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FÍSICA Y QUÍMICA Elementos para la descripción del movimiento. Movimientos de especial interés. Métodos para el estudio experimental del movimiento.

25-15321-13

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Cinemática.

FÍSICA Y QUÍMICA 4

1. Cinemática 2. Elementos para la descripción del movimiento 2.1. Velocidad 2.2. Aceleración 2.2.1. Componentes cartesianas 2.2.2. Componentes intrínsecas

3. Movimientos de especial interés 3.1. Movimientos rectilíneos 3.2. Composición de movimientos rectilíneos 3.2.1. Movimiento de proyectiles

3.3. Movimiento circular 3.4. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

4. Métodos para el estudio experimental del movimiento 4.1. Movimiento rectilíneo uniforme 4.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 4.3. Tiro horizontal y parabólico

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INTRODUCCIÓN

La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y las leyes que lo rigen sin tener en cuenta las causas que lo generan o las dimensiones que éstos tengan, considerando los objetos como puntos, sin medidas ni proporciones. Por ser la física una ciencia experimental, el método de estudio más correcto para la cinemática sería el que comenzara analizando los movimientos más sencillos (como el rectilíneo) y se ampliará a otros más complejos (vibratorio armónico, circular…), adquiriendo así conocimiento inductivo de los mismos, lo que permitirá analizar y comprender cualquier tipo de movimiento. En este ámbito, los estudios cotidianos se abordan desde un punto de vista cinemático, dinámico, que estudia los objetos sometidos a fuerzas que no están en equilibrio, y estático, que trata con objetos en equilibrio. Aun siendo una aproximación, la física clásica es muy útil, puesto que está muy próxima a la realidad, y es suficientemente válida para la gran mayoría de los casos prácticos. La teoría, por ejemplo, describe con gran exactitud sistemas como cohetes, planetas, moléculas orgánicas, trompos, trenes, y también la trayectoria de una pelota de fútbol. Estudiaremos que el movimiento es un fenómeno físico definido como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos en el espacio, y que todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. El objetivo es tratar de describir el movimiento de un objeto y determinar su posición, velocidad, aceleración, etc., en función del tiempo y/o la posición del mismo. Los movimientos que se estudian se clasifican por su trayectoria (movimientos rectilíneos, movimiento circular, movimiento de proyectiles) o por la aceleración (movimiento rectilíneo uniforme, movimiento uniforme acelerado y movimiento armónico o periódico).

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TEMARIO

1 Cinemática La cinemática constituye una parte de la física que se ocupa del estudio y descripción del movimiento, prescindiendo de las causas que lo originan. Así pues, los planteamientos cinemáticos se caracterizarán por una descripción matemática del movimiento. En tal sentido, es posible reducir la cinemática a una geometría sobre un espacio tetradimensional, a saber, las tres dimensiones espaciales, x, y, z, y la temporal, t. Con el fin de poder llevar a cabo la referida descripción geométrica del movimiento, se introducirán diferentes magnitudes, cuya variación con el tiempo va a permitirnos caracterizar los diferentes tipos de movimientos. Sería muy laborioso, además de poco práctico, describir con palabras los movimientos y, sobre todo, la evolución temporal de las magnitudes cinemáticas. Afortunadamente disponemos de herramientas matemáticas para simplificar, sintetizar y universalizar el lenguaje mediante ecuaciones que nos permiten conocer los valores de las magnitudes cinemáticas en función del tiempo. En la exposición del presente tema, asimilaremos el movimiento de un cuerpo al del punto material, entendiendo por tal, desde el punto de vista cinemático, todo cuerpo cuyas dimensiones son despreciables respecto a la longitud del camino que recorre. Así, los planetas pueden ser considerados simples partículas al estudiar su movimiento en torno al Sol, pero no lo son si se estudia su movimiento de rotación alrededor de su propio eje. Haremos pues abstracción de la forma de los cuerpos y, al reducirlos a puntos geométricos, sólo habremos de considerar movimientos de traslación. Esta simplificación nos permitirá representar, pues, los cuerpos mediante puntos.

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2 Elementos para la descripción del movimiento La descripción geométrica del movimiento, en el marco de la física clásica, presupone la existencia de un espacio euclídeo y de un tiempo absoluto que «fluye a su propio ritmo», independientemente del estado de movimiento o de reposo del observador. Decimos que un punto está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a un objeto, real o matemático, que consideramos fijo y que constituye el sistema de referencia. En términos geométricos, el sistema de referencia vendrá dado por un triedro positivo de coordenadas ligado al cuerpo que suponemos fijo. Así pues, un punto estará en movimiento con respecto a dicho sistema si sus coordenadas varían con el tiempo; en caso contrario, diremos que dicho punto está en reposo.

Figura 1.

Es decir, en virtud del movimiento se establece una dependencia funcional entre la variable t y la posición del punto, la cual queda definida por el vector posición G r , de componentes x, y, z, o lo que es lo mismo:

G G G G r = x⋅ i + y⋅ j + z⋅k G G G empleando los vectores unitarios cartesianos i , j, k

Si queremos hacer explícita dicha dependencia funcional, escribiremos:

G G G G r = x(t) ⋅ i + y(t) ⋅ j + z(t) ⋅ k

(1)

La expresión (1) constituye la llamada ecuación vectorial del movimiento y pone de manifiesto que cualquier movimiento puede considerarse descompuesto en tres movimientos rectilíneos mutuamente perpendiculares cuyas trayectorias se extienden sobre cada uno de los tres ejes cartesianos x, y, z. Resulta evidente la importancia que tiene el estudio de los movimientos rectilíneos, que son, pues, básicos en el sentido matemático del término.



