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• Ronald Wilmer Ali Chambi

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Matemática Financiera

Lic. Prof. Maria C. Andrade Mercado

TEMA 4

ANUALIDADES

INTRODUCCIÓN.- La mayoría de la gente, cuando compra una casa, por ejemplo, solicita un crédito y conviene su devolución mediante pagos mensuales a lo largo de un periodo de tiempo que puede oscilar entre 10 y 20 años. Resultaría muy engorroso tener que calcular el interés o descuento correspondiente a los 120 ó 240 pagos uno a uno. Por ello, se han obtenido fórmulas y elaborado tablas que permiten resolver un problema con pagos múltiples con la misma facilidad con la que se resolvieron los referentes a capitales únicos. A la serie de pagos constantes mensuales que una persona realiza al comprar una casa se la denomina anualidad. CONCEPTO.- En matemática financiera se denomina renta al conjunto de capitales asociados a unos períodos de tiempo consecutivos, en los que éstos son disponibles. La periodicidad de las disponibilidades es lo que caracteriza a las rentas. Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias. Las anualidades son cuotas de dinero periódicas e iguales que se entregan o se reciben al comienzo o al final de cada periodo. La palabra anualidad se usa para indicar el pago de una suma fija a intervalos regulares de tiempo, incluso para períodos inferiores a un año. Gráficamente, una anualidad se puede representar mediante el siguiente esquema: Renta o Término Comienzo de Fin de la renta la renta R R R R R .......... 1 2 n–2 n–1 n Periodo de pago Plazo Renta.- El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta. Período de pago o periodo de la renta.- El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el periodo de pago o periodo de la renta. Tiempo o plazo de una anualidad.- El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad. Renta anual.- La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual. Tasa de una anualidad.- El tipo de interés fijado es la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES.- Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades. A partir de la definición de renta cabe distinguir distintas clasificaciones atendiendo a diferentes criterios, entre los que destacan: 1

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a) Certeza de los elementos que definen la renta. a1) Anualidades Fijas o Ciertas. Aquellas en las cuales las entregas comienzan y terminan en fechas determinadas. Es decir, las fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Ejemplos de estas clases de anualidades los tenemos en los intereses que devengan los bonos y los que se pagan por medio de cupones. O los plazos de una casa, puesto que dichos pagos comienzan a realizarse en una fecha determinada y continúan hasta haberse satisfecho el número convenido de los mismos. a2) Anualidades Aleatorias. Cuando alguno o todos los elementos de definición de la renta dependen de un fenómeno aleatorio - Rentas Perpetuas o Perpetuidades. Son las anualidades cuyas entregas comienzan en fecha determinada, pero no terminan, en teoría, nunca. - Anualidades Eventuales o Contingentes. En esta clase de anualidades, las entregas, tanto la primera como la última, dependen de un hecho futuro e incierto. Dicho de otra manera, en estas el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. Las renumeraciones de los seguros de vida constituyen un ejemplo típico. Las pensiones y la seguridad social. b) Vencimiento de los términos. b1) Anualidades Ordinarias o Rentas pospagables. Aquellas en las cuales las entregas se hacen al final de cada periodo de renta. Ejemplo: El sueldo mensual que percibe un trabajador se produce a final de cada mes. b2) Anualidades Anticipadas o Rentas prepagables. En las cuales las entregas se hacen al comenzar el periodo de renta. Ejemplo: El alquiler de cualquier inmueble se abona a principio de período (mes, semestre, etc.). b3) Anualidades Diferidas. Donde las entregas comienzan después de cierto tiempo especificado y cuyas rentas se pagan al final del periodo. c) Cuantía de los términos o capitales c1) Rentas Constantes. Cuando las cuantías de todos los términos son iguales entre sí. Ejemplo: Los pagos de un préstamo hipotecario a tipo de interés fijo pueden ser iguales desde el inicio hasta el final del mismo. (Un caso de particular importancia es aquel en el cual la cuantía de cada uno de los términos es igual a 1 y se denomina renta constante unitaria). c2) Rentas variables. Dentro de esta categoría se recogen todas aquellas rentas donde los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás. Cabe destacar dos casos particulares de especial importancia: Rentas variables en progresión geométrica. Cuando los términos de la renta siguen una ley de variación correspondiente a una progresión geométrica. Ejemplo: La previsión de los alquileres de inmuebles que se revisan en función de la inflación, por lo que en la previsión las cuantías anuales varían en progresión geométrica, siendo la razón, q, igual a (1 + inflación esperada). Rentas variables en progresión aritmética. Cuando la ley de variación de los términos se corresponde a una progresión aritmética. Ejemplo: Un individuo que aporta todos los años una cantidad a un fondo de pensiones, incrementando cada año su aportación en 10 u. m., sirve de ejemplo para este tipo de rentas, aunque en la realidad son escasos los ejemplos que se pueden encontrar para este tipo de variación de los términos. d) Coincidencia de periodos. d1) Anualidades simples. Se definen como aquellas cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalización. 2

