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TAREA 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

Por: Marian Camila Palma Martínez Daniel Posada Sánchez Geraldine Mendoza Julio Cesar Rincón Julieth González Bonilla

Tutora: LIDA MARGARITA ZAMBRANO CORTES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ALGEBRA LINEAL 2020

INTRODUCCION

Con el desarrollo del presente trabajo, se busca que el estudiante se apropie y aplique los conceptos matemáticos de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, expresando soluciones a problemas básicos que impliquen el uso de los mismos, justificando sus procedimientos y resultados a través del desarrollo individual y colaborativo de 5 ejercicios los cuales abarcan inicialmente la conceptualización y aplicación de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en la solución de problemas básicos, rectas R3 y por último la gráfica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de solución.

OBJETIVOS

-

Comprender y aplicar los correspondientes a un plano.

métodos

para

hallar

las

ecuaciones

-

Analizar los conceptos de algebra y realizar un cuadro sinóptico.

-

Apropiar conocimientos acerca de las diferentes maneras de desarrollar un sistema de ecuaciones de lineales.

-

Abarcar y aplicar los diferentes conceptos a las rectas tales como su denominación o caracterización según su comportamiento.

Marian Camila Palma Martínez

Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 2, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Descripción del ejercicio 2 a) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio del método de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. Beatriz requiere saber el precio de venta en una cafetería americana que tienen las tostadas, el té y las arepitas de queso. En la tabla informativa se cuantifica el valor en dólares que debe pagarse el primer, segundo y tercer día por comprar las cantidades especificadas de cada alimento:

Tostadas Té Arepitas de queso Costo (Dólares)

Día 1 1 2

Día 2 4 4

Día 3 2 3

4

1

4

35

34

42

¿Determine el precio en dólares a pagar por cada tostada, te y arepita de queso? El método de Gauss Jordán plantea una matriz Mx = I, siendo I la matriz identidad;

f₂ - 4f₁ f₃ - 2f₁ 1 2 4 35 = [0 −4 −15] . [−106] 0 −1 −4 −28

-f₃ → f₂ 1 2 4 35 = [0 1 4 ] . [ 28 ] 0 −4 −15 −106 f₃ + 4f₂ 1 2 = [0 1 0 0

4 35 4] . [28] 1 6

f₁ - 4f₃ f₂ - 4f₃ 1 =[0 0

2 0 11 1 0] . [ 4 ] 0 1 6

f₁ - 2f₂ 1 =[0 0

0 0 3 1 0] . [4] 0 1 6

El precio de venta en una cafetería americana que tienen las tostadas, el té y las arepitas de queso Tostadas: 3 dólares Té: 4 dólares Arepitas de queso: 6 dólares

a) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuélvalo aplicando la eliminación Gaussiana, valide el resultado y grafique las rectas o planos correspondientes con Geogebra*. Luego analice las características de las rectas o planos obtenidos y clasifique el sistema de ecuaciones en consistente o inconsistente y según el tipo de solución. 3X1 + 3X2 + 9X3 = 6 2X1 + 3X2 + 4X3 = 1 2X1 + X2 + 8X3 = 7

X1

X2

X3

3

3

9

6

2

3

4

1

2

0

8

7

1

1

3

2

0

1

-2

-3

0

-2

2

3

1

1

3

2

0

1

-2

-3

0

-2

2

3

1

1

3

2

0

1

-2

-3

0

-1

1

1,5

1

0

5

5

0

1

-2

-3

0

0

-1

-1,5

1

0

5

5

0

1

-2

-3

0

0

1

1,5

1

0

0

-2,5

0

1

0

0

0

0

1

1,5

X1

-2,5

X2

0

X3

1,5

6

= = =

1 7

CONSISTENTE

6 1 7

Al reemplazar los valores obtenidos, vemos que estos satisfacen la igualdad Así mismo, estamos frente a un sistema de ecuaciones CONSISTENTE, toda vez que tiene al menos una solución posible, es decir, las tres rectas se intercectan al menos una vez