La ecuación vectorial (1) puede escribirse en forma escalar mediante las ecuaciones: x = x (t)  y = y (t)  z = z (t) (2) que definen, en paramétricas, la curva trayectoria, es decir, la línea descrita por el móvil en el espacio durante el movimiento. Asimismo es posible representar la ecuación de la trayectoria eliminando el parámetro t. Por ejemplo, dada la ecuación vectorial del movimiento:

G G G G r(t) = (2t + 5) ⋅ i + t 2 ⋅ j − 3 ⋅ k

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TEMARIO

Su expresión escalar será: x = 2t + 5,  y = t2,  z = –3 Para encontrar la ecuación de la trayectoria despejamos el parámetro t en una de las ecuaciones anteriores y lo sustituimos en las demás; en este caso, como la 3ª ecuación no depende de t, será directamente una ecuación de la trayectoria: z = –3 ⇒ z + 3 = 0 siendo la otra

x2 – 10x – 4y + 25 = 0

(3)

Una magnitud escalar de importancia es el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria; se nota por la letra s y desde luego varía con el tiempo; la ecuación que expresa dicha variación se denomina ley horaria del movimiento:

G s = r(t) = s(t)



(4)

En el ejemplo anterior:

La ley horaria del movimiento (4), que nos da la posición del móvil sobre la trayectoria, junto con la ecuación de la trayectoria (3), nos define plenamente el movimiento igual que lo hace la ecuación vectorial (1).

2.1. Velocidad A partir de la ecuación (1) es posible definir algunas magnitudes que nos permitan describir el movimiento de una forma más directa. Una de dichas magnitudes es la velocidad. Sean los instantes t1 y t2 y las respectivas posiciones que ocupa el punto móvil P en dichos instantes:

G G G G r1 = r(t1 ); r2 = r(t 2 )

Se define el vector velocidad media como el cociente incremental:

G G G Δ r r2 − r1 G vm = = Δt t 2 − t1

(7)

Desde un punto de vista físico, la representa lo que en promedio varía la posición por unidad de tiempo a lo largo del intervalo finito considerado Δt = t2 – t1 Por definición llamaremos velocidad instantánea al límite de (7) cuando el intervalo Δt se reduce a un instante (Figura 2):

G G Δ r dr(t) G v = lim = Δt → 0 Δt dt

(8)

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Recordando las propiedades de la derivada de una función vectorial con respecto a un parámetro, resulta que (8) podrá desarrollarse en función de sus componentes cartesianas, en la forma:



(9)

La velocidad en un instante es un vector tangente a la trayectoria en la posición de la partícula en dicho instante, en el sentido del movimiento y cuyo módulo lo representamos por c y se denomina celeridad; representa la rapidez con la que el móvil describe la trayectoria

c=

ds dt

(10)

pues, para ∆t → 0, el punto B tiende al A, y el arco de trayectoria ∆s G tiende a confundirse con la cuerda Δ r .

G

El vector v (t) es tangente a la trayectoria en el punto correspondiente al instante t; en efecto:

·

·



(11)

Si expresamos el vector velocidad refe- Figura 2. rido a un sistema de ejes ligado al punto móvil y formado por la tangente y la normal principal a la trayectoria, obtenemos las componentes intrínsecas del vector velocidad. En dicho sistema de referencia, la celeridad instantánea constituye la única componente intrínseca de la velocidad. La unidad de velocidad en el S. I. es el m/s y su ecuación de dimensiones es: ·

XX Velocidad media Consideremos un punto móvil P que ocupa la posición A en el Ginstante t1 y la B en G el instante t2. El vector de posición en el instante t1 es r1 = OA1 , y en el instante G G t2 es r2 = OB . Designamos por vector desplazamiento, o simplemente desplazaG miento AB al vector definido por las dosGposiciones, G G y el Gextremo Gel origen en A G en B. De la Figura 2 deducimos que OB G − OA = AB , ya que OA + AB = OB . Así que el vector desplazamiento es AB , igual a la diferencia de los vectores de posición del extremo menos el del origen, esto es:

9

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TEMARIO

Definiremos la velocidad media de P entre los instantes t1 y t2 como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo t2 – t1:

G G G G r2 − r1 Δ r AB G vm = = = t 2 − t1 t 2 − t1 Δt

G

G

G

En donde Δ r = r2 − r 1 y Δt = t 2 − t1 .

G v m es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazaG

miento y cuyo módulo es el cociente entre la longitud del vector AB y el intervalo de tiempo transcurrido. A este módulo le llamaremos celeridad media del móvil y es una magnitud escalar. En un movimiento en el que si la trayectoria fuese recta, la velocidad media tendría siempre la misma dirección. En el sistema de coordenadas OXY (suficiente para el estudio del movimiento en un plano), G las componentes del vector OA son x1, y1, y las de OB son x2, y2, así que las de AB son: x2 – x1 e y2 – y1.

G

Las componentes del vector v m en este sistema, serán:

(v m ) x =

x 2 − x1 Δx = t 2 − t1 Δt

(v m ) y =

y 2 − y1 Δy = t 2 − t1 Δt

La celeridad: 2

⎧ Δx ⎫ ⎧ Δy ⎫ v m = (v ) + (v ) = ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ ⎩ Δt ⎭ ⎩ Δt ⎭ 2 m x

2

2 m y

Cuando un cuerpo se desplaza con movimiento de traslación, el vector desplazamiento de todos sus puntos tiene, en un instante dado, el mismo módulo, dirección y sentido; así que todos sus puntos tendrán la misma velocidad media.

2.2. Aceleración La aceleración surge de la necesidad de expresar el cambio de la velocidad en el G tiempo; y al ser la variación de la velocidad Δv un vector, la aceleración será, por consiguiente, una magnitud vectorial. Se define el vector aceleración media como el cociente incremental:

G G K G G G Δv v 2 − v1 v(t 2 ) − v(t1 ) = = am = Δt t 2 − t1 t 2 − t1

(12)

y representa lo que en promedio varía por unidad de tiempo el vector velocidad. El valor instantáneo de la aceleración o aceleración instantánea se define a su vez como:

G G G G G dv d ⎛ dr ⎞ d 2 r a = lim a m = = ⎜ ⎟= Δt →0 dt dt ⎝ dt ⎠ dt 2

(13)

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G

Con base en esta definición, a coincide con el ritmo de variación temporal de la velocidad en un instante dado.

