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• Alan Vázquez González

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE METALMECÁNICA

1. Conducción en estado estable. Analizar la distribución de temperatura y la transferencia de calor por conducción en estado estable unidimensional y bidimensional, y aplicarlos en la solución de problemas.

Rev. 1

1. Conducción en estado estable

Introducción 

Termodinámica: es la parte de la física que se encarga de la relación entre el calor y el trabajo.



El calor y el trabajo son modos en que los cuerpos y los sistemas transforman su energía.



Esto permite establecer un equivalente mecánico del calor. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Equivalente mecánico del calor 

De trabajo mecánico a calor: Frota dos bloques de hielo, y comprobarás que se derriten, aún cuando estés en una cámara frigorífica a una temperatura menor de 0ºC.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Equivalente mecánico del calor 

De calor a trabajo mecánico: En una máquina de vapor, la expansión del vapor de agua que se calienta produce el desplazamiento del pistón.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Trabajo y calor 

Son métodos de transferencia de energía. Utilizan la misma unidad de medida en el Sistema Internacional, el julio ( J ). Además, es habitual utilizar la caloría ( cal ) para medir el calor.



La conversión entre calorías y julios viene dada por:

1 cal = 4.184 J ⇔ 1 J = 0.24 cal

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Principio cero de la termodinámica 

Dos cuerpos están en equilibrio térmico cuando, al ponerse en contacto, sus variables de estado no cambian. En torno a esta simple idea se establece la ley cero.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ley cero de la termodinámica 

Establece que, cuando dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero, estos están a su vez en equilibrio térmico entre sí.

Calor  Es

la forma de la energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de la diferencia en la temperatura.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Proceso de transferencia 



El calor, en esencia, se transporta, o se “mueve”, mediante un gradiente de temperatura, fluye o se transfiere de una región de alta temperatura a una de baja temperatura. La comprensión de este proceso y sus diferentes mecanismos requiere que se conecten los principios de la termodinámica y del flujo de fluidos con los de la transferencia de calor.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Transferencia de calor 



Siempre que existe un gradiente de temperatura en un sistema, o cuando se ponen en contacto dos sistemas con temperaturas diferentes, se transfiere energía. El proceso mediante el cual tiene lugar el transporte de energía se conoce como transferencia de calor.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Lo que se transporta, denominado calor, NO SE PUEDE observar o medir de manera directa.



Sin embargo, sus efectos se pueden identificar y cuantificar mediante mediciones y análisis de otros parámetros.



El flujo de calor, al igual que la realización de trabajo, es un proceso mediante el cual se cambia la energía interna de un sistema. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

CONDUCCIÓN

CONVECCIÓN

RADIACIÓN

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Se reconocen por lo general tres modos distintos de transmision de calor: por conduccion, por radiacion y por conveccion. Sin embargo, sólo la conducción y la radiación se deben clasificar como procesos de transferencia de calor, debido a que el intercambio de energía dependen de la simple existencia de una diferencia de temperatura.

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

La convección, no cumple estrictamente con la definicion de transferencia de calor ya que su operacion tambien depende del transporte mecanico de masa.

Pero como en la convección tambien se realiza transmision de energía de regiones de temperatura mayor a regiones de temperatura menor, el termino “transferencia de calor por convección” se ha aceptado generalmente

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Unidades

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Temperatura 



Según la teoría cinética, la temperatura es una medida de la energía cinética media de los átomos y moléculas que constituyen un sistema. Dado que la energía cinética depende de la velocidad, podemos decir que la temperatura está relacionada con las velocidades medias de las moléculas del gas. Hay varias escalas para medir la temperatura; las más conocidas y utilizadas son las escalas Celsius (ºC), Kelvin (K), Fahrenheit (ºF) y Rankine (°R). Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Factores de Conversión: Escalas relativas La referencia es el punto de congelación y de ebullición del agua ºC = (ºF-32)/1.8; La referencia es el punto de congelación del cloruro de amonio y la temperatura corporal del cuerpo humano °F = 1.8 °C + 32;