GRÁFICO EJERCICIO 2E

Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Descripción del ejercicio 3 Solucionar según la condición dada: a. Hallar las ecuaciones las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab), de la recta que pasa por el punto (2, − 1, 4) y tiene por números directores [3, −1. 6] Las ecuaciones vectoriales, paramétrica y simétrica, de la recta que pasa por el punto P y el vector director U son: Sea, P = (2,-1,4) y U = (3,-1,6) ECUACIÓN VECTORIAL: r: (x, y, z) = (2,-1,4) + λ (3,-1,6) ECUACIÓN PARAMÉTRICA: {x = 2 + 3λ r: {y = -1 - λ λ∈R {z = 4 + 6λ ECUACIÓN SIMÉTRICA: r: (x-2/3) + (-y-1) + (z-4) /6

λ∈R

a. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 1, −1) y es paralela a cada uno de los planos 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0 y 2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 9 = 0 Hallamos los vectores normales de los planos dados: ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 = (3, −1,2) ⃗⃗⃗⃗ = (2,2, −3) 𝑛2 Luego procedemos a hallar el vector director: 3 | 2

−1 2 | 2 −3

=

𝑉 = (−1, 13, 8)

𝑥−5 𝑦−1 𝑧+1 = = −1 13 8 𝑥−5 𝑦−1 = = −1 13

13𝑥 − 65 = −𝑦 + 1

𝑦−1 𝑧+1 = = 8𝑦 − 8 = 13𝑧 + 13 13 8

=

𝟏𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝟔 = 𝟎

=

𝟖𝒚 − 𝟏𝟑𝒛 − 𝟐𝟏 = 𝟎

Unimos las dos ecuaciones resultantes: 𝟏𝟑𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟏𝟑𝒛 − 𝟖𝟕 = 𝟎

Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 4, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Descripción ejercicio 4. Solucione las siguientes problemáticas de rectas en R3, en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab) a) De las rectas que se presentan a continuación, encuentre una recta L ortogonal:

Y que pase por el punto (2,4,-2). 𝐿1 = 𝑥 = 4 + 8𝑡; 𝑦 = −4 − 6𝑡; 𝑧 = 2 + 2𝑡 𝐿2 = 𝑥 = 10 − 4𝑠; 𝑦 = 2 + 2𝑠; 𝑧 = −8 − 10𝑠 ⃗⃗⃗⃗1 = (8; −6, 2) 𝑛 𝑛2 = (−4, 2, −10) ⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛1 . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 = | 8 −6 2 | −4 2 −10 = (60 − 4)𝑖 − (−80 + 8)𝑗 + (16 − 24)𝑘 = 56𝑖 + 72𝑗 − 8𝑘 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) La recta tiene forma 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡 𝑥 = 2 + 56𝑡 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡 → { 𝑦 = 4 + 72𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡 𝑧 = −2 − 8𝑡

e) Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que pasan ̂ ̂ − 9𝑘 por el punto (4,8,-6), y es paralela al vector 𝑣 = 8𝑖 La forma simétrica de la ecuación de la recta es: (𝑥 − ℎ) (𝑦 − 𝑘) (𝑧 − 𝑖) = = 𝑎 𝑏 𝑐 La forma paramétrica de la ecuación de la recta es: 𝑥 = ℎ + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑘 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑖 + 𝑐𝑡 Donde sabemos que (h,k,i) son las coordenadas de un punto de la recta. (a,b,c) son las coordenadas del vector director. Y t es un parámetro real. ECUACIÓN SIMÉTRICA: (𝑥 − 4) (𝑦 − 8) (𝑧 + 6) = = 8 0 −9 Como no es posible dividir entre cero, la ecuación simétrica resultante quedaría: (𝒙 − 𝟒) (𝒛 + 𝟔) = ;𝒚 = 𝟖 𝟖 −𝟗 ECUACIÓN PARAMÉTRICA: 𝒙 = 𝟒 + 𝟖𝒕 𝒚 = 𝟖 (𝒄𝒐𝒏 𝒃 = 𝟎) 𝒛 = −𝟔 − 𝟗𝒕

GRÁFICO EJERCICIO 4E

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 5, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2 Descripción ejercicio 5. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a. Se requiere determinar si los siguientes planos son paralelos:

En caso de que no sea paralelos, encuentre la ecuación de la recta en que se intersectan. Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. Si su producto cruz es 0 entonces son paralelos, 𝑖 𝜋1 . 𝜋2 = | 6 12

𝑗 𝑘 −9 −12| = −3 −3

(27 − 36)𝑖 − (−18 + 144)𝑗 + (−18 + 108)

= −9𝑖 − 126𝑗 + 90𝑘, 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠

Hallamos Ecuación de intersección, Si X=t, 6t – 9y – 12z = 30 𝑦=

6𝑡 − 12𝑧 − 30 30

19𝑡 10 6𝑡 − 12 ( 3 − 3 ) − 30 6𝑡 − 76𝑡 + 20 − 40 𝑦= = 30 30 2 7 𝑦= − − 𝑡 3 3

Si x=t 12t – 3y – 3z = 9 6𝑡 − 12𝑧 − 30 ) − 3𝑧 = 9 30 3 6 = 12𝑡 − 𝑡 + 𝑧 + 3 − 3𝑧 = 9 5 5 57 9 = 𝑡− 𝑧 =9−3=6 5 5 57 9 = 𝑡−6= 𝑧 5 5 5 57𝑡 19 10 𝑧= ( − 6) = 𝑡− 9 5 3 3

= 12𝑡 − 3 (

2

7

La recta quedara {𝑥 = 𝑡, 𝑦 = − 3 − 3 𝑡, 𝑧 = −5 +

19 3

𝑡}

e. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1,4,2), Q=(2,3,3) y R=(9,2,-3). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. DATOS: P= (1,4,2) Q= (2,3,3) R= (9,2,-3) Primero hallamos la normal del plano: 𝑛 = 𝑃𝑄 ∗ 𝑃𝑅 𝑃𝑄 = (2 − 1, 3 − 4, 3 − 2) = 𝑷𝑸 = (1, −1, 1) 𝑃𝑅 = (9 − 1, 2 − 4, −3 − 2) = 𝑷𝑹 = (𝟖, −𝟐, −𝟓) 𝑖 𝑗 𝑘 [1 −1 1 ] 8 −2 −5

= 𝑖 [(−1)(−5) − (−2)(1)] − 𝑗 [(1)(−5) − (8)(1)] + 𝑘 [(1)(−2) − (8)(−1)] 7 𝑖 + 13 𝑗 + 6 𝑘 = 𝑛 = (7, 13, 6)

Por lo cual contamos con el punto A(x, y, z) perteneciente al plano: 𝑃𝐴 = (𝑥 − 1, 𝑦 − 4, 𝑧 − 2) Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero: 𝑃𝐴 ∗ 𝑛 = 0 (𝑥 − 1, 𝑦 − 4, 𝑧 − 2) ∗ (7, 13, 6) = 0 7(𝑥 − 1) + (𝑦 − 4)13 + (𝑧 − 2)6 = 0 7𝑥 − 7 + 13𝑦 − 52 + 6𝑧 − 12 = 0 𝟕𝒙 + 𝟏𝟑𝒚 + 𝟔𝒛 − 𝟕𝟏 = 𝟎

Julieth González Descripción del ejercicio 2C

c) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la Regla de Cramer. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En un parque automovilístico hay carros de color negro, blanco y azul. Se sabe que el número de carros negros y blancos es cinco veces el número de azules. También los carros negros son el triplo de los azules y el total de carros blancos y azules suman 123. ¿Determine la cantidad de carros de cada color que se encuentran en el parque?

