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• MANUEL AROCA

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TALLER DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONE I

AUTORES: MICHELLGOMEZ ENRIQUEZ BRIAN ANDRES BORJA CARLOS ANDRES PANTOJA

PROFESOR: HELMER PAZ OROZCO

CORPORACION UNIVERSITARIA COMFACAUCA UNICOMFACAUCA INVESTIGACIÓN DE OPERACONES POPAYÁN-CAUCA 31 E AGOSTO DE 2018

1) Un barco de carga tiene tres bodegas: en la proa, en el centro y en la popa. Los límites de capacidad de cada bodega son:

Usted como propietario del barco puede aceptar el total o una parte de los artículos que se ofrecen para el transporte. Las características de estos artículos son las siguientes:

Para preservar el equilibrio del barco el tonelaje transportado en cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. Formule un modelo matemático que le permita determinar la mejor forma de cargar el barco para obtener la utilidad máxima. Solución: Variable de decisión: X1: cantidad en toneladas del articulo A X2: cantidad en toneladas del articulo B X3: cantidad en toneladas del artículo C Función objetivo: maximizar (utilidad o ganancia) Max Z = 6000 (XA1 + XA2+ XA3) + 8000 (XB1 + XB2+ XB3) +5000 XC1 + XC2+ XC3) Restricciones: R1: límite de capacidad de la bodega XA1 + XB1+ XC1 ≤ 2000 XA2 + XB2+ XC2 ≤ 3000 XA3+ XB3+ XC3 ≤ 1500

R2: límite de cantidad de artículos XA1 + XA2 + XA3 ≤ 6000 XB1 + XB2 + XB3 ≤ 1000 XC1 + XC2 + XC3 ≤ 2000

R3: límite de la capacidad de volumen en pies cúbicos 60 XA1 + 50 XB1 + 25 XC1 ≤ 100.000 60 XA2 + 50 XB2 + 25 XC2 ≤ 135.000 60 XA3 + 50 XB3 + 25 XC3 ≤ 80.000 R4: para preservar el equilibrio del barco XA1 + XB1+ XC1 2000

=

XA2 + XB2+ XC2 3000

=

XA3 + XB3+ XC3 1500

R5: Restricción de negatividad X1 + X2+ X3 ≥ 0 Dónde: (X1, X2, X3) Es Entera

2) Su compañía posee tres plantas, en las cuales elabora un componente pequeño para un producto industrial. La compañía comercializa el producto a través de cinco distribuidores en el país. Los pronósticos de ventas indican que los requerimientos mensuales por distribuidor son los siguientes:

La

Capacidad mensual de producción en cada planta y los costos unitarios de producción se ilustran en el siguiente cuadro

Los costos de envío a distribuidores desde las plantas se muestran en el cuadro siguiente, en $/unidad:

Formule un modelo matemático que le permita determinar dónde producir los componentes y la forma de despacharlos hacia los distribuidores. Solución: Variable de decisión: XA: Planta de distribución A XB: Planta de distribución B XC: Planta de distribución C Función objetivo: maximizar (utilidad o ganancia) Max Z = 60 (XA1 + XA2+ XA3+XA4+XA5) + 30 (XB1 + XB2+ XB3+XB4+XB5) +54( XC1 + XC2+ XC3+XC4+XC5) Restricciones: R1: límite de capacidad de producción de la planta XA1 + XA2+ XA3+XA4+XA5 ≤ 4500 XB1 + XB2+ XB3+XB4+XB5 ≤ 9000 XC1+ XC2+ XC3 +XC4+XC5 ≤ 11250

R2: Forma de despacho hacia los distribuidores XA1 + XB1 + XC1 ≤ 2700 XA2 + XB2 + XC2 ≤ 2700 XA3 + XB3 + XC3 ≤ 9000 XA34+ XB4 + XC4 ≤ 4500 XA5 + XB5 + XC5 ≤ 3600 R3: Por costos de envió a los distribuidores desde las plantas XA1 + XB1 + XC1 ≤ 6,9 XA2 + XB2 + XC2 ≤ 6,6 XA3 + XB3 + XC3 ≤ 9 XA4 + XB4 + XC4 ≤ 11,1 XA5 + XB5 + XC5 ≤ 14,1