Escalas absolutas K = °C +273,15;

°R = 460 + °F

Transferencia de calor por conducción

𝑇𝐶 − 𝑇𝐹 𝑞 = 𝑘𝐴 ∆𝑥 Colisiones y difusión de moléculas

Interacción de partículas

sólidos

Vibración de moléculas líquidos

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gases

Transferencia de calor por convección

𝑞 = ℎ𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑚𝑏 Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Transferencia de calor por radiación   

    

Las energías radiantes podemos mencionar: Los rayos cósmicos Rayos x Rayos gama Rayos ultravioleta La luz visible Rayos infrarrojos Ondas de radio

𝑞 = 𝜀𝜎𝐴

4 𝑇𝑠

−

4 𝑇𝑟𝑒𝑐

 ; emisividad de la superficie  = 5.67x 10 -8 [W/m 2 K 4 ]constante de Stefan - Boltzmann Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Mecanismos de transferencia de calor

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA DEPARTAMENTO DE METALMECÁNICA

1.1. Mecanismo físico de la conducción.

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1. Conducción en estado estable





Siempre que exista un gradiente de temperatura en un medio sólido, el calor fluirá de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura. La velocidad a la que el calor se transfiere por conducción, qk, es proporcional al gradiente de temperatura dT/dx por el área A a través de la que se transfiere el calor:

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ecuación de Fourier para conducción de calor en estado estable

𝜕𝑇 𝑞𝑘 = −𝑘𝐴 𝜕𝑥 𝞉T/ 𝞉x es el gradiente de temperatura en la dirección del flujo de calor. k es la conductividad térmica del material en W/mºC El signo negativo es consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, que requiere que el flujo de calor debe fluir en dirección de una temperatura mayor a una menor. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

El gradiente de temperatura será negativo si la temperatura disminuye al aumentar los valores de x. Por tanto, si el calor transferido en la dirección x positiva debe ser una cantidad positiva, se debe insertar un signo negativo en el lado derecho de la ecuación.

Ecuación de Fourier 



La ecuación define la conductividad térmica y se denomina ley de la conducción de Fourier en honor al científico francés Jean-Baptiste Joseph Fourier Fourier, que la propuso en 1822. La conductividad térmica en la ecuación es una propiedad del material que indica la cantidad de calor que fluirá por tiempo unitario a través de un área unitaria cuando el gradiente de temperatura es unitario. Rev. 1

Transferencia de Calor

1768-1830

1. Conducción en estado estable







En el sistema SI, el área está en metros cuadrados (m2), la temperatura en kelvine (K), x está en metros (m) y la tasa de flujo de calor en watts (W). Por tanto, la conductividad térmica tiene las unidades de watts por metro por kelvine (W/m K). En el sistema inglés, el área se expresa en pies cuadrados (ft2), x en pies (ft), la temperatura en grados Fahrenheit (ºF) y la tasa de flujo de calor en Btu/h. k , tiene las unidades (Btu/h ft ºF) La constante de conversión para k entre los sistemas SI e inglés es 1 W/m K = 0.578 Btu/h ft ºF Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas 

El flujo de calor unidimensional en régimen permanente a través de una pared plana, el gradiente de temperatura y el flujo de calor no varían con el tiempo, y el área a lo largo de la trayectoria del flujo de calor es uniforme. 𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 𝑇2 𝑞𝑘 𝐿 න 𝑑𝑥 = − න 𝑘𝑑𝑇 = − න 𝑘𝑑𝑇 𝐴 0 𝑇𝐶𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇1



Los límites de integración se pueden verificar inspeccionando la figura 1.3, donde la temperatura en la cara izquierda (x = 0) es uniforme en Tcaliente y la temperatura en la cara derecha (x = L ) es uniforme en Tfría. Si k es independiente de T, después de integrar se obtiene la expresión siguiente para la tasa de conducción de calor a través de la pared:



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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