CN= carros negros CB= carros blancos CA= carros azules Numero de carros negros y blancos es cinco veces el número de azules: CN+CB=5ª Carros negros son el triple de los azules: CN= 3CA Total, de carros blancos y azules suman 123 CB+CA=123 REEMPLAZAMOS X= CN

Y=CB

Z=CA

Donde: x+y= 52 ⇒ x+y- 52=0 (1) x=32 ⇒ x-32=0 (2) y+2 =123 (3) REGLA DE CRAMER x+y-52=0

𝑥=

x-32=0

𝑦=

𝐷𝑥 𝐷𝑡 𝐷𝑦 𝐷𝑡

y+2=123

𝑧=

𝐷𝑧 𝐷𝑡

Dt=

𝑥 1 [ 1 0

𝑦 1 0 1

𝑧 𝑥 −5 1 | −3 1 1 0

𝑥 0 [ 0 123

𝑦 1 0 1

𝑧 𝑥 −5 0 | −3 0 1 123

𝑦 1 ] 0 1

= (0+0-5) - (1-3+0) = (-5) - (-2) DT= -3 Dx=

𝑦 1 ] 0 1

= (0-369+0) - (0+0+0) Dx= -369 𝐷𝑥 −369 𝑥= = = 123 𝐷𝑡 −3 X=123

Dy=

𝑥 1 [ 1 0

𝑦 0 0 123

𝑧 𝑥 −5 1 | −3 1 1 0

𝑦 0 ] 0 123

𝑦 1 0 1

𝑧 𝑥 0 1 | 0 1 123 0

𝑦 1 ] 0 1

= (0+0-615) - (0-369+0) = -615+369 Dy= -246 𝐷𝑦 −246 𝑦= = = 82 𝐷𝑡 −3 y=82 Dz 𝑥 1 [ 1 0 = (0+0+0) - (123+0+00)

Dz= - 123 𝐷𝑧 −123 𝑧= = = 41 𝐷𝑡 −3 z=41

Descripción del ejercicio 3 Solucionar según la condición dada

𝑥 − 2 = 3𝑡 𝑥 = 3𝑡 + 2

𝑥−2

𝑦−2

8−𝑧

𝑥−1

2−𝑦

= 4 = 4 y 3 = −4 = 𝑥−2 𝑦−2 8−𝑧 𝑡= = = 3 4 4 𝑦 − 2 = 4𝑡 8 − 𝑧 = 4𝑡 𝑦 = 4𝑡 + 2 𝑧 = 8 − 4𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,2,8) + (3,4, −4)𝑡

c. Demostrar que las rectas

3

𝑧+3 −4

son paralelas.

𝑥−1 2−𝑦 𝑧+3 = = 3 −4 −4 2 − 𝑦 = −4𝑠 𝑧 + 3 = −4𝑠 𝑦 = 2 + 4𝑠 𝑧 = −4𝑠 − 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2, −3) + (3,4, −4)𝑠 𝑠=

𝑥 − 1 = 3𝑠 𝑥 = 3𝑠 + 1

Verificar so los vectores de dirección son paralelos: (3,4, −4)𝑡 = (3,4, −4)𝑠 Son vectores paralelos, por lo tanto, las rectas son paralelas.

𝑖 𝑗 𝑘 𝑢1 𝑥𝑢2 = |3 4 −4| = (−16 + 16)𝑖 − (−12 + 12)𝑗 + (12 − 12)𝑘 = (0,0,0) 3 4 −4