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d2) Anualidades generales. En los casos que no hay coincidencia entre el periodo de pago y el de capitalización, se dice que existe una anualidad general. Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y número de periodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés. ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA.- Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria. Este es el único caso en que se llega a expresiones sencillas y, por tanto, útiles. Simple, porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización. Cierta, porque cuentan con un número finito de términos. Es decir, las fechas inicial y terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. Ordinaria, porque las entregas o pagos se hacen al final de cada periodo de renta. La tasa de interés es, por lo general, una tasa de interés nominal anual. En caso de que la tasa no sea nominal se indicará como tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal, sin especificación de periodo de capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos. VALOR DE LAS ANUALIDADES.- El valor de una anualidad depende de que se calcule: a) al terminar la serie de pagos; b) al empezar la serie de pagos o c) en algún punto intermedio. Cuando se calcula una anualidad a su terminación obtenemos el monto o valor futuro de la misma. Cuando se evalúa a su comienzo se obtiene su valor actual o valor presente. Cuando se valúa una anualidad en algún punto intermedio, se halla el monto de la parte vencida de la anualidad y luego se le suma el valor actual de la parte no vencida de la misma. Así, por ejemplo, una renta de Bs. 2.000 pagaderos cada final de año durante 6 años, tendrá valor futuro S al finalizar los 6 años, y tendrá un valor presente A, en su fecha inicial. A 0

S 1 200 Parte vencida

2

3

4

5

6

200

200

200

200

200

Fecha intermedia

Parte por vencer

Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer, tal como se muestra en la anterior gráfica. Es evidente que el cálculo de una anualidad depende no sólo de la época en que se calcula su valor, sino también en el término periódico, del plazo de la anualidad y de la tasa de interés usada para calcular el monto o bien el valor actual. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS.- El valor final o monto de una anualidad es el capital correspondiente a todos los términos de la misma y a todos los intereses por éstos generados al final de la duración de la 3

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anualidad. En el caso de una anualidad simple cierta ordinaria, dicho monto será el valor de la anualidad en el momento de vencimiento del último término. FÓRMULA DEL VALOR FUTURO O MONTO.- Si la renta se compone de muchos términos, el método seguido para la determinación de su monto resultaría demasiado engorroso. Por ello, debe determinarse una fórmula general para el monto de una renta de n términos de R Bs. cada uno a un tanto de interés i para cada periodo. Como en el ejemplo 1, se capitalizará cada término al momento de vencimiento del último capital. En ese sentido, al último término le corresponderá, por supuesto, un monto de un boliviano. Puesto que no ha transcurrido tiempo que le permita generar intereses. El término inmediatamente anterior, capitalizado al momento final, será R(1 + i), puesto que ha generado el interés correspondiente a un periodo. Al término anterior a éste le corresponderá un monto de R(1 + i)2, y así sucesivamente. El primer término generará un capital de R(1 + i)n-1 puesto que produce intereses a lo largo de tantos períodos menos uno como términos tiene la renta. Mas abajo aparece representado el diagrama correspondiente a esta renta ordinaria. Los puntos suspensivos representan que algunos de los términos no aparecen en el croquis. Monto o Valor futuro de una renta ordinaria de n términos de R bolivianos Comienzo de la renta R 1

