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VECTORES EN 3D Guía de sesión N°03

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.

Halla el valor de x para que los  = (3; – 5; 1),  = (7; 4; 2) vectores
y  = (1; 14; ) sean coplanarios (es decir, que el volumen del paralelepípedo determinado por ellos sea cero). A) 2

2.

B) 0

√ √ ; ; 0  

C) √2; √2; 0 E) N.A.

7.

D)

8.

B) 53 C) 55 D) 54 E) N.A.

Expresa el vector   = (1; 2; 3) como combinación lineal de los vectores:  = (1; 0; 1), ! = (1; 1; 0) y "  = (0; 1; 1). A)  + 2! C) 2  + ! E) N.A.

B)  + 2"  D) ! + 2" 

Universo = Universidad, prepárate con nosotros...!

Siendo vector =(1; 0; 1), !=(1;1;0) y " =(0;1;1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector vector   = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores. A)  = −2  + 2"  B)  =  − "   C)   =  + 2" D)  =  + "  E) N.A.

√ √ ; ; 0   √ √  ; ; 0  

B) 

Halla el volumen del paralelepípedo  = (3; – 5; 1), definido por
 = (7; 4; 2) y   = (0; 6; 1)

A) 50

5.

B) (−27; −6; 9) D) (−25; −6; −5)

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores:  = (3; $; −6),  = (−2; 1; $ + 3),  = (1; $ + 2; 4). Escribir  como combinación lineal de ! y " , siendo k el valor calculado.  A)  = −2! + " B)  = −2! − "  C)  = ! + "  D)  = −4! + "  E) N.A.

E) N.A.

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2;−2;3) y (3;−3;2). A) 

4.

D) 1

Hallar un vector perpendicular a  = (2; 3; 4).  = (2; 3; 4) y
A) (25; 6; 6) C) (−27; 6; 9) E) N.A.

3.

C) 5

6.

Dados los vectores vector  = (1; 2; 3), ! = (2; 1; 0) y "  = (−1; −1; 0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1; −1; 0) respecto de dicha base. A) (2;0;3) B) (-1;0;3) D) (0;2;3) E) N.A.

9.

C) (1;2;3)

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1). A) (1;2) D) (2;–3)

B) (–1;3) E) N.A.

C) (3;2)

1

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10. El valor de m para que los vectores  = (2; −3; 5) y  = (; 2; 3) sean ortogonales. A) -9 D) -7/3

B) 1/2 E) N.A.

C) –9/2

11. Dados los vectores  = (3; 1; −1) y ! = (2; 3; 4), hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores vector  y !. A) √285 D) √256

B) √294 E) N.A.

C) √234

12. Calcular la resultante (&) de los siguientes 3 vectores: ' = ( + 4) − 3$  = ( + 3) + 2$ * + = −4( − ) − 2$

13. Determine el módulo del vector , , si::

B) –1 C) 1

D) 2

E) –2

16. Un vector ' tiene su origen en el punto (2; -1; -2) y su extremo (flecha) en un  se punto “P”; un segundo vector * inicia en el punto “P” y termina en el punto (-3; 1; 3). Calcular el módulo del vector resultante de estos dos vectores A) 2√6 D) 5√6

B) 3√6 E) 6√6

C) 4√6

A) √6 D) √5

B) 2 E) 2√6

C) 3

18. Calcular el vector unitario del vector '.

 + 3+ , = 2' − *  ' = 2( + ) + $  = ( − ) + 2$ * + = −( + 3) − 2$ B) 6√2 E) 12

A) 0

17. Dos vectores parten de un mismo punto “P” y uno de ellos termina en el punto (3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2). Calcular el módulo de la resta de estos vectores.

