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• José Pablo Ramírez Naranjo

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Ramírez  Naranjo  José  Pablo  

 

Mecánica  y  Fluidos  

UAM-­I   MECANICA  Y  FLUIDOS   Tarea  #  2   1.-­   (1   punto)   a)   ¿Cuáles   son   las   componentes   de   un   vector   en   el   plano   xy   si   su   dirección  es  252º  en  sentido  contrario  al  giro  de  las  manecillas  del  reloj  respecto  al  eje   positivo  x  y  si  su  magnitud  es  7.34  unidades?     Se  representara  al  vector  como   ,  entonces  la  componente  en  el  eje  de  las  x  se  calcula   como:   a  cosθ = x ⇒ a cos θ = ax ⇒ 7.34unidadescos(252º) = −2.27unidades   a

La  componentes  en  el  eje  de  las  y  se  calcula  como:   €

€

ay  sin θ =  ⇒ a sin θ = ay ⇒ 7.34unidadessin(252º) = −6.98unidades   a b)   La   componente   x   de   cierto   vector   es   –25   unidades,   y   la   componente   en   y   es   +24   unidades.   ¿Cuáles   son   la   magnitud   del   vector   y   el   ángulo   entre   su   dirección   y   el   eje   positivo  x?   Se   representara   al   vector   como     y   a   sus   componentes   como   magnitud  del  vector  viene  dada  como:  

  a = ax2 + ay2 ⇒ a = tan θ =

€

  y  

,   entonces   la  



(−25u) 2 + (+24u) 2 ⇒ a = 34.65u    donde  u  son  las  unidades.  

⎛ ⎛ ay ⎞ ay ay ⎞ ⎛ +24 ⎞ ⇒ tan −1⎜tan θ = ⎟ ⇒ θ = tan −1⎜ ⎟ ⇒ θ = tan −1⎜ ⎟ ⇒ θ = 43.83º   ⎝ −25 ⎠ ax ax ⎠ ⎝ ⎝ ax ⎠

Se  trabaja  en  el  segundo  cuadrante  del  plano  xy  entonces.  

€

θ = 180º −43.83º = 136.17º  

€

2.-­   (1   punto) Una   persona   desea   llegar   a   un   punto   distante   3.42   km   de   su   lugar   presente   y   en   una   dirección   de   35.0º   al   Norte   del   Este.   Pero   debe   pasar   por   calles   que   van  de  N  –  S  o  E  –  O.  ¿Qué  distancia  mínima  deberá  recorrer  para  llegar  a  su  destino?   Primero  debe  de  situarse  a  la  persona  en  el  origen  del  sistema  de  coordenadas.  EL  pt   distante   se   ubica   en   un   plano   xy,   como   esta   descrito   el   enunciado   si   se   ubica   el   este   como  el  eje  positivo  de  las  x,  el  punto  de  interés  esta  35º  hacia  el  eje  positivo  y,  esto   ubica   al   punto   en   el   primer   cuadrante.   Entonces   la   distancia   minima   que   debe   recorrerse  es  la  suma  de  la  componentes  del  vector  de  posición  del  punto  de  interés.      ax + ay = a cosθ + a sin θ = a (cosθ + sin θ ) = 3.42km(cos( 35.0) + sin( 35.0)) = 4.76km  

€

Ramírez  Naranjo  José  Pablo  

 

Mecánica  y  Fluidos  

3.-­   (1   punto) a)   ¿Cuál   es   la   suma   en   notación   de   vectores   unitarios   de   dos   vectores   a = 5iˆ + 3 ˆj  y   b = −3iˆ + − ˆj ?    

( )

      a + b = 5iˆ + 3 ˆj + −3iˆ + − ˆj ⇔ a + b = 5iˆ + 3 ˆj − 3iˆ − ˆj ⇔ a + b = 5iˆ − 3iˆ + 3 ˆj − ˆj       a +€ b = (5 − 3)iˆ + ( 3 −1) ˆj ⇔ a + b = 2iˆ + 2 ˆj   b)  ¿Cuáles  son  la  magnitud  y  dirección  de   a + b ?  

