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Tarea 2 Sistemas De Ecuaciones Lineales, Rectas Y Planos

Estudiante: Carlos F Ureche Ospino José Luis Romero José Alejandro Robles

Grupo: 208046_40

Tutor(a): Wincy Alejandro Guerra

Curso: Algebra Lineal (E-Learning)

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería de Telecomunicaciones. Junio / 15 / 2020.

1

Tabla de contenido Introduccion...................................................................................................................3 Objetivos.........................................................................................................................4 Mapa Mental..................................................................................................................5 Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas.......................6 Ejercicio 3 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas.........................9 Ejercicio 4 Aplicación de conceptos de rectas en R3......................................................12 Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos................................................................14 Ejercicio 6 Teoría de sistemas de ecuaciones, rectas y planos........................................16 Video............................................................................................................................17 Mapa Mental (item a)...................................................................................................18 Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item a)..........19 Ejercicio 3 sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item a)..........21 Ejercicio 4 Aplicación de conceptos de rectas en R3 (item a).........................................23 Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos (item a)...................................................25 Mapa Mental (item d)...................................................................................................27 Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item d).........28 Ejercicio 3 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item d)..........29 Ejercicio 5 Aplicación de la teoría de planos (item d)....................................................31 Conclusion....................................................................................................................32 Bibliografia...................................................................................................................33

2

Introduccion Bueno en la presente actividad nos insta a aplicar conceptos matemáticos de sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos expresando soluciones a problemas básicos que impliquen el uso de datos justificando sus procedimientos y resultados para esto cada uno de nosotros como estudiante desarrolló un determinado número de ejercicios para poner en práctica esta serie de situaciones, desarrollando de manera práctica también nuestro trabajo en colaboración y el desarrollo de problemas de manera grupal.

3

Objetivos 

Cada uno de nosotros como estudiantes desarrolla aprende interioriza y asume nuestro rol dentro de el grupo y presenta el desarrollo de los ejercicios propuestos y seleccionados de la tarea 2.



Utilizando las diferentes herramientas e implementamos el trabajo grupal o trabajo colaborativo en la unidad 2 desarrollamos los diferentes temas de la tarea.



Conceptualizamos por medio de ejercicios temas como; sistema de ecuaciones lineales rectas y planos, aplicamos el sistema de ecuaciones lineales en problemas básicos, y conceptos de rectas en R3.



Desarrollar de manera grupal por lo menos uno de los ejercicios bajo la teoría del sistema de ecuaciones rectas y planos.



Bajo la aplicación de software GeoGebra Confirmamos o comprobamos todos y cada uno de los ejercicios propuestos en la actividad.

4

Mapa Mental Ejercicio 1 Planos: conceptualización, ecuación del plano y vector normal.

5

Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. 2 x−2 y+ z=3 e ¿ 3 x+ y−z=7 x−3 y +2 z=0

{

Matriz Original (Resolución por Gauss Jordan) 2 −2 1 3 3 1 −1 7 1 −3 2 0

(

|)

La Fila 1 la divido por 2 1 −1 0.5 1.5 3 1 −1 7 1 −3 2 0

(

|)

A la Fila 2 le sumo la Fila 1 multiplicada por -3 1 −1 0.5 1.5 0 4 −2.5 2.5 1 −3 2 0

(

|)

A la Fila 3 le sumo la Fila 1 multiplicada por -1 1 −1 0.5 1.5 0 4 −2.5 2.5 0 −2 1.5 −1.5

(

| )

La Fila 2 la divido por 4

6

(

1 −1 0.5 1.5 0 1 −0.6 25 0.625 0 −2 1.5 −1.5

| )

A la Fila 3 le sumo la Fila 2 multiplicada por 2 1 −1 0.5 1.5 0 1 −0.6 25 0.625 0 0 0 .2 5 −0.25

| )

(

La Fila 3 la divido por 1.25 1 −1 0.5 1.5 0 1 −0.6 25 0.625 0 0 1 −1

| )

(

A la Fila 2 le sumo la Fila 3 multiplicada por 0.125 1 −1 0.5 1.5 0 1 0 0 0 0 1 −1

(

|)

A la Fila 1 le sumo la Fila 3 multiplicada por -0.5 1 −1 0 2 0 1 0 0 0 0 1 −1

(

|)

A la Fila 1 le sumo la Fila 2 multiplicada por 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 −1

( |)

7

Comprobación Geogebra:

