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• Oscar Omar Zuleta

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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2017-II PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

Sistema Masa-Resorte y M.A.S.

a. La posici´on de la part´ıcula. b. Su velocidad.

1. Un oscilador consiste en un bloque atado a un resorte (k = 400N/m). En cierto tiempo, la posici´on, la velocidad y la aceleraci´ on del bloque son: x = 0,1m, v = −13,6m/s y a = 123m/s2 . Calcular:

c. Su aceleraci´on. d. Encuentre el periodo y amplitud del movimiento. 5. Cuando el desplazamiento de un M.A.S es x = A/2 , ¿qu´e fracci´on de la energ´ıa total es energ´ıa cin´etica y que fracci´on es energ´ıa potencial? ¿En cu´ al posici´ on la energ´ıa del sistema es mitad energ´ıa cin´etica y mitad energ´ıa potencial?

a. La frecuencia de oscilaci´ on . b. La masa del Bloque . c. La amplitud del Movimiento 2. ¿Cu´ al es la fase inicial del movimiento arm´onico cuya funci´ on de velocidad esta dada por la figura, si la funci´ on de posici´ on x (t) tiene la forma x (t) = A cos (ωt + φ)? En la escala vertical vs = 4cm/s

6. Demuestre que las relaciones generales entre los dos valores iniciales de la posici´on inicial x0 y de velocidad inicial v0 y la amplitud A y el ´angulo de fase inicial φ son: r    v 2 ωx0 0 A = x20 + ; φ = tan−1 ω v0 7. La Figura muestra el bloque 1 de masa m = 0, 2kg desliz´andose a La derecha sobre una superficie elevada sin fricci´on a una velocidad de 8m/s. El bloque sufre una colisi´on el´astica con el Bloque 2, que est´ a unido a un resorte con constante el´astica k = 1208,5N/m. (Suponga que el resorte no afecta a la colisi´ on.) Despu´es de La colisi´on, el bloque 2 oscila en M.A.S. con un periodo de 0,14s, Y el bloque 1 se desliza del extremo opuesto de la superficie elevada, Aterrizando una distancia d de la base de esa superficie despu´es de caer Altura h = 4,9m. ¿Cu´al es el valor de d?

3. Una saltadora de bungee de 65,00kg salta de un puente con una cuerda ligera amarrada a ella y al puente. La longitud no estirada de la cuerda es de 11,0m. La saltadora alcanza el fondo de su movimiento 36,0m abajo del puente antes de rebotar de regreso. Su movimiento se puede separar en una ca´ıda libre de 11,0m y una secci´ on de 25,0m de oscilaci´ on arm´ onica simple. a. ¿Durante que intervalo de tiempo est´ a en ca´ıda libre? b. Use el principio de conservaci´ on de la energ´ıa para hallar la constante de resorte de la cuerda bungee. c. ¿Cu´ al es la ubicaci´ on del punto de equilibrio donde la fuerza del resorte equilibra la fuerza gravitacional ejercida sobre la saltadora? Este punto se considera como el origen de la descripci´on matem´ atica de la oscilaci´ on arm´ onica simple.

8. Un bloque de masa M = 5,4kg, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricci´on, est´a unido a un soporte r´ıgido por medio de un resorte de constante de fuerza k = 6000N/m. Una bala de masa m = 9,5g y velocidad v = 630m/s golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda incrustada en el bloque. Determine

d. ¿Cu´ al es la frecuencia angular de la oscilaci´on? e. ¿Qu´e intervalo de tiempo se requiere para que la cuerda se estire 25,0m?

a. La velocidad del bloque y la bala despu´es de la colisi´on

f. ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo total para todo el salto de 36,0m?

b. La amplitud del movimiento resultante 4. En un motor, un pist´ on oscila con movimiento arm´onico simple de modo que su posici´ on var´ıa de acuerdo con la expresi´ on  π x = (5, 00cm) cos 2t + 6 donde x est´ a en cent´ımetros y t en segundos. En t = 0, encuentre: 1

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9. Un objeto de masa 2kg est´ a sujeto sobre un muelle vertical que est´ a anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8cm y la posici´ on de equilibrio del objeto sobre el muelle est´ a a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto est´ a en su posici´on de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0, 3m/s.

