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Universidad Distrital “Francisco José de Caldas” Facultad Tecnológica. Tecnología en Mecánica Materia: Física fundamental Profesor: Ernesto Ágreda B. Problemas I 1. Dados

los siguientes vectores: siguientes operaciones:

A  (1,1,1);

B  (2,3, 5);

C  (4, 3, 1);

Realizar las

a) b) Aplicando el Producto punto y el Producto cruz, realizar las operaciones: c) Calcular el menor ángulo entre los vectores d) Calcular el menor ángulo y el área entre los vectores e) Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores

.

f)Encontrar un vector unitario perpendicular a cada uno de los vectores g) ¿Cuánto valen los cosenos directores de dicho vector unitario perpendicular a h) ¿Cuánto valen los ángulos directores del vector

?

?

2. Dados los siguientes vectores:

, calcular:

a) Los vectores relativos b) El ángulo formado por los vectores c) El volumen formado por los 3 vectores relativos. ¿Qué conclusión se puede sacar? d) El producto punto entre el vector y cualquier vector relativo. ¿Qué conclusión se puede sacar? 3. Simplificar la expresión 2A  B  3C  A  2B  2  2A  3B  C. Sol. 5A  3B  C. 4. Sean los vectores A  1, 2, 3 y B   1, 1, 1 . Hallar lo siguiente: a) A; b) B; c) los vectores unitarios de A y B. c) La suma de A + B. d) La resta de B –A. e) La distancia entre los extremos de los vectores A y B. 5. Los vectores de posición de los puntos P y Q son, respectivamente, r1  2i  3j  k, y r2  4i  3j  2k. Determinar el vector PQ en función de i, j, k y hallar su módulo. 6. Siendo A  3i  j  4k, B  2i  4 j  3k, C  i  2 j  k, hallar (a) 2A  B  3C, (b) A  B  C , (c) 3A  2B  4C , (d) un vector unitario con la dirección y sentido del vector 3A  2B  4C. Sol. (a) 11i  8k (b)

93  9,64 (c)

398  19,95 (d)

3A  2B  4C . 19, 95

Problemas II 1. Hallar: (a) k   i  j , (b)  i  2k    j  3k  , (c)  2i  j  3k    3i  2 j  3k . Sol. (a) 0 (b) 6 (c) 1 2. Si A  i  3j  2k y B  4i  2 j  4k, hallar:

(a) A  B, (b) A, (c) B, (d) 3A  2B , (e)

 2A  B    A  2B . Sol. (a) 10 (b) 14 (c) 6 (d) 150 (e) 14 3. Hallar el ángulo formado por (a) A  3i  2j  6k y B  4i  3j  k, (b) C  4i  2j  4k y D  3i  6 j  2k. Sol. (a) 90 (b) arccos 8 21  67 36  4. ¿Para qué valores de a son A  ai  2 j  k y B  2ai  aj  4k perpendiculares?

Sol.

a  2, 1

5. Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos 1, 3,2  y  3, 5,1 con los ejes coordenados. Sol. arccos 2 3, arccos 2 3, arccos 1 3 ó 48°12¢, 48°12¢, 70°32¢ 6. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos  3,2, 4  y 1, 1,2  . Sol. 2 7, 3 7, 6 7 ó 2 7, 3 7, 6 7 7. Si A  4i  j  3k y B  2i  j  2k, hallar el vector perpendicular a A y B. Sol.   i  2 j  2k  3. 8. Hallar el ángulo formado por dos diagonales de un cubo. Sol. arccos 1 3 , o bien, 70°32¢ 9. Demostrar que A   2i  2 j  k  3, B   i  2 j  2k  3, y C   2i  j  2k  3 son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. 10. Efectuar los productos indicados: (a) 2 j   3i  4k  , (b)  i  2 j  k, (c)  2i  4k    i  2 j , (d)  4i  j  2k    3i  k  ,

( )

(e)  2i  j  k    3i  2 j  4k  Sol. (a) 8i  6k, (b) 2i  j, (c) 8i  4 j  4k, (d) i  10j  3k, (e) 2i  11j  7k 11. Si A  3i  j  2k y B  2i  3j  k, hallar: (a) A  B , (b)  A  2B    2A  B  , (c)

 A  B  A  B .

Sol. (a) 195, (b) 25i  35j  55k, (c) 2 195 12. Si A  i  2 j  3k, B  2i  j  k y C  i  3j  2k, hallar: (a) (b)

 A  B  C , A   B  C ,

(c) A   B  C , (d)  A  B   C,

(e)  A  B    B  C  (f )  A  B  B  C

Sol. (a) 5 26, (b) 3 10, (c) 20, (d) 20, (e) 40i  20 j  20k, (f) 35i  35j  35k 13. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son A  3i  j  2k y B  i  3j  4k.

5 3 Sol. 14. Si A  2i  j  3k y B  i  2 j  k, hallar un vector de módulo 5 perpendicular a los vectores A y B. 5 3 i  j  k  3 2A  B  C 15. Simplificar  A  B    B  C   C  A  . Sol. 16. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son A  2i  3j  4k, B  i  2 j  k, C  3i  j  2k. Sol. 7

Sol.