8

Ejercicio 3 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas Una empresa de instrumentación realiza compras por Internet de un sensor especifico que utiliza para sus dispositivos a tres páginas comerciales diferentes: Armazón, AlliExpresa y MercarLibertad, durante los meses de enero a marzo. Los costos de las compras realizadas se registran en la siguiente tabla. Determinar el precio unitario en $USD de cada sensor comprado en cada página web

Enero Febrer o Marzo

Número de sensores comprados en “Armazón” 250 450

Número de sensores comprados en “AlliExpresa” 550 600

Número de sensores comprados en “MarcarLibertad” 750 900

350

500

600

Ecuacion: 250 x +550 y+ 750 z=10300 450 x−600 y +900 z=12600 350 x+500 y −600 z =9200

{

Matriz Original (Resolución por Gauss Jordan) 250 550 750 10300 450 600 900 12600 350 500 600 9200

(

| )

La Fila 1 la divido por 250 1 2.2 3 41.2 4450 600 900 12600 3350 500 600 9200

(

| )

A la Fila 2 le sumo la Fila 1 multiplicada por -450

9

Costo Total de las compras en $USD $10300 $12600 $9200

(

1 2.2 3 41.2 0 −390 −450 −5940 3350 500 600 9200

| )

A la Fila 3 le sumo la Fila 1 multiplicada por -350 1 2.2 3 41.2 0 −390 −450 −5940 0 −270 −450 −5220

| )

(

La Fila 2 la divido por -390 1 2.2 3 41.2 0 1 1.1538461538462 15.230769230769 0 −270 −450 −5220

|

(

)

A la Fila 3 le sumo la Fila 2 multiplicada por 270 1 2.2 3 41.2 0 1 1.1538461538462 15.230769230769 0 0 −138.46153846154 −1107.6923076923

|

(

La Fila 3 la divido por -138.46153846154 1 2.2 3 41.2 0 1 1.1538461538462 15.230769230769 0 0 1 8

|

(

)

)

A la Fila 2 le sumo la Fila 3 multiplicada por -1.1538461538462 1 2.2 3 41.2 0 1 0 6 0 0 1 8

(

| )

A la Fila 1 le sumo la Fila 3 multiplicada por -3 1 2.2 0 17.2 0 1 0 6 0 0 1 8

(

| )

A la Fila 1 le sumo la Fila 2 multiplicada por -2.2 1 0 04 0 1 06 0 0 18

( |)

el precio unitario de cada sensor comprado por Pagina es: Armazón: $4 USD 10

AlliExpresa: $ 6 USD MarcarLibertad: $8 USD

Comprobación Geogebra:

11

Ejercicio 4 Aplicación de conceptos de rectas en R3 Según el literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétrica y simétricas de la recta, grafíquela y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): De la recta que pasa por el punto T (2 ,2 , 1) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos M (−1 ,5 , 4) y D(2 , 3 ,1). Ecuación vectorial puntos M (−1,5,4) y D(2,3,1) V =( ( 2−(−1) ) i+ ( 3−5 ) j+ ( 4−1 ) k ) V = ( 2+1 ) i+ ( 3−5 ) j+ ( 4+1 ) k ¿ V = (−3 ) i+ (−2 ) j+ ( 3 ) k ¿ V =−3i+2 j+3 k Sea S=( x , y , z) en la recta. Se obtiene ⃗ OS= ( xi + yj+ zk )=⃗ OP+ tV ( xi+ yj+ zk )=2i+2 j+1 k +t (−3 i±2 j−3 k ) Ecuaciones paramétricas x=2+3 t y=2−2 t z=1−3t Ecuaciones simétricas Se despeja “t” 12

x=2+3 t → t=

x +2 3

y=2−2 t →t=

y−2 −2

z=1−3t →t=

z−1 −3

Ecuaciones simétricas. x+2 y−2 z−1 = = 3 −2 −3

Comprobación Geogebra:

13

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(-2,0,1), B(3,-2,6) y C(5,1,2)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. Solucion: Ecuación Vectorial A=(−2,0,1 ) ⃗ AB=⃗ OB−⃗ OA =(3 ,−2,6)−(−2,0,1)=(5 ,−2,5) ⃗ ⃗ AC=OP−⃗ OA =¿ No son proporcionales Ecuación Vectorial π :(x , y , z)= (−2,0,1 )+T (5 ,−2,5)+ S (2 ,3 , 4 )

T R S

Ecuación Cartesiana Puntos A(-2,0,1),B(3,-2,6),C(5,1,2). Para calcular la ecuación del plano utilizamos la fórmula: x−x A X B− X X C −X A A

