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Tarea 2- Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.

NOMBRE DEL CURSO Algebra Lineal

ESTUDIANTE Freddy Palomino Ramos 1.098.785.179

NOMBRE DOCENTE Edwin Blasnilo Rua

Grupo 100408_102 UNIVESIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD FECHA 11 Nov 2019

INTRODUCCION

En el siguiente documento se desarrollan métodos para dar solución a problemas planteados relacionados con sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en R3, se resume el concepto de espacio vectorial mediante la presentación de un mapa conceptual. El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permite afrontar planteamientos y resolución de problemas diversos. La geometría tridimensional se basa en formas algebraicas que involucran, directa o indirectamente, tres variables llamadas por convención x, y, z. Los problemas que tienen que ver con rectas y planos en R3 se pueden abordar usando las propiedades de los vectores.

OBJETIVOS



Conocer los conceptos y desarrollar los diferentes ejercicios de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, y verificarlos con la herramienta Geogebra.



Realizar cuadro sinóptico correspondiente al tema de espacio, dimensión y base vectorial.

Descripción del ejercicio 1: Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un cuadro sinóptico que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 2, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. Debe informar en el foro el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero. Los temas que pueden ser seleccionados son:

E1) ¿Qué es un espacio vectorial? ¿Qué es una dimensión de un espacio vectorial? ¿Qué es una base de un espacio vectorial?

Cuadro sinoptico:

Espacio vectorial

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío.

Operación Interna llamada SUMA, definida para los elementos del conjunto.

Operación externa llamada PRODUCTO POR UN ESCALAR, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo.

Dimension Espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial E es el número de vectores de cualquier base de E.

Si el número de vectores es finita, la dimensión es un número natural (desde el cero) y se dice que la base es finita.

En caso contrario se llama base infinita del espacio.

Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos.

Base de un Espacio vectorial

Es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.

Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto. Otra definición equivalente será que el vector cero se podrán expresar como combinación lineal de este conjunto de vectores en el que al menos algún coeficiente será distinto de cero.

Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo se puede expresar como combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican a cada vector son nulos.

2E) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuélvalo aplicando la eliminación Gaussiana, valide el resultado y grafique las rectas o planos correspondientes con Geogebra*. Luego analice las características de las rectas o planos obtenidos y clasifique el sistema de ecuaciones en consistente o inconsistente y según el tipo de solución. 3X1 + 3X2 + 9X3 = 6 2X1 + 3X2 + 4X3 = 1 2X1 + X2 + 8X3 = 7 SOLUCION:

Al considerar el sistema de ecuaciones lineales y aplicando la eliminación Gaussiana, se obtiene: El sistema No tiene solución. El sistema de ecuaciones es inconsistente. Explicación: El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones plantea, hallar una matriz Ax = I, siendo I la matriz identidad.

Sustituir:

1/3f₁

f₂ - 2f₁ f₃ -2f₁

f₃ + f₂

f₁ - f₂

x₁ + 5x₃ = -5 x₂ -2x₃ = -3

El sistema no tiene solución, se tienen 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

3E) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 1, −1) y es paralela a cada uno de los planos 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0 y 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 9 = 0

SOLUCION:

Si una recta es paralela a dos planos, es paralela a la recta de intersección entre los dos planos. La dirección de la recta de intersección es la del producto vectorial entre las normales de cada plano. n₁ = (3, -1, 2); n₂ = (2, 2, -3) El producto vectorial es v = (3, -1, 2) * (2, 2, -3) Hallar este producto. v = (-1, 13, 8) La recta en su forma vectorial paramétrica es: OR = (5, 1, -1) + t (-1, 13, 8) En su forma simétrica es: (x - 5) / (-1) = (y - 1)/13 = (z + 1)/8

E4) Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que pasan por el punto (4,8,-6), y es paralela al vector

La forma simétrica de la ecuación de una recta es: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - l)/c La forma paramétrica es: x=h+at y=k+bt z=l+bt

(h, k, l) son las coordenadas de un punto de la recta, (a, b, c) son las coordenadas del vector director de la recta y t es un parámetro real. Para esta tarea la forma simétrica es: (x - 4)/8 = (y - 8)/0 = (z + 6)/(-9) Como no se puede dividir por cero: y = 8, que es uno de los plano proyectantes de la reda, perpendicular al plano coordenado (x, z). La ecuación queda: (x - 4)/8 = (z + 6/(-9); y = 8 La forma paramétrica es: x=4+8t y = 8 (con b = 0) z=-6-9t

E5) Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1,4,2), Q=(2,3,3) y R=(9,2,-3). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. La ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R es: π: 7x + 13y + 6z - 71 = 0 En la imagen se puede ver la gráfica del plano. Explicación: Dados P(1,4,2) Q(2,3,3) R(9,2,-3) Iniciamos hallando la normal del plano; Es el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano; n = PQ × PR

Siendo; PQ = (2-1, 3-4, 3-2) PQ = (1, -1, 1) PR = (9-1, 2-4, -3-2) PR = (8, -2, -5) Sustituir;

= i [(-1)(-5)-(-2)(1)] -j [(1)(-5)-(8)(1)]+ k [(1)(-2)-(8)(-1)] = 7 i + 13 j + 6 k n = (7, 13, 6) Se tiene un punto A(x, y, z) perteneciente al plano; El vector PA; PA = (x-1, y-4, z-2) Siendo este vector ⊥ al plano; Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero; PA • n = 0 Sustituir; (x-1, y-4, z-2)•(7, 13, 6) = 0

7(x-1) + (y-4)13 + (z-2)6 = 0

7x - 7 + 13y - 52 + 6z -12 =0

Agrupar términos semejantes; π: 7x + 13y + 6z - 71 = 0

Ejercicio 6. Creación de un Blog. El grupo colaborativo creará un Blog, donde cada estudiante incluirá las siguientes entradas relacionadas con la Tarea 2: 1) Esquema conceptual elaborado (Cuadro sinóptico) con el título respectivo. 2) Vídeo con la explicación del ejercicio seleccionado. 3) Reflexión personal sobre la importancia y aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en el área de formación profesional o tecnológica que estudia en la UNAD. REFLEXION:

La solución de cada uno de los ejercicios planteados en la guía de actividades permitió el reconocimiento de las temáticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos en el espacio, y así dinamizar el aprendizaje a través de la interacción en el trabajo en equipo.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la característica que en todas las ecuaciones están las mismas variables. Es de vital importancia, el reconocimiento y adecuada aplicación de algunos métodos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales, tal es el caso del método por eliminación Gaussiana, el método de Gauss Jordán, empleando la matriz inversa entre otros, que aportan herramientas cognoscitivas significativas al proceso de formación profesional del estudiante de la Unad.

LINK DEL BLOG:

https://ramosfreddy11.wixsite.com/misitio

CONCLUSIONES

Se logró conocer los conceptos y desarrollar los diferentes ejercicios de vectores, matrices y determinantes, se procedió con editar la infografía correspondiente al tema seleccionado previamente y verificarlos con la herramienta Geogebra.

BIBLIOGRAFIA



Amaya, H. (2016). Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss-Jordan. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7192



Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7106