T1= Tcaliente

Consideremos que k es independiente de T 𝐴𝑘 ∆𝑇 𝑞𝑘 = 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑇𝑓𝑟í𝑎 = 𝐿ൗ 𝐿 𝐴𝑘   

∆𝑇 representa el potencial térmico que ocasiona el flujo de calor 𝐿Τ 𝐴𝑘 es equivalente a una resistencia térmica Rk La conductancia térmica es el reciproco de la resistencia 𝐴𝑘 es decir Kk=1/Rk ∴ 𝐾𝑘 = 𝐿

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Conductividad térmica 

  

Si la conductividad térmica varia con la temperatura de acuerdo con alguna relación lineal k(T) = k0( 1 + 𝛽kT) Donde 𝛽k es una constante empírica k0 es el valor de conductividad a una temperatura de referencia la ecuación resultante para el flujo de calor es

𝑞𝑘 =

𝑘0 𝐴 𝐿

𝑇2 − 𝑇1 +

𝛽𝑘 2 𝑇2 − 𝑇12 2

𝑘𝑎𝑣 𝐴 𝑞𝑘 = 𝑇1 − 𝑇2 𝐿 

Donde kav es el valor de k a la temperatura promedio (T1+T2)/2

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejemplo: 

Una pared de concreto (k=1 W/mK) de 10 cm de espesor tiene sus respectivas superficies a 80 y 20ºC. Calcule el flujo de calor por unidad de área a través de la pared.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejemplo: La superficie exterior de una pared de concreto de 10 m de longitud y 3 m de largo tiene un espesor constante de 20 cm, se mantiene a una temperatura de -5ºC, en tanto que en la superficie interior se mantiene a 20ºC, la conductividad térmica del concreto es 1.2 W/m K. Determine: a. La resistencia térmica. b. La pérdida de calor a través de la pared.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes compuestas 

Si el calor se conduce a través de varias paredes planas con buen contacto térmico, como a través de una pared de capas múltiples de un edificio, la tasa de conducción de calor es la misma a través de todas las secciones.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas en serie

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas en serie 

Si el calor se conduce a través de varias paredes con buen contacto térmico como a través de una pared de capas múltiples de un edificio, el calor transferido es el mismo en todas las secciones. Sin embargo los gradientes de temperatura en cada capa es diferente debido a que son materiales diferentes y por consecuencia la conductividad térmica es distinta.

𝑞𝑘 =

𝑘1 𝐴 𝐿1

𝑇1 − 𝑇2 =

𝑘2 𝐴 𝐿2

𝑇2 − 𝑇3 =

𝑘3 𝐴 𝐿3

𝑇3 − 𝑇4

𝑞𝑘 =

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Transferencia de Calor

𝑇1 − 𝑇4 𝐿 𝐿1 𝐿 ൗ𝑘 𝐴 + 2ൗ𝑘 𝐴 + 3ൗ𝑘 𝐴 1 2 3

1. Conducción en estado estable

Para un sistema de N paredes 𝑇1 − 𝑇𝑁+1 𝑞𝑘 = 𝐿ൗ σ𝑛=𝑁 𝑛=1 𝑘𝐴

𝑛

𝑇1 − 𝑇𝑁+1 ∆𝑇 = 𝑛=𝑁 = 𝑛=𝑁 σ𝑛=1 𝑅𝑘,𝑛 σ𝑛=1 𝑅𝑘,𝑛

Donde: T1 es la temperatura de la superficie exterior de la capa 1 TN+1 es la temperatura de superficie exterior de la capa N 𝛥T es la diferencia global de temperatura o potencial de temperatura

𝑇𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑇𝑓𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑘 = 𝑞𝑘ሶ = 𝐴 𝑅𝑘 qk/A= es el flujo de calor por unidad de área

