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• Neto Sanjuanero Campos

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C´ alculo Diferencial Tarea: aplicaciones de las derivadas 1. Considere la funci´on y = x3 + 1. (a) Haga un bosquejo de su gr´afica tan cuidadosamente sea posible (b) Dibuje la recta tangente en (2, 9). (c) Estime la pendiente de la recta tangente. (d) Calcule la pendiente de la recta secante que pasa por (2, 7) y (2.01, (2.01)3 + 1). (e) Encuentre por medio del proceso de l´ımite, la pendiente de la recta tangente en (2, 9). 2. Hallar las derivadas de las siguientes funciones: 3√ (e) y = sin(x + sin x) (a) y = ex 3x3 − 2x + 5  cos x  √ 3 2x 2 (f) y = sin (b) y = e + x x sin x + cos x 2x2 + 1 (g) y = (c) y = √ tan x 2x + 1 −1/x2 (h) y = e x2 − 2x + 5 2 2 (d) y = 2 (i) y = e1/x + 1/ex x + 2x + 3

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(j) y = log(1 + x3 ex ) (k) y = 3x log(x + 5) (l) y = xx (m) y = (log x2 )2x+3 (n) y = (sin x + ex − 6x3 )5

3. Encuentra la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = tan x en x = 0. 4. Suponga que el ingreso I(n) en d´olares por producir n computadoras est´a dado por I(n) = 0.42n−0.001n2 . Encuentre las tasas instant´aneas de cambio del ingreso cuando n = 10 y n = 100. (La taza instant´anea de cambio del ingreso con respecto a la cantidad de producto fabricado se denomina ingreso marginal ). 5. Una ciudad es azotada por una epidemia de gripe asi´atica. Las autoridades estiman que en t d´ıas despu´es del inicio de la epidemia, el n´ umero de personas enfermas con la 2 3 gripe est´a dado por p(t) = 120t − 2t , cuando 0 ≤ t ≤ 40. ¿A qu´e tasa se expande la gripe en el instante t = 10; t = 20; t = 40? 6. Dibuja las gr´aficas de f (x) = cos x − sin(x/2) y su derivada f 0 (x) en el intervalo [0, 3π] utilizando los mismos ejes. (a) En este intervalo, ¿ en d´onde f 0 (x) > 0 ?

2 (b) En este intervalo, ¿en d´onde f (x) es creciente ? (c) Haga una conjetura. Experimente con otras funciones para verificar su conjetura. 7. A los t segundos, el centro de un corcho que se balancea est´a 3 sin 2t cent´ımetros arriba (o abajo) del agua. ¿Cu´al es la velocidad del corcho en t = 0, π/2, π. 8. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial v0 metros por segundo. Su altura a los t segundos est´a dada por h(t) = v0 t−16t2 metros. ¿Cu´al debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura m´axima de 1 kil´ometro? 9. Se lanza un objeto directamente hacia abajo desde lo alto de un acantilado con una velocidad inicial de v0 metros por segundo, cae h(t) = v0 t + 4.9t2 metros en t segundos. Si cae al oc´eano en 3 segundos a una velocidad de 80 metros por segundo, ¿cu´al es la altura del acantilado? 10. Suponiendo que en cada uno de los siguientes incisos cada ecuaci´on define una funci´on derivable de x, encuentre dy/dx por medio de la derivaci´on impl´ıcita: (a) 9x2 + 4y 2 = 36 √ (b) x y + 1 = xy + 1 (c) cos(xy 2 ) = y 2 + x 11. Encuentra la ecuaci´on de la recta tangente en el punto que se pide. (a) x3 y + y 3 x = 30, (b) sin(xy) = y, √ (c) y + xy 2 = 5,

en (1, 3) en (π/2, 1) en (4, 1)

12. Una part´ıcula de masa m se mueve a lo largo del eje x, de modo que su posici´on x y velocidad v = dx/dt satisfacen m(v 2 − v02 ) = k(x20 − x2 ) donde v0 , x0 y k son constantes. Demuestre por medio de derivaci´on impl´ıcita que m siempre que v 6= 0.

