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TAREA 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Presentado por los estudiantes: Karen Margarita De León Arias Diana Julieth Murcia Casas Lorena Del Pilar Casas Cindy Juliette Ramos Isaac Chona

GRUPO: 208046_210

PRESENTADO AL TUTOR MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 2020

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo abarca la temática de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, con ejercicios desarrollados por cada uno de los estudiantes. Los ejercicios están dispuestos para la interpretación, apropiación y aplicación de procesos, reglas y validación de datos, tanto de forma algebraica como gráfica demostrado en GeoGebra, según corresponda.

Además de eso, se presenta la apropiación de los conceptos de la actividad, interpretándolos y representándolos en un esquema gráfico, con claridad y certeza para la fácil interpretación por parte de los lectores.

Describe el desarrollo de las diferentes actividades contenidas en el la Guía de Actividad Tarea 2- Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Los cuales se basan en el desarrollo de ejercicios de ecuaciones lineales, rectas y planos; aplicando los conceptos matemáticos, expresando soluciones a problemas básicos que impliquen el uso de los mismos justificando sus procedimientos y resultados a través del desarrollo individual y colaborativo los cuales abarcan inicialmente la conceptualización y aplicación de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en la solución de problemas básicos, rectas en R3 y por último la gráfica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de soluciones.

En este trabajo colaborativo revisamos diversas temáticas de estudio, tales como: sistemas de ecuación lineales, rectas, planes y espacios vectoriales. Lo cual nos permitió el análisis y resolución de problemas matemáticos con los conocimientos en matrices y determinantes vistos en la unidad anterior.

Así mismo reforzamos el uso de la plataforma GeoGebra, de manera eficaz para la comprobación de los ejercicios y su traficación en el plano.

OBJETIVOS

Alcanzar el desarrollo del diferente ejercicio, alcanzado los conocimientos necesarios en la temática de la Actividad Tarea 2- Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Identificando conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación Gaussiana, factorización L U, la matriz inversa, rectas en R, planos, espacios vectoriales, entre otros. •

Aprender la aplicación de los sistemas de ecuación lineales, rectas, planes

y espacios vectoriales. •

Crear un blog colaborativo donde se expresa la importancia de estos temas

en la carrera en estudio. •

Utilizar de manera eficiente el software GeoGebra.

Ejercicios asignados a la estudiante Lorena del Pilar Casas “literal A”

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración.

a) Explicar qué métodos se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Enlace mapa conceptual: https://www.canva.com/design/DAD3X6AGeRY/Hl8eDLXwKgScx_67zzRxjg/view? utm_content=DAD3X6AGeRY&utm_campaign=designshare&utm_medium=link&ut m_source=sharebutton

EJERCICIO 2. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.

a). 20 𝑥+40𝑦+𝑧=10 50𝑥+𝑦+𝑧=60 20𝑥+30𝑦+50𝑧=40 

Se realiza la matriz ampliada:

(

| 

)

Se halla la Matriz Identidad, a partir del método de reducción de GaussJordan.

(

(

|

|

(

10F3-F1=F3

)

|

(

F3/10

)

20F2-50F1=F2

)

|

(

198F3-F2=F3

)

|

)

(

|

)

(

|

)

(

|

)

F2/-30 F3/9732 F1-F3=F1

F2-F3=F2

F2/66

(

|

(

(

|

)

)

|

GRÁFICA EN GEOGEBRA

)

F1-40F2=F1

F1/20

Resultado

EJERCICIO

3.

APLICACIÓN

DE

CONCEPTOS

DE

SISTEMAS

DE

ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a) Una empresa de tecnología elabora 3 productos diferentes A, B y C, los cuales se constituyen con los componentes x, y, z. Si el producto A requiere 2 componentes ‘x’, 5 componentes ‘y’, y 6 componentes ‘z’, B requiere 3, 4 y 7 respectivamente, y C necesita 6, 3 y 1 respectivamente, y a su vez, la compañía desea construir 100 productos A, 120 de B y 90 de C, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción total? 