12. Determine la fase inicial φ para un M.A.S si en t = 0 la masa oscilante esta en: a. x = −A b. x = −0 c. x = −A d. x = −A/2

a. ¿A qu´e m´ axima altura, respecto al nivel del suelo, se elevar´ a el objeto?

e . x = −A/2 √ f. x = −A/ 2

b. ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a el objeto en alcanzar la m´ axima altura por primera vez?

13. Una part´ıcula se mueve hacia atr´as y hacia adelante a lo largo del eje x entre los puntos x = 0, 2m y x = −0,2m. El per´ıodo del movimiento es de 1, 2s, y es arm´onico simple. En el momento t = 0, la part´ıcula se encuentra en x = −0, 10m con una velocidad positiva de 0,907m/s

c. ¿Volver´ a el muelle a estar sin compresi´on? d. ¿Qu´e velocidad inicial m´ınima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresi´on en un instante dado? 10. Un resorte sin masa cuelga del techo con un peque˜ no objeto unido a su extremo inferior. El objeto se mantiene inicialmente en reposo en una posici´ on yi tal que el muelle est´ a en su longitud de reposo. El objeto es entonces liberado desde yi y oscila hacia arriba y hacia abajo, con su posici´ on m´ as baja a 10cm por debajo de yi .

a. Determine la fase Inicial. b. Determine la Velocidad despu´es de 1,4s c. Determine la Velocidad cuando la posici´ on es igual a A/3

a. ¿Cu´ al es la frecuencia de la oscilaci´ on?

14. Un cubo de densidad ρc flota en un l´ıquido de densidad ρl como se muestra en la figura. En el reposo, una cantidad h de la altura del cubo se sumerge en el l´ıquido. Si se empuja el cubo hacia abajo, se balancea de arriba abajo como un resorte y oscila en torno de la posici´on de equilibrio. Muestre que r la frecuencia de g 1 la oscilaci´on est´a dada por f = 2π h

b. ¿Cu´ al es la velocidad del objeto cuando est´a a 8.0 cm por debajo de la posici´ on inicial? c. Un objeto de masa 300g est´ a unido al primer objeto, despu´es de lo cual el sistema oscila con la mitad de la frecuencia original. ¿Cu´ al es la masa del primer objeto? d. ¿Qu´e tan lejos debajo de yi es la nueva posici´on de equilibrio (descanso) con ambos objetos unidos al resorte? 11. Un objeto de 2kg se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal uniforme. Se requiere una fuerza horizontal de 20N para mantener al objeto en reposo cuando se jala 0,2m desde su posici´ on de equilibrio (el origen del eje x). Ahora el objeto se libera desde el reposo con una posici´ on inicial xi = 0,2m y se somete a sucesivas oscilaciones arm´ onicas simples. Encuentre:

15. Una masa m est´a conectada a dos resortes, con constantes k1 y k2 , de dos maneras diferentes, como se muestra en las figuras a y b. Demuestre que el periodo para la configuraci´on mostrada en a) est´ a dado por

a. la constante de fuerza del resorte. b. la angular frecuencia de las oscilaciones. c. la rapidez m´ axima del objeto. ¿D´ onde se presenta la rapidez m´ axima?

s

d. Encuentre la aceleraci´ on m´ axima del objeto. ¿D´ onde se presenta?

T = 2π

m(k1 + k2 ) k1 k2

e . Encuentre la energ´ıa total del sistema oscilante. y para la configuraci´on mostrada en b) est´ a dado por

f. la funci´ on de rapidez g. la aceleraci´ on del objeto cuando su posici´on es igual a un tercio del valor m´ aximo.

r T = 2π 2

m k1 + k2

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16. Si el Angulo de fase de un sistema masa resorte en MAS es π/6 y la posici´ on del bloque esta dada por la ecuaci´ on x(t) = xm cos(ωt + φ), cual es la relaci´on de la energ´ıa cin´etica a la energ´ıa potencial en el momento t = 0?. Repita los c´ alculos cuando el angulo de fase es de: π/3, π/2, π/8, π/4

19. Una manzana pesa 1,00N . Si la colgamos del extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 1,50N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ´angulo peque˜ no, la frecuencia de este p´endulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ´angulo es peque˜ no, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte.) ¿Qu´e longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)?

17. Sobre una pista de aire horizontal sin fricci´ on, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2,5N/cm. En la figura la gr´afica muestra la aceleraci´ on del deslizador en funci´on del tiempo. Calcule

20. Despu´es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un p´endulo simple con longitud de 50,0cm y determina que efect´ ua 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cu´anto vale g en ese planeta?

a. la masa del deslizador b. el desplazamiento m´ aximo del deslizador desde el punto de equilibrio c. la fuerza m´ axima que el resorte ejerce sobre el deslizador.