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejemplo 

Se va a construir una pared de 2 cm de espesor con un material que tiene una conductividad térmica promedio de 1.3 W/mºC. Se aislara la pared con un material que tiene una conductividad térmica de 0.35 W/mºC, de manera que la perdida de calor por metro cuadrado no excederá 1830 W. Suponiendo que las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared aislada son de 1300 y 30ºC, calcule el espesor de aislante requerido.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejercicio Una pared compuesta esta formada por una lamina de cobre de 2.5 cm, una capa de asbesto de 3.2 mm y una capa de fibra de vidrio de 5 cm. La pared se encuentra sujeta a una diferencia de temperatura total de 560 ºC. Calcule el flujo de calor por unidad de área a través de la estructura compuesta.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas en paralelo 



La conducción puede ocurrir en una sección con dos materiales diferentes en paralelo. Por ejemplo, en la figura 1.6 se muestra la sección transversal de una losa con dos materiales diferentes de áreas AA y AB en paralelo. Si las temperaturas sobre las caras izquierda y derecha son uniformes en T1 y T2, se puede analizar el problema en términos del circuito térmico que se muestra a la derecha de los sistemas físicos. Dado que el calor se conduce a través de dos materiales a lo largo de trayectorias separadas entre el mismo potencial, la tasa total de flujo de calor es la suma de los flujos a través de AA y AB Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas en paralelo

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes planas en paralelo 𝑞𝑘 = 𝑞𝐴 + 𝑞𝐵 T2

T1

𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑞𝑘 = + = + 𝐿ൗ 𝐿ൗ 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑘𝐴 𝐴 𝑘𝐴 𝐵

AA qk

𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑞𝑘 = = 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐴 𝑅𝐵 ൗ 𝑅 +𝑅 𝐴 𝐵

AB L

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Paredes compuestas

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejercicios 

Una sección de una pared compuesta con las dimensiones que se muestran a continuación tiene temperaturas uniformes de 200ºC y 50ºC sobre las superficies izquierda y derecha, respectivamente. Si las conductividades térmicas de los materiales de la pared son: kA= 70 W/m K, kB= 60 W/m K, kC= 40 W/m K y kD= 20 W/m K, determine la tasa de transferencia de calor a través de esta sección de la pared y las temperaturas en las interfaces.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Pared con conducción y convección 





Un problema común que se encuentra en la práctica de la ingeniería es el calor que se transfiere entre dos fluidos a temperaturas especificadas separados por una pared. La transferencia de calor por convección se puede integrar con facilidad en un circuito térmico. La resistencia térmica para la transferencia de calor por convección es: 1 𝑅𝑐 = ℎ𝑐 𝐴 Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas con convección y radiación Sistema en paralelo

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Conducción + Convección + Radiación

qconv q qrad

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejemplo 





Considérese una pared de cobre (k = 375 W/mK) de 1 cm de espesor de la que una de sus superficies está expuesta a vapor de agua condensándose (h = 10 000 W/m2K) a una temperatura de 200ºC. La otra superficie está en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2K) a una temperatura de 25ºC a) Calcule el calor por unidad de área transferido a través de la placa. b) Determine las temperaturas en ambas superficies de la pared.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejemplo 

Considérese la pared de un horno de estufa formada por dos placas delgadas de acero, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m°C) en el interior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puede suponerse en 250ºC, mientras la temperatura ambiente en la cocina puede variar entre 20 y 35ºC. Calcule el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitar que la temperatura en la superficie exterior exceda 60ºC. El coeficiente de transferencia de calor para convección en ambas superficies puede suponerse igual a 10 W/m2ºC. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas radiales 

Muchas de las aplicaciones de la transferencia de calor se basan en sistemas radiales al transportar fluidos calientes o fríos por tuberías

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas radiales 





Considérese un cilindro largo con un radio interno ri, un radio externo r0 y una longitud L. Exponemos este cilindro a una diferencia de temperaturas Ti-T0. El calor fluye en una dirección radial, de manera que r es la única coordenada espacial necesaria para especificar el sistema. El área para el flujo de calor en el sistema cilíndrico es: Ar = 2𝛑rL Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas radiales 