Características del problema:

-

Empresa Tecnológica con productos A, B y C, todos diferentes:

-

o

𝑥

𝑦

𝑧

o

𝑥

𝑦

𝑧

o

𝑥

𝑦

𝑧

Total por producto: o A=100 o B=120 o C=90

-

Teniendo en cuenta lo anterior, se realiza la matriz ampliada, la cual abarca el total que se desea tener en la empresa por cada uno de los productos: (

|

)

-

Se realiza la reducción de la Matriz, con el método de Gauss Jordan para hallar la Matriz Identidad: (

|

(

|

)

(

|

)

(

|

2F2-3F3=F2

7F3-24F2=F3

F3/-142

)

(

|

)

(

|

)

(

-

2F3-6F1=F3

)

|

)

(

|

)

(

|

)

(

|

F1-6F3=F1

F2+4F3=F2

F2/-7

F1-5F2=F1

F1/2

)

Resultado

¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción total? Es un sistema de ecuaciones lineales que sumadas entre sí, dan como resultado las expectativas esperadas en la empresa para cada uno de los productos.

-

Comprobación en Geogebra:

EJERCICIO 4. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE RECTAS EN R3 EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a). De la recta que pasa por el punto (3, 4, 7) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos (−8,−3,−2) y 𝑅(1,3,2). - Tenemos los vectores en R3:

o

⃗

o

⃗

o 𝑅⃗

-

Teniendo en cuenta que son paralelos Q y R con P, se realiza operaciones por separado. En primer lugar tomo los dos Q y P, en segundo lugar R y P.

-

Ecuación

de

⃗ -

donde

la

recta:

es ⃗ y es escalar

Reemplazar y calcular escalar por componentes: ⃗

-

Ecuación Paramétrica, suma por componentes donde

corresponde al

punto (x, y, z): (

𝑥 𝑦𝑧

)

𝑥 𝑦𝑧

-

-

Se despeja cada componente: 𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Ecuación Simétrica, se igualan los componentes: 𝑥

𝑦

𝑧

Nota: Los denominadores corresponden a Q, y los numeradores que acompañan a las componentes corresponden a P, pero con signo contrario.

-

Teniendo en cuenta que

varía según el escalar, se puede evaluar. Cabe

resaltar que un escalar por un vector, siempre da un vector:

(

)

⃗

-

Geogebra:

-

Ecuación de la recta: ⃗

-

donde

es 𝑅⃗ y es escalar

Reemplazar y calcular escalar por componentes: ⃗

-

Ecuación Paramétrica, suma por componentes donde

corresponde al

punto (x, y, z): (

𝑥 𝑦𝑧

)

𝑥 𝑦𝑧

-

-

Se despeja cada componente: 𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Ecuación Simétrica, se igualan los componentes: 𝑥

𝑦

𝑧

Nota: Los denominadores corresponden a R, y los numeradores que acompañan a las componentes corresponden a P, pero con signo contrario.

-

Teniendo en cuenta que

varía según el escalar, se puede evaluar. Cabe

resaltar que un escalar por un vector, siempre da un vector:

⃗

-

Geogebra:

EJERCICIO 5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PLANOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a).¿Son paralelos los siguientes planos 1:3x-5y+7z=10 y 2:-9x+15y-21z=30? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos. - Para realizar el producto cruz, es necesario tomar como referencia los dos vectores en R3. Cabe resaltar que x, y, z son lo mismo que las componentes i, j, k: ⃗

𝑥

𝑦 𝑧 𝑥

𝑦

𝑧

-

-

Se realiza la operación pertinente de determinantes: ⃗

|

⃗

|

| |

|

|

|

|

Se realiza la respectiva operación: ⃗

|

⃗

|

⃗

| |

| | | |

|

|

| |

|

|

| |

| |

⃗⃗ ⃗ -

¿Son paralelos los siguientes planos 1:3x-5y+7z=10 y 2:-9x+15y-21z=-30? No son paralelos los planos, teniendo en cuenta que se entrecortan en el punto (0, 0, 0) del plano en R3.

Ejercicios asignados a la estudiante Karen Margarita De León Arias “literal B”

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración.

Enlace mapa conceptual:

EJERCICIO 2. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de

reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. 𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordán. (

|

)

Hacemos la siguiente operación 𝑅

𝑅 ; multiplicamos la fila 1 por 2 y se la

restamos a la fila 2, así obtenemos la nueva fila 2); luego hacemos la siguiente operación 𝑅

𝑅 ; multiplicamos la fila uno por 2 y se la restamos a la fila 3, así

obtenemos la nueva fila 3.

