

©MAGISTER

(1) La teoría informal, formalizada por la teoría-objeto de la metamatemátíca. (2) El sistema formal [respecto a (1)] o la teoría-objeto [respecto a (3)], 3) La metateoría. que describe y estudia el sistema formal. El sistema formal (2) no es una teoría en el sentido común del término "teoría", sino un sistema de marcas y agrupaciones de marcas descritos desde la metateoría (3). La teoría informal (1) y la metateoría no poseen una estructura exactamente determinada (en cambio, la teoría-objeto si posee dicha estructura): ambas son informales. La metateoría está restringida a métodos fínitistas, mientras que la teoría informal y la teoría-objeto no lo están. En definitiva, (3) es una teoría que tiene a (2) por materia de estudio; y que se aplica a (2) sin tener en cuenta la interpretación de (2) en términos de (1). (Véase, para todo esto, KLEENE, pp. 64 -67). 4.5. Un resultado deseado; la consistencia. La aparición de las paradojas y el desafio de la matemática intuicionista hicieron que rma prueba de consistencia de la teoría de conjimtos fuera la perla mejor buscada, al menos por los formalistas. Las pruebas de consistencia se dividen en: a) Pruebas de consistencia absolutas. b) Pruebas de consistencia relativas. Relativas: las últimas son más primitivas, y consisten en suministrar im modelo para la teoría. Un modelo para ima teoría axiomática es simplemente un sistema de objetos definidos de alguna otra teoría V que satisfacen los axiomas de la teoría cuya consistencia se indaga. Llamemos B a esta última y A a la teoría más con^)rehensiva. Lo que hacemos es correlacionar cada objeto o noción primitiva de B con un objeto o noción (no necesariamente primitiva) de A de modo tal que los axiomas de B se conviertan en teoremas de A. Si A es consistente B asimismo lo es; y si B es inconsistente, A es inconsistente también (pues en caso de que fuese deducible en B una contradicción a partir de sus axiomas básicos, sería deducible en A una contradicción a partir de los teoremas que se corresponden a axiomas de B). Las demostraciones de consistencia por el método del modelo son relativas. La teoría para la cual se construye un modelo es consistente si lo es aquella de donde se extrajo el modelo (KLEENE, pp. 57). Pongamos im ejemplo (clásico, por lo demás). Una prueba de la consistencia de la geometría plana ríemanniana podría obtenerse mediante un sistema formado por objetos de la geometría euclídea. Podemos interpretar la expresión "plano" de los axiomas ríemaimianos como representación de la superficie de ima esfera; la expresión "punto" como un pimto de esa superficie; la expresión "línea recta" como el arco de un círculo máximo de esta superficie (es decir de la esfera), y así sucesivamente. Cada axioma ríemaimiano se traduce entonces por un teorema del sistema euclideo. Así por ej., el postulado ríemaimiano de las paralelas presenta el siguiente enunciado (en cuanto

