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Ingeniería de Sistemas

“TALLER DE INVESTIGACION DE OPERACIONES”

PRESENTADO POR: ASTRID ROCIO ALONSO VIQUE LEIDY CAROLINA POSADA ORTEGON JHONATAN CAMILO DAVILA

PRESENTADO A: FELIZ SALGADO GRUPO 01

INGENIERIA DE SISTEMAS IBAGUE 2010

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

TALLER DE MODELOS MATEMATICOS

1) Un sastre dispone de los materiales siguientes: 16 metros cuadrados de algodón, 11 metros cuadrados de seda y 15 metros cuadrados de lana. Un vestido de mujer requiere 2 metros cuadrados de algodón, 1 metro cuadrado de seda y 1 metro cuadrado de lana. Un vestido de hombre requiere 1 metro cuadrado de algodón, 2 metros cuadrados de seda y 3 metros cuadrados de lana. Un vestido de mujer deja una utilidad de $ 900 y uno de hombre de $1500. SOLUCIÓN

VESTIDO MUJER

VESTIDO HOMBRE

ALGODÓN

2 mts2

1 mts2

12 X1+4 X2 =>12 X1, X2>=0 3) Una compañía de alquiler de camiones dispone de dos tipos de vehículos: el tipo A que posee 20 píes cúbicos de espacio refrigerado y 40 pies cúbicos de espacio no refrigerado. El tipo B posee 30 píes cúbicos de espacio refrigerado y la misma cantidad de espacio no refrigerado. Una fabrica de alimentos debe transportar 900 pies cúbicos de producto refrigerado y 1200 pies cúbicos de producto no refrigerado. El camión A se alquila a $ 300 por Km y el camión B a $ 40 por Km. SOLUCIÓN

VEHICULO A

VEHICULO B

Espacio refrigerado

20 pies3

30 pies3

=900 pies3

Espacio no refrigerado

40 pies3

30 pies3

=1200 pies3

UTILIDAD

$300

$40

1. Definición del problema: ¿Cantidad de vehículos A para alquilar? ¿ Cantidad de vehículos B para alquilar? 2. Objetivo MINIMIZAR GASTOS X0=300X1+40X2 3. Variables de decisión Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

X1= Vehículo A X2= vehículo B 4. Restricciones: Una fábrica de alimentos solo debe transportar 900 pies3 de producto refrigerado y 1200 pies3 de producto no refrigerado. 5. Ecuación funcional matemática: X0=300X1+40X2 Restricciones 20 X1+ 30X2 = 900 40X1 +30X2 = 1200 6. Modelo MINIMIZAR X0=300X1+40X2 Sujeto a: 20 X1+ 30X2 = 900 40X1 +30X2 = 1200 X1, X2>=0 4) Suponga que una gallina toma dos semanas para poner 12 huevos para la venta o para empollar 4 huevos. Al final del cuarto periodo ( cada uno de dos semanas) todos los animales se venden a $ 10.000 cada uno y los huevos a $ 200 cada uno. Si inicialmente existen 100 huevos y 100 gallinas, como organizaría las tareas si éstas se mantienen fijas durante todo el tiempo?.

SOLUCIÓN 1 PERIODO

2 PERIODO

3 PERIODO

4 PERIODO

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

HUEVOS 100

900

1800

9900

26100

GALLINAS

200

1100

2900

12800

GALLINA

10.000

HUEVOS

200

100 UTILIDAD

1. Definición del problema: ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 1? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 2? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 3? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 4? 2. Objetivo MAXIMIZAR GANANCIA X0=10000(12800Xij)+ 200 (26100Xik) 3. Variables de decisión Xij= cantidad de huevos para empollar Xik= cantidad de huevos para vender 4. Restricciones: Siempre se inicia los periodos en 100 huevos, 100 gallinas y se mantienen fijas las actividades en los periodos 5. Ecuación funcional matemática: X0=10000(12800Xij)+ 200 (26100Xik) Restricciones 900X1j+1800X2j+9900X3j+26100X4j =100 200X1k+1100X2k+2900X3k+12800X4k =100