Descripción ejercicio 4. Solucione las siguientes problemáticas de rectas en R3, en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab) a) La recta pasa por los puntos (2,4,6) y (-6,9,8). Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. 𝑃⃗ = (2,4,6) 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (−6,9,8) − (2,4,6) = (−8,5,2) 𝑟 = (2,4,6) + 𝑡(−8,5,2) → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑡𝑖𝑎𝑙 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,4,6) + 𝑡(−8,5,2) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,4,6) + (−8𝑡, 5𝑡, 2𝑡) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 − 8𝑡, 4 + 5𝑡, 6 + 2𝑡) 𝑥 = 2 − 8𝑡 𝑦 = 4 + 5𝑡} 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑧 = 6 + 2𝑡 𝑥+2 𝑥 = 2 − 8𝑡 → 𝑡 = −8 𝑦−4 𝑦 = 4 + 5𝑡 → 𝑡 = 5 𝑧−6 𝑧 = 6 + 2𝑡 → 𝑡 = 2 𝑥+2 𝑦−4 𝑧−6 = = → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 −8 5 2

Descripción ejercicio 5. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): b. Encontrar la ecuación del plano, cuyo vector normal es y pasa por el punto (4,-6,10). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 𝑛⃗ = (6, −3, −3) 𝑃𝑜 = (4, −6,10) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑜 𝑃 = (𝑥 − 4, 𝑦 + 6, 𝑧 − 10) 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑥 − 4, 𝑦 + 6, 𝑧 − 10). (6, −3, −3) = 0 6(𝑥 − 4) − 3(𝑦 + 6) − 3(𝑧 − 10) = 0 6𝑥 − 24 − 3𝑦 − 18 − 3𝑧 + 30 = 0 6𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 − 12 = 0 → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

Geraldine Mendoza

Descripcion del ejercicio 2 (B) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la eliminación Gaussiana. Valide su resultado por medio de GeoGebra*. En una casa campo a las afueras de Bogotá, se encuentran 11 animales entre Pavos, Patos y Gallinas. Cada Pavo come tres kilos de alpiste al día, cada Pato come dos kilos al día y cada Gallina también dos kilos. Si en total se necesitan 25 kilos de alpiste por día y se sabe que el número de Gallinas es el triple respecto al número de Patos. ¿Cuántos Pavos, Patos y Gallinas hay? 𝑃𝑎𝑣𝑜𝑠 = 𝑋 𝑃𝑎𝑡𝑜𝑠 = 𝑌 𝐺𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 11 3𝑋 + 2𝑌 + 2𝑍 = 25 𝑌 = 3𝑍 = 𝑌 − 3𝑍 = 0 1 1 1 11 1 1 1 11 (3 2 2 |25) − 3𝑓1 + 𝑓2 (0 −1 −1|−8) − 𝑓2 0 1 −3 0 0 1 −3 0 1 1 1 11 1 1 1 11 (0 1 1 | 8 ) (0 1 1 | 8 ) 0 1 −3 0 0 0 −4 −8 1 1 1 11 1 1 1 11 (0 1 1| 8 ) − 𝑓3 + 𝑓2 (0 1 0 | 6 ) 0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 09 1 0 03 (0 1 0|6) (0 1 0|6) 0 0 12 0 0 12 Hay 3 pavos, 6 patos y 2 gallinas. f2+f 3 −𝑓2 + 𝑓1

−1⁄ 𝑓3 4 −𝑓3 + 𝑓1

Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Solucionar según la condición dada: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a cada 𝒙−𝟐 𝒚 𝒛+𝟑 𝒚−𝟐 𝒛 una de las rectas 𝟐 = −𝟐 = 𝟑 = y 𝒙 + 𝟒 = 𝟓 = −𝟐 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (7, −2, 9) 𝑥−2 𝑦 𝑧+3 𝑦−2 𝑧 𝐿1 = = = 𝐿2 = 𝑥 + 4 = = 2 −2 3 5 −2 ⃗⃗⃗⃗ De la recta L1 obtenemos su vector dirección 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 = 2𝑖̂ − 2𝑗̂ + 3𝑘̂ De la recta L2 hallamos su vector dirección ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 ̂ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = 0𝑖̂ + 5𝑗̂ − 2𝑘 Si hacemos producto vectorial entre ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 Hallaremos un vector 𝑤 ⃗⃗ que es ortogonal a las dos rectas. 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ −2 3 |−𝑗̂| 2 3 2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑤 ⃗⃗ = 𝑣1 𝑥 𝑣2 = |2 −2 3 | |𝑖̂| | | | | |+𝑘̂| | 5 −2 0 −2 0 0 5 −2 𝑤 ⃗⃗ =𝑖̂(4 − 15) − 𝑗̂ (−4 − 0) + 𝑘̂(10 − 0) 𝑤 ⃗⃗ = −11𝑖̂ + 4𝑗̂ + 10𝑘̂ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 𝑥1 + 𝑡𝑎 𝑦 = 𝑦1 + 𝑡𝑏