) (

(

€

€

€

€

( ))

La  magnitud.     a + b = 2î + 2 ˆj €     a + b = 2 2 + 2 2 = 4 + 4 = 8 = 2.82 La  dirección   ⎛ a + b ⎜ tan θ = ⎜   a+b ⎝

( (



⎛ a + b ⎞ ) ⎞⎟ ) ⎟ ⎜ ( ⇒ θ = tan  ⎜ a + b ⎟ ⇒ θ = tan ) ⎟⎠ ) ⎠ ⎝ ( y x

−1

y

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ θ = tan −1 (1) ⇒ θ = 45º   ⎝ 2 ⎠

−1

x

4.-­  (1  punto) Una  mujer  camina  250  m  en  la  dirección  a  35º  al  Este  del  Norte,  después   170   m   al   Este.   a)   Por   medio   de   métodos   gráficos,   determine   el   desplazamiento   final   desde   el   punto   de   partida.   b)   Compare   la   magnitud   de   su   desplazamiento   con   la   distancia  que  camino.                         La  mujer  caminó   250m +170m = 420m  

€

Ramírez  Naranjo  José  Pablo  

 

Mecánica  y  Fluidos  

Su  desplazamiento  fue  

a  cosθ = 1x ⇒ a1 cos θ = a1x ⇒ 250m cos(55º) = 143m a1 a1y  sin θ =  ⇒ a1 sin θ = a1y ⇒ 250m sin(55º) = 205m a1 a  cosθ = 2x ⇒ a2 cos θ = a2x ⇒ 170m cos(0º) = 170m   a2 a2y  sin θ =  ⇒ a2 sin θ = a2y ⇒ 170m sin(0º) = 0m a2   a1 + a2 = 143î + 205 ˆj + 170î + 0 ˆj = 313î + 205 ˆj

(

  a1 + a2 =

€

) (

)

(313) 2 + (205) 2 = 374m

5.-­  (2  puntos) El  minutero  de  un  reloj  de  pared  mide  11.3  cm  del  eje  a  la  punta.  ¿Cuál   es   el   vector   de   desplazamiento   de   la   punta   a)   desde   un   cuarto   después   de   la   hora   hasta  media  hora  después?   Se  sitúa  el  origen  del  sistema  de  coordenadas  como  el  extremo  contrario  a  la  punta  de   la  manecilla.  Un  cuarto  después  de  la  hora  implica  que  el  vector  posición  de  la  punta   se  ubica  sobre  el  eje  positivo  de  las  x,  media  hora  después  se  ubicaría  en  eje  negativo   de  las  x.  Entonces  sea    el  vector  desplazamiento.    el  vector  de  posición  inicial,  y     es  vector  de  posición  final.      Δr = r2 − r1 ⇒ −11.3î −11.3î = −22.6î  

€

b)  en  la  siguiente  media  hora.      Δr = r3 − r2 ⇒ 11.3î − ( −11.3î ) = 11.3î +11.3î = 22.6 ˆj  

€

c)  en  la  siguiente  hora?      Δr = r4 − r3 ⇒ 11.3î −11.3î = 0î  

€

NOTE   QUE   RESPONDI   LOS   INCISOS   RESPECTO   A   CADA   PUNTO   ANTERIOR,   NO   SABÍA   SI   DEBÍA   HACERLO   CON   RESPECTO   AL   PUNTO   INICIAL,   SIENTO   QUE   NO   QUEDA  BIEN  ESTABLECIDO  EN  EL  ENUNCIADO  DEL  PROBLEMA.   6.-­(2   puntos) Una   partícula   pasa   por   tres   desplazamientos   sucesivos   en   un   plano   como  sigue:  4.13  m  al  Suroeste,  5.26  m  al  Este  y  5.94  m  en  dirección  al  Norte  del  Este  a   64º.   Escoja   el   eje   x   que   señala   al   Este,   y   el   eje   y   que   señala   al   Norte   y   determine   a)   las   componentes  de  cada  desplazamiento.     Primer  desplazamiento.   a  cosθ = 1x ⇒ a1 cos θ = a1x ⇒ 4.13m cos(225º) = −2.92m   a1 a1y  sin θ =  ⇒ a1 sin θ = a1y ⇒ 4.13m sin(225º) = −2.92m a1