14

y−yA y B− y y C− y A A

z−z A z B−Z = 0 Z C−Z A

A

Introduzcamos los datos y reduzcamos la expresión: x−(−2) y −0 z −1 3−(−2) (−2)−0 6−1 = 0 5−(−2) 1−0 2−1 x−(−2) 5 7

y−0 −2 1

z−1 5 =0 1

( x – (-2) (-2 * 1- 5 * 1) – ( y – 0 ) ( 5 * 1 – 5 * 7 ) + ( z – 1) ( 5 * 1 – (- 2) * 7 ) = 0 ( - 7 ) ( x – ( - 2)) + 30 ( y – 0 ) + 19 ( z – 1 ) = 0 -7x + 30y + 19z – 33 = 0

Comprobación Geogebra:

15

Ejercicio 6 Teoría de sistemas de ecuaciones, rectas y planos A continuación, se presentan las ecuaciones de dos planos. Se sugiere emplear el producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos; en caso de no serlo, se recomienda establecer las ecuaciones paramétricas que describan la recta que se forma en el evento que exista la intersección entre ellos. 1: x+2y-3z=9 2: -2x-y+3z=5 Solución π 1 : x +2 y−3 z=9 π 2 :−2 x− y +3 z=5 ^ 2 ^j−3 k^ De π 1 se tiene que n⃗1 : i+ ^ ^j+3 k^ De π 2 se tiene que : n⃗2 :−2 i− Se comprueba si son paralelos ^j i^ k^ 2 −3 − ^j 1 −3 + k^ 1 2 n⃗1 x n⃗ 2= 1 2 −3 =i^ −1 3 −2 3 −2 −1 −2 −1 3 ^ (3−6 ) ^j+ (−1+ 4 ) k^ n⃗1 x n⃗ 2=( 6−3 ) i− ^ ^j+3 k^ no Son paralelos n⃗1 x n⃗ 2=3 i+3

|

||

Comprobación Geogebra: 16

| |

| |

|

17

Video

18

Mapa Mental (item a) Ejercicio 1 sistema de ecuaciones lineales

19

Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item a) Descripción Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de GaussJordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. x+ y+ z =12 2 x− y+3 z=17 3 x +2 y−5 z=−8

{

Solución. 1 1 1 12 2 −1 3 17 F 2−2× F1 → F 2 3 2 −5 −8 1 1 1 12 0 −3 1 −7 F 3−3 × F 1 → F 3 3 2 −5 −8 1 1 1 12 0 −3 1 −7 F 2 /−3 → F2 0 −1 −8 −44 1 1 1 12 0 1 1 /3 7 /3 F 3−(−1)× F 2 → F 3 0 −1 −8 −44 1 1 1 12 −25 F 3 /( )→ F 3 0 1 1/3 7 /3 3 0 0 −25/3 −125 /3 1 1 1 12 −1 ∗F3 → F 2 0 1 1/3 7/3 F 2− 3 0 0 1 5 1 1 1 12 0 1 0 4 F 1−( 1 )∗F 3 → F1 0 0 1 5 1 1 07 0 1 0 4 F 1−( 1 )∗F 2 → F1 0 0 15 1 0 03 0 1 04 0 0 15

( |) ( |) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( ( |) ( |) ( |) 20

)

{

x=3 y=4 z=5

3 La solución general 4 5

()

Comprobación Geogebra:

21

Ejercicio 3 sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item a) Descripción. Un joven emprendedor distribuye huevos de tres precios: Huevo normal a $300, huevo semi orgánico a $600, huevo orgánico a $1500. El día que inició su negocio, en un solo día, vendió 260 huevos en total. De la venta de ese día, recaudó $180000 en total. Se sabe que vendió el doble de huevos de $300 que de $1500. Calcular cuántos huevos de cada uno vendió en ese día Solución: El joven vendió lo siguiente: Huevo normal=160 Huevo Semi=20 Huevo Organico=80 Total=260 Explicación paso a paso: Se tienen 3 Variables. x=300 y=600 z=1500 260 Vendidos con ganancias de 180000. Con estos valores formulamos nuestro sistema de ecuaciones Lineales: 1. x + y + z=260 2. 300 x+ 600 y +1500 z=180000 3. x=2 z → porque x es igual al doble de z

( (

1 1 1 260 3 00 600 1500 180000 F 2−300× F 1→ F 2 1 0 −2 0 1 1 1 260 0 300 1200 102000 F 3−1× F 1→ F 3 1 0 −2 0

22

| )

| )