3) Una industria de papel produce pulpa la cual puede vender al mercado local o utilizar para fabricar papel blanco o cartón. Una tonelada de cartón requiere 0.7 ton de pulpa, mientras que una tonelada de papel blanco consume 0.9 ton de pulpa (el cartón y el

papel blanco requieren de otras materias primas que no se consideran en este problema). La pulpa se produce a partir de bagazo de caña de azúcar, con un rendimiento del 40%. Se dispone de 260,000 ton/año de bagazo. Las instalaciones para producir pulpa tienen capacidad para 250 ton/día. La máquina de cartón trabaja a una velocidad efectiva de 200 ton/día y la de papel blanco a 150 ton/día. La producción se hace durante 335 días al año, ya que el resto de tiempo se dedica a mantenimiento. Cada tonelada de papel blanco producida arroja al río 10 unidades de contaminación; una tonelada de cartón arroja 6 unidades y cada tonelada de pulpa arroja 20 unidades. Se permite un máximo total de 1,000,000 unidades de contaminación/año arrojada al río. Las utilidades netas por tonelada de pulpa, cartón y papel blanco son $50, $60 y $80, respectivamente. Formule un modelo de PL que permita estimar el mejor plan de producción anual. Asuma que todo lo que se produce puede venderse. Solución: Variable de decisión: X1: cantidad de toneladas de pulpa al año. X2: cantidad de tonelada de cartón al año. X3: cantidad de tonelada de cartón blanco al año. X4: cantidad de tonelada de pulpa para cartón al año X5: cantidad de tonelada de pulpa para papel blanco al año. X6= unidades de contaminación al año. Función objetivo: maximizar (utilidad o ganancia) $

𝑡𝑜𝑛

$

𝑡𝑜𝑛

$

𝑡𝑜𝑛

Max Z = 50 𝑡𝑜𝑛X1𝑎ñ𝑜+ 60𝑡𝑜𝑛 X2𝑎ñ𝑜+ 80𝑡𝑜𝑛 X3𝑎ñ𝑜 Restricciones:

R1: Cantidad de pulpa producida para cartón y papel al año

40%rendmiento pulpa 𝑡𝑜𝑛

Se dispone 260000𝑎ñ𝑜 𝑡𝑜𝑛

0,4x260000=140000𝑎ñ𝑜 X1[ton] +0.7x4[ton] +0.9x5[ton] ≤140000 R2: cantidad de pupa para producir cartón al año 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑡𝑜𝑛

𝑡𝑜𝑛

335 𝑎ñ𝑜 *250𝑑𝑖𝑎 =83750𝑎ñ𝑜 0,7tonX4ton≤83750 ton R3. Cantidad de pulpa para producir papel blanco al año 0,9tonX5ton≤83750ton

R4=capacidad de producción al año de papel blanco. 150ton/días x 335 días/año=50250ton/año X3ton≤50250ton/año R5=capacidad de producción al año de cartón.

200ton /días x335dias/año=67000ton/año X2ton≤ton/año R6=cantidades de unidades por contaminación 20und/ton X1ton /año+6und/tonX2ton/año+10und/tonX3ton/año≤1000000und/año Restricciones obvias. X1, X2, X3≥ 0

4) La empresa ABC debe cumplir un contrato a cuatro (4) meses durante los cuales se modifican los CP. El CA de unidades producidas en un mes determinado y no vendidas en ese mes es de DIEZ PESOS por unidad y por mes. Como se muestra en la siguiente table:

Formule un modelo matemático para determinar el programa óptimo de producción que cumple con el contrato a costo total mínimo. CP: Costos de producción, CA: Costos de almacenamiento. Solución: Descripción \mes Inv. inicial Producción Ventas Inv final