-4

2

20

Ahora el nuevo sistema que de la siguiente forma: (

|

)

Ahora dividimos la fila 2 por 5

La nueva matriz queda de la siguiente manera:

|

(

)

Esta operación la hare directamente: 0

2

-12/5

18/5

1

-2

1

1

0

-7/5

0

7

-7

0

7

-42/5

63/5

0

0

7/5

-8/5 Esta es la nueva fila 3

10 68/5 esta es la nueva fila 1

11

| | (

)

Continuando ahora debemos dividir la fila tres por 7/5, lo cual convierte la matriz en:

| | (

)

1

0

-7/5

68/5

0

0

7/5

-8/5

1

0

0

12

0

1

-6/5

0

0

6/5

0

1

0

9/5 -48/35 3/7

El sistema quedara de esta forma

| | (

)

Luego las respuestas para el sistema serian:

Vamos a verificar. Pongamos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos el cálculo:

Vemos que se cumple con éxito al sustituir los resultados.

EJERCICIO 3. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

b. Un supermercado vende 3 paquetes de verduras que se componen de zanahoria, tomate y cebolla. El primer paquete lleva 150 gr de zanahoria, 170 gr de tomate y 170 gr de cebolla, mientras que el segundo paquete lleva 120, 180 y 100 gr respectivamente y el tercer paquete lleva 110, 130 y 150 gr respectivamente de zanahoria, tomate y cebolla. Si el supermercado posee 12 kg de zanahoria, 14 kg de tomate y 13,5 kg de cebolla, ¿qué sistema de ecuaciones permitiría definir la cantidad de paquetes que se podrían conformar con estas disponibilidades y requerimientos? Tenga en cuenta la conversión de unidades.

Solución:

Lo primero es convertir los kilogramos a gramos:

12 kg = 12.000g 14 kg = 14.000g 13,5 kg = 13.500g

llamemos x a los paquetes con zanahoria llamemos y a los paquetes con tomates llamemos z a los paquetes con cebolla

Entonces el sistema quedaría estructurado de esta forma.

(

𝑥 𝑥 𝑥

𝑦 𝑦 𝑦

𝑧 𝑧 𝑧

)

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordán.

(

|

)

R1 / 150 → R1 (dividamos la fila {1} por 150) (

|

)

R2 - 120 R1 → R2 (multiplicamos la fila 1 por 120 y restamos a la fila 2); R3 - 110 R1 → R3 (multiplicamos la fila 1 por 110 y restamos a la fila 3) (

|

)

R2 / 44 → R2 (dividamos la fila {2} por 44) (

|

)

R1 - 17 /15 * R2 → R1 (multiplicamos la fila 2 por 17 /15 y restamos a la fila 1); R3 - 16 / 3 * R2 → R3 (multiplicamos la fila 2 por 16 / 3 y restamos a la fila 3). (

|

(

)

|

)

R1 – 68/33 R3 → R1 (multiplicamos la fila 3 por 68/33 y restamos a la fila 1); R2 + 9/11 R3 → R2 (multiplicamos la fila 3 por 9/11 y sumar a la fila 2) (

|

)

La solución del sistema es: 𝑥 𝑦 𝑧 No se recomienda producir el paquete uno, del paquete dos se pueden producir 215 paquetes, del paquete 3 se pueden producir 140 unidades.

EJERCICIO 4. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE RECTAS EN R3 EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

b. De la recta que pasa por los puntos

Solución:

Hallamos el vector: (

)

(

)

y

.

Sea 𝑅 𝑥 𝑦 𝑧 en la recta Se obtiene ⃗⃗⃗⃗⃗𝑅 𝑥

𝑥 𝑦

𝑦

𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑧

esta es la ecuación vectorial de la recta que pasa por los dos puntos dados.

Ecuación paramétrica

Para hallar la ecuación paramétrica debemos partir de la ecuación vectorial

De esta ecuación tenemos que:

Estas son las ecuaciones paramétricas, las ecuaciones simétricas las obtenemos a partir de las ecuaciones paramétricas así: 𝑥

de esta ecuación despejamos la variable t así:

De la misma forma despejamos t de la ecuación:

𝑦

Y finalmente despejamos t de la ecuación 𝑧

Ecuaciones simétricas

Ver solución en geogebra.

EJERCICIO 5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PLANOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

b. ¿Son paralelos los siguientes planos 1:-16x+10y+12z=-8 y 2:8x-5y-6z=4? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos.