Fin de la renta R R ...................................... 2 n–2

R

R

n–1

n

términos R R(1 + i) R(1 + i)2 R(1 + i)n – 2 R(1 + i)n - 1

Comenzando por el último término y expresando la cuantía de todos ellos capitalizados al momento de finalización de la renta (vencimiento del último capital, por ser ésta ordinaria), tendremos S n  R  R1  i   R1  i   .......  R1  i  2

n2

 R 1  i 

n 1

Esta expresión, de hecho, es la suma de los términos de una progresión geométrica, en la que el primer término es R, la razón es (1 + i) y el número de términos es n. En á1gebra se demuestra que la suma de los términos de una progresión geométrica es: S a

r n 1 r 1

donde a es el primer término y r la razón. Sustituyendo valores para el problema de la renta en esta fórmula general, se obtendrá:

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sn

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i

n  1  i  1 

i

n  1  i  1 R

Lic. Prof. Maria C. Andrade Mercado i Entonces, la fórmula general para el monto de una renta ordinaria es:

donde:

Sn

Sn = monto o valor final de una renta ordinaria de n términos R = cuantía constante de cada término i = tasa de interés periodal n = tiempo o número de periodos

El monto de una anualidad, para mayor comodidad, para cualquier número de años n, a cualquier tasa de interés i, se designa por el símbolo s n i , que se lee: “s sub n a la tasa i”

EJEMPLOS. 1) 2)

3) 4) 5) 6)

A partir de un año desde el momento actual, una persona irá depositando Bs. 800 cada año en una cuenta que abona un interés de 4% anual. ¿Qué monto se habrá constituido en la cuenta un instante después de haberse efectuado el cuarto depósito? Una persona empezará, a partir del próximo año, a depositar anualmente Bs. 500 cada año en una cuenta en la que se abona un tanto de interés anual del 4,5%. ¿Qué monto se habrá constituido en la cuenta un instante después de haberse efectuado el cuarto depósito? Una persona empezara, a partir del próximo año, a depositar anualmente Bs. 3000 en una cuenta en la que se abona un tanto de interés anual del 3¾%. ¿Qué monto habrá constituido en dicha cuenta un instante después de efectuar el décimo depósito? Semestralmente se depositan Bs. 500 durante un periodo de 15 años en una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 0,06, capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el monto acumulado al final de ese período? Según las cláusulas estipuladas en un contrato, un joven de 16 años recibe una anualidad de Bs. 1.000 cada año que será invertida al 4,5% en una cuenta de ahorros, hasta que el joven alcance su mayoría de edad. ¿Cuánto recibirá al cumplir sus 21 años? Una persona deposita Bs. 200 en una cuenta bancaria de ahorros que acredita intereses a razón del 2% efectivo, y luego Bs. 100 al finalizar los siguientes 5 años. ¿Cuál es la cuantía total con que cuenta al finalizar el periodo de 10 años?

FÓRMULA DEL VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE.- El valor actual de una anualidad es la suma de los valores actuales de todos sus términos. Para determinar la fórmula del valor actual, supondremos que se trata de una renta de n términos de R bolivianos cada uno y al tanto por período i. Valor actual de una renta ordinaria de n términos de R bolivianos

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Comienzo de

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Fin de la renta 5

la renta

R

R

1

2

R

R

R

n-2

n-1

n

. R 1  i 

R 1  i 

R 1  i 

 n2 

R 1  i 

  n 1

R 1  i 

n

1

2

Entonces, descontamos cada término al momento de inicio de la renta. La suma de estos valores descontados se representa con el símbolo A. Por tanto, el valor actual vendrá expresado de la siguiente forma: An  R 1  i 

1

 R 1  i 

factorizando R:

2



 .......  R 1  i 

An  R 1  i 

1

 1  i 

2

 ( n 1)

 R 1  i 

 .......  1  i 

n

 ( n 1)

 1  i 

n



La expresión de la derecha representa una progresión geométrica en la cual el primer término es (1 + i)-1, la razón de la progresión (1 + i)-1 y el número de términos es n. Sustituyendo, estos valores en la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica se tendrá:





 