1

2

3

5

0 X1 20 X1-20

X1-20 X2 30 X1+X2-50

X1+X2-50 X3 50 X1+X2+X3-100

X1+X2+X3-100 X4 40 X1+X2+X3+X4-140

Variable de decisión: X1: capacidad de producción en el mes 1 X2: capacidad de producción en el mes 2 X3: capacidad de producción en el mes 3 X4: capacidad de producción en el mes 4 Función objetivo: Costo de producción + costo de almacenamiento Min Z = 140 X1 +160 X2 + 150 X3+170 X4 +10(X1-20)+10(X1+X2-50)+10(X1+X2+X3100)+10(X1+X2+X3+X4-140) Restricciones:

R1: capacidad de producción ≥ X1 ≤ 40 X2 ≤ 50 X3 ≤ 30 X4 ≤ 50 R2: cantidades de unidades de ventas X1≥20 X1+X2≥50 X1+X2+X3≥100 X1+X2+X3+X4≥140

Entera

5) Una compañía productora de papel debe determinar el mejor esquema de patrones de corte de rollos de 60 y 80 pulgadas de ancho para satisfacer la demanda semanal por rollos más pequeños. El pedido semanal es el siguiente 30 rollos de 28”, 60 rollos de 20” y 48 rollos de 15”. Cualquier sobrante de rollo de ancho menor de 15” se considera como desperdicio. Para ello se dispone también de 50 rollos de 80” de ancho. ¿De qué forma deben cortarse los rollos de 60” y 80” para satisfacer la demanda y obtener el menor desperdicio posible? Suponga que se dispone de un número suficiente de rollos de 60”. Determine la proporción de cultivos que genere la máxima utilidad. Solución: X1=cantidad de rollos i de j pulgadas J=28”,20”,15” Cortes de rollo de 60”

X1

X2

28

1

2

20

1

X4

X5

X6

X7

3

1

1 2

15 Res

X3

4

1

2

2

4

0

5

2

0

10

X2

X3

X4

X5

X6

X7

1

2

1

Cortes rollo de 80”

X1 28 20

2 4

1

15 Res

0

4

2

1

5

2

2

1

3

5

10

2

8

7

Restricciones.R60”

28”

x1+2x2+x5≤30

20”

x1+2x4+3x6+x7≤60

15”

4x1+x4+2x5+x7≤48

Función objetivo Z min=12x1+4x2+5x4+2x5+10x2 Restricciones R60” 28”

2x2+x5+2x6+x7≤30

20”

4x1+x2+2x4+x5≤60

15”

45x3+2x4+2x5+x6+3x7≤48

Funciones objetivo: Zmin=4x2+5x5+10x4+2x5+8x6+7x7 Xij≤0

6) Desarrollos Alfa posee 324 Ha de terreno en un lago escénico en el corazón de la sierra. Antes se aplicaban pocos o ningún reglamento a los nuevos desarrollos en torno al lago. Las orillas del mismo están hoy pobladas con casas de campo, y debido a la carencia de servicios de alcantarillado, hay muchas fosas sépticas, en su mayor parte mal instaladas. A través de los años las filtraciones de las fosas sépticas han ocasionado un grave problema de contaminación del agua. Para mitigar el degradamiento de la calidad de agua, las autoridades municipales aprobaron reglamentos estrictos para todos los desarrollos en el futuro. 1. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, y las casas unifamiliares deben ser al menos el 50 % del total. 2. Para limitar la cantidad de fosas sépticas, se requieren tamaños mínimos de lote de

0.81, 1.21, y 1.62 Ha para casas con una, dos y tres familias, respectivamente. 3. Se deben establecer áreas de recreo de 0.40 Ha cada una, en una proporción de una por cada 200 familias. 4. Para preservar la ecología del lago, no se debe bombear agua subterránea para uso doméstico ni de riego. El presidente de Desarrollos Alfa estudia la posibilidad de desarrollar los 324 Ha de la empresa. El nuevo desarrollo incluirá casas para una, dos y tres familias. Se estima que el 15 % de las hectáreas se debe asignar acalles y servicios comunitarios. Alfa estima que los ingresos por las diversas unidades de habitación serían.