G

De igual modo que para la velocidad es posible definir el vector a con base bien en sus componentes cartesianas o bien en sus componentes intrínsecas. 2.2.1. Componentes cartesianas

De la ecuación de definición (13) se pueden obtener, de forma inmediata, las comG ponentes cartesianas de a :

·

·

·

·

·

·

·

·

· (14)

Si trasladamos el origen del vector velocidad al origen de coordenadas, el extremo describirá una curva que se conoce con el nombre de hodógrafa del movimiento. Observando la posición de la hodógrafa respecto de la trayectoria y la del vector aceleración respecto de la hodógrafa, es fácil concluir que el vector aceleración va a estar situado en el plano que contiene a la hodógrafa y al origen de coordenadas. 2.2.2. Componentes intrínsecas

Reciben este nombre las componentes cuyas direcciones, en cada punto, no las fija el observador situado en el sistema de referencia, sino la propia trayectoria, ya que son el resultado de expresar el vector en un referencial situado sobre la trayectoria G G (vectores unitarios n y τ ). La aceleración es diferencia de dos vectores vA y vB que son tangentes a la trayectoria y que están en su mismo plano; por tanto, no puede ser, en general, tangente a la misma (Figura 3). XX Aceleración tangencial La palabra «aceleración» significa cambios en la velocidad, mientras que «tangencial» indica que la dirección es tangente a la trayectoria, por lo que tiene la misma dirección que el vector velocidad. Es decir, la aceleración tangencial es producida por los cambios que existan en el módulo de la velocidad. En consecuencia es una magnitud vectorial cuyos atributos son: „„

Módulo: su valor es igual a la rapidez de cambio del módulo de la velocidad.

Figura 3.

„„

Dirección: es tangente a la trayectoria en todo punto.

„„

Sentido: es el mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta, y contrario al movimiento si disminuye.

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TEMARIO

XX Aceleración normal Esta componente aparece cuando los movimientos son curvilíneos; por tanto, es generada por los cambios que existan en la dirección de la velocidad con independencia de lo que ocurra en su módulo. Es perpendicular a la dirección tangente a la trayectoria en cada punto. El plano determinado por ambas componentes se denomina plano osculador, y la posición del mismo es variable en el transcurso del tiempo.

G

La obtención de las componentes intrínsecas de a es sencilla. En efecto, expreG G sando la velocidad como v = vτ y sustituyendo en la ecuación de definición (14), esto es:

·

·



(15)

G

τ es el vector unitario tangente a la trayectoria y, por tanto, de módulo constante, K por lo que es perpendicular a su derivada temporal. Así pues, la dirección de dτ dt coincidirá con la normal principal a la trayectoria. Como se observa en la ecuación (15), la aceleración tiene dos componentes: „„

Componente tangencial de la aceleración: es el primer sumando; informa y cuantifica la variación del módulo y tiene la dirección del vector unitario tangente.

„„

Componente normal de la aceleración: es el segundo sumando; indica la aportación que realiza los cambios que tengan lugar en la dirección de la velocidad y es perpendicular al vector unitario tangente.

El cálculo de la aceleración tangencial es fácil de ejecutar una vez que se conoce la expresión del vector velocidad. La aceleración normal exige conocer cómo evoluciona temporalmente el vector unitario tangente.

·



(16)

Un estudio detallado de dicha evolución concluye que la componente normal de la aceleración vale:

an =

v2 ρ

(17)

El módulo de la aceleración en función de sus componentes viene dado por la expresión:

a = a 2x + a 2y = a 2t + a 2n

(18)

La unidad de aceleración en el S.I. viene dada por el m/s2, y su ecuación de dimensiones es [a] = [L] · [T]–2

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En resumen, el valor de la aceleración y su dependencia con respecto al tiempo permiten establecer una sistemática de los diferentes movimientos, tal y como se indica en las tablas siguientes: CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS A PARTIR DE LAS COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN a = at + an = 0

at = 0 / an = 0

Movimiento rectilíneo y uniforme ( v  = cte)

a = at + an = cte

at = 0 / an ≠ 0

Movimiento curvilíneo uniforme (circular)

a = at + an = cte

at ≠ 0 / an = 0

Movimiento rectilíneo uniforme variado

a = at + an = cte

at ≠ 0 / an ≠ 0

Movimiento curvilíneo variado Tabla 1.

VALOR DE LAS MAGNITUDES EN LOS DIVERSOS MOVIMIENTOS Movimiento rectilíneo

Movimiento circular

Relación entre magnitudes

Distancia

e

θ

s=θ·R

Velocidad

v = de/dt

ω = dθ/dt

v=θ·ω

Aceleración tangencial

at = dv/dt

α = dω/dt

at = α · R

Aceleración normal

an = v2/R

an = ω2 R

1 s = s 0 + v 0 t + at 2 2

1 θ = θ0 + ω0 t + αt 2 2

e=θ·R

v = v0 + at

ω = ω0 + αt

v=ω·R

Magnitud

Posición Velocidad

Tabla 2.

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TEMARIO

3 Movimientos de especial interés Hemos visto que en todo tipo de movimiento hay una relación entre las magnitudes cinemáticas: vector de posición, vector velocidad y aceleración, que se establece mediante el operador derivada.

G r(t)

d/dt = D

G v(t)

G a(t)

d/dt = D

De igual modo podemos calcular las magnitudes cinemáticas vector velocidad y vector de posición si conocemos el vector aceleración y las condiciones de contorno del movimiento mediante el cálculo integral, esto es, mediante el operador integral, que es inverso al operador derivada.

G a(t)

∫

G v(t)

G r(t)

∫

3.1. Movimientos rectilíneos La característica de este tipo de movimientos es la forma rectilínea de su trayectoria o, lo que es lo mismo, la constancia en dirección del vector velocidad, característica que queda igualmente definida por la condición an = 0. Dado que la trayectoria es rectilínea, y por tanto unidireccional, en el estudio de estos movimientos el tratamiento vectorial es innecesario; tan sólo la distancia al origen es suficiente para fijar la posición del móvil. Por tal motivo, en la mayoría de los casos, se restringe a un tratamiento escalar. XX Movimiento rectilíneo y uniforme (m.r.u.) Es el movimiento de un punto cuyo vector velocidad se conserva constante durante el mismo, en magnitud, dirección y sentido. De aquí que tal tipo de movimiento G pueda definirse en términos formales por la condición v = cte. Así pues, integrando la ecuación ds = v · dt resulta: s = v (t – t0) + s0 (19), expresión característica del m.r.u. Si t0 = 0, (19) se reduce a s = vt + s0 Las gráficas siguientes ilustran la evolución temporal de ambas magnitudes: s v