( ( ( ( ( (

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 260 300 1200 102000 F 2/ 300 → F 2 −1 −3 −260 1 1 260 1 4 340 F 3−(−1)× F 2 → F 3 −1 −3 −260 1 1 260 1 4 340 F 2−4 × F 3 → F 2 0 1 80 1 1 260 1 0 20 F 1−1× F 3→ F 1 0 1 80 1 0 180 1 0 20 F 1−1× F 2→ F 1 0 1 80 0 0 160 1 0 20 0 1 80

| )

| )

| | | |

) ) ) )

Luego x=160 y=20 z=80

Comprobación Geogebra:

23

Ejercicio 4 Aplicación de conceptos de rectas en R3 (item a) Según el literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta, grafíquela y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): Defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto P(−2,5,0) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos Q(2,3,4) y R(−3,5,1). Solución Se halla la ecuación vectorial de los puntos Q(2,3,4) y R(−3,5,1) Se halla el vector V =( (−3−2 ) i+ ( 5−3 ) j+ ( 1−4 ) k ) V =(−5 i+ 2 j−3 k ) Sea S=( x , y , z) en la recta. Se obtiene ⃗ OS= ( xi + yj+ zk )=⃗ OP+ tV ( xi+ yj+ zk )=−2i+5 j+0 k + t(−5 i+2 j−3 k) Se halla las ecuaciones paramétricas x=−2−5 t y=5+ 2t z=−3 t Se hallan las ecuaciones simétricas Se despeja “t” en las ecuaciones paramétricas x+ 2 x=−2−5 t →t= −5 24

y=5+ 2t → t =

y−5 2

z 2 Ecuaciones simétricas. −x+ 2 y−5 z = = 5 2 2 z=2 t → t=

Comprobación Geogebra:

25

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos (item a) Descripción ¿Son paralelos los siguientes planos π 1 :7 x−2 y + z=8 y 2 π :28 x−8 y + 4 z=32? Justifique su respuesta empleando un producto cruz. Grafique ambos planos. Solución π 1 :7 x−2 y + z=8 π 2 :2 π : 28 x−8 y+ 4 z=32 ^ ^j+ k^ De π 1 se tiene que n⃗1 :7 i−2 ^ ^j+ 4 k^ De π 2 se tiene que : n⃗2 :28 i−8 Se comprueba si son paralelos ^j k^ i^ n⃗1 x n⃗ 2= 7 −2 1 =i^ −2 1 − ^j 7 1 + k^ 7 −2 −8 4 28 4 28 −8 28 −8 4 ^ ( 28−28 ) ^j+ (−56+56 ) ^k n⃗1 x n⃗ 2=( 8+8 ) i− ^ 0 ^j+0 k^ Son paralelos n⃗1 x n⃗ 2=0 i+

|

26

||

| | | |

|

Comprobación Geogebra:

27

Mapa Mental (item d) Ejercicio 1 Sistemas con solución única, sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones.

28

Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item d) {3𝑥−4𝑦−𝑧=1 2𝑥−3𝑦+𝑧=1 𝑥−2𝑦+4𝑧= 2 29

( (

3 −4 −1 1 1 −2 4 2 2 −3 1 1 cambio f 1 ↔ f 3 2 −3 1 1 f 2 : f 2−2 f 1; f 3 : f 3−3 f 1 1 −2 4 2 3 −4 −1 1

)

(

)

1 −2 4 2 1 0 −10 −4 0 1 −7 −3 f 1: f 1+2 f 2; f 3: f 3−2 f 2 0 1 −7 −3 0 2 −13 −5 0 0 1 1

)

(

1 0 0 6 f 2 : f 2+7 f 3; f 1+ 10 f 3 0 1 0 4 0 0 1 1

(

)

)

Comprobación Geogebra:

Ejercicio 3 Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas (item d) Se preparan tres recetas utilizando 3 ingredientes (A, B y C) de la siguiente manera: 30