22

Filosofía

©MAGISTER

Tema 7

teorema euclidiano): Por xm punto de la superficie de una esfera no puede trazarse ningún arco de círculo máximo paralelo a im arco dado de círculo máximo. Lo que se desprende es que la geometría riemanniana es consistente si lo es la geometría euclidiana. La cuestión es: ¿son consistentes por sí mismos los axiomas del sistema euclidiano? A esta pregunta se contesta con una prueba absoluta de consistencia (NAGEL «fe NEWMAN, pp. 32 -35). El procedimiento para obtener una tal prueba absoluta de consistencia es de este modo: Se trata de encontrar ima propiedad estructural de las sentencias del sistema que satisfaga estas 3 condiciones: 1) La propiedad debe ser común a todos los axiomas. 2) La propiedad debe ser "hereditaria" según las reglas de transformación, esto es, si todos los axiomas poseen la propiedad, todo teorema ha de poseerla. 3) La propiedad no debe pertenecer a toda expresión bien formada del sistema. Se trata de demostrar que hay una fórmula, por lo menos, que no posee esa propiedad. La propiedad que elegimos es la de ser vma tautología (una tautología es una fórmula verdadera bajo cualquier atribución veritativa). La prueba absoluta de consistencia se desglosa en la prueba de estos pasos: (A) Todo axioma del sistema es una tautología. (B) El ser tautología es una propiedad hereditaria, es decir, cualquier teorema es una tautología y cualquier fórmula que no sea ima tautología no es un teorema. (C) Hay por lo menos una fórmula bien formada que no es vma tautología. El sentido de (C) es el siguiente. Si los axiomas de la teoría fueran consistentes, cualquier cosa se seguiría de ellos; es decir, toda fórmula sería im teorema. Si hay vma fórmula que no es vm teorema (i.e., una fórmula no tautológica) todos los axiomas son consistentes, que es lo que deseamos demostrar. 5. ALGUNOS M ETA TEO REM A S LIM ITA TIV O S. Alonzo Church demostró en 1936 la imposibilidad de hallar vm procedimiento decisorio adecuado para la lógica elemental, incluyendo, claro está, la lógica cuantificacional poliádica. El resultado obtenido por Church es, como el famoso resultado de Godel de 1931, vmo de los teoremas de limitación, que pusieron en crisis en los años treinta la ilimitada fe que hasta entonces se había venido depositando en los métodos axiomáticos y dieron lugar, al mismo tiempo, a vma de las corrientes más fecvmdas de la investigación lógico-matemática de los últimos cuarenta años: la teoría de la computabilidad.

23

Filosofía

©MAGISTER

Tema

Según el sentir de Hilbert, el problema de la decisión para el cálculo elemental de cuantores era el problema fundamental de la lógica matemática. Los hallazgos más interesantes en la investigación del problema de la decisión fueron hallazgos negativos que establecieron la existencia de problemas insolubles y las fatales limitaciones de sistemas axiomáticos de interés fundamental. En 1931 Kurt Gódel demostró que todo sistema axiomático que pretenda formalizar la aritmética elemental es incompleto. Y en 1936 Church probó primero la indecidibilidad de la aritmética, y luego, con ayuda de este resultado, la indecidibilidad de la lógica elemental (T. de Church). El teorema de Church supone conocimientos que exceden el ámbito de este tema y de los cuales daremos cuenta sólo muy sumariamente. Tesis de Church (1936): Toda junción efectivamente calculable es una función recursiva. Esta tesis no es susceptible de demostración rigurosa, sino que ha de tener más bien el carácter de una conjetura. Con ayuda de su tesis probó Church que no es posible hallar una solución general para el problema de la decisión en teoría elemental de números, es decir, que el sistem a form al de la aritmética es indecidible. Teorema de Church. E l caso general del problem a de la decisión para L es insoluble. Esto es: la lógica elemental de la cuantificación es indecidible. El teorema de Church posee relevancia filosófica. Desde el punto de vista de la filosofía, el interés principal de este aserto está en que por el se establece, o se pretende establecer, la no mecanicidad de la lógica formal. Pues si bien es cierto que existen algoritmos que permiten resolver de modo mecánico grandes grupos de problemas de la lógica elemental, según el teorema de Church no existe ni puede existir un algoritmo que los resuelva mecánicamente todos. La operación deductiva de la razón no es totalmente mecanizable.

24

Tema 7

©MAGISTER

Filosofía

9. RESUM EN D EL TEM A 7 ¿QUÉ ES UN SISTEM A FO R M A L A X IO M Á TIC O ? FORMALIZACIÓN. Térm inos. Una teoría matemática puede ser contemplada como un conjunto de proposiciones presentadas como verdaderas por razones formales exclusivamente. Podemos reparar en primer lugar en los términos empleados en dichas proposiciones; a) Lógicos u ordinarios, y b) Técnicos, descriptivos o extralógicos. Los términos lógicos son las constantes lógicas: conectivas y cuantificadores. Los términos técnicos son el resto. Tendremos que escoger un conjunto de términos (llamados primitivos o esenciales) indefinidos, y con ayuda de los cuales podamos definir todos los demas (los términos inesenciales o no primitivos). 1) Términos primitivos o esenciales. 2) Términos no-primitivos o inesenciales. Reglas de form ación. El sistema de proposiciones de la teoría debe ser expuesto de manera totalmente explícita. Para nuestros propósitos, basta con especificar las condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia cualquiera de signos sea considerada un enunciado de la teoría. Esto es lo que hacen las reglas de formación. Axiomas. Para demostrar cualquier enunciado hay que partir, en última instancia, de principios indemostrables. Estos enunciados primitivos de la teoría son los axiomas. Los axiomas, aparte de ser los principios básicos para demostrar, cumplen una segunda función: todas las propiedades de los términos no definidos o primitivos -técnicos u ordinarios- y, en primer lugar, su significado, han de ser expresadas por los axiomas. Los axiomas pueden ser: a) Lógicos y b) Técnicos. Cuando se formaliza la teoría se suele afirmar que el significado de los términos esenciales de la misma queda determinado por su ocurrencia en los axiomas (i.e., que los axiomas definen implícitamente su propio vocabulario). Reglas de transform ación o inferencia. La tarea de desproveer de significado al vocabulario primitivo de la teoría se realiza en parte mediante los axiomas y en parte mediante las reglas de inferencia, que indican las transformaciones de vmas sentencias en otras permitidas en la teoría. Simbolización. Aunque no es necesario, estrictamente hablando, simbolizar una teoría después de formalizarla, lo cierto es que resulta más que conveniente hacerlo, incluso por motivos psicológicos (así evitamos asociar los significados usuales a los términos de la teoría formalizada). Conviene, en todo caso, recordar que el proceso de formalización es algo distinto del de simbolización. Correspondencias: Lenguaje simbólico

Lenguaje natural Expresiones sincategoremáticas:

Constantes lógicas:

("no", "y", "o", "Todos", etc.) Términos.

(conectivas, cuantificadores) Variables/constantes individuales

Letras predicativas. Predicados. Fórmulas. Emmciados. FORMALIZACIÓN DEL CP Y DEL CC. Form alización del C P. (Expondremos el sistema L de i 25

Füosoña

OMAGISTER

Tema

Church [1956], GARRIDO [1], pp. 250 - 252). PROPIEDADES METALÓGICAS DEL CP Y DEL CC. Propiedades metalógicas del CP. La prueba de consistencia del sistema de lógica de enunciados se basa en la siguiente estrategia: 1) determinar una propiedad que contra la contradicción; y 2) demostrar a continuación que esa propiedad pertenece a toda fórmula del sistema, tanto a los axiomas como a los teoremas. La propiedad en cuestión para dicho sistema es la tautologicidad, o propiedad de ser tautología. La tautologicidad inmuniza frente a la contradicción, puesto que por definición la excluye. Dado que probar que todo teorema es tautología no es tarea efectuable en im tiempo ñnito, nos cabe el siguiente recurso: probar que las reglas de inferencia del sistema transmiten hereditariamente esa propiedad a las conclusiones siempre que las premisas las posean. En un sistema axiomático usual el catálogo de reglas primitivas de inferencia de la lógica de enunciados, puede reducirse al modus ponens. Asegurarse de que esta regla transmite hereditariamente la tautologicidad si sus premisas son tautologías, consiste en inspeccionar la primera línea de la tabla de verdad correspondiente a una implicación. El examen nos hace advertir que si el antecedente A de una implicación y la implicación misma A-^B son ambos verdaderos, entonces, necesariamente, también lo es el consecuente B. Queda, pues, demostrado que la regla MP transmite hereditariamente la tautologicidad cuando sus premisas la poseen y, por tanto, la consistencia de la lógica de enunciados: toda fórm ula deducible en lógica de enunciados es una tautología. El teorema de completad de la lógica de enimciados exige que toda verdad lógica de este sistema, es decir, toda tautología sea form alm ente deducible'. si A es una tautología, entonces A es derivable. La prueba de este teorema que más se enqilea en tratados y manuales es la de Kalmar (1934-35) que se basa en la previa demostración de un lema por el que se establece ima conexión entre el concepto semántico de atribución veritativa y el concepto sintáctico de deducibilidad. Lo que este lema pretende es mostrar que cada una de las líneas horizontales que componen una tabla de verdad puede ser considerada como una deducción. El enimciado del lema podría ser este: para toda fórm ula A y para toda atribución veritativa de la misma, si la atribución verifica a A, A es deducible; y si la falsifica, es deducible - ‘A. La demostración del lema se efectúa por inducción matemática sobre el grado lógico de A. (Cfr. GARRIDO [ 1], Págs. 313-314). Una vez probado el lema, la demostración del teorema discurre así: Según la hipótesis del mismo, A es tautología. Pero si A es tautología, entonces, de acuerdo con la definición de dicho concepto, A es verdadera para todas y cada una de sus atribuciones veritativas. Y a su vez, si A es verdadera para todas y cada una de sus atribuciones veritativas, entonces, y de acuerdo con el lema, se sigue que A es positivamente deducible de cualquiera de ellas.