S0 t t

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XX Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) Se entiende por tal, el movimiento de un punto material cuyo vector aceleración carece de componente normal y se mantiene constante con el tiempo, es decir, incrementa su velocidad en cantidades iguales durante tiempos iguales sobre una trayectoria rectilínea:

G G K G (a t = cte; a n = 0; a = a t )

G

G

Así pues a = a t =

dv e integrando con la condición de t = 0 conduce a la ley de dt

variación de la velocidad:

v = v0 + at

(20)

Integrando ds = v dt, de acuerdo con (20), es posible obtener una expresión que nos permite calcular el espacio recorrido por un cuerpo que está animado de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que para t0 = 0 y s0 = 0 se reduce a la forma conocida:

1 s = v 0 t + at 2 2



(21)

Eliminando el tiempo de las anteriores ecuaciones, se obtiene fácilmente otra que relaciona v, s y a:

v 2 − v 02 = 2a(s − s 0 )



(22)

Si la variación de la velocidad con el tiempo fuera negativa, dv/dt < 0, la aceleración tomaría un signo negativo y estaríamos ante un movimiento rectilíneo uniformemente retardado (m.r.u.r.). Ni que decir tiene que las fórmulas que describen la relación entre las diferentes magnitudes cinemáticas en un m.r.u.a. sirven asimismo para el caso del m.r.u.r.; basta para ello tomar «a» con su signo. En realidad, cualquiera de ellos puede considerarse como un movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.). Las gráficas siguientes ilustran la evolución temporal de cada una de estas magnitudes: v

s

S0 V0

t

t

3.2. Composición de movimientos rectilíneos Existen diferentes situaciones en las cuales el movimiento a estudiar resulta de la composición o superposición de movimientos rectilíneos. En general, y en el marco de la física no relativista, la composición de movimientos se efectúa tomando

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TEMARIO

como base la ley clásica de adición de velocidades, según la cual la velocidad instantánea de un movimiento compuesto es la suma vectorial de las velocidades individuales, es decir:

G G G v(t) = v1 (t) + v 2 (t)



(23)

3.2.1. Movimiento de proyectiles

El movimiento de un proyectil es, en esencia, la composición de dos movimientos rectilíneos, uno uniforme y otro uniformemente variado, si se desprecia la acción del aire como medio resistente. El primero es consecuencia de la fuerza instantánea ejercida sobre el proyectil a consecuencia del disparo, y el segundo es el resultado de la acción del campo gravitatorio terrestre sobre la masa del proyectil y que se traduce en una aceleración.

Figura 4. Trayectoria parabólica correspondiente al tiro horizontal. Las ordenadas se miden respecto de la línea horizontal que pasa por el punto de lanzamiento.

Según que el ángulo que forma el vector velocidad inicial con la horizontal sea nulo o no, se tienen dos casos, uno de los cuales resulta ser, obviamente, un caso particular del otro, a saber, el tiro horizontal y el tiro oblicuo. No obstante, y con el fin de mostrar la aplicación de la ley de adición de velocidades o de composición de movimientos, los trataremos independientemente.

XX Tiro horizontal Consideremos el movimiento cuya componente horizontal (sobre el eje de las X) es un m.r.u.; y la componente vertical (sobre el eje Y) un m.r.u.v. de aceleración g (Figura 4). Si la velocidad inicial horizontal comunicada al móvil es, v0, o en forma vectorial   v 0 = v 0 ⋅ i, tendremos, para ambos ejes, las ecuaciones: Eje X:  X = v0 · t Eje Y:  Y = 1/2 · g · t2

Eliminando t de ambas ecuaciones, resulta: ·

(24)

Ecuación de la trayectoria que corresponde a una parábola con vértice en el origen de coordenadas 0. Aplicando la ecuación (23), se tendrá, para la velocidad resultante, la expresión G G G vectorial: v(t) = v ⋅ i − gt ⋅ j (25) Siendo su módulo: v(t) =

v 02 + g 2 t 2

Su dirección vendrá determinada por: θ(t) = arctg

−gt v0

G

G

La expresión de la aceleración se obtendrá derivando en (25): a(t) = −g ⋅ j Como corresponde a un movimiento cuya única aceleración es la de la gravedad.

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XX Tiro oblicuo

G

En este caso, la velocidad inicial v 0 forma un ángulo α con la horizontal, pero por lo demás sigue siendo el movimiento resultante de un m.r.u. y un m.r.u.v. de aceleración –g. Consideremos los movimientos componentes y sus ecuaciones sobre los ejes. 1 Eje Y: y = v0 · sen αt – gt2 Eje X: x = v0 · cos αt 2 Eje X: vx = v0 · cos α Eje Y: vy = v0 · sen α – gt Eje X: ax = 0

Eje Y: ay = –g

(26)

Así pues, las ecuaciones del movimiento sobre los ejes serán: Eje X: x = v0 · t · cos α

1 2 gt (27) 2 Eliminando t de las ecuaciones anteriores, resulta la ecuación de la trayectoria:

Eje Y: y = v0 · t · sen α –



·

·

·



(28)

que corresponde a una parábola con el eje de simetría paralelo al de ordenadas, con Figura 5. Tiro oblicuo. el vértice del origen situado en el punto más alto de la trayectoria y las ramas hacia abajo. La ecuación de la velocidad resultará de aplicar nuevamente (23):



(29)

Calculemos ahora algunos parámetros característicos del tiro oblicuo; el tiempo que emplea el proyectil en alcanzar de nuevo la horizontal se denomina tiempo de vuelo se obtendrá simplemente con hacer y = 0 en (27).



(30)

τ

La altura máxima, ymáx, de la trayectoria se obtendrá haciendo en (28) t = , por 2 razones de simetría en el movimiento:

·

·

·

esto es:



(31)

El alcance horizontal OA que notaremos por xa se deduce de (27), haciendo t = τ en la componente x:

·

·

·

·

   

Es obvio que el alcance horizontal toma un valor máximo para: 2α = 90o o α = 45o; x max =

v 02 g



(32)

17

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TEMARIO

Si en la ecuación de la trayectoria (28) hacemos tg α = m, resulta:

y = mx −

g ⎛ 1 ⎞ 2v02 ⎜ 2 ⎟ ⎝ m +1 ⎠

x 2 = mx −

g(m 2 + 1) 2 x 2v02

⎛ ⎞ gx 2 g − mx + ⎜ y + 2 x 2 ⎟ = 0 2 2v 0 2v 0 ⎠ ⎝ gx 2 y dividiendo toda la ecuación por resulta: 2v 02 m2

m2 −



⎛ 2v 2 ⎞ 2v 02 mx + ⎜ 02 y + 1⎟ = 0 gx ⎝ gx ⎠

(33)

que es una ecuación cuadrática en m lo cual indica que para su mismo punto P(x) del plano, existen dos valores de m, y, por tanto, de la inclinación α, para un valor dado de v0, bajo los cuales es posible alcanzar el punto P considerado como blanco.