Consideraremos las temperaturas en los límites constantes, la distribución de temperatura no es una función del tiempo y la forma apropiada de la ecuación de conducción es:



Integrando con respecto a r



Realizando una segunda integración Para encontrar las constantes C1 y C2 se evalúa en las condiciones de frontera



∴ Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas radiales 

De manera similar ∴



La distribución de temperatura adimensional es:



La tasa de transferencia de calor a través de un cilindro de longitud L es

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas radiales 



En términos de una resistencia térmica se puede escribir

donde la resistencia al flujo de calor por conducción a través de un cilindro de longitud L , radio interior ri y radio exterior ro es

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

De manera similar a una pared plana con conducción y convección en serie también se pueden aplicar a un cilindro hueco largo como un conducto o un tubo. Por ejemplo, como se muestra en la figura, suponga que un fluido caliente circula a través de un tubo que está cubierto por un material aislante.

ln(r2/r1)

El calor transferido 

Para un sistema con un tubo interior y uno exterior de aislamiento, en el que por el interior circula un fluido caliente a una temperatura Th,∞; y por el exterior la temperatura del aire ambiente es Tc,; La tasa de transferencia de calor es:

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Sistemas esféricos unidimensionales

4𝜋𝑘 𝑇𝑖 − 𝑇𝑂 𝑞= 1ൗ − 1ൗ 𝑟𝑖 𝑟𝑂

Radio critico de aislamiento 



La pérdida de calor de un sistema cilíndrico cerrado a un entorno convectivo externo por lo general se puede minimizar aumentando el espesor del aislamiento, el problema es un tanto diferente en sistemas de diámetro pequeño. Un caso de interés practico es el aislamiento o funda de cables eléctricos, resistencias eléctricas y otros dispositivos electrónicos a través de los cuales fluye corriente.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Considere una resistencia (o cable) eléctrico con una camisa aislante de conductividad k , que tiene una resistencia eléctrica Re y porta una corriente i , como se muestra en la figura, junto con su circuito de resistencia térmica, donde el calor generado en el cable se transfiere al ambiente por medio de conducción a través del aislamiento y por convección en la superficie exterior del aislamiento. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable





Al agregar más aislamiento a una pared o al ático disminuye la transferencia de calor. Entre más grueso sea el aislamiento, más baja es la razón de la transferencia de calor. Esto es previsible ya que el área A de la transferencia de calor es constante y agregar aislamiento siempre incrementa la resistencia térmica de la pared sin incrementar la resistencia a la convección. Sin embargo, agregar aislamiento a un tubo cilíndrico o a una capa esférica es un asunto diferente. El aislamiento adicional incrementa la resistencia a la conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la superficie debido al incremento en el área exterior. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable







La transferencia de calor del tubo puede aumentar o disminuir, dependiendo de cuál sea el efecto que domine. Considere un tubo cilíndrico de radio exterior r1cuya temperatura de la superficie exterior, T1, se mantiene constante. Ahora se aísla el tubo con un material cuya conductividad térmica es k y su radio exterior es r2. Se pierde calor del tubo hacia el medio circundante que está a la temperatura T∞, con un coeficiente de transferencia de calor h por convección.



La razón de la transferencia de calor del tubo aislado hacia el aire circundante se puede expresar

q

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Cuando el radio exterior del aislamiento r aumenta, Rcond también aumenta, en tanto que Rconv disminuye debido a que el área superficial exterior está aumentando. Una disminución relativamente mayor en esta última sugeriría que existe un valor óptimo de r , o un radio crítico rcr del aislamiento, para el que Rtotal es un mínimo y la pérdida de calor q es un máximo. Esto se puede obtener con facilidad diferenciando Rtotal con respecto a r e igualando a cero la derivada como se muestra a continuación:

Para un sistema esférico

2

Ejercicio 

Una tubería de acero con un diámetro externo de 5 cm se encuentra cubierta por aislante de asbesto de 6.4 mm (k=0.096 Btu/h pie ºF) seguido de una capa de 2 cm de aislante de fibra de vidrio (k=0.028 Btu/h pie ºF). La temperatura de la pared de la tubería es de 315ºC, y la temperatura exterior del aislante es de 38 ºC. Calcule la temperatura interfacial entre el asbesto y la fibra de vidrio

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Coeficiente global de transferencia de calor 

Un problema común de la transferencia de calor es determinar la tasa de flujo de calor entre dos fluidos, gaseosos o líquidos, separados por una pared.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Coeficiente global de transferencia de calor Si la pared es plana y el calor se transfiere solo por convección en los dos lados, la tasa de transferencia de calor en términos de las dos temperaturas de los fluidos está dada por la ecuación

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



En algunas aplicaciones como en el diseño de intercambiadores de calor, es conveniente simplificar la ecuación combinando las resistencias o conductancias individuales del sistema térmico en una cantidad denominada conductancia unitaria global, transmitancia global o coeficiente global de transferencia de calor U.



El uso de un coeficiente global es conveniente para la notación y es importante no perder de vista el significado de los factores individuales que determinan el valor numérico de U. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



La ecuación en términos de un coeficiente global se expresa como:

𝑞 = 𝑈𝐴Δ𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙



El coeficiente global U se puede apoyar en cualquier área elegida. El área seleccionada se convierte en particularmente importante en la transferencia de calor a través de las paredes de tubos en un cambiador de calor y para evitar confusiones siempre se debe establecer el área base de un coeficiente global. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Coeficiente global de transferencia de calor 

  

Para paredes planas las áreas de todas las secciones en la trayectoria del flujo de calor son las mismas, pero para sistemas esféricos y cilíndricos el área varía con la distancia radial y el coeficiente global de transferencia de calor se puede apoyar en cualquier área en la trayectoria del flujo de calor. El valor numérico de U depende del área seleccionada. Como el diámetro exterior es el más fácil de medir en la práctica, Ao= 2𝜋r3L suele elegirse como el área base. Entonces la tasa de flujo de calor es

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Ejercicio 



 

Una tubería de acero de 2.0 plg cédula 40 tiene k = 27 Btu/h ft°F. El fluido en su interior tiene h = 30 Btu/h ft2°F y la superficie externa de la tubería está cubierta con 0.5 plg de aislamiento de fibra de vidrio con k = 0.023 Btu/h ft°F. El coeficiente de convección en la superficie externa del aislante es de 2.0 Btu/h ft2°F La temperatura del fluido en el interior es de 320°F y la temperatura ambiente de 70°F. Calcule el coeficiente global de transferencia de calor Determine la pérdida de calor por pie de longitud. ¿Cuál es el radio crítico de aislamiento de la fibra de vidrio? Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

1.5. Conducción bidimensional. 



Hemos tratado los problemas donde la temperatura y el flujo de calor son funciones de una sola variable. Muchos problemas prácticos se encuentran en esta categoría, sin embargo cuando los limites de un sistema son irregulares o cuando la temperatura a lo largo de un limite no es uniforme, puede que un tratamiento unidimensional ya no sea satisfactorio. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



En estos casos, es posible que la temperatura esté en función de dos y hasta tres variables de posición. En muchas aplicaciones de ingeniería, pueden variar las temperaturas en un cuerpo dado en dos o tres direcciones de coordenadas, y por esto se hace necesario discutirla conducción de calor bidimensional y tridimensional.