−2 | 5

𝑧 = 𝑧1 + 𝑡𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑤 ⃗⃗ = −11𝑖̂ + 4𝑗̂ + 10𝑘̂ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = −11, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 7 − 11𝑡, 𝑦 = −2 + 4𝑡, 𝑧 = 9 + 10𝑡

𝑏 = 4,

𝑐 = 10

Descripción ejercicio 4. Solucione las siguientes problemáticas de rectas en R3, en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab) Demostrar si las rectas que se presenta a continuación son ortogonales: 𝑥 + 4 𝑦 − 6 𝑧 − 10 𝐿1 = ; ; 8 −2 4 𝑥−2 𝑦−8 𝑧+8 𝐿2 = ; ; −2 4 8 𝐿1 = (−4,6,10)+∝ (8, −2, 4) 𝐿2 = (2,8, −8) + 𝜆(−2,4,8) 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0 → 𝑣1 𝑣2 𝑣1 = (8, −2,4) 𝑣2 = (−2, 4, 8)

𝑣1 ∙ 𝑣2 = (8, −2, 4) ∙ (−2, 4, 8) = −16 − 8 + 32 = 8 ≠ 0 Como el producto punto entre v1 y v2 es diferente de “0” entonces podemos ver que las rectas no son ortogonales.

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 5, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Descripción ejercicio 5. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):  Definan la ecuación del plano que pasa por los puntos P= (4,6,2), Q= (3,-3,6) y R= (10,4,-6). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 𝑄(3, −3, 6) − 𝑃(4, 6, 2) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 〈−1, −9, 4〉 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = 𝑅(10, 4, −6) − 𝑃(4, 6, 2) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = 〈6, −2, −8〉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑃𝑄 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = 𝑁 ̂ 𝐼̂ 𝐽̂ 𝐾 −9 4 ̂ −1 4 ̂ −1 −9 ̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 𝑋 𝑃𝑅 = |−1 −9 4 | → | |𝐼 − | |𝐽 + | |𝐾 −2 −8 6 −8 6 −2 6 −2 −8 ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ 𝑃𝑄 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 = [72 − (−8)]𝐼̂ − [8 − 24]𝐽̂ + [2 − (−54)]𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋 𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 80𝐼̂ + 16𝐽̂ + 56𝐾 ̂ 𝑃𝑄 ⃗ =〈80, 16, 56〉 𝑁

𝑇(𝑋, 𝑌, 𝑍) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑇(𝑋, 𝑌, 𝑍) − 𝑃(4, 6, 2) 𝑃𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑋 − 4, 𝑃𝑇 𝑌 − 6, 𝑍 − 2〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ =0 𝑃𝑇 ∙ 𝑁 〈𝑋 − 4, 𝑌 − 6, 𝑍 − 2〉 ∙ 〈80, 16, 52〉 (𝑋 − 4) ∙ 80 + (𝑌 − 6) 16 + (𝑍 − 2) ∙ 56 = 0 80𝑋 − 320 + 16𝑌 − 96 + 56𝑍 − 112 = 0 80𝑋 + 16𝑌 + 56𝑍 − 528 = 0 80𝑋 + 16𝑌 + 56𝑍 = 528 ÷ 8 10𝑋 + 2𝑌 + 7𝑍 = 66 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 𝐷𝐸𝐿 𝑃𝐿𝐴𝑁𝑂

Julio Cesar Rincón

Desarrollo ejercicios D 2 Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuélvalo aplicando el método de Gauss Jordán, valide el resultado y grafique las rectas o planos correspondientes con GeoGebra*. Luego analice las características de las rectas o planos obtenidos y clasifique el sistema de ecuaciones en consistente o inconsistente y según el tipo de solución.