3.3. Movimiento circular El movimiento circular se define, en la forma más descriptiva, como el de un punto móvil cuya trayectoria es una circunferencia. Es, pues, un tipo particular de movimiento curvilíneo, por lo cual existirá asociado a él, una componente normal de la aceleración no nula. A diferencia de otros movimientos curvilíneos, el movimiento circular se caracteriza por un radio de curvatura ρ constante e igual al radio de la circunferencia trayectoria. En relación con este hecho, se da la circunsG tancia de que la componente normal a n del vector aceleración está dirigida, en los movimientos circulares, siempre hacia el centro O de la circunferencia trayectoria razón por la cual se denomina también aceleración centrípeta; en G Y cualquier instante, pues, la directriz de a n pasa por un punto fijo, O.

→

v

P →

an

→

r

θ O

Figura 6. Movimiento circular.

X

Dado que la circunferencia es una curva plana, podremos tomar el plano de la trayectoria como plano de referencia, fijando el origen en el centro de la circunferencia O. En tal caso, el vector posición tiene por módulo el radio, por lo que se le denomina, habitualmente, radio vector (Figura 6). Existen dos posibles formas de referirse al movimiento circular, una general y otra específica. La general emplea las magnitudes definidas en el apartado 2, que hacen referencia a la variación de la posición del punto móvil sobre la trayectoria. La específica introduce una descripción del movimiento en función de magnitudes angulares, y ésta será la que consideraremos en lo sucesivo.

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Se define la velocidad angular media como el cociente incremental:

ωm =

Δθ dθ = Δt dt

Se expresa en rad/s y representa lo que, en promedio, varía el ángulo barrido por el radio vector en la unidad de tiempo a lo largo del intervalo Δt considerado. El límite de ωm considerado para Δt → 0 constituye la velocidad angular instantánea, o simplemente la velocidad angular:

Δθ dθ = Δt → 0 Δt dt



(34)

ωm = lim

Su unidad en el S.I. será el rad/s, y su ecuación, de dimensiones [ω] = [T]–1 La existencia de una relación inmediata entre el arco recorrido sobre la circunferencia por el punto móvil y el ángulo (en radianes) barrido por el radio vector, Δs = ρ · Δθ, permite encontrar fácilmente la relación entre la velocidad lineal v y la velocidad angular, ambas como magnitudes escalares. En efecto:

·

·



(35)

La velocidad angular se puede expresar en forma vectorial como un vector que tiene por módulo ω, por dirección la perpendicular al plano de la trayectoria y por sentido el de avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido del movimiento (regla de Maxwell). Recordando las propiedades del proZ ducto vectorial de dos vectores, de la propia definición puede deducirse, de forma inmediata, la siguiente a relación entre los vectores vm y ω (Figura 8).

ω



(36)

an

Si la velocidad angular varía con el tiempo, se introduce una magnitud que da idea del ritmo de tal variación; es la aceleración angular. El valor medio escalar se define como:

t

at

Y X Figura 7. Movimiento circular.

y análogamente a ωm representa lo que en promedio varía ω en la unidad de tiempo a lo largo del intervalo Δt considerado. Se expresa en rad/s2. El valor instantáneo:



(37)

19

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TEMARIO

y su expresión vectorial vendrá dada por:



(38)

Recordando las expresiones de las componentes intrínsecas de la aceleración para el movimiento más general: at =

v2 dv y an = r dt

es posible encontrar algunas relaciones de interés entre magnitudes lineales, esto es, referidas a la trayectoria y magnitudes angulares: ·



·



(39)

Por su parte, la aceleración normal se puede expresar también en la forma:

·



(40)

En forma vectorial las relaciones se obtienen, asimismo, de modo inmediato, en efecto

es decir



(41)

a = an + at    at = α × r  y  an = ω × r El primer sumando es un vector dirigido hacia el centro de la trayectoria: aceleración normal, mientras que el segundo es un vector perpendicular al plano formado por α y r (que es el mismo que forman ω y r); por tanto, de la misma dirección que v, tangente a la trayectoria de la partícula: aceleración tangencial. Es, por consiguiente, la expresión más general que relaciona las diferentes magnitudes vectoriales.

Z

v =w x r

Y X Figura 8. Relación entre los vectores

vm y ω .

Veamos las aplicaciones concretas al estudio del movimiento circular, en función de estas magnitudes características.

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XX Movimiento circular uniforme Se dice que un movimiento circular es uniforme cuando la a n = cte. an = v2/R= ω2 · R en tal caso es claro que a t = 0 , a n ≠ 0 y, por tanto, a = a n . Así pues, el m.c.u. es un movimiento acelerado con aceleración normal no nula. Ello es debido simplemente a que dicha componente da idea de los cambios en dirección del vector; por ello, aunque en un m.c.u. el módulo de se mantenga constante (v = ω · ρ), la dirección está variando continuamente a ritmo constante, por lo que será, pues, constante, como puede deducirse de (40). La expresión escalar angular característica del m.c.u. se puede obtener integrando (34) con las condiciones iniciales ω = cte. y θ0 = θ (t = t0)

θ = θ0 + (ω · t)

(42)

Cabe reseñar el carácter periódico del m.c.u., cuyas variables se repiten a intervalos iguales de tiempo. El periodo T o tiempo necesario para que se efectúe una revolución completa podrá expresarse como:



(43)

Es frecuente emplear la magnitud frecuencia, que se define como:



(44)

y representa el número de revoluciones que el móvil describe en la unidad de tiempo. La frecuencia se expresa en s-1 en el S. I. o, lo que es lo mismo, en hercios (1 Hz = 1 ciclo/seg.), aunque también pueden emplearse unidades prácticas como r.p.m. (revoluciones por minuto). XX Movimiento circular uniformemente variado El movimiento circular uniformemente acelerado es aquel cuya aceleración tangencial es constante y, por tanto, también lo es su aceleración angular, lo cual implica que la variación de su velocidad angular se realiza de un modo uniforme. Integrando la ecuación (37), se tiene para este tipo de movimiento:

ω = ω0 + (a · t)

(45)

Si se integra nuevamente (45), recordando que ω = dθ/dt, resulta:

t t

α t t



(46)

que nos permite calcular θ (t). Eliminando el tiempo de (45) y (46), resulta:

ω2 = ω20 = 2a (θ – θ0)

(47)

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TEMARIO

3.4. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Se puede decir que una partícula se mueve con m.a.s. si su trayectoria es una recta y la ecuación horaria de su posición viene dada por la ecuación: x = A · sen (ω · t + θ) Desde un punto de vista dinámico, la fuerza responsable del movimiento en cada instante es proporcional y de signo opuesto al desplazamiento respecto de su posición de equilibrio y, por lo tanto, aceleración tangencial variable, es decir:

Indica que la fuerza que origina la aceleración es proporcional al desplazamiento, x, y de signo opuesto a él.

Figura 9.

Se define: „„

Elongación: distancia que hay entre un punto P (Figura 9), donde se encuentra el móvil, y el centro de equilibrio, O; es la distancia x.

„„

Amplitud: elongación máxima; la distancia A, contada a partir de O.

„„

Periodo: tiempo que tarda el móvil en pasar dos veces consecutivas por un mismo punto, en el mismo sentido. Se representa por T.

„„

Frecuencia: número de oscilaciones que da por segundo. Es el inverso del periodo: ν=

1 T

La posición de una partícula que realiza un movimiento armónico simple la podemos hallar resolviendo la ecuación que la ley de Newton establece para este tipo de movimientos:

Por tanto,

·

·

cuya solución es:

x = A · sen (ω · t)

(48)

x = A · sen (ω · t + θ) (ecuación del m.a.s.)

(49)

o bien:

El ángulo θ representa el valor del ángulo en el instante en que t = 0; se le llama corrección de fase e indica la discrepancia entre el origen de los tiempos y de los espacios. La velocidad angular del movimiento auxiliar ω es la pulsación. Su relación con el periodo es: ω = 1/T (50)

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TEMARIO

3.4. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Se puede decir que una partícula se mueve con m.a.s. si su trayectoria es una recta y la ecuación horaria de su posición viene dada por la ecuación: x = A · sen (ω · t + θ) Desde un punto de vista dinámico, la fuerza responsable del movimiento en cada instante es proporcional y de signo opuesto al desplazamiento respecto de su posición de equilibrio y, por lo tanto, aceleración tangencial variable, es decir:

Indica que la fuerza que origina la aceleración es proporcional al desplazamiento, x, y de signo opuesto a él.

Figura 9.

Se define: „„

Elongación: distancia que hay entre un punto P (Figura 9), donde se encuentra el móvil, y el centro de equilibrio, O; es la distancia x.

„„

Amplitud: elongación máxima; la distancia A, contada a partir de O.

„„

Periodo: tiempo que tarda el móvil en pasar dos veces consecutivas por un mismo punto, en el mismo sentido. Se representa por T.

„„

Frecuencia: número de oscilaciones que da por segundo. Es el inverso del periodo: ν=

1 T

La posición de una partícula que realiza un movimiento armónico simple la podemos hallar resolviendo la ecuación que la ley de Newton establece para este tipo de movimientos:

Por tanto,

·

·

cuya solución es:

x = A · sen (ω · t)

(48)

x = A · sen (ω · t + θ) (ecuación del m.a.s.)

(49)

o bien:

El ángulo θ representa el valor del ángulo en el instante en que t = 0; se le llama corrección de fase e indica la discrepancia entre el origen de los tiempos y de los espacios. La velocidad angular del movimiento auxiliar ω es la pulsación. Su relación con el periodo es: ω = 1/T (50)

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TEMARIO

4 Métodos para el estudio experimental del movimiento

4.1. Movimiento rectilíneo uniforme Para observar el movimiento uniforme disponemos de un cochecito que es arrastrado en un carril de deslizamiento, por un motor eléctrico mediante un hilo que se va recogiendo en una rueda adosada al eje del motor. En el carril de deslizamiento están señaladas las distancias: 0, 40,..., 180 cm (Figura 10). Figura 10.

Procederemos del siguiente modo: „„

Aflojamos el tornillo de la rueda para poder llevar el coche al punto origen del recorrido. Volvemos a fijar el tornillo sin apretar mucho.

„„

Cronometramos el tiempo empleado por el coche para ir desde el punto cero al punto 180. Para ello, ponemos en marcha el motor oprimiendo el pulsador y cuidamos que el hilo se recoja en la rueda y ponemos en marcha y paramos el cronómetro cuando el coche pase por los puntos convenidos. Hacemos esta medida cinco veces y anotamos los resultados en la tabla de datos.

„„

Repetimos el paso anterior para las distancias: 160, 140, ..., 40 cm. TABLA DE DATOS Espacio

e

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

m

t1 t2 Tiempo

Velocidad

t3 t4 t5 –t

s

v

m/s

Calculamos la velocidad en cada uno de los casos y comprobamos que, al tratarse de un movimiento rectilíneo uniforme, los valores obtenidos coinciden. Esto también puede comprobarse mediante una representación gráfica: „„

Si representamos en un sistema de ejes de coordenadas los valores de la velocidad en ordenadas, y los del tiempo en abscisas, obtendremos una línea recta paralela al eje de los tiempos.

„„

Representando en un sistema de ejes los valores de las magnitudes espaciotiempo, obtendremos una línea recta cuya pendiente coincide numéricamente con el valor de la velocidad.

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4.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado En este caso el material a utilizar va a ser el representado en la Figura 11. „„

1 carril de deslizamiento.

„„

1 bola de acero.

„„

1 cronómetro.

„„

1 pieza de madera para inclinar el carril.