Dadas las ecuaciones de dos planos. Empleando el producto cruz se verifica sí o no son paralelos los planos:

N₁×N₂ = (0,0,0); Si son paralelos los planos.

Solución: plano 1: -16x+10y+12z=-8 plano 2: 8x-5y-6z=4

Si el producto cruz de los vectores normales de un plano es nulo, entonces los planos son paralelos. N₁×N₂ = (0,0,0) ⇒ p₁ // p₂

Entonces

Normal Plano 1: N₁ = (-16, 10, 12)

Normal Plano 2:

N2 = (8, -5, -6)

[

Los planos si son paralelos.

]

Ejercicios asignados a la estudiante Cindy Juliette Ramos “literal C”

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración.

Enlace mapa conceptual:

EJERCICIO 2. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Organizamos los términos a manera de matriz, ordenando cada columna los términos de x,y,z al igual que los términos independientes. Debemos convertir esta matriz en una matriz identidad, la cual todos los números de la diagonal principal serán unos y el resto son ceros. (

|

) Primero convertiremos estos dos números en ceros.

La primera fila la escribimos igual y empezamos a realizar operaciones entre las 2da y la 3ra fila

(

|

)

|

|

Colocamos las filas 1 y 3 iguales, y la fila 2 la dividimos por 5 así convertimos el 5 de la f22 en 1.

|

(

)

La fila 1 la copiamos igual, luego restamos la f3 y multiplicamos la f2 por -7

(

|

)

(

|

)

Escribimos las dos primeras filas y a la fila 3 f3 la multiplicamos por 5/27 para convertir el 27/5 en 1

|

(

)

Copiamos la fila 1 y 3; la f3 la multiplicamos por -16/5 y luego el resultado se hace la respectiva resta con f2.

(

)

(

|

)

(

|

)

Copiamos la f2 y f3; a la f3 la multiplicamos cada número por 6, posteriormente hacemos la resta con f1 como se indica en la operación.

(

|

)

|

A la f2 la multiplicamos por -2 y luego hacemos la resta indicada en la operación.

(

|

)

GRAFICA EN GEOGEBRA

|

EJERCICIO 3. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo?

Establecemos la ecuación 𝑥 (

𝑦 𝑦 𝑦

𝑥 𝑥

𝑧 𝑧

𝑧|

)

Simplificamos y establecemos los términos a manera de matriz

(

(

|

|

)

) Así nos queda la matriz ya simplificada

Empezamos a convertir esta matriz en la matriz identidad, convertiremos el 15 de la f21 y luego el 4 de la f31, dejamos la primera fila igual

(

|

)

(

|

)

Escribimos la fila 1 y 2, luego operamos la f3 menos la multiplicación de 4 por la f1

(

|

)

(

|

)

El -5 de la f22 lo convertiremos en 1, cada termino lo dividimos en -5

(

|

)

La f3 la restamos la multiplicación de -1 por la f2

(

|

)

(

|

)

Para hallar el 1 de la fila 3 debemos multiplicar -1 por la f3

(

|

)

Luego multiplicamos -1 por la f3 y hacemos la respectiva resta

(

|

)

(

|

)

Luego multiplicamos -1 por la f2 y hacemos la respectiva resta

(

|

)

Respuesta: 𝑥 (

|

)

𝑦

(

|

)

EJERCICIO 4. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE RECTAS EN R3 EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

c. De la recta que pasa por el punto .

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥̂

𝑦̂

𝑧̂

y cuyo vector director es

⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

⃗ ̂

( ̂) ̂ ̂

̂ ̂

̂

Ecuación Vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥̂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦̂

⃗ 𝑧̂ ̂

̂

̂ ̂

̂

̂

Ecuación Paramétrica 𝑥

𝑥

𝑥

𝑦

𝑦

𝑦

𝑧

𝑧

𝑥

Ecuación Simétrica Despejamos t 𝑥

Igualamos

Gráfica GeoGebra

𝑦

𝑥

EJERCICIO 5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PLANOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

b. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(2,-3,9),

B(0,2,-4) y

C(1,-1,3)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.

