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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

A continuación se presentan los ejercicios y grafícas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo:

1. Punto No. 1: Calcular los siguientes límites. La siguiente imagen representa la gráfica de la función 𝒇(𝒙), de acuerdo a ella, identifique los siguientes límites. Gráfica

Límites a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

Estudiante 4

𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟒

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟒

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏

f)

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞ cuando x tiene a - ∞ por la izquierda, sus imágenes 𝒙→−∞

se aproximan a valores de ∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −𝟐 cuando x tiene a ∞ por la derecha, sus imágenes se 𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏+

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aproximan a valores de -2

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝟑 cuando x tiene a – 4 negativo 𝒙→−𝟒

por la izquierda, sus

imágenes se aproximan a valores de 3

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝟏 cuando x tiene a – 4 pero positivo por la derecha , 𝒙→−𝟒

sus imágenes se aproximan a valores de 1

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = −𝟐 cuando x tiene a – 1 negativo 𝒙→−𝟏

por la izquierda,

sus imágenes se aproximan a valores de -2

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = −𝟐 cuando x tiene a – 1 pero positivo por la derecha , 𝒙→−𝟏

sus imágenes se aproximan a valores de -2

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2. Punto No. 2 Temática

5. Calcular el siguiente límite al infinito

4. Calcular el siguiente límite 0 indeterminado de la forma 0

3. Evaluar el siguiente límite

6. Evaluar el siguiente límite trigonométrico

4

lim √7𝑥 8 − 6𝑥 3 + 5𝑥 2 + 27𝑥 + √8𝑥 3

𝑥→2

lim x→0

Se evalúa el limite x=2 entonces 4

√7(2)8

√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥 𝑥

𝑥→

− 6(2)3

+

5(2)2

+ 27(2) +

√𝑥 − √𝑥 x→∞ 𝑥2

= 6.537 = √1826

√8(2)3

=

Se

expande 1 1 𝑥3 𝑥 = 2 − 22 𝑥 𝑥

(√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥) (√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥) . 𝑥 (√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥) =

(9 + 𝑥) − (9 − 𝑥) 𝑥[√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥]

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑥 =

=

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑥

=

2𝑥 𝑥[√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥]

√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥

Evalúa limites 1 lim = 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥−0 √9 + √9 3

1 1 𝑥 2−3

=

2

2

Se divide entre el denominador con x mayor potencial

lim

Se realiza propiedades distributivas

2

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + cos(𝑥) sec(𝑥) + csc(𝑥)

3

Se racionaliza el numerador.

Se resuelven potenciales y se suma

Estudiante 4

lim𝜋

1 5 𝑥3

−

−

=

1 1 𝑥 2−2

1

1

1

=0

cos(𝑥) sec(𝑥)

1+cot(𝑥)

lim 1=1 𝜋

Entonces el lim ∞ − ∞

sec(𝑥)+

Entonces el

3 𝑥2

x→∞

=

𝑇𝑎𝑛(𝑥) cos(𝑥) + sec(𝑥) sec(𝑥) sec(𝑥) csc(𝑥) + sec(𝑥) sec(𝑥)

𝑥→

2

1

=1

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3. Punto No. 3 Gráficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. 3 a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 𝑎 𝑆𝑖 𝑥 < 2 cuando x=2 3𝑥 + 𝑎 𝑆𝑖 𝑥  2 = 2𝑥 3 − 𝑎 = 3𝑥 + 𝑎

= 2(2)3 − 𝑎 = 3(2) + 𝑎 = 2(8) − 𝑎 = 6 + 𝑎 = 16 − 6 = 𝑎 + 𝑎 = 10 − 2𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 = Estudiante 4

10 =𝑎 2 5=𝑎

Remplazamos 2𝑥 3 − 5 2(−2)3 − 5 = 21 x

-2

-1

0

1

2

y

-21

-7

-5

-3

11

3𝑥 + 5 3(−2) + 5 = −1

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x

-2

-1

y

-1

2

0 5

𝑥 4 + 3 𝑆𝑖 𝑥 < 1 𝐿𝑛(𝑥) + 2𝑎 𝑆𝑖 𝑥  1 4 = 𝑥 + 3 = 𝐿𝑛(𝑥) + 2𝑎 cuando x=1 b) 𝑓(𝑥) = {

= (1)4 + 3 = 𝐿𝑛(1) + 2𝑎 = 1 + 3 = 0 + 2𝑎 = 4 = 2𝑎 a=2 4 = 22

4. Punto No. 4 Problemas Límites y continuidad. Estudiante 4

2.a. Límites.