21. Demuestre que la expresi´on para el periodo de un p´endulo f´ısico se reduce a la del p´endulo simple, si el p´endulo f´ısico consiste en una part´ıcula de masa m en el extremo de un cord´on sin masa de longitud L. 22. Un p´endulo en Marte. En la Tierra cierto p´endulo simple tiene un periodo de 1,60s. ¿Qu´e periodo tendr´ a en m Marte, donde g = 3, 71 2 ? s 23. Un p´endulo simple tiene una masa de 0,250kg y una longitud de 1,00m. Se desplaza a trav´es de un ´ angulo de 15,0◦ y luego se libera. ¿Cu´ales son: a. la rapidez m´axima b. la aceleraci´on angular m´axima

P´ endulo Simple

c. la fuerza restauradora m´axima? d. ¿Qu´e pasar´ıa si? Resuelva este problema mediante el modelo de movimiento arm´onico simple para el movimiento del p´endulo y luego resuelva el problema con principios m´as generales. Compare las respuestas.

18. Un p´endulo de frecuencia angular ω cuelga de una pared inclinada. Suponga que este p´endulo se libera en un angulo inicial de 10◦ y que rebota en la pared El´asticamente cuando alcanza un angulo de 5◦ . a. Calcule el periodo de este p´endulo

24. La expansi´on t´ermica incrementa la longitud del p´endulo de un reloj, con un incremento fraccional de 5 × 105 . En estas condiciones, ¿cu´anto error se acumular´a en la medida de tiempo a lo largo de un d´ıa completo?

b. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 5◦ hasta −5◦ c. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 0◦ hasta −5◦ 3

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24. Suponga que un p´endulo simple consiste de una esfera peque˜ na de 60g atado a una cuerda de masa despreciable. Si el angulo entre la cuerda y la vertical esta dado por θ(t) = (0,08rad) cos(4,43rad/st + φ). Cual es la longitud del p´endulo y su energ´ıa cin´etica m´axima?

b. Demuestre que el periodo del movimiento es (M + 2m)R2 + mr2 T = 2π 2mgR 

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27. Un p´endulo f´ısico en forma de objeto plano se mueve en movimiento arm´onico simple con una frecuencia de 0,450Hz. El p´endulo tiene una masa de 2,20kg y el eje se ubica a 0,350m del centro de masa. Determine el momento de inercia del p´endulo en torno al punto de giro.

P´ endulo Compuesto 25. Una bola peque˜ na de masa M est´ a unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que est´ a articulada en la parte superior.

28. La pierna humana se puede comparar con un p´endulo f´ısico, con un periodo de oscilaci´on natural, para el cual caminar es m´as f´acil. Considere la pierna como dos varillas unidas r´ıgidamente entre s´ı en la rodilla; el eje para la pierna es la articulaci´on en la cadera. La longitud de cada varilla es aproximadamente la misma: 55cm. La varilla superior tiene una masa de 7,0kg y la varilla inferior tiene una masa de 4kg. Calcule el pe?riodo de oscilaci´on natural del sistema. 29. Un disco de madera contrachapada con radio de 20cm y masa de 2,2kg tiene un peque˜ no agujero taladrado a trav´es de ´el, a 2cm de su borde. El disco cuelga de la pared por medio de un pasador met´alico que pasa a trav´es del agujero y se usa como un p´endulo. ¿Cu´ al es el periodo de este p´endulo para oscilaciones peque˜ nas?

Calcule el periodo de oscilaci´ on para peque˜ nos desplazamientos desde el equilibrio y determine este periodo para L = 2,00m. 26. Un disco de radio r y masa m se pega a la cara de un segundo disco m´ as grande de radio R y masa M , como se muestra en la figura. El centro del disco peque˜ no se ubica en el borde del disco grande. El disco grande se monta en su centro en un eje sin fricci´ on. El ensamble da vueltas a trav´es de un peque˜ no ´ angulo θ desde su posici´ on de equilibrio y se libera.