El método constará de las siguientes etapas: a) Colocaremos la pieza de madera para dar inclinación al carril. b) Cronometraremos el tiempo empleado por la bola en recorrer cada una de las siguientes distancias: 40, 60, ..., 180 cm. Para ello, pondremos la bola en el extremo de la pista de lanzamiento Figura 11. y la soltaremos, evitando empujarla, para que su velocidad inicial sea cero. Pondremos en marcha el cronómetro y lo pararemos cuando la bola pase por el punto convenido. Para cada una de las distancias, realizaremos la medida del tiempo un mínimo de cinco veces y calcularemos el valor medio. TABLA DE DATOS Espacio

e

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

m

t1 t2 Tiempo

Velocidad Aceleración

t3 t4 t5 –t

s

v

m/s m/s2

Al igual que en el apartado anterior, también podemos hacer representaciones gráficas: „„

Un diagrama velocidad-tiempo. Obtendremos una línea recta cuya pendiente corresponderá a la aceleración.

„„

Representando las magnitudes espacio-tiempo obtendremos una curva. La pendiente de la tangente en cada punto coincidirá con el valor de la velocidad instantánea de la bola en ese punto.

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TEMARIO

4.3. Tiro horizontal y parabólico Montaremos el siguiente material según la Figura 12: „„

1 soporte y pinza.

„„

1 carril de deslizamiento.

„„

1 bola de acero.

„„

1 pie soporte de madera.

„„

1 hoja de papel carbón.

„„

1 hoja de papel milimetrado.

„„

1 esponja amortiguadora.

„„

1 regla graduada de un metro.

„„

1 pie de rey. Figura 12. Tiro parabólico.

Y'

y h

X' α O xi

yi

α

X

X υ0

Y Figura 13.

Refiriéndonos a los esquemas de la Figura 13 vemos que: „„

En el punto 0 el móvil está animado de una velocidad v0, de componentes: v0x = v0 · cos α v0y = v0 · sen α

„„

El movimiento, según el eje XX’ es uniforme, y según el eje YY’ es uniformemente acelerado, debido a la acción de la gravedad. En cada instante las coordenadas del vector posición son:



x = (v0 · cos α) · t



α

(55)

(56)

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„„

Para obtener la ecuación de la trayectoria, eliminamos t despejándola en (55) y sustituyéndola en (56). Obtenemos: ·

·

y englobando convenientemente las constantes, obtenemos: y = ax2 + bx en donde: y b = tg α El procedimiento es el siguiente: „„

Colocamos la banda de papel milimetrado sobre el soporte vertical, sujetándola con papel adhesivo.

„„

Marcamos sobre dicho papel una línea horizontal coincidiendo con el centro de la bola en el extremo más bajo del carril de lanzamiento.

„„

Separamos de 2 en 2 cm el soporte vertical y dejamos caer la bola a lo largo del carril, de forma que al abandonar el carril describe una curva en el aire.

Para registrar el impacto de la bola sobre el papel milimetrado, colocamos delante del mismo el papel carbón. Repetimos el lanzamiento un mínimo de tres veces (para cada valor de x) y tomamos luego la media aritmética de los resultados obtenidos. „„

Medimos el ángulo α. Para ello, hallamos x e y para un punto cualquiera del carril inclinado.

„„

Medimos también la altura h desde la que hemos lanzado la bola. TABLA DE DATOS x

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

y

x=

y=

tg α =

Altura de caída de la bola (h) =

Con los datos de la tabla representamos la gráfica correspondiente a la trayectoria. Para diseñar una práctica de cinemática hemos de utilizar con destreza los instrumentos que nos permiten relacionar las cantidades de las magnitudes que intervienen en cada caso concreto, esto es, longitudes y tiempos.

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TEMARIO

Un laboratorio virtual que proporciona materiales para el estudio práctico del movimiento de los cuerpos se puede encontrar en: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/cinematica.htm http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

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CONCLUSIÓN

En este tema hemos estudiado el movimiento de los cuerpos caracterizándolos por sus parámetros significativos: el vector de posición, el vector velocidad y el vector aceleración. Hemos referido la aceleración al triedro intrínseco y con base en la expresión resultante hemos realizado el estudio exhaustivo de los movimientos. Esto ha dado lugar a su clasificación atendiendo al valor de sus componentes intrínsecas. También hemos desarrollado el estudio de un movimiento singular como es el movimiento armónico simple.

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TEMARIO

BIBLIOGRAFÍA ABAD, L. e IGLESIAS, L. (2000): Problemas resueltos de física general. Madrid: Bellisco. Ofrece, como todos los libros de problemas, la posibilidad de enfrentarse a la resolución de los problemas, de dificultad media, propuestos y contrastar estrategias de planteamiento y soluciones.

ALONSO, M. y FINN, E. J. (1995): Física. Madrid: Addison-Wesley Iberoamericana. Manual de consulta clásico que aborda toda la física. En su volumen I podemos encontrar los temas de mecánica expuestos con rigor en su planteamiento y desarrollo.

ANDRÉS, D. M.; ANTÓN, J. L.; BARRIO, J.; DE LA CRUZ, M. C. y GONZÁLEZ, F. (1996): Física: Ciencias de la naturaleza y salud. Tecnología. Madrid: Editex. Libro de texto de 2º de Bachillerato muy bien estructurado y con muchos ejercicios resueltos después de cada pregunta, propuestos al final de cada tema y actividades experimentales relacionadas con el mismo. No elude el uso de las herramientas matemáticas que sean necesarias.

BERKELEY PHYSICS COURSE (2005): Curso de física de Berkeley. Barcelona: Reverté. En este texto podemos encontrar actividades experimentales de cada tema, así como una exposición amena de los mismos.

CATURLA, E. y VIDAL, F. (1982): Física: Quark. Textos de orientación universitaria. Barcelona: Vicens-Vives. Texto de introducción a la física en la universidad que presenta unas lecturas comentadas y los objetivos de cada tema de forma clara y concisa.

ESQUEMBRE, F.; MARTÍN, E.; CHRISTIAN, W.; BELLONI, M. (2004): Fislets: enseñanza de la Física con material interactivo. Madrid. Pearson Alhambra. CD con numerosos Fislets en JAVA de las diferentes partes de la Física.

FRANCO, A.: Física con ordenador. e-book descargable en la dirección: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/cinematica.htm Contiene una exposición de los temas utilizando el planteamiento matemático que se necesita y ofrece de forma interactiva la posibilidad de realizar prácticas de los mismos.