La conducción de calor multidimensional ocurre en una esquina donde se unen dos o tres paredes, la conducción de calor a través de las paredes de un cilindro corto, la pérdida de calor en un tubo enterrado, dentro del monoblock de una máquina de combustión interna, en el tratamiento de calor de varias partes metálicas, y dentro de cualquier cuerpo compuesto, hecho con materiales que se poseen diferentes conductividades térmicas.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable







En un análisis de trasferencia de calor la determinación de la distribución de temperatura y el flujo de calor dentro y en la frontera de un cuerpo dado. Para resolver los problemas bidimensionales, se emplean métodos analíticos y gráficos en los problemas más sencillos y se usan técnicas numéricas en los problemas más complejos. Tal vez las herramientas más prácticas y útiles que se emplean al resolver problemas multidimensionales sean las técnicas de diferencias finitas.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Conducción bidimensional estacionaria 

 

1. Método Analítico 2. Método grafico 3. Métodos Numéricos

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

1. Método Analítico. 

El objetivo de un análisis de transferencia de calor es predecir la tasa de flujo de calor, la distribución de temperatura o las dos. En un sistema bidimensional sin fuentes de calor la ecuación de conducción general que rige la distribución de temperatura en régimen permanente es:



si la conductividad térmica es uniforme. La solución de la ecuación dará T (x y ), que es la temperatura como una función de dos coordenadas espaciales x y y. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Las componentes del flujo de calor por área unitaria o flujo de calor q” en las direcciones x y y (qx” y qy” respectivamente) se pueden obtener a partir de la ley de Fourier:

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable





La temperatura es un escalar, el flujo de calor depende del gradiente de temperatura y por tanto es un vector. El flujo de calor q” en un punto dado (x, y) es la resultante de las componentes qx” y qy” en ese punto y está dirigido perpendicularmente en una isoterma. Por tanto, si se conoce la distribución de temperatura en un sistema, la tasa de flujo de calor se puede calcular con facilidad. Los análisis de transferencia de calor suelen concentrarse en determinar el campo de temperatura.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

Método de separación de variables 

Una solución analítica de un problema de conducción de calor debe satisfacer la ecuación de conducción de calor así como las condiciones límites especificadas por las condiciones físicas del problema particular. El enfoque clásico para una solución exacta de la ecuación de Fourier es la técnica de separación de variables.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Considere una placa rectangular delgada, sin fuentes de calor y aislada en las superficies superior e inferior. La temperatura es una función sólo de x y y. Es decir T(x,y)

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Si la conductividad térmica es uniforme, la distribución de temperatura debe satisfacer la ecuación, de Laplace que es una ecuación diferencial parcial lineal y homogénea que se puede integrar suponiendo una solución de productos para T(x, y ) de la forma: T(x,y) = X(x)Y(y)

Aplicando la ecuación de Laplace tenemos:

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable





Ahora las variables están separadas. El lado izquierdo es una función sólo de x , en tanto que el lado derecho es una función sólo de y . Dado que ningún lado puede cambiar ya que x y y varían, los dos deben ser iguales a una constante, digamos 𝜆2 . Por tanto, se llega a las dos ecuaciones diferenciales

Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



La solución general para X y Y es



Por lo tanto

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Para encontrar las constantes A, B, C, y D se debe evaluar en las condiciones de frontera

C = -D A=0

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

 

Para satisfacer esta condición, sen 𝜆L debe ser cero o 𝜆 = n𝜋 /L , donde n = 1, 2, 3, etcétera. Por tanto, existe una solución diferente para cada entero n y cada solución tiene una constante de integración separada Cn . Sumando estas soluciones, se tiene

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1. Conducción en estado estable



Evaluando en la última condición de frontera en y = b

Ya que sólo se necesita el primer término en la solución de 𝑇𝑚 la serie con 𝐶1 = 𝜋𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝐿

Por tanto, la solución se convierte en:

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Transferencia de Calor

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

El campo de temperatura correspondiente se muestra en la figura. Las líneas continuas son isotermas y las discontinuas son líneas de flujo de calor. Se debe observar que las líneas que indican la dirección del flujo de calor son perpendiculares a las isotermas.