 1  i  1 1  i  1 n  1 An  R  1  i  1  1  Multiplicando numerador y denominador por 1  i  resulta:



 1  i   n  1   1  i   n  1   1  i   n  1  1  1  i   n  An  R    R   R   R  i i  1  1  i    11 i     

Por tanto, el valor actual de una anualidad de renta constante vendrá dado por: An  R

1  1  i  i

n

donde:

An = Valor actual de una renta constante de n términos R = Término constante de la renta i = tanto de interés periodal Para mayor comodidad, el valor actual de una anualidad para cualquier número de años n, a cualquier tasa de interés i, se designa por el símbolo a n i , que se lee: “a sub n a la tasa i” Matemática Financiera

Lic. Prof. Maria C. Andrade Mercado an i  An  R

1  1  i  i

n

EJEMPLOS. 6

1) Encontrar el valor actual de una anualidad de Bs. 1.500 por año durante 3 años si el dinero gana el 5%. Verifique el resultado encontrando la suma de los valores actuales individuales de las 3 rentas. 2) Una persona desea obsequiar a una escuela con una beca anual por valor de Bs. 400, durante 10 años. La primera beca debe adjudicarse dentro de un año. Si la escuela puede invertir el dinero de la donación con un rendimiento del 4 %, ¿qué capital deberá entregar el donante en el momento actual? 3) Un individuo se compra una casa, pagando una cuota de Bs. 1 500 al contado y Bs. 2 000 al finalizar cada uno de los subsiguientes 8 años, ¿cuál sería el precio de contado de esta propiedad, si el dinero gana el 6% efectivo? 4) ¿Cuánto dinero deberá depositar en su cuenta bancaria de ahorros, una persona que acepte ganar un 2% de interés nominal, capitalizable semestralmente, para poder girar Bs. 600 al finalizar cada semestre por un plazo igual a los próximos 4 años? 5) Una maquina fotocopiadora se vende de acuerdo a los siguientes términos: - Cuota inicial Bs. 5.000 - 5 cuotas de Bs. 1.000, mensuales, comenzando los pagos al mes siguiente a la firma del contrato. - El interés recargado es del 6% compuesto mensualmente. ¿Cuál será el valor al contado del aparato? 6) Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de Bs. 6 000 pagadera semestralmente durante 7 años y 6 meses al 8,6 %, capitalizable semestralmente 7) Una persona deposita Bs. 2 500 al final de cada año, durante 15 años, en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago 8) Una compañía vende neveras con una cuota inicial de Bs. 1 000 y 16 cuotas mensuales de Bs. 500. Si se carga el 15% con capitalización mensual, hallar el valor de contado. 9) Encontrar el monto de una anualidad consistente en 12 pagos semestrales de Bs. 1 500, si se los acumulan al 3% capitalizable semestralmente. 10) Un individuo se compra una finca, pagando una cuota de Bs. 2 000 al contado y Bs. 2 500 al finalizar cada uno de los subsiguientes 8 años, ¿cuál sería el precio de contado de ésta propiedad si el dinero gana el 7% efectivo? 11) Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen Bs. 8 000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. 12) Compré un carro con una cuota inicial de Sus. 1 500 y 36 cuotas de Sus. 300. La agencia me cobra el 2,5% mensual sobre saldos. a) ¿Cuánto debo?, b) si pago toda la deuda en el último mes, ¿cuánto tengo que pagar?, c) si pago toda la deuda al final del décimo mes, ¿cuánto debo pagar? 13) Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen Bs. 9.000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignará en una cuenta de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del contrato de alquiler. Matemática Financiera

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CALCULO DEL TÉRMINO CONSTANTE EN UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA.- En muchos de los problemas que surgen en la práctica comercial, se conoce el monto o el valor actual de una anualidad, y lo desconocido es la cuantía del término constante de la misma. Así por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en 7

un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo? ¿Con qué cuotas periódicas puede cancelarse una mercadería conocido su valor de contado y la tasa de interés? Esta cuestión puede resolverse sin más que despejar R en las fórmulas del monto y del valor actual. a) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor futuro o monto: De la fórmula:

Sn  R

se obtiene: R 

b)

1  i  n  1 i

i Sn i ó R  Sn n 1  i  n  1 1  i   1

Cálculo de la renta cuando se conoce el valor presente o valor actual: 1  1  i  An  R i

De la fórmula: se obtiene: R 

R  Sn

i 1  i  n  1

n

An i i R  An n n ó 1  1  i  1  1  i  R  An

i n 1  1  i 

EJEMPLOS. 14) Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con capacitación semestral, para obtener en 5 años un capital de Bs. 30.000. 15) Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de Bs. 200 000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente 16) Al 4% compuesto semestralmente, ¿cuánto deberá ahorrar una persona cada 6 meses para constituir un capital de Bs. 5 000 al cabo de 4 años? 17) Una persona desea adquirir una casa valorada en Bs. 15 000. Si entrega Bs. 3 000 en concepto de entrada, ¿a cuánto deberán ascender los pagos mensuales si el diferimiento viene financiado durante 15 años al 6% compuesto mensualmente? 18) ¿Cuánto debe depositarse cada trimestre en una cuenta que paga un 4% compuesto trimestralmente, para alcanzar un saldo de Bs. 15 000 al cabo de 20 años. Matemática Financiera

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19) Para financiar la adquisición de una casa, una persona solicita un préstamo de Bs. 300 000, que debe reintegrar mediante pagos mensuales de igual cuantía durante 20 años. Si el tanto es del 6% compuesto mensualmente, determinar la cuantía del pago mensual constante. 20) Un comerciante vende herramientas en Bs. 70 000, precio de contado. Para promover sus ventas, idea el siguiente plan a pagos, con cargo del 1% mensual de intereses. Cuota inicial de Bs. 15 000 y el saldo en 18 abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las mensualidades? 8

21) Una persona deposita Bs. 10 000 en un banco que le reconoce el 2% capitalizable semestralmente. Desea girar con cargo a este depósito cheques semestrales iguales durante un periodo de 4 años. Encontrar la cuantía de cada pago parcial. 22) ¿Qué suma tendría que invertirse al final de cada año por un plazo de 10 años para que se acumule a Bs. 50 000 al 3%? 23) Una persona tiene un depósito de Bs. 12 000 que gana intereses al 2,5%, capitalizable mensualmente. El desea gastar solo este depósito en mensualidades iguales durante un periodo de 5 años. ¿Cuánto dinero podrá girar al final de un mes? 24) Para mantener en buen estado cierto puente, es necesario repararlo cada 6 años con un costo de Bs. 950 000. El consejo del municipio decide establecer una reserva anual a fin de proveer los fondos necesarios con miras a sus reparaciones futuras. Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés, hallar el valor de la reserva anual. 25) Un comerciante, debe cancelar una deuda en 3 años con pagos semestrales de Bs. 3 500. Si conviene con su acreedor cancelar la deuda en 6 años, con cuotas semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos, si la tasa de interés es del 12% capitalizable semestralmente. 26) Para liquidar una deuda de Bs. 15 000 con intereses del 6% convertible semestralmente, el deudor acuerda hacer una serie de pagos de Bs. X cada uno, el primero con vencimiento al término de 6 meses y el último con vencimiento en 5 años y un año después un pago de Bs. 2 500. Hallar el importe de cada uno de los pagos de Bs. X. CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD.Si en las fórmulas del monto o del valor actual, se conocen el valor futuro (S) o el valor presente (A), la tasa y la anualidad R, puede calcularse el valor de n, o sea, el número de pagos. Mediante logaritmos, las fórmulas del monto y del valor actual pueden resolverse para n; así por ejemplo: En la fórmula del valor futuro: SR

1  i  n  1

i n iS  R1  i   R R1  i   iS  R log R  n log1  i   log iS  R  n log1  i   log iS  R   log R log iS  R   log R n log1  i  n

n

log iS  R   log R log1  i 

En la fórmula del valor actual o presente:

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1  1  i  i n iA  R  R1  i 

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n

AR

R1  i   R  iA log R  n log 1  i   log  R  iA n

n log1  i   log R  log R  iA n

n

log R  log  R  iA log1  i 

log R  log  R  iA log1  i 

27) ¿Cuántos pagos semestrales de Bs. 700 deberán hacerse para cancelar una deuda de Bs. 5 000, al 7% de interés capitalizable semestralmente? En las actividades financieras se acostumbran soluciones prácticas, optando por cualquiera de las dos alternativas expresadas a continuación: (a) (b)

Aumentar el pago correspondiente al último periodo entero. Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el último periodo.