Ramírez  Naranjo  José  Pablo  

 

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Segundo  desplazamiento.  

a  cosθ = 2x ⇒ a2 cos θ = a2x ⇒ 5.26m cos(0º) = 5.26m a2 a2y  sin θ =  ⇒ a2 sin θ = a2y ⇒ 5.26m sin(0º) = 0m a2

 

Tercer  desplazamiento.  

€

a  cosθ = 3x ⇒ a3 cos θ = a3x ⇒ 5.94m cos(64º) = 2.60m a3 a3y  sin θ =  ⇒ a3 sin θ = a3y ⇒ 5.94m sin(64º) = 5.33m a3

 

b)  las  componentes  del  desplazamiento  resultante  

€

   a1 + a2 + a3 = −2.92î − 2.92 ˆj + (5.26î ) + 2.60î + 5.39 ˆj = 4.94î + 2.47 ˆj  

(

)

(

)

c)  la  magnitud  y  la  dirección  del  desplazamiento  resultante.  

€

La  magnitud  

   a1 + a2 + a3 =

(4.94 ) 2 + (2.47) 2 = 5.52  

La  dirección  

€

⎛ ( a + a + a ) ⎞ ⎛ 2.47 ⎞ 1 2 3 y θ = tan −1⎜    ⎟ ⇒ θ = tan −1⎜ ⎟ = 26.6º   ⎜ ( a1 + a2 + a3 ) ⎟ ⎝ 4.94 ⎠ ⎝ x ⎠ d)  el  desplazamiento  que  requeriría  la  partícula  para  volver  al  punto  de  partida.    

€

€

     Δr = r2 − r1 ⇔ Δr = 0î + 0 ˆj − 4.94î + 2.47 ˆj ⇔ Δr = −4.94î − 2.47 ˆj  

(

) (

)

7.-­  (2  puntos)  Un  avión  vuela  410  mi  al  Este  desde  la  ciudad  A  hasta  la  ciudad  B  en  45   minutos,  y  luego  820  mi  al  Sur  desde  la  ciudad  B  hasta  la  ciudad  C  en  1  h  30  min.  a)   ¿Cuáles  son  la  magnitud  y  dirección  del  vector  desplazamiento  que  representa  el  viaje   total?     Se  sitúa  el  origen  del  eje  de  coordenadas  como  la  ciudad  A,  el  este  corresponde  al  eje   positivo  de  las  x  y  el  sur  al  eje  negativo.  

   Δr = rC − rA = 410î − 820 ˆj − 0î + 0 ˆj = 410î − 820 ˆj  

(

 

€

 

) (

)

Ramírez  Naranjo  José  Pablo  

 

Mecánica  y  Fluidos  

La  magnitud.  

(410) 2 + (−820) 2 = 917mi   Dirección.  

€

⎛ −820 ⎞ θ = tan −1⎜ ⎟ = 63.43º   ⎝ 410 ⎠

pero  dado  que  estamos  en  el  cuarto  cuadrante  del  plano  xy.   €

€

360º −63.43º = 296.56º   ¿Cuáles  son  b)  el  vector  de  velocidad  promedio?     Δr  410î − 820 ˆj    υ = ⇒υ = ⇒ υ = 182.2î − 362.4 ˆj MPH   Δt 2.25

(

y  c)  ¿la  rapidez  promedio  del  viaje?   €

€

 υ =



(182.2) 2 + (−362.4) 2 ⇒ υ = 407.4 MPH  

)