Unidades de habitación Rendimiento neto por unidad ($)

Una 10

Dos 20

Tres 150 $

El costo de conectar el servicio del agua al área es proporcional a la cantidad de unidades construidas. Sin embargo, el municipio cobra un mínimo de 100 000 $ por el proyecto. Además el aumento en la capacidad actual del sistema de abastecimiento de agua se limita a 200 000 gal/día, durante las temporadas pico. Los datos siguientes resumen el costo de conectar el servicio de agua, y también el consumo de agua, suponiendo familias de tamaño promedio. Unidades de habitación

Una

Dos

Tres

Costo del servicio del agua por unidad ($) Consumo de agua por unidad (gal/día)

1 000

1 200

1 400

Parques y jardines 800

400

600

840

450

1 RENDIMIENTO NETO X UNI COSTO DE AGUA POR UNI CONSUMO DE AGUA X UNI TAMAÑO DE TERRENO[HA]

NUMERO DE FAMILIAS 2 3

10

20

250

PARQUES JARDINES 0

1000

1200

2400

800

400

600

840

450

0,81

1,62

162

0,40

DEFINICION DE LAS VARIABLES

X1=CONSTRUCION DE CASA PARA 1 FAMILIA. X2= CONSTRUCION DE CASA PARA 2 FAMILIA. X3= CONSTRUCION DE CASA PARA 3 FAMILIA. X4=CONSTRUCION DE AREA DE RECREO.

Z Max (rendimiento de la unidad) Z MAX=10X1+20X2+150X3

Y

RESTRICIONES R1= (LIMITE DE ABASTECIMIENTODE AGUA 400(X1) GAL/DIA +600(X2) GAL/DIA+840(X3) GAL/DIA+450(X4) GAL/DIA≤200

GAL/DIA

R2= (COSTO MINIMODE AGUA) 100(X1) $+2200(X2) $+1400($)+800($)

≥100000

R3= (LIMITES DEL TERRENO) 48,6 HA PARA CALLE Y SERVICIOS. 0,81(X1) HA+1,21(X2) HA+1,62(X3) HA+0,48(X4) HA≤275,4HA R4= (CASO UNIFAMILIARES) X1 ≥0,5

7) Una empresa papelera posee un centro de recolección de desperdicios los cuales somete a diferentes tratamientos de tal manera que pueda producir materia prima para la venta. De acuerdo a la mezcla de los materiales utilizados es posible producir tres tipos de calidades diferentes del producto. Para la mezcla existe cierta flexibilidad y se han especificado estándares de calidad que indican los niveles máximo y mínimo en porcentaje (por peso) de los materiales que se permiten en cada tipo de producto. Las especificaciones se dan en la tabla siguiente junto con el costo de amalgamado por libra y el precio de venta por libra.

Grado

Especificación

Amalgamado Costo ($) por libra

Precio de venta ($) por libra

3.00

8.50

2.50

7.00

Material I: No más del 30 % del total Material II: No menos del 40 % del total A

B

Material III: No más del 50 % del total Material IV: Exactamente el 20 % del total

Material I: Nomás del 50 % del total Material II: No más del 10 % del total Material IV: Exactamente el 10 % del Total

C

Material I: Nomás del 70 % del total

2.00

5.50

El centro de recolección de la compañía obtiene los materiales de desperdicio de diferentes fuentes por lo cual es capaz de operar a una producción estable. Las cantidades disponibles cada semana así como el costo de tratamiento se muestran en la siguiente tabla.

Material 1 2 3 4

Libras disponibles Por semana 3 000 2 000 4 000 1 000

Costo del tratamiento ($) por libra 3.00 6.00 4.00 5.00

Restricciones adicionales 1. Para cada material Deben recolectarse y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por Semana. 2. Deben usarse $ 30 000 semanales Para tratar estos materiales.

La compañía tiene que determinar cuánto debe producir de cada tipo de producto y l mezcla exacta de materiales que debe utilizar para cada tipo de tal manera que se maximice el beneficio total por semana (ventas totales menos costos totales de amalgamado; no se tiene en cuenta el costo del tratamiento ya que es cubierto por donaciones).

Solución: Tipo articulo A B C Cantidad disponibles

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

Utilidad/libras

900 1500 2100 3000

800 200 0 2000

2000 0 0 4000

200 100 0 1000

8,50 7,60 5,50

Variable decisión: X1=unidad de artículo a fabricar de A X2= unidad de artículo fabricar de B X3= unidad de artículo a fabricar de C X4=cantidad de material utilizado para A X5= cantidad de material utilizado para B X6= cantidad de material utilizado para C Función objetivo: Max Z=8.50$/libra XA+7.00$/libra XB +5.30 $/libra XC

Restricciones: R1=cantidad de material disponible para producir A en libras 900 libra XA1+800libraXA2+2000libraXA3+200libras XA4 ≤1000 libras. R2=Cantidad de material disponible para producir B en libras 1500libras XB1+200libra XB2+100librasXB3 ≤ 6.000 libra R3=cantidad de material disponible para producir C en libra 2100librasXC1≤3000libras R4=Material 1/libras material 1∗ libras material 1∗ libras material 1∗ libras 900 XA1 unidades+1500 XB1unidades+2100 unidad unidad unidad XC unidades≤ 3000 R5=Material 2/libras material 2∗ libras material 2∗ libras 800 XA2 unidad+200 XB2 unidad ≤ 2000 libras unidad unidad R6=material 3/libras material 3∗ libras 200 XA3unidad ≤ 4000 libra unidad R7=material 4/libras material 4∗ libras material 4∗ libras 200 XA4+100 XB3 ≤ 1000 Libras unidad unidad Dónde: X1, X2, X3, X4, X5≥0 8) Se fabrican dos aleaciones, A y B, a partir de cuatro metales, I, II, III y IV, de acuerdo con las siguientes especificaciones:

Aleación A

B

Especificaciones Cuando más el 80 % de I Cuando más el 30 % de II Cuando menos el 50 % de IV De 40 a 60 % de II Cuando menos el 30 % de III Cuando más el 70 % de IV

Precio de venta 200

300

A su vez los cuatro metales son obtenidos a partir de tres minerales, de acuerdo con los siguientes datos Mineral 1 2 3

Cantidad máxima (Ton) 1 000 2 000 3 000

I 20 10 5

Componente (%) II III IV Otros Precio ($)/Ton 10 30 30 10 30 20 30 30 10 40 5 70 20 0 50

Determine la cantidad de aleación de cada tipo que se debe producir y la cantidad de cada mineral que se debe asignar a la producción de cada aleación. 9) Una empresa siderúrgica produce tres aleaciones diferentes. La figura siguiente ilustra el diagrama de proceso de la empresa Aleación I Aleación II Aleación III

Recocido

Se deben determinar las cantidades de cada aleación que deben producirse dentro de las limitaciones de volumen de ventas y las capacidades de las máquinas con el fin de maximizar las ganancias. Los datos sobre las capacidades y utilidades se presentan en las tablas siguientes: Aleación

Operación Caja de recocido Molinos continuos

Velocidad de La Máquina

Ganancia Por Tonelada

1 250

2 500 $

250

3 500

2.8 h/Ton

(1) Recocido continuo Molinos continuo (2)

50 pies/min 20 pies/min 25 pies/min

II

Caja de recocido Recocido continuo Molinos continuo

3.5 h/ton 20 pies/min 25 pies/min

III

Recocido continuo Molinos continuo

16 pies/min 20 pies/min

I

Potencial de ventas

1 500

4 000

Tipo de máquina Caja de recocido Recocido Continuo Molinos continuo

Número de máquinas

Turnos 8 h/sem

4 1

21 20

% Tiempo Ocioso 5 10

1

12

0

Los rollos de cada aleación son de 400 pies de longitud y pesan 4 toneladas. Formule un modelo de programación lineal del cual pueda obtenerse una política de producción para la siderúrgica (asuma que 1 mes equivale a 4 semanas). 10) El departamento de policía de la ciudad de Cali estima los siguientes requerimientos mínimos diarios de policías:

Note usted que el período 1 sigue inmediatamente al periodo 6. Cada policía trabaja 8 horas consecutivas. El departamento de policía busca un programa de trabajo diario que emplee el menor número de policías en el departamento, teniendo presente cada uno de los requerimientos anotados. Solución: 

Variables de decision

X1= cantidad de policias a trabajar en el periodo 1 X2= cantidad de policias a trabajar en el periodo 2 X3= cantidad de policias a trabajar en el periodo 3 X4= cantidad de policias a trabajar en el periodo 4 X5= cantidad de policias a trabajar en el periodo 5 X6= cantidad de policias a trabajar en el periodo 6



Función Objtivo

Min: Z (X1+X2+X3+X4+X5+X6)



Restricciones

X1 ≥ 20 X1+X2 ≥ 50 X2+X3 ≥ 80 X3+X4 ≥ 100 X4+X5 ≥ 40 X5+X6 ≥ 30 X1+X2+X3+X4+X5+X6 ≥ 0

11) El Ingenio Dulce produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, a partir de guarapo concentrado. La empresa compra 4 000 toneladas semanales de ese guarapo, y se le contrata para entregar al menos 25 toneladas semanales de cada clase de azúcar. El proceso de producción comienza fabricando azúcar morena y melaza a partir del guarapo. Una tonelada de guarapo concentrado produce 0.3 toneladas de azúcar morena y 0.1 toneladas de melaza. A continuación, se produce azúcar blanca procesando el azúcar moreno. Se necesita 1 tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de azúcar blanca. Por último, el azúcar glas se produce a partir de azúcar blanca mediante un proceso especial de molienda que tiene una eficiencia de producción del 95 % (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 toneladas de azúcar 

Variables de decision.

X1 = cantidad de azúcar morena a producir X2 = cantidad de azúcar blanca a producir X3 = cantidad de azúcar glas a producir X4 = cantidad de melaza a producir



Función objetivo

Max: Z (150$X1+200$X2+230$X3+35$X4)



Restricciones

R1-Por toneladas a entregar

R2- por capacidad

X1 ≤25 Ton/semanales

X1+X2+X3+X4 ≤ 4000 Ton/semanales

X2 ≤25 Ton/semanales X3 ≤ 25 Ton/semanales X 4≤ 25 Ton/semanales No negatividad X1, X2, X3, X4 ≥0

Glas). Las utilidades son $ 150, $ 200, $ 230 y $35 por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, respectivamente. Formule un programa lineal que determine el programa semanal de producción.

VARIABLE DECISION X1=azúcar morena X2=azúcar blanca X3=azúcar glas X4=melaza Función objetivo Z Max (utilidades) Max z =150(x1) +200(x2) + 230(x3) +35(x4) R1= X2 ton ≥ 25ton X4ton ≥ 25ton X2 ton ≥ 25ton X3 ton ≥ 25ton R2= (producion) 0,3ton (x1) +0, 2 ton (x2) +0.8ton(x3) +0, 95(x3) ≤4000

12) La empresa ABC fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden a $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son: •

Maní: $0.90 por libra

•

Pasas: $1.60 por libra

•

Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son: •

Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente.

• Especial: Cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos. •

Extra: Cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee UN problema de PL para maximizar las utilities. Solución: Variables de decision IX1 = cantidad de libras a utilizar de maní IX2 = cantidad de libras a utilizar de pasas IX3 = cantidad de libras a utilizar de algarrobo SX1 = producto normal SX2 = producto especial SX3 =producto extra. 

Función objetivo

Max: Z (1.50$ SX1+2.20$ SX2+3.50$ SX3)-(0.90$ IX1+1.60$ IX2+1.50$ IX3)-2000$



Restricciones

R1-Disponobilidad del producto. IX1 SX1+ IX2 SX2+ IX3 SX3≤ 1000$ IX1 SX1+ IX2 SX2+ IX3 SX3≤ 2000$ IX1 SX1+ IX2 SX2+ IX3 SX3≤ 3000$ IX1, IX2, IX3, SX1, SX2, SX3 ≥ 0

13) Uno de los experimentos sociales importantes en la región mediterránea es el sistema de comunas (Kibutz), o más ampliamente conocido como comunidades agrícolas comunales, el cual ha sido desarrollado en Israel. Es muy común para los grupos de comunas unirse y compartir servicios técnicos y también compartir su producción. En el presente caso consideramos un sistema de tres comunas. La planeación global para este grupo se hace en la oficina técnica coordinadora. Esta oficina corrientemente planea la producción agrícola para el año venidero. Los productos agrícolas de cada comuna están limitados tanto por la cantidad de tierra irrigable disponible, como por la cantidad de agua asignada para irrigación. Las dimensiones de las comunas y su agua asignada para el próximo año se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Dimensiones y agua asignada de cada comuna

Los cultivos apropiados para la región en consideración son remolacha, algodón y sorgo. Estos cultivos son los únicos que se considerarán para el período bajo análisis. Los cultivos difieren entre sí principalmente en su retorno neto esperado por hectárea (ha) y en su consumo de agua por hectárea cultivada. Adicionalmente, la oficina coordinadora ha implantado una máxima cuota para el total de hectáreas que se pueden destinar a cada uno de estos cultivos. Toda esta información se muestra en la Tabla 2.

Tabla 2. Máxima cuota, consumo de agua y retorno esperado de cada cultivo. Las tres comunas han llegado a un acuerdo para que cada comuna siembre la misma proporción de su tierra irrigable disponible. Sin embargo, cualquier combinación de cultivos puede sembrarse en cualquiera de las comunas. Formule un modelo de programación lineal para este efecto, de manera que ayude a la planeación de las cosechas.  Variables dee decision RX1= cantidad de remolacha a producer en la comuna 1 RX2= cantidad de remolacha a producer en la comuna 2 RX3= cantidad de remolacha a producer en la comuna 3 AX1= cantidad de algodón a producer en la comuna 1 AX2= cantidad de algodón a producer en la comuna 2 AX3= cantidad de algodón a producer en la comuna 3 SX1= cantidad de sorgo a producer en la comuna 1 SX2= cantidad de sorgo a producer en la comuna 2 SX3= cantidad de sorgo a producer en la comuna 3 

Función objetivo

Max: Z (400$/ha (RX1+AX1+SX1) +300$/ha (RX2+AX2+SX2) +100$/ha (RX3+AX3+SX3)) 

Restricciones

R1-Por Tierra usable

R2-por agua asignada

RX1+AX1+SX1≤ 400ha

RX1+AX1+SX1≤ 600m3

RX2+AX2+SX2≤ 600ha

RX2+AX2+SX2≤ 800m3

RX3+AX3+SX3 ≤ 300ha

RX3+AX3+SX3≤ 375m3

R3-Por máxima cuota

R4-por consume de agua

RX1+AX1+SX1≤ 600ha

RX1+AX1+SX1≤ 3 m3/ha

RX2+AX2+SX2≤ 500ha

RX2+AX2+SX2≤ 2 m3/ha

RX3+AX3+SX3 ≤ 325ha

RX3+AX3+SX3 ≤ 1 m3/ha

RX1, RX2, RX3, AX1, AX2, AX3, SX1, SX2, SX3 ≥ 0

14. La nacional financiera pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacates, limas, mangos y zapotes. La producción promedio da cada árbol está dada por la siguiente tabla:

TIPO ARBOL

PRODUCCION EN UNIDAD POR ARBOL

PROMEDIO ANUAL EN KG. POR ARBOL

Aguacate

350

150

Lima

230

200

Mango

150

50

Zapote

400

150

El precio promedio en el mercado mundial fue de $10 por kilogramo de aguacate, $4 por kilogramo de limas, $15 por kilogramo de mango y $7 por kilogramo de zapote. Existe una extensión de 250,000 m2 de tierra de propiedad federal propicia para el cultivo de estos productos. Las técnicas han determinado las siguientes extensiones mínimas necesarias para el cultivo de esos productos: Tipo árbol