30. Un p´endulo consiste en una varilla de lat´ on con un cilindro de lat´on unido al extremo. El di´ ametro de la varilla es 1, 00cm y su longitud es 90, 00cm; el di´ ametro del cilindro es de 6, 00cm y su longitud es de 20, 00cm. ¿Cu´al es el per´ıodo de este p´endulo?.

a. Demuestre que mientras pasa a trav´es de la posici´ on de equilibrio la rapidez del centro del disco peque˜ no es 

1/2

 Rg(1 − cos θ)  v = 2  M r ( ) + ( )2 + 2 m R 4

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de una superficie horizontal, como se ve en la figura. N La constante de fuerza k del resorte es de 2, 94 cm . Si el sistema parte del reposo desde una posici´ on en que el resorte est´a estirado 23, 9cm, halle:

31. Una esfera de 1,50kg y otra de 2,00kg se pegan entre s´ı colocando la m´ as ligera debajo de la m´ as pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertiN , y el sistema cal, cuya constante de fuerza es de 165 m vibra verticalmente con una amplitud de 15,0cm. El pegamento que une las esferas es d´ebil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas est´ an en la posici´on m´ as baja de su movimiento.

a. La energ´ıa cin´etica de traslaci´on y, b. La energ´ıa cin´etica de rotaci´on del cilindro al pasar por la posici´on de equilibrio.

a. ¿Por qu´e es m´ as probable que el pegamento falle en el punto m´ as bajo, que en alg´ un otro punto del movimiento?.

35. Una llave inglesa de 1,80kg tiene su pivote a 0,250m de su centro de masa y puede oscilar como p´endulo f´ısico. El periodo para oscilaciones de ´angulo peque˜ no es de 0,940 s.

b. Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despu´es de que la esfera inferior se despega. 32. Un p´endulo f´ısico consiste en una varilla sin masa de longitud 2L gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 est´ a unido en el extremo inferior de la varilla, y una masa m2 m´ as peque˜ no en el extremo superior ¿Cu´ al es el per´ıodo de este p´endulo?

a. ¿Qu´e momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b. Si la llave inicialmente se desplaza 0,400rad de la posici´on de equilibrio, ¿qu´e rapidez angular tiene al pasar por dicha posici´on? 36. Dos p´endulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El p´endulo A es una esfera muy peque˜ na que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el p´endulo B, la mitad de la masa est´a en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada p´endulo para oscilaciones peque˜ nas. ¿Cu´al tarda m´as tiempo en una oscilaci´ on? 37. Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varas uniformes id´enticas, cada una con longitud L, unidas entre s´ı. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qu´e frecuencia oscilar´ a de un lado a otro?

33. Un p´endulo consta de un disco uniforme de 10, 3cm de radio y 488g de masa unido a una barra de 52, 4cm de longitud que tiene una masa de 272g, seg´ un figura.

a. Calcule la inercia rotatoria del p´endulo respecto al pivote. b. ¿Cu´ al es la distancia entre el pivote y el centro de masa del p´endulo?

38. Dos varillas delgadas id´enticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ´angulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la c´ uspide de un tri´angulo agudo. Si el objeto en forma de L e desv´ıa un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilaci´on.

c. Calcule el per´ıodo de oscilaci´ on para ´ angulos peque˜ nos. 34. Un cilindro s´ olido est´ a unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo 5

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a. Determine el periodo en t´erminos de r b. Para qu´e valores de r el periodo de la placa sera m´ınimo?

39. Una campana grande de 34kg cuelga de una viga de madera, de modo que puede oscilar con fricci´on despreciable. Su centro de masa est´ a 0,6m bajo el pivote, y su momento de inercia con respecto a un eje en el pivote es de 18kg · m2 . El badajo es una masa de 1,8kg que cuelga del extremo de una varilla delgada de longitud L y masa despreciable. El otro extremo de la varilla est´ a sujeto al interior de la campana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qu´e longitud L debe tener la varilla para que la campana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilaci´ on de la campana sea igual a la del badajo?

P´ endulos de Torsi´ on 42. Una vara de un metro cuelga de su centro de un alambre delgado. Se gira y oscila con un periodo de 5s. la vara se recorta a una longitud de 70cm. Esta pieza de nuevo se equilibra en su centro y se pone a oscilar. ¿Con qu´e periodo oscilar´a ahora?

40. Un v´ astago largo y uniforme de masa de 0, 6kg est´a libre para girar en un plano horizontal alrededor de un eje vertical a trav´es de su centro. Un resorte con constante de fuerza k = 1850N/m est´ a conectado horizontalmente entre un extremo de la varilla y una pared fija. Cuando la varilla est´ a en equilibrio, es paralela a la pared. ¿Cu´al es el per´ıodo de la oscilaci´on peque˜ na ¿Qu´e ocurre cuando la varilla se gira ligeramente y se suelta?

