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TAREA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

LUZ DANIELA OTERO HURTADO

Tutor: CARLOS MAURICIO SALAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ALGEBRA LINEAL E-LEARNING MARZO 2020

TAREA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS Descripción del ejercicio 1: Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual explicando de entre los siguientes contenidos de la Unidad 2, el ítem escogido (a, b, c, d, e). Utilice para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. c. Rectas: paralelas, perpendiculares e intersección. Estos mapas conceptuales deben ser presentados en el foro de trabajo colaborativo en la primera semana de actividad, con el fin de que todos los participantes tengan claros los aspectos conceptuales necesarios para desarrollar los demás puntos.

Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 2, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el Entorno de Conocimiento de la Unidad 2: Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 163 a 203. Disponible en Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 54 a 80. Disponible en Entorno de Conocimiento. 2.1. Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el que le corresponda según el ítem (a, b, c, d, e) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra el punto de intersección de las rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el procedimiento de reducción explicándolo paso a paso. c. x−2 y +6 z=−22 2 x+ y −4 z =19 2 x+3 y −5 z =28 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan.

1 −2 6 −22 2 1 −4 ⋮ 19 2 3 −5 28

|

|

Paso 1 F 2 → F 2−2 F 1 y F 3 → F 3−2 F1

1 −2 6 −22 0 5 −16 ⋮ 63 0 7 −17 72

|

|

Paso 2 1 −2

1 F2→ F 5 2

|

0

1

0

7

6 −22 −16 63 ⋮ 5 5 −17 72

|

Paso 3 −2 16 5 5 −16 63 0 1 ⋮ 5 5 27 −81 0 0 5 5

| | 1 0

F 1 → F 1 +2 F 2 y F 3 → F3 −7 F 2

Paso 4 −2 16 5 5 −16 ⋮ 63 0 1 5 5 0 0 1 −3

|

|

1 0

F3→

5 F 27 3

Paso 5 2 16 F 1 → F 1 + F3 y F 2 → F 2+ F 3 5 5

1 0 0 2 0 1 0⋮ 3 0 0 1 −3

|

|

{

x=2 y=3 z=−3

Entonces, la solución del sistema es: x=2 , y=3 , z=−3 .

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el Entorno de Conocimiento de la Unidad 2.

Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 208 a 217. Disponible en Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Disponible en Entorno de Conocimiento.

3.1. Defina el sistema de ecuaciones lineales que describe la problemática y resuélvalo por medio de la reducción de Gauss-Jordan. Concluya según los resultados y compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): c. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo? Definimos las variables: x=camiones tipo mayores y=camiones tipo medianos z=camiones tipo pequeños Establecemos las ecuaciones: x + y + z=60

15000 x+10000 y +5000 z=475000 → 3 x +2 y + z=95 400 x +300 y +100 z =12500→ 4 x+3 y + z=125 Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan.

1 1 1 60 3 2 1 ⋮ 95 4 3 1 125

|

|

Paso 1

1 1 1 60 ⋮ 0 −1 −2 −85 0 −1 −3 −115

|

F 2 → F 2−3 F 1 y F3 → F 3−4 F1

|

Paso 2

1 0 −1 −25 0 1 2 ⋮ 85 0 0 −1 −30

|

F 1 → F 1 + F2 , F2 →−F 2 y F 3 → F 3−F 2

|

Paso 3

F 1 → F 1−F 3 , F 2 → F2 +2 F3 y F 3 →−F3

1 0 0 5 0 1 0 ⋮ 25 0 0 1 30

|

|

{

x=5 y=25 z=30

Entonces, la empresa gestiona 5 camiones tipo mayores, 25 camiones tipo mediano y 30 camiones tipo pequeños.

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos.

Para el desarrollo del ejercicio 4, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 208 a 217. Disponible en Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Disponible en Entorno de Conocimiento.

4.1. Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): c. De la recta que pasa por el punto E (-2,-3,5) y cuyo vector director es -7i+6j-8k. 1) La ecuación vectorial de la recta l es:

( x , y , z )=P+t ⃗ V ;t ϵ R ( x , y , z )=(−2,−3,5)+ t(−7,6 ,−8);t ϵ R 2) Despejando x, y, z obtenemos las ecuaciones paramétricas de l: x=x o +t v 1 donde t ϵ R x=−2−7 t donde t ϵ R y= y o+ t v 2 donde t ϵ R y=−3+6 t donde t ϵ R z=z o +t v 3 donde t ϵ R

z=5−8 t donde t ϵ R 3) Si cada vi ≠ 0, i = 1, 2, 3, despejando t en las ecuaciones paramétricas de la recta l, obtenemos, las ecuaciones simétricas: x−x o y − y o z −zo = = v1 v2 v3 −x−2 y+ 3 5−z = = 7 6 8 −24 x−48=28 y +84=105−21 z

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 5, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el Entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Rodríguez J., (N-D). Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento. Zúñiga, C. (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento.

5.1. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): c. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A (2,-3,9), B (0,2,-4) y C (1,-1,3)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. Calcular la ecuación normal de un plano que pasa por los puntos A, B y C. En este caso, el vector normal es el producto cruz: ⃗ N =⃗ AB X ⃗ AC

⃗ AB=B− A=( 0 , 2 ,−4 )− ( 2,−3 , 9 )=(−2 ,5 ,−13) ⃗ AC=C− A=( 1 ,−1 , 3 )−( 2 ,−3 ,9 )=(−1, 2 ,−6) Ecuación vectorial del plano:

( x , y , z )=( 2 ,−3 , 9 ) +t (−2, 5 ,−13 )+ s (−1 , 2 ,−6 ) ; t , s ϵ R N Hallemos la ecuación cartesiana del plano. Calculemos primero el vector normal ⃗ :

^j i^ k^ ⃗ N =⃗ AB X ⃗ AC = −2 5 −13 =i^ 5 −13 − ^j −2 −13 + k^ −2 5 2 −6 −1 −6 −1 2 −1 2 −6

[

][

^ ^j+ k^ ⃗ N =−4 i+ ⃗ N =(−4 , 1, 1), la ecuación es: −4 ( x−2 ) +1 ( y +3 )+ 1 ( z−9 )=0 −4 x+ 8+ y +3+ z−9=0 −4 x+ y+ z =−2 4 x− y−z=2

] [

] [

]

https://www.geogebra.org/classic?lang=es

BIBLIOGRAFIA Rodríguez J., (N-D). Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento. Zúñiga, C. (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento.