• Author / Uploaded
• alvarojavier02

Citation preview

– I. Formulación de problemas de programación entera mixta y uso de variables binarias. 1. Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión. Diez personas han sido nominadas: Ana, Beatriz, Camila, Daniela, Elena, Felipe, Guillermo, Hernán, Ignacio y Jaime. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrativo y un profesor. Además, el número de mujeres debe ser igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de administrativos. Ana, Beatriz, Camila y Jaime son estudiantes, Elena y Felipe son administrativos y Daniela, Guillermo, Hernán e Ignacio son profesores Formule el problema usando programación entera, de modo que cumpla con las restricciones y buscando que la comisión sea lo más reducida posible 2. Ford tiene cuatro plantas para fabricar automóviles. En cada una es posible producir el Taurus, Lincoln o el Escort, pero sólo es posible fabricar uno de ellos. El costo fijo por operar cada planta por un año y los costos variables por producir un automóvil de cada tipo se proporcionan: Planta

Costo Fijo (dólares)

1 2 3 4

7000 millones 6000 millones 4000 millones 2000 millones

Taurus 12.000 15.000 17.000 19.000

Costo variable (dólares) Lincoln 16.000 18.000 19.000 22.000

Escort 9.000 11.000 12.000 14.000

Ford se enfrenta a las restricciones siguientes: a) Se puede producir sólo un tipo de automóvil en cada planta. b) La producción total de cada tipo de automóvil tiene que ser en una sola planta; es decir, si se fabrican algunos Taurus en la planta 1, entonces todos los Taurus se tienen que hacer ahí. c) Si se usan las plantas 3 y 4, la planta 1 se debe utilizar también. Ford tiene que producir todos los años 500.000 unidades de cada tipo de automóvil. Formule un Problema de programación Entera cuya solución le indique a Ford cómo minimizar el costo anual en la producción de automóviles. 3. Una minera explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a las plantas de acero de la compañía; la compañía no puede sobrepasar las 80 ton de material almacenado. El siguiente diagrama describe la red de distribución, donde M1, M2 y M3 son las dos minas, S1, S2 y S3, los dos almacenes y P1, P2, P3 son las plantas procesamiento del mineral. También muestra las cantidades máximas producidas en las minas y las necesarias en las plantas, al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al día por cada vía. Se debe cumplir una cota mínima de envío desde las minas hacia los almacenes. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

Mina Almacén Ton mínima de material 1 10 1 2 10 1 15 2 2 15 3 12 2 12 3 3 12

La empresa no cuenta con una infraestructura vial entre la mina M1 y el almacén S3, la mina M3 y el almacén S1; tampoco hay vías de acceso entre el almacén S3 y la planta P1, ni entre el almacén S1 y la planta P3. Además, se incurre en un costo muy alto si se envía simultáneamente material desde la mina M3 al almacén S2 y de la mina M1 al almacén S2, también si se envía material desde el almacén S2 a las plantas P1 y P3 en simultánea; por lo que la administración quiere eliminar estos costos. La administración desea determinar el plan más económico de envío del mineral de las minas a las plantas. Formule el anterior problema usando programación entera mixta 4. Un Municipio desea abrir unos puestos de salud en dos años. Se han definido 5 posibles localizaciones i, las cuales atenderían la demanda de las 5 zonas j, según las siguientes condiciones: A cada zona de demanda j le corresponde una población demandante del servicio hj La construcción de cada puesto de salud implica un costo fijo de construcción cfi, y un costo variable cvi por cada habitante en el año que atenderían. Cada puesto de salud tiene una capacidad máxima de número de habitantes que podría atender anualmente Cqi

Si un puesto de salud se abre en el año 1, puede atender tanto ese año como el año siguiente (es decir que la población atendida cuenta los dos años) Cada año se cuenta con un presupuesto máximo Pt. Se desea elegir cuáles puestos de salud abrir en cada año y determinar cuántos pacientes se atienden en la zona j por el puesto de salud ubicado en i, en el año t, de modo que se maximice la población atendida. 5. Las reglas del Sudoku son simples: hay que llenar la matriz de forma que cada fila, cada columna y cada submatriz de 3X3 contenga los números del 1 al 9 exactamente una vez. El problema del Sudoku es tan restringido que es posible hallar la solución del sudoku usando programación entera mixta (específicamente usando variables binarias), sin necesidad de una función objetivo específica. Formule las variables de decisión y las restricciones necesarias para resolver este sudoku. ¿Cuántas variables son necesarias?, ¿cuántas restricciones? 2 2 7 2 6

3 1

4 9

5 4 3

8 5 3 9

4 5

2 4

9 1

8 1

1

II. Solución de problemas enteros por ramificación y acotamiento 6. Resuelva mediante el método de ramificación y acotamiento los siguientes problemas de programación entera. Para cada ejercicio indique si la solución del problema relajado de progamación lineal es factible para el problema de programación entera, realice el árbol de ramificación y acotamiento e indique por cuál variable hizo la ramificación. Max Z = 13X1 + 8X2

Max Z = 2X1 + X2

Max Z = X1 - 3X2

S.A

S.A:

S.A:

X1 + 2X2 ≤ 10

5X1 + 2X2 ≤ 8

-X1 + 2X2 ≤ 6

5X1 + 2X2 ≤20

X1 + X2 ≤ 3

X1 + X2 ≤ 5

X1, x2 ≥0,

X1, x2 ≥0,

X1 - 7X2 ≤ 2

X1, X2 enteros

X1 entera, X2 real

X1, x2 ≥0, X1, X2 enteros

III. Problemas de redes 7. Logis S.A mueve mercancía desde 6 plantas a 8 mercados. Los costos de transporte de la mercancía entre planta y mercado (cij) dependen de la distancia recorrida (dij) y de la cantidad de toneladas que se transportan (xij). La capacidad de producción en cada planta está dada por un vector Ofertai, cada planta puede enviar como máximo su capacidad de producción. La demanda de cada mercado está dada por un vector Demandaj,

se espera que a cada mercado llegue al menos la cantidad demandada de mercancía. La empresa desea minimizar los costos de transporte, de modo que se cumpla con las restricciones de oferta y demanda. Formule el problema y resuelva usando el Solver de Excel.

Distancia en km (dij)

Plantas (i)

p1 p2 p3 p4 p5 p6 Demanda en Ton (Demandaj)

m1 84 85 42 44 31 90 350

m2 28 87 79 55 25 54 300

m3 91 20 25 63 68 42 400

Mercados (j) m4 m5 29 83 30 97 65 12 36 73 36 18 28 84 200 400

m6 44 24 16 25 78 99 400

m7 87 71 60 18 39 96 400

m8 28 62 43 43 56 41 350

Oferta en Ton (Ofertai) 500 450 350 600 400 500

Ahora suponga que llega un nuevo gerente a la empresa y decide que sólo enviará mercancía de una planta a un mercado si y sólo si la cantidad que es transportada en ese trayecto es mayor o igual a 200 toneladas. Formule nuevamente el problema teniendo en cuenta esta nueva restricción y resuelva nuevamente usando el Solver de Excel. Compare los resultados. 8. Todos los problemas de red vistos en clase son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo: al igual que el problema de flujo máximo, éste considera flujos en las redes con capacidades, al igual que el problema del camino más corto, éste considera un costo por flujo hacia un arco, al igual que el problema de transporte, éste permite múltiples orígenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de costos mínimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexión superior de flujo a través de cada arco. Formule el problema de flujo de costo mínimo para la siguiente red, donde cada par ordenado en las aristas corresponde a (costo, capacidad):