43. Un disco de aluminio de 12,5cm de di´ametro y 375g de masa est´a montado sobre un eje vertical con muy baja fricci´on. Un extremo de un resorte plano en espiral est´ a unido al disco a una distancia r = 2cm desde el centro del disco; y el otro extremo, a la base del aparato. El disco se pone en oscilaci´on rotatoria con frecuencia de 0,331Hz. ¿Cu´al es la constante de torsi´on del resorte K

41. Un bloque rectangular, Longitudes a = 35cm y b = 45cm, est´ a suspendido sobre una fina varilla horizontal que pasa a trav´es de un agujero estrecho. Luego de ser ajustado, permanece balance´ andose alrededor de la ´ barra como un p´endulo, a trav´es de Angulos peque˜ nos.

44. Un disco met´alico delgado con masa de 2,00 × 10−3 kg y radio de 2,20cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1,00s. Calcule la constante de torsi´on de la fibra. 6

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45. El p´endulo de torsi´ on, consiste en un hilo o alambre de secci´ on recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o f´ acil de calcular (disco o cilindro, etc). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinaci´on de movimientos lineales y de rotaci´ on.

48. Un p´endulo est´a formado por una varilla de 200g de masa y 40cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500g y 5cm de radio y la inferior de 400g y 4cm de radio, equidistantes 8cm de los extremos de la barra. El p´endulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

a. Hallar la ecuaci´ on del movimiento. b. Encontrar su periodo. c. Escribir las ecuaciones del movimiento.

a. H´allese el periodo. b. Si ahora se separa el p´endulo 10◦ de la posici´ on de equilibrio y se suelta, empez´andose en ese momento a contar el tiempo. Escr´ıbase la ecuaci´ on del M.A.S.

46. Un p´endulo de torsi´ on consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas sim´etricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro. a. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´ on vale 2,4s, calcular la constante K de torsi´ on del muelle.

Oscilaciones Amortiguadas-Forzadas

b. Si en el instante inicial t = 0 el p´endulo se desplaon de equilibrio y se suelta. za Θ = π6 de la posici´ Escribir la ecuaci´ on del M.A.S.

49. Sea un p´endulo consistente en una esfera de Al de 0, 005m de radio suspendida de una cuerda de 1m de longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilaci´on de este p´endulo. Averiguar c´omo afecta la viscosidad del aire a estos dos par´ametros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que act´ ua sobre una esfera de radio R y velocidad ν es igual a F = −6πηRν y para el aire a 20◦ C.η = 1, 78 × 10−5 kg/ms. ¿C´ ual es el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10 %¸ de la inicial?

c. Calcular la velocidad angular de rotaci´on cuando pasa por la posici´ on de equilibrio.

50. Un objeto de 10,6kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 × 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento N ·s . b = 3,00 m a. Calcule la frecuencia de la oscilaci´on amortiguada. b. ¿En qu´e porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´on en cada ciclo?.

47. Un p´endulo de Torsi´ on consiste en una barra met´alica de Longitud L = 70cm y masa 6kg, que esta sujeta en su punto centro por un alambre con constante de torsi´ on K = 250N · m, a los lados de esta barra se ubican dos discos uniformes de masa m1 = 2kg y m2 = 4kg con radios r1 = 15cm y r2 = 25cm, como lo muestra la figura. Calcule el Periodo de oscilaci´on de este P´endulo.

c. Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5,00 %¸ de su valor inicial. 51. Considere el oscilador amortiguado que se muestra en la figura: 7

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55. Un objeto de 2kg oscila sobre un muelle de constanN con una constante de amortiguamiento te k = 400 m Kg b = 2 s . Est´a impulsado por una fuerza sinusoidal de valor m´aximo 10N y frecuencia angular ω = 10 Rad s . Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. 56. Un p´endulo simple tiene un periodo de 2s? y un amplitud de 2◦ , despu´es de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1, 5◦ encontrar la constante de amortiguamiento γ. En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad τ = 12γ se denomina tiempo de relajaci´on. a. Verificar que tiene unidades de tiempo. b. ¿En cu´anto ha variado la amplitud del oscilador despu´es de un tiempo τ ? c. Expresar como una funci´on de τ , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d. ¿Cu´ales son los valores de la amplitud despu´es de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?

