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Un sólido A se disuelve en una corriente líquida S que fluye en un sistema de flujo isotérmico en estado estacionario. Supóngase, en concordancia con el modelo de película, que la superficie de A está cubierta por una película liquida estancada de espesor δ y que el líquido fuera de la película está bien mezclado (véase la figura (a)). a) Deducir una expresión para la velocidad de disolución de A en el líquido si la concentración de A en la corriente líquida principal es despreciable. b) Deducir una expresión correspondiente para la velocidad de disolución si el líquido contiene una sustancia B que, en el plano z = kδ, reacciona instantánea e irreversiblemente con A: A + B = P. (Un ejemplo de este sistema es la disolución de ácido benzoico en una solución acuosa de NaOH.) La corriente líquida principal consta esencialmente de B y S, donde B tiene una fracción molar de x B∞, {Sugerencia: es necesario reconocer que las especies A y B se difunden hacia una delgada zona de reacción, como se muestra en la figura (b)}

Figura (a) N Az W |z− N Az W |z+ Δ z =0 Entre W Δ z N Az|z N Az|z + Δ z − =0 Δz Δz Aplicando el lim cuando Δz → 0

lim (

Δz→ 0

N Az|z− N Az|z+ Δ z )=0 Δz

−∂ ( N ) =0 ∂ z Az ∂CA −∂ −D AS =0 ∂z ∂z

(

)

dCA d D AS =0 dz dz

(

)

Resolviendo por separación de variables: d CA =¿ 0 ∫ dz ¿ dz

∫d

(D

D AS

d CA =C1 dz

AS

)

Como C A=C X A D AS C

dXA =C1 dz

Nuevamente se resuelve por separación de variables:

C

∫ d X A = C D1 ∫ dz AS

X A=

C1 z +C 2 C D AS

Con las condiciones de frontera: X A ( δ )=0 X A ( 0 ) =X A 0 X A 0=C 2 0=

C1 δ+ X A 0 C D AS

C 1=

X A 0 C D AS δ X A 0 C D AS δ

X A=

(

X A=

XA0 z+ X A 0 δ

)( C Dz )+ X AS

A0

Derivando ∂ XA XA0 = +0 ∂z δ ∂ XA XA0 = ∂z δ

N Az │z=0=C D AS

N Az │z=0=

∂ XA X =C D AS A 0 ∂z δ

C D AS X A 0 δ

( )

Para la figura (b) δ =kδ k=? Resolviendo

−∂ N Bz =0 ∂z

d XB d D BS C =0 dz dz

(

)

∫ d( D ¿ ¿ BS C D BS C

d XB )=0 ∫ dz ¿ dz

d XB =C 1 dz C1 ∫ dz BS C

∫ d X B= D X B=

C1 z+C 2 D BS C

Con las condiciones de frontera: X B ( kδ ) =0 X B ( δ )= X B ∞ Con la 1era condición 0=C1

kδ kδ + C2C 2=−C 1 (1) C D BS C DBS

Y con la 2da: X B ∞=C 1

δ +C 2 (2) C D BS

Sustituyendo (1) en (2)

X B ∞=C 1

C δ δ kδ δ kδ −C1 X B ∞=C 1 − X B ∞= 1 ( 1−k ) C DBS C DBS C D BS C D BS C D BS

(

C 1=X B ∞ C D BS

)

1 δ ( 1−k )

Resolviendo para C2 C D BS kδ X B ∞ C D BS z k k C 2=−X B ∞ X B= −−X B ∞ ( 1−k ) ( 1−k ) δ ( 1−k ) C D BS δ ( 1−k ) C D BS

C 2=−X B ∞

∂ XB XB ∞ X B ∞ Resolviendo −∂ N Az = N Bz │z =kδ=−C DBS =0 ∂ z δ ( 1−k ) δ ( 1−k ) ∂z d XA d D AS C =0 dz dz

(

)

∫ d( D ¿ ¿ AS C D AS C

d XA )=0∫ dz ¿ dz

dXA =C1 dz C1 ∫ dz AS C

∫ d X A= D X A=

C1 z +C 2 D AS C

Con las condiciones de frontera: X A ( kδ ) =0 X A ( 0 ) =X A 0 X A 0=C 2 0=

X A 0 C D AS C1 X C D AS X A= kδ+ X A 0C 1= A 0 kδ C D AS kδ

(

Derivando

N Az │z=0=

)(

X z + X A 0 X A = A 0 z+ X A 0 C D AS kδ

)

∂ XA XA0 ∂ XA XA0 ∂ XA X N Az │z=0=C D AS =C D AS A 0 = +0 = ∂z kδ ∂z kδ ∂z kδ

C D AS X A 0 kδ

( )

Para k: Suma de fluxes: N Az │z=kδ + N Bz │z=kδ =( J A + C V A ) + ( J B +C V B ) J A + J B=0J A =−J B

C D AS

( Xkδ )=−(−C D A0

BS

XB ∞ X X B ∞ 1−k D BS X B ∞ = C D AS A 0 =C D BS D AS X A 0 δ ( 1−k ) kδ δ (1−k ) k

) ( )

C D AS X A 0 D BS X B ∞ D X C D BS X A 0 1 1 N Az │z=0= 1+ =1+ BS B ∞ N Az │z=0= δ D AS X A 0 k D AS X A 0 δ k

(

)(

)