Puntos A (2,-3,9) B (0,2,-4) C (1,-1,3)

Determinamos los vectores. Siempre le restamos al punto final el inicial ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

〈

⃗⃗⃗⃗⃗

〈

(

〉

) 〉

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

〈

(

⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉

〉

)

Determinamos Producto cruz ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

| ̂

|

⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ̂ |̂

|

̂

̂

̂

|

|̂

|

|̂

|̂ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|̂ | |̂

|̂

|

|̂

̂

̂

̂

Vector Normal ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

𝑥 𝑦𝑧

̂

̂

|

|̂

|

|̂

|

Hallar vector AT ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥 𝑦𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

〈 𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗

〈𝑥

(𝑦 𝑦

〉

) 𝑧 𝑧

〉

Si los vectores son ortogonales o perpendiculares el producto punto debe ser igual a cero. ⃗⃗ 〈𝑥

𝑦

〉 〈

𝑧

𝑥

̂

𝑦 𝑥

𝑧

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

̂

𝑧 𝑧

̂〉

Ejercicios asignados al estudiante Isaac Chona “literal D”

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración.

Enlace mapa conceptual:

EJERCICIO 2. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.

𝑥 . 𝑥 𝑥

𝑦 𝑦 𝑦

𝑧 𝑧 𝑧

Se plantea la matriz, simplificando por Gauss Jordán:

Intercambiar Filas De La Matriz:

(

)

Primero debemos reducir matriz a la forma escalonada Después de esto, se debe cancelar el primer coeficiente en la fila

(

Se debe cancelar el primer coeficiente en la fila

(

)

realizando

)

Al cancelar ese coeficiente, se debe intercambiar filas de la matriz

realizando

(

)

Como segundo paso importante, debemos reducir matriz a la forma escalonada reducida por renglones

Aquí se debe multiplicar la fila de la matriz por la constante

(

)

Después de esto, se debe cancelar el primer coeficiente en la fila

(

)

realizando

Se debe cancelar el primer coeficiente en la fila

(

realizando

)

Ahora se debe multiplicar la fila de la matriz por la constante

(

Se debe cancelar el primer coeficiente en la fila

(

)

realizando

)

Ahora se debe multiplicar la fila de la matriz por la constante

(

)

Comprobación Geogebra

EJERCICIO 3. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

d) Una constructora desarrolla 3 tipos de obras. El requerimiento de hormigón en el primer tipo de ellas es de 100 ton, en el tipo 2 es de 80 ton y en el 3 de 40 ton. Por otro lado, en el primer tipo de obra se requieren 190 varillas de acero, en el 2 se requieren 15 y en las 30 varillas. Mientras que las obras 1 requieren 24 máquinas de carga pesada, las 2 requieren de 18 y las últimas de 25. Si la constructora cuenta con 700 ton de hormigón, 400 varillas de acero y 300 máquinas de carga pesada, ¿cuál será el sistema de ecuaciones que describe la capacidad actual de obras de cada tipo de la constructora?

1º Se identifican las variables. Hormigón 𝑥

Varillas 𝑥

Maquinas 𝑥

Obra tipo 1

100/10 toneladas

190/10

24/10

Obra tipo 2

80/10toneladas

15/10

18/10

Obra tipo 3

40/10toneladas

30/10

25/10

Planteamiento del sistema de ecuaciones lineales. 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

Método de reducción Gauss Jordán Matriz

Matriz identidad

| | (

( )

| | (

)

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

)

| | (

)

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

| | (

) ⁄

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

⁄

| | (

) ⁄

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

⁄

| | (

)

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

| | (

) ⁄

Multiplicamos cada término de la

Multiplicamos cada término de la

⁄

| | (

) Respuesta

𝑥 𝑥 {

𝑥

R/ Con el resultado podemos dar por concluido que la capacidad actual en hormigon en las obras 37.4, en varillas 11.3 y en maquinas es de 46,7. Pantallazo de la comprobación del ejercicio N°3

EJERCICIO 4. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE RECTAS EN R3 EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

d) de la recta que pasa por los puntos P (6,-2,-3) y Q (-2,-4,-5). 1ro hallamos ecuación vectorial de la recta que pasa por los P (6,-2,-3) y Q (-2,-4,5). Para esto 1ro el vector W, que este será la diferencia cada componente con sus respectivos ejes y será la suma de cada del resultado de cada componente.