26

©MAGISTER

Filosofía

Tema 7

La lógica de enunciados es decidible si se cuenta con un procedim iento decisorio o algoritm o que perm ita resolver mecánicamente el problem a de saber si una fórm ula es deducible en el sistem a. La deducibilidad de la lógica de enunciados se demuestra de un modo muy sencillo. La imión de los metateoremas de consistencia y com pletad en el sistema de la lógica de enunciados, permite afirmar que una fórm ula es deducible en este sistem a si y sólo si es tautología. La tautologicidad resulta ser asi condición necesaria y suficiente de la deducibilidad. Propiedades metalógicas del C C. La lógica cuantificacional de primer orden es consistente y completa, pero no-decidible, o al menos sólo parcialmente. Trataremos separadamente cada una de estas cuestiones. La demostración de la consistencia de la lógica de predicados de primer orden se obtiene recurriendo a una cierta reducción de la misma al plano de la lógica de enunciados y a la idea de tautología (que es precisamente el eje de la prueba de la consistencia en ese plano). Si en una fórmula cuantificacional cualquiera, A, se efectúa la doble operación de: 1) suprimir todos los cuantores y símbolos de individuo, y 2) reemplazar después convenientemente las letras predicativas por letras enunciativas que no figurasen antes en la referida fórmula A, caso de que las hubiera, se obtiene como resultado una fórmula enimciativa A ', a la que podemos llamar con Church fórm ula enunciativa asociada a la fórmula cuantificacional A. Por ejemplo, siendo A: AxPx -> Pa, la fórmula enunciativa asociada correspondiente se obtendrá eliminando primero los símbolos de cuantificador y de individuo y sustituyendo después en el resultado: P

P de esa transformación las letras predicativas por letras emmciativas: A ' : p ^ p.

La consistencia de L se establece considerando que: 1) Sus axiomas o bien son tautologías o bien tienen por fórm ula enunciativa asociada ima tautología, y 2) Sus reglas de inferencia transmiten la tautologicidad. De estas consideraciones se sigue sin dificultad que el sistema de lógica elemental L es consistente, es decir, que no es posible deducir de él un p a r de enunciados contradictorios \ - A y A. El sistema formal de lógica de cuantores será completo si todas las fórm ulas que representan verdades lógicas son form alm ente deducibles en el sistem a. La tesis de completad pone en relación el concepto semántico de verdad lógica con el concepto sintáctico de deducibilidad formal: si |= A, entonces |- A. La completad de la lógica cuantificacional de primer orden fue demostrada por Godel en 1930. En 1949 Henkin presentó una prueba más sencilla del teorema. El medio demostrativo de la prueba de Henkin es el establecimiento de una nueva relación que conecta la sintaxis con la semántica: la relación entre el concepto sintáctico de consistencia y el concepto sem ántico de satisfacibilidad. 27

Tem a?