Extensión mínima de cultivo por árbol

Aguacate

4m2

Lima

5m2

Mango

3m2

Zapote

6m2

El costo por sembrar un árbol de aguacate es de $2.00, $0.5 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y $1.50 por árbol de zapote, estos costos incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de cuidado equivalente a 36 horas hombre/año, 72 horas hombre/año por lima, 50 horas hombre/año por árbol de mango y $10 horas hombre/año por árbol de zapote. Se pretende hacer una inversión de $ 20, 000,000 de pesos. Este proyecto empleará al menos 200 personas. ¿Cuántos árboles de mango, lima, zapote y aguacate debe sembrarse? Los trabajadores trabajan 8 horas diarios los 365 días al año. Solución Variables de decisión X1 = cantidad de aguacate a sembrar X2 = cantidad de lima a sembrar X3 = cantidad de mango a sembrar X4 = cantidad de zapote a sembrar

Función objetivo: Max: Z (150Kg *10$/KgX1+200Kg*4$/KgX2+50Kg*15$/KgX3+150Kg*7$/KgX4)($2.00X1+$0.5X2+$1.00X3+$1.50X4) Restricciones: R1-Por extención disponible del área a sembrar 4X1+5X2+3X3+6X4≤ 250.0000m2 R2-Por intensidad horaria 36hr/añoX1+72hr/añoX2+50hr/añoX3+10hr/añoX4 ≥ 584000hr/año R3-Por inversión 2.00$*arbolX1+0.5$*arbolX2+1.00$*arbolX3+1.50$*arbolX4 ≤ $20.000.000 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

15. Una compañía panificadora puede producir un pan especial en cualquiera de sus plantas, de la siguiente forma: PLANTA

CAP. PRODUCCION PAN

COSTOS DE PRODUCCION $/PAN

A

2500

23

B

2100

25

Cuatro cadenas de restaurante desean adquirir este pan; sus demandas y los precios que desean pagar son los siguientes: CADENA

DEMANDA MAX PAN

PRECIO

1

1800

39

2

2300

37

3

550

40

4

1750

36

El costo de embarcar un pan de una planta a un restaurante se da en la siguiente tabla:

PLANTA

CADENA 1

CADENA 2

CADENA 3

CADENA 4

A

6

8

11

9

B

12

6

8

5

Determinar un programa de entregas para la compañía panificadora, maximizando sus ganancias totales en este tipo de pan.



Variables de decision

AX1=cantidad de pan a producer en al cadena 1 por la planta A AX2= cantidad de pan a producer en al cadena 2 por la planta A AX3= cantidad de pan a producer en al cadena 3 por la planta A AX4= cantidad de pan a producer en al cadena 4 por la planta A BX1= cantidad de pan a producer en al cadena 1 por la planta B BX2= cantidad de pan a producer en al cadena 2 por la planta B BX3= cantidad de pan a producer en al cadena 3 por la planta B BX4= cantidad de pan a producer en al cadena 4 por la planta B



Función objetivo

Max: Z (39$(AX1+BX1)+37$(AX2+BX2)+40$(AX3+BX3)+36$(AX4+BX4))(6$AX1+8$AX2+11$AX3+9$AX4+12$BX1+6$BX2+8$BX3+5$BX4)  Restricciones R1 -por capacidad de producción AX1+AX2+AX3+AX4 ≤ 2500 BX1+BX2+BX3+BX4 ≤ 2100 R3- por demanda de producción AX1+BX1 ≤ 1800 AX2+BX2 ≤ 2300 AX3+BX3 ≤ 550 AX4+BX4 ≤ 1750 AX1,AX2,AX3,AX4,BX1,BX2,BX3,BX4 ≥ 0

R2-costo de producción AX1+AX2+AX3+AX4 ≤ 23$/Pan BX1+BX2+BX3+BX4 ≤ 25$/Pan