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Profesor: Rigoberto Carlos Proleón Patricio

Vectores Vectores unitarios: Son los vectores i ,

j y k , de modulo uno que se encuentran en la dirección positiva de los ejes x , y y z respectivamente.

Ax

A cos

Ay

A cos

Az

A cos

Donde

,

y

son los ángulos

directores del vector vector está dado por

Ax2

A

 A.

Ay2

El módulo del

Az2

Ejemplo Cualquier vector

 A

se puede escribir en

Ax , Ay Az y los vectores unitarios i , j y k .

función de sus componentes

y

Sea el vector

 A 5i 1j 2k

módulo de este vector es A luego los cosenos directores son

cos

5 30

el

30 ,

0,91287

cos 1 (0,91287) 24,09o cos

1 30

0,182574

cos 1 ( 0.182574) 100,52o cos

2 30

0,36515

cos 1 (0,36515)

 A

68,58o 

Ax i

Ay j Az k

1. Sea el vector A 3i - 6j 5k , calcule los ángulos directores del vector.

donde Producto escalar: Dados dos vectores

 B

 A

y

que forman un ángulo θ,

1

Profesor: Rigoberto Carlos Proleón Patricio y M 6i 2j k N 2i j 3k calcular el producto escalar M N y el ángulo entre los

5. Dados

vectores. Definimos el producto escalar por

  A B

6. Encontrar el producto escalar entre los vectores

AB cos



El producto escalar es conmutativo



El producto escalar de un vector



    a b b a.

   a consigo mismo es a a

a2 .

El producto escalar de dos vectores

  ortogonales a y b es cero.

  7. Para a 3i j k , b i 2j 5k     y c 2j 3k , encontrar c (a b ) .

Luego los vectores unitarios satisfacen

i i j j k k 1 i j j k k i 0

8. Usando la definición de producto escalar encontrar el ángulo entre a)

De esta manera el producto escalar de dos vectores

 b

 a

ax i a y j az k

y

bx i by j bz k se escribe   a b

a x bx

a y by

a z bz

Ejemplos 2. ¿Cuál es el ángulo entre los vectores a = 3i + 3 j + 3k y b= 2 i + 1 j +3 k?

  a 3i 2j y b) b 4i 4j   a 2i 4j y b 3i 4j 2k y c)   a i 2j k y b 3j 4k .

Producto vectorial: De dos vectores

  a y b es un vector perpendicular a ambos

y su sentido está dado por la regla de la mano derecha. Se denota por modulo es igual a

  a b

  a b y su

ab sen

3. ¿Para qué valor de “a” los vectores a = ai - 2 j +k y b= 2ai + a j - 4 k son ortogonales? 4. Hallar el ángulo que forman los vectores s=a+b y d=a-b. Donde los vectores a y b están dados en el ejemplo 1.

2

Profesor: Rigoberto Carlos Proleón Patricio 

El

producto

vectorial es     conmutativo a b b a.

anti

y M 6i 2j k N 2i j 3k calcular el producto vectorial M N .

10. Dados

11. Dos vectores son A

B 6i 10 j 9k .

3i 7 j 4k y Evaluar

las

1

cantidades a) cos [ A B / AB ] y b)

sen 1[ A B / AB ] , c) ¿cuál da el ángulo entre los vectores? 12. Si A B A B , ¿cuál es el ángulo entre los vectores? 13. Un estudiante dice haber encontrado  un vector tal que A

 (2i 3j 4k) A 4i 3j k ,

¿puede tener razón

Triple producto escalar: Dados tres 



El producto vectorial de un vector    a consigo mismo es a a 0 . Los vectores unitarios satisfacen

i i j j k k 0 i j k, j k i, k i j

vectores

  A, B

 a ax i a y j az k

 y b bx i by j bz k se escribe

  a b

i

j

k

ax

ay

az

bx

by

bz

Ejemplos

 C , el triple  producto  por A ( B C ) ,

escalar se define tenemos la identidad

   A (B C)

De esta manera el producto vectorial de dos vectores

y

Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

Cx

Cy

Cz

Intercambiando filas en la matriz podemos mostrar

      A ( B C ) C ( A B) Nota: El volumen del paralelepípedo

 



formado por los vectores A , B y C es igual al valor absoluto del triple producto vectorial

V

   A (B C)

9. Si a = 3i -4 j , b= -2 i +3 k , obtenga c = a b, su modulo y verifique que es perpendicular a los vectores a y c.

3

Profesor: Rigoberto Carlos Proleón Patricio

   A ( B C ) ( j k )( 1) (i j)(1)

   A (B C)

i k

17. Sean a = i + j , b= i - j +2 k y c=3j+k . Calcular a) (a b) c b) a (b c). Ejemplos 14. Considere los vectores A=i+4j, B=2i-3j y C=i+k. Encuentre la cantidad escalar A ∙(B C) y la cantidad (A B)∙C 15. Sean A 1i 2j k ,

B j k

y

C i j , calcular el triple producto escalar.

Ejercicios propuestos:

Solución

   A (B C)

1

2

0

1

1

1

1 1

4

0

Triple producto vectorial: Dados tres vectores

18. Considere los vectores a = i +4 j, b= 3i -4 j y c=12i+10j. Encuentre a) el vector a (b c) b) el vector (a b) c y c) demuestre que estos vectores satisfacen a (b c)=6[a (b a)] y (a b) c=6[a (b a)] + 2[(a b) b]

  A, B

y

 C ; el triple  producto  

vectorial se define por tenemos la identidad

   A (B C)

A (B C) ,

      B( A C ) C ( A B)

19. Dos vectores r y s están en el plano xy. Sus módulos son 4,5 y 7,3 respectivamente y hacen ángulos de 320o y 85o respectivamente con el sentido positivo del eje x. ¿Cuáles son los valores de a) r∙s y b) r s? 20. Sean a=i+j, b=-i+2j, c=2i+3j+k. Encontrar a) a b b) (a-b) (c-a) c) (a+3c) b d) (a-2c) 3b. 21. Evalúe el ángulo entre los vectores A=i +j- k y B=2i+2j+5k.

Ejemplos 16. Sean A 1i 2j k , B j k y C i j , calcular el triple producto escalar

   A (B C) .

Solución

A C 1 A B 1 Luego

4