Si en el ejemplo trabajado, se toma la alternativa b, se tendrá que efectuar un último pago menor que los anteriores y suficiente para cancelar exactamente el saldo o remanente después de efectuar los primeros pagos. Para calcular el valor del último pago, se plantea una ecuación de equivalencia. Al escoger la fecha final como fecha focal, se tiene entonces para: 28) ¿Cuántos depósitos de Bs. 30, efectuados al final de cada año serán suficientes para acumular un fondo de Bs. 600 si el interés es del 2% efectivo? 29) Un empleado puede ahorrar Bs. 900 mensuales e invertirlos en una institución financiera que abona el 9% convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo juntará Bs. 60 000? Calcular el tiempo y el depósito final. 30) Una persona toma prestada la suma de Bs. 4 750, comprometiéndose a pagar el préstamo y los intereses al 6% compuesto con capitalización semestral, mediante pagos semestrales de Bs. 220, el primer pago a los 6 meses de recibir el préstamo. ¿Cuántas cuotas debe pagar esa persona? 31) Averiguar el número de cuotas quincenales vencidas que deben abonarse, para formar un capital de Bs. 1 500 000; siendo la tasa de interés del 10% capitalizable quincenalmente, y el importe de cada cuota de Bs. 800. 32) Una persona, al fallecer, deja una herencia de 6 000 dólares. En lugar de cobrar todo el dinero, los beneficiarios percibirán una renta mensual de 60 dólares. ¿De cuántos términos se compondrá dicha renta? ¿Qué término adicional deberá vencer un periodo después al del último término constante para producir el equilibrio financiero en la operación? La compañía administradora paga intereses al 3% compuesto mensualmente sobre el saldo pendiente de abono. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA.- La tasa de interés desconocida se puede encontrar utilizando el método de

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interpolación, generalmente este es el método más rápido y el que da resultados que desde el punto de vista práctico son lo suficientemente exactos. 33) Una compañía de seguros ofrece, por un pago inmediato de Bs. 100 000, una renta anual de Bs. 5 000 pagaderos durante 30 años, al comprador o a sus herederos. ¿Qué tasa de interés abona esta compañía? 34) Calcular el tanto de interés semestral y el tanto nominal anual, correspondientes a un fraccionamiento del año por semestres, necesarios para que el monto de una renta semestral de término constante de Bs. 200 y duración 6 años, sea de Bs.3 000. 35) El ganador de un sorteo puede cobrar Bs. 2 000 al contado, o bien Bs. 200 al mes durante 12 meses, recibiendo el primer capital al cabo de un mes. Si prefiere el sistema de pagos mensuales, ¿qué tanto nominal de interés conseguirá? 36) Puede adquirirse un artículo pagando Bs. 500 al contado, o bien pagando una entrada de Bs. 50 y Bs. 35 al mes durante 18 meses. Calcular el tanto nominal anual de la operación. 37) El precio de venta al público de un artículo es de 150 dólares, pero puede adquirirse pagando 10 dólares al contado y 5 dólares semanales durante 20 semanas, o bien con un descuento del 10% por pronto pago en el caso de pagarse en el acto. ¿Con qué tanto nominal anual viene cargada la compra a plazos? 38) ¿A que tasa nominal de interés capitalizable mensualmente, pagos consistentes de Bs. 50 cada uno efectuados al final de cada mes durante 12 años tienen un valor actual de Bs. 25.000? 39) Una persona compra un vehículo en Bs. 2.400 pagando Bs. 600 al contado y comprometiéndose a pagar el saldo mediante cuotas de Bs. 154,50 al final de cada mes durante un año. ¿Qué tasa nominal de interés capitalizable mensualmente, está pagando?

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