© M A G IST E R

Filosofía

A este fin H en k in p ru eb a p rim ero el que llam arem os teo rem a de sa tisfa cc ió n , según el cual todo conjunto de fórm ulas (y p o r supuesto, to d a fórm ula) que sea consistente es satisfacible. E l teorem a de sa tisfa cc ió n de H en k in puede em m ciarse asi: p a r a cu a lq u ier c o n ju n ta r de fó rm u la s de ló g ica elem ental, s i r es con sisten te, en to n ces T es sa tisfa cib le en un m odelo enum erable. L a d em ostración de este teorem a se divide estratégicam ente en dos p artes u n a sintáctica y otra sem ántica. (C fr. G A R R ID O [1], págs. 327-328). U n a v ez establecido el teo rem a de H enkin, que p o n e en co n ex ió n la co n sisten cia con la satisfacibilidad (si A es consistente, entonces A es satisfacible), se sigue sin dificultad, a m odo de corolario, el teo rem a de c o m p leta d de G ó d el (1930): P a ra to d a fó rm u la A

de la lógica

cu a n tifica cio n a l de p rim e r orden, s i A es lóg ica m en te verdadera, en to n ces A es deducible. O más brevem ente: si |= A , entonces |- A. L a p ru e b a del teorem a de G odel se red u ce a co n sig n ar las siguientes prem isas: 1) A es lógicam ente verdadera: |= A . 2) Si A es lógicam ente verdadera, entonces “ ■A es insatisfacible. 3) Si -■ A es insatisfacible, entonces -■ A es inconsistente. 4) Si -■ A es inconsistente, entonces d a lu g ar a contradicción: -■ A ]- B y -■ A 5) Si

A |- B y -■ A

B

B , entonces |- A.

A ceptadas estas p rem isas, b a sta el sencillo p ro to co lo de aplicarles reiteradam ente la regla MP, em pezando p o r 2) y 1), siguiendo con 3) y el co n secu en te de 2), y así sucesivam ente, h asta liberar el consecuente de 5): |- A , que es ju stam en te la tesis del teo rem a de G odel, el cual queda, por consiguiente, dem ostrado. D el teo rem a de satisfacción de H enkin se deriv a com o co ro lario el im portante teorem a de L ów enheim -Skolem : S i un co n ju n to de fó rm u la s cu a lesq u iera F es sim u ltá n ea m en te satisfa cib le en cu a lq u ier d om inio no vacío, en to n ces es sim u ltá n ea m en te sa tisfa cib le en un dom inio enum erable. O tra co n secu en cia asim ism o im portante del teo rem a de satisfacción es el teo rem a de com pacidad: Si todo su b co n ju n to fin ito de un co n ju n to in fin ito de en u n cia d o s es sa tisfa cib le, en to n ces ese conjunto es, todo él, sa tisfa cib le. El pro b lem a de la d ecisió n e n u n sistem a deductivo consiste en h a lla r u n procedim iento m ecánico o algoritm o que perm ita determ inar en u n núm ero finito de p aso s, p a ra u n a fórm ula cualquiera A , si esa fórm ula es o no deducible en el sistem a (es decir, si A es o no teo rem a form al del sistem a). P o r lo que resp ecta a la ló g ica de cuantores, y a d iferen cia de lo que sucede en lógica de juntores, el p ro b lem a de la d ecisión no tiene solución general satisfactoria. D e conform idad con el teorema descubierto p o r C hurch en 1936, no existe un p ro ced im ien to efectivo que p e rm ita resolver el p ro b lem a de la d ecisió n en la ló s ic a cu a n tifica cio n a l de p rim er o rd en . Según el teorem a de Church, la ló g ica cu antificacional de p rim er orden, co n sid erad a com o u n todo, es indecidible. Sin embargo.

28

Filosofía

OMAGISTER

Tema?