La masa del objeto es 375 g, la constante de resorte es N 100 m y b = 0,100 Nm·s . a. ¿Durante qu´e intervalo de tiempo la amplitud cae a la mitad de su valor inicial?.

57. Un ni˜ no se columpia con un per´ıodo de 3s. El ni˜ no y el columpio poseen una masa de 30kg. El padre del ni˜ no impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30◦ . Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre.

b. ¿Qu´e pasar´ıa si? ¿Durante qu´e intervalo de tiempo la energ´ıa mec´ anica cae a la mitad de su valor inicial?. c. Demuestre que, en general, la relaci´ on fraccionaria a la cual la amplitud disminuye en un oscilador arm´ onico amortiguado es la mitad de la relaci´on fraccionaria a la que disminuye la energ´ıa mec´anica.

58. Un objeto de masa 1, 5kg situado sobre un muelle de N pierde el 3 %¸ de su enerconstante de fuerza 600 m g´ıa en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor m´aximo de F0 = 0, 5N . ¿Cu´al es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cu´al es la amplitud de oscilaci´ on si la frecuencia impulsora es 19 rad s ?

52. Un p´endulo de longitud 1, 50m se establece balance´ andose con una amplitud inicial de 10◦ . Despu´es de 12min, la fricci´ on se ha reducido la amplitud a 4◦ . ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? 53. Cuando un columpio en movimiento no se ”bombea”la amplitud angular de oscilaci´ on disminuye debido al aire y otra fricci´ on. Para el movimiento de un columpio de 3m de longitud en el cual la amplitud de oscilaci´on decrece de 12◦ a 10◦ despu´es de 5 ciclos completos. ¿Cu´ al es el Q del sistema? Si el jinete y el asiento son tratados como una masa puntual con m = 25kg, cual es la energ´ıa mec´ anica promedio que se disipa?

59. Un oscilador arm´onico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad ametro de s y cuyo par´ amortiguamiento es γ = 9s−1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posici´on de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v0 = 60 cm s . Para este sistema se pide: a. Expresar la elongaci´on del oscilador en funci´ on del tiempo. b. Calcular el m´aximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´ on de equilibrio. c. Calcular el tiempo que deber´a transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0, 1 %¸ del valor m´ aximo anteriormente calculado.

54. El p´endulo de un reloj de pared tiene una longitud de 0,994m y una masa de 1, 2kg. a. Si el p´endulo se pone en movimiento, la fricci´on del aire reduce su amplitud de oscilaci´on por un factor de 2 en 13, 0min. ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? b. Si queremos mantener este p´endulo que oscila con una amplitud constante de 8◦ , debemos suministrar energ´ıa mec´ anica a ´el a una velocidad suficiente para compensar la p´erdida por fricci´on. ¿Cu´ al es la potencia mec´ anica necesaria?

60. Una masa de m = 0, 5Kg, unida a un muelle de constante el´astica k = 250N/m, oscila con una amplitud inicial A0 = 6cm. Para este sistema se pide: 8

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2017-II PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO

a. Hallar el periodo y la energ´ıa del oscilador en el instante inicial.

62. Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una auto inducci´on L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:

b. Determinar el valor del par´ ametro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energ´ıa se disipa a raz´ on de un 1, 0 %¸ en cada ciclo.

a. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila arm´onicamente. ¿Cu´al es la frecuencia de oscilaci´on? ¿Qu´e energ´ıa se conserva, an´ alogamente a la energ´ıa mec´anica de un oscilador arm´ onico?

61. Un cuerpo de masa m = 2kg descansa sobre un tablero horizontal y est´ a unido al extremo libre de un N muelle de constante el´ astica k = 200 . En un insm tante dado, las oscilaciones presentan una amplitud A0 = 30cm; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (F r = −bν), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido t1 = 25s. Con estos datos, determinar:

b. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cu´al es la resistencia m´axima para que haya oscilaciones en el sistema? c. Suponga que adem´as de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son:

a. Valor del par´ ametro de amortiguamiento γ, del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajaci´ on de la energ´ıa τ y del factor de calidad Q. b. La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas.

L

c. Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energ´ıa del oscilador. ¿Cu´al ser´a entonces la amplitud de las oscilaciones?

Q dQ dI + RI + = V0 cos (ωt) ; I = dt C dt

Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como funci´on de los par´ametros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.

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