GIANCOLI, D. C. (1988): Física general. México: Prentice-Hall Hispanoamericana. Realiza una presentación amena de los temas eludiendo la dificultad matemática de los mismos. En su volumen I presenta los temas de mecánica, ondas y termodinámica.

PEÑA, A. y GARCÍA, J. A. (1997): Cuadernos de actividades. Cinemática. Madrid: McGraw-Hill. Presenta una serie de prácticas sencillas pero de conclusiones definitivas.

TIPLER, P. A. y MOSCA, G. (2006): Física. Barcelona: Reverté. Una buena presentación de los temas con muchos ejemplos de aplicación resueltos y una colección amplia de problemas catalogados en función de su dificultad.

YAVORSKI, B. y DETLAF, A. A. (1977): Manual de física. Madrid: MIR. Es un diccionario de física muy denso, pero en él se puede encontrar una referencia inmediata que nos permite iniciar el estudio de casi cualquier tema de física clásica y moderna.

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RESUMEN Cinemática. Elementos para la descripción del movimiento. Movimientos de especial interés. Métodos para el estudio experimental del movimiento.

1. CINEMÁTICA La cinemática constituye una parte de la mecánica que se ocupa del estudio y descripción del movimiento, prescindiendo de las causas que lo originan.

„„ Celeridad

El módulo del vector velocidad instantánea representa la rapidez con la que el móvil describe la trayectoria; esta magnitud escalar recibe el nombre de celeridad.

c=

2. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO Un punto está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a un objeto, que constituye el sistema de referencia. Se establece una dependencia funcional entre la variable t y la posición del punto, definida por el vector posición de componentes (x, y, z). „„ Ecuación vectorial del movimiento „„ Trayectoria

Línea descrita por el móvil en el espacio durante el movimiento: f1 (x, y, z) = 0 f2 (x, y, z) = 0 „„ Ley horaria del movimiento

La ley horaria del movimiento, junto con la ecuación de la trayectoria, nos define plenamente el movimiento, igual que lo hace la ecuación vectorial:

2.1. LA VELOCIDAD „„ Velocidad media

G G G Δ r r2 − r1 G = vm = Δt t 2 − t1

„„ Velocidad instantánea

G G Δ r dr(t) G v = lim = Δt → 0 Δt dt

ds dt

Es posible definir el vector con base en sus componentes cartesianas o sus componentes intrínsecas. La unidad de velocidad en el S. I. es el m/s.

2.2. LA ACELERACIÓN Si trasladamos el origen del vector de la trayectoria al origen de coordenadas, el extremo describirá una curva que se conoce con el nombre de hodógrafa del movimiento. „„ Hodógrafa del movimiento

Viene a ser la curva derivada temporal de la trayectoria. „„ Aceleración media

G G K G G G Δv v 2 − v1 v(t 2 ) − v(t1 ) = = am = Δt t 2 − t1 t 2 − t1 „„ Aceleración instantánea

G G G G G dv d ⎛ dr ⎞ d 2 r a = lim a m = = ⎜ ⎟= 2 Δt →0 dt dt ⎝ dt ⎠ dt

Es posible definir el vector aceleración con base bien en sus componentes cartesianas, o bien en sus componentes intrínsecas. La unidad de aceleración en el S. I. viene dada por el m/s2.

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TEMARIO

3. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS 3.1. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS XXMovimiento rectilíneo y uniforme (m.r.u.)

Velocidad constante, en magnitud, dirección y sentido. Expresión característica: s = v (t – t0) + s0

„„ Velocidad angular instantánea

ωm = lim

Δt → 0

Δθ dθ = Δt dt

Su unidad en el S. I. será rad/s, y su dimensión, T-1. „„ Aceleración angular

−− El valor medio: t

−− El valor instantáneo:

XXMovimiento rectilíneo uniformemente

acelerado (m.r.u.a.) Vector aceleración constante con el tiempo. Expresión característica: 1 s – s0 = v0 (t – t0) +  a (t – t0)2 2 Si la variación de la velocidad con el tiempo fuera negativa, dv/dt < 0, la aceleración tomaría un signo negativo y estaríamos ante un movimiento rectilíneo uniformemente retardado (m.r.u.r.).

3.2. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Existen diferentes situaciones en las cuales el movimiento a estudiar resulta de la composición o superposición de movimientos rectilíneos. Ley clásica de adición de velocidades según la cual la velocidad instantánea de un movimiento compuesto es la suma vectorial de las velocidades individuales.

3.2.1. Movimiento de proyectiles „„ Tiro horizontal

Consideremos el movimiento cuya componente horizontal (sobre el eje de las X) es un m.r.u., y la componente vertical (sobre el eje Y), un m.r.u.v. de aceleración g. „„ Tiro oblicuo

En este caso, la velocidad inicial forma un ángulo α con la horizontal, pero por lo demás sigue siendo el movimiento resultante de un m.r.u. y un m.r.u.v. de aceleración –g.

Su unidad es el rad/s2 Expresión más general que relaciona las diferentes magnitudes vectoriales: XXMovimiento circular uniforme

Cuando la velocidad angular ω se mantiene constante, o la aceleración angular α es nula. XXMovimiento circular uniformemente variado

La aceleración angular α es constante.

3.4. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Es el de un móvil sometido a una aceleración tangencial variable, que en cada instante es proporcional y de signo opuesto al desplazamiento respecto de su posición de equilibrio. Se define: „„ Elongación: como la distancia que hay entre un punto

P, donde se encuentra el móvil, y el centro de equilibrio. „„ Amplitud: es la elongación máxima. „„ Periodo: es el tiempo que tarda el móvil en pasar dos veces consecutivas por un mismo punto, en el mismo sentido. Se representa por T. „„ Frecuencia: es el número de oscilaciones que da por segundo. Es el inverso del periodo.

4. MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVIMIENTO 4.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Estudio del movimiento de un coche.

3.3. MOVIMIENTO CIRCULAR Es el de un punto móvil cuya trayectoria es una circunferencia. „„ Velocidad angular media

ωm =

Δθ dθ = Δt dt

4.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Estudio del movimiento de una bola.

4.3. TIRO HORIZONTAL Y PARABÓLICO Estudio experimental de la ecuación de la trayectoria del tiro parabólico.