hay determinados estratos y zonas de esta parte de la lógica que, considerados aisladamente, son decidibles. El teorema de completud autoriza, como sabemos, el paso de la validez (verdad) lógica a la deducibilidad. Este resultado suministra, en principio, un hilo conductor para abordar el problema de la decisión. La 1ófrica cuantificacional monódica, considerada como sistema aislado de la lógica cuantifícacional poliádica, es decidible, cualquiera que sea su universo de referencia. Por lo que respecta a la lógica cuantificacional poliádica, no hay solución general al problema de la decisión. (Cfr. GARRIDO [1], pp. 341 -348). En orden a la decidibilidad de la lógica cuantificacional monádica disponemos de un resultado de gran importancia cuyo descubrimiento se debe a Lowenheim (1915) que permite reducir el problema al contexto de universos finitos: Si una fórm ula de lógica cuantificacional monádica A, que conste de n letras predicativas distintas, es válida en un universo de al menos 2" individuos, entonces es válida en todo universo no vacío, cualquiera que sea su cardinalidad. TEO RÍA DE LA PRUEBA O M ETA M A TEM Á TICA . TEORÍA - OBJETO. Desde el punto de vista de la metateoría, la teoria-objeto no es, en rigor, una teoría tal y como usiialmente se entiende el término, sino un sistema de objetos desprovisto de significado. La teoria-obieto es descrita v estudiada como un sistema de símbolos. Los símbolos se consideran, sencillamente, como titx)S varios de objetos, susceptibles de ser reconocidos. Los símbolos son en sí los objetos mismos, y ellos no se refieren a otra cosa distinta (en sentido estricto, no son tales símbolos: no simbolizan nada diferente de ellos). La mirada del metamatemático se detiene en esas marcas y no va más allá de ellas; son, por tanto, objetos sin interpretación ni significado. METATEORÍA. Como la TP hilbertiana constituye una respuesta a las objeciones intuicionistas a la matemática clásica, e intenta convencer a los intuicionistas -mediante una prueba de consistencia- de Que los elementos ideales de la matemática no introducen en ella contradicciones, la metamatemática de Hilbert está para los requisitos intuicionistas; es decir, emplea para probar la consistencia de la matemática clásica métodos cuya consistencia no está, a su vez, sujeta a controversia... tampoco por los intuicionistas: se trata de usar principios intuicionistas para demostrar cosas que ellos niegan. Los métodos utilizados en la metateoría se restringirán a los denominados finitistas por ios partidarios del formalismo, es decir: a) Se emplearan sólo objetos intuitivamente concebibles y procesos efectuables. b) Ninguna clase infinita será ahora considerada como un todo completo, c) Las demostraciones de existencia suministrarán, al menos implícitamente, un método para construir el

29

Filosofía

© M A G IST E R

T em a?

objeto cuya ex istencia se h ay a de probar. U N R E S U L T A D O D E S E A D O : L A C O N S IST E N C IA . a) P ruebas de consistencia absolutas, y b) P ruebas de co n sisten cia re la tiv a s. R elativ as: las últim as son m ás prim itivas, y co n sisten en su m in istrar u n m o d elo p a ra la teoría. U n m odelo p a ra u n a te o ría axiom ática es sim plem ente im sistem a de o bjetos definidos de alg u n a otra teo ría y que satisfacen los axiom as de la te o ría cu y a co n sisten cia se in d a g a . L as dem ostraciones de con sisten cia p o r el m éto d o d el m o d elo son relativas. L a te o ría p a ra la cual se construye u n m odelo es consistente si lo es aq u ella de donde se extrajo el m odelo (K L E E N E [1], pp. 57). El pro cedim iento p a ra o b ten er u n a tal p ru e b a ab so lu ta de co n sisten cia es de este m odo: Se trata de encontrar u n a p ro p ied ad estructu ral de las sentencias del sistem a que satisfaga estas 3 condiciones: 1) L a p ro p ied ad debe ser co m ú n a to d o s los axiom as. 2) L a p ro p ied ad debe ser "hereditaria" según las reglas de transform ación, esto es, si todos los axiom as p o seen la propiedad, todo teo rem a ha de poseerla. 3) L a p ro p ied ad n o debe p erten ecer a to d a ex p resió n b ie n form ada del sistem a. Se trata de dem ostrar que h ay im a fórm ula, p o r lo m enos, que n o p o see esa propiedad.

30

OMAGISTER

Filosofía

r s tB B W w w —rsBBiSB

BIBLIOGRAFÍA. BADESA, C. JANÉ, I. JANSANA, R. (2000) Elem entos de lógica form al, Barcelona, Ariel. DÍEZ CALZADA, José A. (2002) Iniciación a la Lógica, Barcelona, Ariel. n ■

“

DEAÑO, A. (1985) Introducción a la lógica form al. Madrid, Alianza. FALGUERA y MARTÍNEZ, (1999) Lógica clásica de prim er orden, I