1

2

8

11

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Se estima que el desempleo, en una población, se rige por la expresión: 𝑫(𝒕) =

𝒎 +𝒏 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐𝒕

Donde t es el tiempo, m y n son constantes. Si inicialmente el desempleo es 4% y al quinto mes se incrementa al 4.5%. Determine: a) Los valores de m y n 𝑫(𝟎)𝟒% =

𝒎 +𝒏 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟎)

𝑫(𝟎)𝟒 =

𝒎 +𝒏 𝟏+𝟏

𝑫(𝟎)𝟒 = 𝑫(𝟎)𝟒 =

𝒎 𝒏 +𝟏 𝟐

𝒎 +𝒏 𝟐

se realiza suma de fracciones

𝑫(𝟎)𝟒 =

𝒎 + 𝟐𝒏 𝟐

𝑫(𝟎)𝟐. 𝟒 = 𝒎 + 𝟐𝒏 𝑫(𝟎)𝟖 = 𝒎 + 𝟐𝒏 primera ecuación 𝑫(𝟎)𝟒% =

5 mes Incremento 4.5%.

𝒎 +𝒏 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟎)

𝒎 +𝒏 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟓) 𝒎 𝒏 𝑫(𝟓)𝟒. 𝟓 = + −𝟏 𝟏+𝒆 𝟏

𝑫(𝟓)𝟒. 𝟓 =

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𝒎 + 𝒏 (𝟏 + 𝒆−𝟏 ) 𝟏 + 𝒆−𝟏 −𝟏 𝑫(𝟎)𝟒. 𝟓 = (𝟏 + 𝒆 ) = 𝒎 + 𝒏(𝟏 + 𝒆−𝟏 ) 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑫(𝟎)𝟒. 𝟓 =

De la ecuación 1 se despeja m 𝟖 − 𝟐𝒏 = 𝒎 sale la ecuación tres Se remplaza la ecuación tres en la dos 𝑫(𝟎) 𝟒. 𝟓 = (𝟏 + 𝒆−𝟏 ) = 𝒎 + 𝒏(𝟏 + 𝒆−𝟏 ) 𝑫(𝟎)𝟒. 𝟓 = 𝟏 + 𝒆−𝟏 = 𝟖 − 𝟐𝒏 + 𝒏(𝟏 + 𝒆−𝟏 ) 𝑫(𝟎)[𝟒. 𝟓 = 𝟏 + 𝒆−𝟏 ] − 𝟖 = −𝟐𝒏 + 𝒏(𝟏 + 𝒆−𝟏 )se resuelven las operaciones 𝑫(𝟎)[𝟒. 𝟓 = 𝟏. 𝟑𝟔𝟕] − 𝟖 = −𝟐𝒏 + 𝒏(𝟏. 𝟑𝟔𝟕) 𝑫(𝟎) − 𝟏. 𝟖𝟒𝟖 = −𝟎. 𝟔𝟑𝟑𝒏 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂 𝒏 𝟏. 𝟖𝟒𝟖 𝑫(𝟎) − = 𝒏 −𝟎. 𝟔𝟑𝟑 𝑫(𝟎)𝟐. 𝟗𝟐 = 𝒏 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 Se remplaza ecuación cuatro en la tres así: 𝟖 − 𝟐(𝟐. 𝟗𝟐) = 𝒎 𝟐. 𝟏𝟔 = 𝒎 Entonces se remplaza toda la ecuación así: 𝟐. 𝟏𝟔 𝑫(𝒕) = + 𝟐. 𝟗𝟐 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐𝒕

b) El porcentaje de desempleo en dos años 𝑫(𝟐) =

𝟐. 𝟏𝟔 + 𝟐. 𝟗𝟐 = 𝟓. 𝟎𝟔 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟐𝟒)

c) El desempleo a largo plazo. 𝐥𝐢𝐦

𝟐.𝟏𝟔

𝑥→∞ 𝟏+𝒆−𝟎.𝟐(∞)

+ 𝟐. 𝟗𝟐 = = 𝟓. 𝟎𝟕𝟐%

2.b. Continuidad Una empresa realizó un cambio en la forma de realizar su contabilidad. Los beneficios, en millones de pesos, está dada por

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la siguiente función: 𝟑𝒕 + 𝟏𝟎 , 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒕 ≤ 𝟐𝟎 𝑩(𝒕) = { 𝒕 𝟐𝟐𝟑 𝒂𝒕 − , 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟐𝟎 𝟐 Donde B es la función beneficio, t es el número de años transcurridos. Determine el valor de “a” para que el cambio en los beneficios resulte continuo. 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕 = 𝟐𝟎 𝟑𝒕 + 𝟏𝟎 𝟐𝟐𝟑 = 𝒂𝒕 − 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕 = 𝟐𝟎 𝒕 𝟐 𝟑(𝟐𝟎) + 𝟏𝟎 𝟐𝟐𝟑 = 𝒂(𝟐𝟎) − 𝟐𝟎 𝟐 𝟕𝟎 𝟐𝟐𝟑 + = 𝒂(𝟐𝟎) 𝟐𝟎 𝟐 𝟏𝟒𝟎 + 𝟒𝟒𝟔𝟎 = 𝒂(𝟐𝟎) 𝟒𝟎 𝟒𝟔𝟎𝟎 = 𝒂(𝟐𝟎) 𝟒𝟎 𝟐𝟑𝟎𝟎 = 𝒂. 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟎 = 𝒂 𝟐𝟎 𝟏 𝟏𝟏𝟓𝟎 =𝒂 𝟐𝟎𝟎

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𝟓. 𝟕𝟓 = 𝒂