𝑅

𝑥 𝑦𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅

𝑥

𝑦

𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

Reemplazamos 𝑥

𝑦

𝑧

2do hallamos las ecuaciones paramétricas a partir de la ecuación de la recta. 𝑥

𝑦

𝑧 Entonces

𝑥 𝑦 𝑧 Estas son las ecuaciones paramétricas. 3rohallamos las ecuaciones simétricas a partir de las ecuaciones paramétricas. 𝑥 𝑦 𝑧 Procedemos en cada una de las ecuaciones despejar la variable t.

Se despeja. 𝑥 𝑥

𝑥

Se despeja. 𝑦 𝑦

𝑦

Se despeja. 𝑧 𝑧

𝑧

Igualamos las tres ecuaciones y esta será la ecuación simétrica. 𝑥

𝑦

𝑧

EJERCICIO 5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PLANOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

d. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos O (5,-2,3), P (4,- 1,4) y Q (2, 0,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.

𝑅

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥

𝑥 𝑦

𝑦 𝑧

𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗𝑅

𝑥

𝑥 𝑦

𝑦 𝑧

𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗𝑅

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(𝑥

⃗

𝑥

𝑥 𝑦

𝑦 𝑧

𝑥

𝑥 𝑦

𝑦 𝑧

𝑥

𝑦

𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑧

𝑧

(

𝑦

𝑦

)

𝑧

𝑧 )

𝑧

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗𝑅

𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑅

⃗⃗⃗⃗⃗𝑅

⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥

⃗⃗

|

𝑥

|

|

⃗

⃗⃗

𝑧

|

⃗

⃗

𝑦

𝑦

𝑧

|

⃗

𝑥

𝑧

|

⃗

⃗

𝑦

⃗

|

|

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝑥 Comprobación Geogebra

𝑧

𝑦

𝑦

𝑧

𝑧

𝑧

Ejercicios asignados a la estudiante Diana Julieth Murcia Casas “literal E”

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS.

Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración.

B. Explicar qué son los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se transforman en matrices.

Enlace mapa conceptual: https://cmapscloud.ihmc.us:443/rid=1VLXZTW6Z1G2XGVS-216WTJ

EJERCICIO 2. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.

LITERAL “E” 4 9

Armamos la matriz aumentada

[

]

Encontramos los ceros en la matriz, arriba y debajo de la diagonal principal Celdas: (3,1) (2,1) (3,2) (1,3) (2,3) (1,2) Celda (3,1) [

]

=

[

]

Operación:

Celda (2,1) [

]

Operación:

[

]

Celda (3,2) [

]

[

]

Operación:

Celda (1,3) [

]

[

]

Operación:

Celda (2,3) [

]

Operación:

[

]

Celda (1,2) [

]

[

]

Operación:

Obtenemos la matriz identidad dividiendo cada fila independientemente:

Fila 1 / 3645 Fila 2 / -135 Fila 3 / 27 [

]

[

]

Matriz identidad

[

]

X=4 Y = -9 Z=2

Reemplazamos en la ecuación original y comprobamos el resultado:

4 9

4

EJERCICIO 3. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): LITERAL “E”

Una farmacéutica produce 3 medicamentos que se basan en 3 principios activos. El primer medicamento requiere 6 gr del primer principio activo, 9 del segundo y 10 del tercero. El segundo medicamente requiere 11 gr del primer principio activo, 6 del segundo y 16 del tercero. Mientras que el requerimiento de principios activos del tercer producto es de 18 gr, 1 gr y 7 gr respectivamente. Si la empresa desea producir 120 unidades del medicamento 1, 90 del medicamento 2 y 20 del 3, ¿qué sistema de ecuaciones lineales permitirá encontrar la cantidad de cada principio activo que se requerirá?

Solución

Primero sacamos los datos del enunciado:

Activo 1: x Activo 2: y Activo 3: z

Medicamento 1: Medicamento 2: Medicamento 3:

Armamos la matriz aumentada

[

]

Encontramos los ceros en la matriz, arriba y debajo de la diagonal principal

Intercambiar 𝑅

[

]

[

]

𝑅 de la matriz

Cancelar el primer coeficiente en la fila R2: 𝑅

[

Cancelar el primer coeficiente en la fila R3: 𝑅

[

𝑅

𝑅

]

𝑅

]

𝑅

Intercambiar 𝑅

𝑅 en la matriz

[

]

Cancelar el primer coeficiente en la fila R3: 𝑅

[

Multiplicar la fila R3:

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

]

𝑅

[

Cancelar el primer coeficiente de la fila R2: 𝑅

[

]

]

Cancelar el primer coeficiente de la fila R1: 𝑅

𝑅

𝑅

[

]

Multiplicar la fila de la matriz por la constante:

𝑅

𝑅

[

]

Cancelar el primer coeficiente en la fila R1: 𝑅

𝑅

[

Multiplicar la fila de la matriz por la constante:

[

𝑅

]

𝑅

𝑅

]

Activo 1: Activo 2: Activo 3:

El sistema de ecuaciones utilizado fue el método de reducción de Gauss Jordan.