dv = −kx dt

3 13. La curva x2 + xy + y 2 = 16 es una elipse con centro en el origen y con la recta y = x como eje mayor. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos donde la elipse intersecta al eje x. 14. Cada arista de un cubo variable est´a aumentando a raz´on de 6 cent´ımetros por segundo. ¿Qu´e tan r´apido est´a aumentando el volumen del cubo cuando una arista es de 24 cent´ımetros de longitud? 15. Un estudiante utiliza un popote para beber de un vaso c´onico de papel, cuyo eje es vertical, a raz´on de 3 cent´ımetros c´ ubicos por segundo. Si la altura del vaso es de 10 cent´ımetros y el di´ametro de su abertura es de 6 cent´ımetros, ¿qu´e tan r´apido est´a bajando el nivel del l´ıquido cuando la profundidad del l´ıquido es de 5 cent´ımetros? 16. Determina una ecuaci´on de la as´ıntota inclinada. No graficar la curva. x2 + 1 x+1 5x4 + x2 + x (b) y = 3 x − x2 + 2 (a) y =

17. Sea f (x) =

x3 + 1 . Demuestra que x lim [f (x) − x2 ] = 0

x→±∞

Esto muestra que la gr´afica de f tiende a la gr´afica de y = x2 , y se dice que la curva y = f (x) es asint´otica a la par´abola y = x2 . A partir de esto, traza la gr´afica de f . 18. Calcular el l´ımite que se indica. Aseg´ urate de tener una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L’Hˆopital. 2x − sin x x→0 x √ t − t2 (b) lim t→0 log t (a) lim

sin x − tan x x→0 x2 sin x

(e) lim

cosh t − 1 t→0 t2

(f) lim

(c) lim (d) lim

sin t + tan t t→0 et + e−t − 2

ex − log(1 + x) − 1 x→0 x2

x2 sin(1/x) 19. Encuentra lim x→0 tan x Sugerencia: comienza por decidir por qu´e la regla del L’Hˆopital no es aplicable. Despu´es encuentra el l´ımite por otros medios.

4 20. La familia de funciones f (t) = C(e−at − e−bt ), donde a, b y C ∈ R+ y b > a, se ha utilizado para modelar la concentraci´on de un medicamento administrado por v´ıa intravenosa en el instante t = 0. Traza la gr´afica de varios miembros de esta familia. ¿Qu´e tienen en com´ un? Para valores fijos de a y C, descubre de forma gr´afica qu´e sucede a medida que b crece. Utiliza las herramientas del c´alculo que justifiquen tus conclusiones. 21. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de una superficie horizontal mediante una fuerza que act´ ua a lo largo de una cuerda unida al objeto. Si la cuerda hace un a´ngulo θ con un plano, en tal caso la magnitud de la fuerza es F =

µW µ sin θ + cos θ

donde µ es una constante llamada coeficiente de fricci´on. ¿Para qu´e valor de θ, F es la m´as peque˜ na? 22. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una bater´ıa de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es P =

E 2R (R + r)2

Si E y r son constantes pero R var´ıa, ¿cu´al es el valor m´ınimo de la potencia? 23. Un granjero tiene L metros de alambre para cercar un terreno de pasto rectangular adyacente a un muro de piedra. ¿Qu´e dimensiones dar´an el a´rea m´axima al terreno cercado? 24. Encuentra el a´rea del rect´angulo m´as grande que puede inscribirse en la elipse x2 y 2 + 2 =1 a2 b 25. Dada una esfera de radio R. Hallar el radio r y la altura h del cilindro circular recto de mayor superficie lateral 2πrh que puede inscribirse en la esfera. 26. Dada una esfera de radio R. Calcular, en funci´on de R, el radio r y la altura h del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en la esfera. 27. Si x > 0, sea f (x) = 5x2 + Ax−5 , siendo A una constante positiva. Hallar el menor valor de A tal que f (x) ≥ 24 para todo x > 0.

5 28. Un cami´on ha de recorrer 300 km en una carretera llana a velocidad constante de x km por hora. Las leyes de circulaci´on prescriben 60 ≤ x ≤ 90. Se supone que la gasolina cuesta $ 13.90 por litro y que el consumo es de 10 + x2 /120 litros por hora. Si el conductor cobra P pesos por hora y si obedece todas las leyes de tr´afico, determinar cu´al es la velocidad m´as econ´omica y el coste del viaje si P = 200, P = 220, P = 240 y P = 260. 29. En los siguientes incisos utiliza el m´etodo de Newton para aproximar la ra´ız indicada de la ecuaci´on que se da, con una precisi´on de cinco decimales. Comienza por bosquejar una gr´afica. (a) La mayor ra´ız de x3 + 6x2 + 9x + 1 = 0 (b) La ra´ız real de 7x3 + x − 5 = 0 (c) La ra´ız m´as grande de x − 2 + 2 cos x = 0 (d) La ra´ız de 2x − sin x = 1