Para una primera receta se mezclan 20 unidades del ingrediente A, 16 unidades del ingrediente B y 12 unidades del ingrediente C. La masa total de esta primera receta es de 106 Kg. Para una segunda receta se mezclan 14 unidades del ingrediente A, 18 unidades del ingrediente B y 10 unidades del ingrediente C. La masa total de esta segunda receta es de 93,5 Kg. Para una tercera receta se mezclan 16 unidades del ingrediente A, 8 unidades del ingrediente B y 6 unidades del ingrediente C. La masa total de esta segunda receta es de 65 Kg. Calcule la masa de cada ingrediente utilizado en las preparaciones. 20 A+16 B+12C=106 14 A+18 B+10 C=93,5 16 A+8 B+6 C=65 20 16 12 106 1 0.8 0.6 5.3 f1 14 18 10 93,5 f 1 : 14 18 10 93,5 f 2 : f 2−14 f 1 ; f 3 :f 3−16 f 1 20 16 8 6 65 16 8 6 65 1 0.8 0.6 5.3 1 0.8 0.6 5.3 f2 0 6.8 1.6 19,3 f 2: 0 1 1.6 19,3 6.8 0 −4.8 −3.6 −19.8 0 −4.8 −3.6 −19.8

( (

) ( ) ( ( )

)

)

1 0 0.41 3.03 f3 f 1 :f 1−0.8 f 2; f 3 :f 3+ 4.8 f 2 0 1 0.24 2.84 f 3 : −2.47 0 0 −2.47 −6.18

(

) (

1 0 0.41 3.03 1 0 0 2 0 1 0.24 2.84 f 2: f 2−0.24 f 3 ; f 1: f 1−0.41 f 3 0 1 0 2.25 0 0 1 2.5 0 0 1 2.5

)

Ejercicio 4 Aplicación de conceptos de rectas en R3 (item d) 31

De la recta que pasa por los puntos 𝑃 (−6,3,4) y 𝑄 (−1,5,3). Vector director de PQ

⃗ PQ=Q−P=(−1,5,3 )− (−6,3,4 )=(5,2 ,−1) Ecuación Vectorial: Ec Vectorial : P+t ⃗ PQ Ec Vectorial : (−6,3,4 )+t (5,2 ,−1) Ecuaciones paramétricas: x=−6 +5 t y=3+ 2t z=4−t Ecuaciones Simétricas: t=

x+6 5

t=

y−3 2

t=

z−4 −1

x+6 y −3 z−4 = = 5 2 −1

Comprobación Geogebra:

32

Ejercicio 5 Aplicación de la teoría de planos (item d) ¿Son paralelos los siguientes planos Π 1:−4 x+3 y −8 z=12 y Π 2:8 x−6 y+16 z=−24? Justifique su respuesta empleando un producto cruz y grafique ambos planos. i j k Π 1 xΠ 1= −4 3 −8 8 −6 16

|

|

Π 1 xΠ 1=i ( ( 3 ) ( 16 )−(−8 )(−6 ) )− j ¿ Π 1 xΠ 1=( ( 48 )− (−48 ) ) i−( (−64 )−(−64 ) ) j+( ( 24 ) −( 24 ) ) k Π 1 xΠ 1=0i−0 j+0 k

Comprobación Geogebra:

33

Conclusion Bueno creo que la manera más fácil de concluir una actividad como esta es poder decir que tuve el placer de aprender algo nuevo, y cuando se aprende algo nuevo como poder aplicar conceptos de rectas en R3, poder sacar el producto cruz de una ecuación o en su defecto poderlo comprobar en el software GeoGebra para mí es de muchísimo agrado y creo que para mis compañeros también. No está demás poder decir que este trabajo no se hubiese podido realizar sin la ayuda de cada uno de los compañeros antes mencionados en la portada pues sus aportes y el desarrollo de los diferentes ejercicios que ellos seleccionaron en el foro de la actividad esto no fuese posible, creo que el trabajo grupal del trabajo colaborativo es la más poderosa arma para el desarrollo de cualquier cosa. Es indispensable agregar que el estudio de cada uno de los temas aquí mencionados enriquece el conocimiento pues cuando se estudian temas como; la aplicación de la teoría de planos, la aplicación de conceptos de rectas en R3, conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, métodos que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, posición relativa de dos rectas en el plano, rectas paralelas, rectas perpendiculares, etc. Esto te hace rico.

34

Bibliografia http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=77&docID=10584265&tm=1468967325440 http://hdl.handle.net/10596/7081 http://hdl.handle.net/10596/7191 http://hdl.handle.net/10596/7192 http://hdl.handle.net/10596/7202 http://hdl.handle.net/10596/7081 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10584265&p00=algebra+lineal http://hdl.handle.net/10596/7106 http://hdl.handle.net/10596/7091 http://hdl.handle.net/10596/7151 http://hdl.handle.net/10596/11518 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=11013215&p00=algebra+lineal

35