EJERCICIO 4. APLICACIÓN DE CONCEPTOS DE RECTAS EN R3 EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

LITERAL “E”

De la recta que pasa por el punto por los puntos

y

Se tienen los vectores en R3 ⃗

y que es paralela a la recta que pasa .

⃗⃗ ⃗ Ya que son paralelos M y D con T, se operan por separado. Primero M y Ty luego DyT Ecuación de la recta ⃗

donde

es ⃗⃗ y es el escalar

Reemplazar y calcular escalar por componentes ⃗

Ecuación Paramétrica Suma por componentes donde

corresponde al punto (x, y, z)

(

𝑥 𝑦𝑧

)

𝑥 𝑦𝑧 Se despeja cada componente: 𝑥

𝑦

𝑧

𝑥

𝑦

𝑧

Ecuación Simétrica Se igualan los componentes 𝑥

𝑦

𝑧

Teniendo en cuenta que

varía según el escalar, se puede evaluar

⃗ Ecuación de la recta ⃗

donde

es ⃗ y es escalar

Reemplazar y calcular escalar por componentes ⃗

Ecuación Paramétrica Suma por componentes donde

corresponde al punto (x, y, z)

(

𝑥 𝑦𝑧

)

𝑥 𝑦𝑧 Se despeja cada componente 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑧 𝑧

Ecuación Simétrica Se igualan los componentes 𝑥

𝑦

𝑧

Teniendo en cuenta que

varía según el escalar, se puede evaluar.

⃗

EJERCICIO 5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE PLANOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS.

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): LITERAL “E”

¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos X(2,-2,0), Y(3,1,4) y Z(4,1,1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.

Solución

La ecuación del plano que contiene a los puntos es

Explicación paso a paso Datos X (2,-2,0)

Y (3,1,4) Z (-4,1,1)

¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos X (2,-2,0),Y (3,1,4) y Z (4,1,1)?

La ecuación de un plano es

siendo P = (x, y, z) n: normal Determinar los vectores XY y XZ

XY = (3-2,1+2,4-0) XY = (1, 3, 4)

XZ = (-4-2,1+2,1-0) XZ = (-6,3,1)

Calcular la normal del plano

[

]

n = i [(3)(1)-(1)(4)]-j [(1)(1) -(-6) (4)]+k [(1)(3) -(-6) (3)] n = (1i +25j +21k) n = (1, 25,21)

XP = (x-2, y+2, z-0)

Aplicar producto escalar π: XP · n = 0

(x-2, y+2, z-0) · (1, 25,21) = 0 x-2+25y+50+21z+0=0 x + 25y + 21z + 48 = 0 x + 25y + 21z = -48

multiplicar por -1 x + 25y + 21z = 48

CONCLUSIONES

Al momento de desarrollar este trabajo colaborativo y después de leer los contenidos de la unidad del curso nos ha permitido entender y aprender más sobre el álgebra, la cual ayuda en la formación de las carreras profesionales.

En el desarrollo de este trabajo se logra adquirir los conocimientos básicos y fundamentales vectores y matrices. Los cueles abren el campo del conocimiento en la implementación de técnicas para hallar resultados de operaciones básicas que contribuyen para afrentar el inicio de la temática del curso de Fisca General

BIBLIOGRAFÍA

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Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=77&d ocID=10584265&tm=1468967325440

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Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081



Vargas, J. (2015). Sistemas de ecuaciones lineales: Matriz inversa. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7191



Amaya, H. (2016). Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss-Jordan. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7192



Gutiérrez, M. (2016). Soluciones no triviales en un sistema de ecuaciones lineales. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7202



Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Recuperado

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Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7106

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Rodriguez J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7091

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Alvarez, V. (2015) Planos en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7151

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Alvarez, A. (2017). Sistemas de ecuaciones lineales [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11518

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Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 117 a 127. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=110 13215&p00=algebra+lineal