A) & = ( + 3) + 3$ B) & = −( + 3) + $ C) & = −( + 3) − $ D) & = ( + 3) + $ E) & = −( + 5) + $

A) 6 D) 6√5

15. Determine los valores de m y n si se cumple la siguiente relación:  + .+ ' = *  = 2( + ) + 3$ ' = ( − ); * + = ( + ) + 2$ Dar como respuesta: m + n

C) 6√3

14. Si el módulo del vector ' es igual a 3, : calcular el módulo del vector *  = (2-; -; 4) ' = (1; -; -); * A) 4

2

B) 4√2 C) 6 D) 6√2 E) 10 Universo = Universidad, prepárate con nosotros...!

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/   A) ( + ) + $    / / / B) ( + ) + $ 0











23. Un vector forma 60º con el eje “x”, 120º con el eje “y”, ¿qué ángulo forma dicho vector con el eje “z”?

/   C) ( + ) − $    /   D) ( − ) + $

A) 30° D) 120°

/   E) − ( + ) + $ 





19. Calcular la resultante de los vectores ' , ubicados en el siguiente cubo de 2 y* unidades de arista.

B) 45° E) 180°

C) 60°

24. El resultado de efectuar el producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad igual al módulo del producto vectorial de los mismos vectores. ¿Qué ángulo forman dichos vectores? A) 30° D) 60°

B) 37° E) 90°

C) 45°

 25. ¿Qué ángulo forman los vectores ' y *    = ( + ) si se sabe que: ' = 2$ y * A) 0° D) 90°

A) ( + 2) + 2$ B) 2( + 4) + 2$ C) 2( + 4) − 2$ D) 2( − 4) + 2$ E) 2( − 4) − 2$

B) 45° E) 120°

C) 60°

26. El vector ubicado en el cubo de arista igual a 1, tiene un módulo igual a 3√3. Determine su ecuación vectorial.

20. Si la resultante de los vectores -, 1 y 2; es nula, calcular: m + n + p. - = (; .; −4); 1 = (.; −1; 3) y 2 = (3; 3; ) A) 0

B) +1 C) -1

D) +2 E) –2

21. Si se tiene: - = (3; 1; − 4) 1 = (−2; 3; 1). Calcular: -. 1 A) +7

B) -7

C) -1

y

D) +1 E) 0

 son 22. Si los vectores ' y * perpendiculares entre sí, determine el valor de “a”. ' = (-; −2; 3) y  = (2; 1; −-) * A) 0

B) +1 C) -1

D) +2 E) -2

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A) ( + ) + $ B) 2( + 2) + 2$ C) 3( + 3) + 3$ D) 3( − 3) + 3$ E) √3( + √3) + √3$ 27. ¿Qué ángulo forman los vectores:  = −( + ) + $ ' = ( + 2) + 2$ y * A) 30° D) 567/ √2

B) 60° C) 90° E) 567/ √3

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28. Calcular el producto vectorial: ' × *.  = (1; −2, −1) ' = (2; −3; 1) y * A) (5;3;-1) D) (1;3;-1)

B) (5;-3;-1) C) (-5;3;1) E) (1;3;-1)

29. En la siguiente figura se tiene un cubo de arista igual a 1, y en él dos vectores. Determine el producto escalar de dichos vectores.

A) 0

B) +1 C) -1

33. Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3;2;1), B(1;2;4), C(4;0;3) y D(1;1;7). A) 1/6u3 D) 3/5

B) 1/3 E) N.A.

C) 5/6

D) +2 E) -2

 son 30. Se sabe que los vectores ' y * perpendiculares entre sí. Calcular: :, si: ' = ( − -) + $ y :' × *  * = 2( + 2) + -$ A) 3 D) 6√2

B) 3√2 E) 12

C) 6

31. Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1;1;3), B(2;−1;5) y C(−3;3;1). A) 3u2 D) 6√2

B) 3√2 E) 5

C) 8

32. Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:  = (3; −2; 5) y  = (2; 2; −1)
 = (−4; 3; 2)  A) 80u3 B) 91 C) 10 D) 20 E) N.A.

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