6X1 + 4X2 + 2X3 = 2 5X1 + 3X2 + 4X3 = 2 -X1 – X2 + X3 = -1 6 4 2 1 0.67 0.33 2 0.33 (5 ) 𝑟1: 𝑟1/(−6) ( 3 4 5 3 2 4 2 ) −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 𝑟2: 𝑟2 − 5𝑟1; 𝑟3 1 0.67 0.33 1 0.67 0.33 0.33 0.33 𝑟2 + 𝑟1 (0 −0.33 2.33 (0 1 0.33 ) 𝑟2: −7 −1 ) −0.33 0 −0.33 1.33 −0.67 0 −0.33 1.33 −0.67 𝑟3: 𝑟3 1 + 0.33𝑟2 (0 0

0.67 0.33 1 −7 0 1

1 0.67 0.33 0.33 1 −1 ) 𝑟3: 𝑟3(−1) (0 −7 0 0 −1 1

1 0.67 0.33 (0 1 0 0 0 1

0.33 −1 ) 𝑟2: 𝑟2 + 7𝑟3 1

1 0.67 0.33 0 1 6 ) 𝑟1: 𝑟1 − 0.33𝑟3 (0 0 0 0 1 1 1 0 0 −4 − 0.67𝑟2 (0 1 0 6) 0 0 1 1

0 6) 𝑟1: 𝑟1 1

El sistema es consistente

Desarrollo ejercicios D 3 Demostrar que la recta paralelos De la recta:

𝑥−2 6

=

3𝑦+1

𝐿1 =

−6

=

1−𝑧 3

y el plano 2𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 + 3 = 0, son

𝑥 − 2 3𝑦 + 1 1 − 𝑧 = = 6 −6 3

1 𝑥−2 𝑦+3 𝑧−1 𝐿1 = = = 6 −2 −3

𝑉𝐿1 = (6, −2, 3)

Del plano: 𝜋1: 2𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 + 3 = 0 Dada la ecuación del plano se extraen dos puntos pertenecientes a este, para encontrar el vector director, llevando a cero dos de las componentes: 𝐴: 𝑥 = 0; 𝑦 = 0 1 6𝑧 = −3 𝑧=− 2 1 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 = (0, 0, − ) 2 Para el punto B: 𝐵: 𝑥 = 0; 𝑧 = 0 −3𝑦 = −3 𝑦=1 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵 = (0, 1, 0) Vector director dado de los dos puntos encontrados de la ecuación del plano: 1 𝑉𝜋1 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (0, 1, ) 2 𝑖 𝑗 𝑘 −2 −3 6 −3 6 −2 −3 1 1 | + 𝑘 |6 −2| 𝑉𝐿1 𝑥 𝑉𝜋1 = | |−𝑗| 1 | = 𝑖| 1 0 0 1 0 1 2 2 2 𝑉𝐿1 𝑥 𝑉𝜋1 = (−1 + 3)𝑖 − (3 + 0)𝑗 + (6 + 0)𝑘 𝑉𝐿1 𝑥 𝑉𝜋1 = 2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘

Desarrollo ejercicios D 4 Demuestre si las siguientes rectas tienen el punto (22,8,20) en común:

Para demostrar que las siguientes rectas tienen el punto dado en común es necesario igualar cada una de las componentes paramétricas de las rectas a las componentes del punto dado y despejar t, si esta toma un solo valor se puede decir que efectivamente tienen en común el punto dado las dos rectas. 𝑃𝑜 = (22,8,20) De la recta 1: 22 = 8𝑡 + 6 𝑡=2 8 = 2𝑡 + 4 𝑡=2 20 = 4𝑡 + 12 𝑡=2 Dado que t toma en los tres escenarios el mismo valor se puede considerar que el punto si pertenece a la recta 1. De la recta 2: 22 = 6𝑠 + 4 𝑠=3 8 = 2𝑠 + 2 𝑠=3 20 = 4𝑠 + 8 𝑠=3 Dado que S toma en los tres escenarios el mismo valor se puede considerar que el punto si pertenece a la recta 2. Concluyéndose que efectivamente el punto es común en las dos rectas.

Desarrollo ejercicios D 5 Definir si los siguientes planos son paralelos:

En caso de que no sea paralelos, encuentre la ecuación de la recta en que se interceptan. Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. En primer lugar, se demuestra con el producto cruz entre los planos si estos son o no paralelos. 𝑖 𝑗 𝑘 6 −8 3 −8 3 6 𝜋1 𝑥 𝜋2 = |3 6 −8| = 𝑖 | |−𝑗| |+𝑘| | 1 −5 6 −5 6 1 6 1 −5 𝜋1 𝑥 𝜋2 = (−30 + 8)𝑖 − (−15 + 48)𝑗 + (3 − 36)𝑘 𝜋1 𝑥 𝜋2 = −22𝑖 − 33𝑗 − 33𝑘 𝑛 = (−22, −33, −33) Dado que el producto cruz no es cero, los planos no son paralelos y se debe de buscar la ecuación de la recta que se forma con la intersección de estos, teniendo presente que el resultado del producto cruz es el vector director de la recta. Obtenido el vector directo de la recta se continua en búsqueda de un punto perteneciente a esta con la sustitución en las ecuaciones de los dos planos dados. 3𝑥 + 6𝑦 − 8𝑧 = 15 6𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 12 Con las dos ecuaciones y sustituyendo a x por cero se tiene: 6𝑦 − 8𝑧 = 15 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 1 𝑦 − 5𝑧 = 12 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 2 De la ecuación 2 𝑦 = 12 + 5𝑧 Sustitución en la ecuación 1 6(12 + 5𝑧) − 8𝑧 = 15 72 + 30𝑧 − 8𝑧 = 15 72 + 22𝑧 = 15 57 𝑧=− 22 Sustituyendo el valor de z en la ecuación 2: 57 𝑦 = 12 + 5 (− ) 22 −21 𝑦= 22 −21 57 𝑃𝑜 = (0, ,− ) 22 22 Obtenido el punto es posible construir la ecuación de la recta que se forma a partir de la intersección de los planos. −21 57 𝐸𝑐𝐿 = (0, , − ) + 𝜆(−22, −33, −33) 22 22

ANEXOS Link Blog tarea-2-sistemas-de-ecuaciones-lineales-rectas-y-planos.webnode.com.co

Videos Explicativos Estudiante

Link Video

CAMILA PALMA

DANIEL POSADA S.

https://www.youtube.com/watch?v=Htmg q54aExY

Literal Ejercicios seleccionad o A B C D 3E

CONCLUSIONES Con la realización de los ejercicios planteados en la guía de actividades, nos acercamos aún más al mundo matemático oculto que permanentemente nos rodea, logrando interactuar con cifras y dar solución a problemas cotidianos que diariamente tenemos a nuestro alcance. El dominio para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permitirá al alumno afrontar el planteamiento y solución de problemas diversos. Si se siguen estudios de ciencias los aplicaran también en geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas y planos y en el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio. Se diseñan cuadros sinópticos de los distintos temas y se desarrolla los ejercicios de la guía de actividad para dar cumplimiento a la unidad 2 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la peculiaridad que todas las ecuaciones están las mismas variables.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Rodríguez J., (N-D). Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182 y 208 a 230.

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Recuperado