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable



Cuando las condiciones de frontera no son tan simples como en el problema del ejemplo, la solución se obtiene en la forma de una serie infinita. Por ejemplo, si la temperatura en el borde y = b es una función de digamos T(x , b ) = F(x), entonces la solución, es la serie infinita:

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1. Conducción en estado estable

Método gráfico 



En el método gráfico se puede producir con rapidez una estimación razonablemente buena de la distribución de temperatura y del flujo de calor en sistemas bidimensionales geométricamente complejos. Las isotermas son las líneas de potencial constante y el calor fluye perpendicular a ellas. Así pues, las líneas de temperatura constante y las líneas de flujo de calor constante se intersecan a ángulos rectos. Para obtener la distribución de temperatura primero se elabora un modelo a escala y luego se trazan a mano alzada las isotermas y las líneas de flujo, con el método de prueba y error, hasta que formen una red de cuadrados curvilíneos. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable

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Una solución gráfica, al igual que una solución analítica de un problema de conducción de calor descrito por la ecuación de Laplace y por la condición de frontera asociada. Por tanto, cualquier red curvilínea, independiente del tamaño de los cuadrados, que satisface las condiciones límites representa la solución correcta.



La tasa de flujo de calor está dada por la ley de Fourier:

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1. Conducción en estado estable

Este flujo de calor permanecerá igual a través de cualquier cuadrado dentro de cualquier curva de flujo de calor de la frontera a T1 a la frontera a T2 . Por tanto, 𝛥T a través de cualquier elemento en la curva de flujo de calor es 𝑇2 − 𝑇1 ∆𝑇 = 𝑁 donde N es el número de incrementos de temperatura entre las dos fronteras a T1 y T2 

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Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable





La tasa total de flujo de calor de la frontera a T2 a la frontera a T1 es igual a la suma del flujo de calor a través de todas las curvas. De acuerdo con las relaciones anteriores, la tasa de flujo de calor es la misma a través de todas las curvas ya que es independiente del tamaño de los cuadrados en una red de cuadrados curvilíneos. Por tanto, la tasa total de transferencia de calor se puede escribir como:

donde 𝛥qn es la tasa de flujo de calor a través de la enésima curva y M es el número de curvas de flujo de calor. Rev. 1

Transferencia de Calor

1. Conducción en estado estable





En cualquier sistema bidimensional en el que el calor se transfiere de una superficie a T1 a otra a T2 , la tasa de transferencia de calor por profundidad unitaria depende sólo de la diferencia en temperatura T1 – T2 = 𝛥Tglobal, de la conductividad térmica k y de la relación M /N. Esta relación depende de la forma del sistema y se denomina factor de forma, S. 𝑀 𝑆= 𝑁 Por tanto, la tasa de transferencia de calor se puede escribir como: 𝑞 = 𝑘𝑆 ∙ ∆𝑇𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 Rev. 1

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Ejemplo 

Un tubo de 30 cm de diámetro exterior con una temperatura superficial de 90ºC transporta vapor a una distancia de 100 m. El tubo está enterrado con su línea central a una profundidad de 1 m, la superficie del suelo está a -6ºC y la conductividad térmica media del suelo es 0.7 W/m K. Calcule la pérdida de calor por día y el costo de esta pérdida si el calor del vapor vale $3.00 por 106 kJ. Además estime el espesor necesario de aislamiento de 85% de magnesia para lograr el mismo aislamiento que el proporcionado por el suelo con un coeficiente de transferencia de calor total de 23 W/m2 K en el exterior del tubo. Rev. 1

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1. Conducción en estado estable

Ejemplo 

Un horno grande fabricado con ladrillo refractario de conductividad térmica de 1.2 W/mK tiene la sección transversal que se muestra, con temperaturas de superficie interior y exterior de 600 y 60ºC, respectivamente. Determine el flujo de calor bidimensional aplicando el método gráfico, considere una longitud de 3m

1,5m

1m 2m

2.5m Rev. 1

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1. Conducción en estado estable

Ejemplo 

Dos tubos largos, uno con una DE de 10 cm y una temperatura superficial de 300 °C, el otro tiene una DE de 5 cm y una superficie temperatura de 100 °C, se entierran profundamente en arena seca con sus líneas centrales separadas 15 cm. Determine la tasa de flujo de calor desde la tubería más grande a la más pequeña por metro de longitud.

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