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

6. Modelo MAXIMIZAR X0=10000(12800Xij)+ 200 (26100Xik) Sujeto a: 900X1j+1800X2j+9900X3j+26100X3j =100 200X1k+1100X2k+2900X3k+12800X4k =100 X1, X2, X3, X4 >=0 i=1,2,3,4, periodos j=Huevos para empollar k= Huevos para vender 5) Suponga ahora que inicialmente existe un inventario de huevos de 0 y que, por otro lado, las funciones pueden cambiar de periodo en periodo.

SOLUCIÓN 1 PERIODO

2 PERIODO

3 PERIODO

4 PERIODO

HUEVOS 0

900

3600

10800

57600

GALLINAS

300

1200

4800

15600

GALLINA

10.000

HUEVOS

200

100 UTILIDAD

1. Definición del problema: ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 1? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 2? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 3? ¿Qué cantidad de huevos para vender o empollar en el periodo 4? 2. Objetivo

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

MAXIMIZAR GANANCIA X0=10000(15600Xij)+ 200 (57600Xik) 3. Variables de decisión Xij= cantidad de huevos para empollar Xik= cantidad de huevos para vender 4. Restricciones: Siempre se inicia los periodos en 0 huevos, 100 gallinas y se pueden variar las actividades en los periodos i=1,2,3,4 5. Ecuación funcional matemática: X0=10000(15600Xij)+ 200 (57600Xik) Restricciones 900X1j+3600X2j+10800X3j+57600X4j =100 300X1k+1200X2k+4800X3k+15600X4k =0 6. Modelo MAXIMIZAR X0=10000(15600Xij)+ 200 (57600Xik) Sujeto a: 900X1j+3600X2j+10800X3j+57600X4j =100 300X1k+1200X2k+4800X3k+15600X4k =0 X1, X2, X3, X4 >=0 i=1,2,3,4, periodos j=Huevos para empollar k= Huevos para vender 6) El gerente financiero de una institución tiene $ 15 millones de pesos que desea invertir en un periodo de tres años. El Gerente ha determinado que existen tres proyectos de inversión disponibles ahora que son:

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

•

El proyecto A rinde el 32 % anual y se puede invertir en cualquier momento. • El proyecto B rinde el 25 % el primer año y 36 % los dos años siguientes, con intereses entregados al finalizar el año. Se puede invertir en cualquier momento. • El proyecto C rinde el 120 % al final del tercer año. También ha encontrado que al comienzo del segundo año existe otra oportunidad de inversión denominada D la cual produce el 65 % al final del tercer año. SOLUCIÓN Se tiene 15.000.000 para invertir en 3 años. Existen 3 proyectos para inversión: Proyecto A rinde el 32% anual Proyecto B rinde el 25% el primer año, 36% los dos siguientes Proyecto C rinde el 120% al final del tercer año Al comienzo del segundo año existe un proyecto D produce el 65% al final del tercer año. 1. Definición del problema: ¿Qué proyecto de inversión A,B,C escoger en el primer año? ¿Qué proyecto de inversión A,B,C escoger en el segundo año? ¿Qué proyecto de inversión A,B,C escoger en el tercer año? 2. Objetivo MAXIMIZAR GANANCIA X0=15000000+0.32(A1+A2+A3) (0.120Ci) + 0.65D2

+

(0.25(B1+0.36B2+0.36B3))

+

3. Variables de decisión i= 1,2,3 años Ai= Dinero invertido en el proyecto A Bi= Dinero invertido en el proyecto B Ci= Dinero invertido en el proyecto C

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

Di= Dinero invertido en el proyecto D 4. Restricciones: Se cuenta solo con $ 15.000.000 para invertir 5. Ecuación funcional matemática: X0=15000000+0.32(A1+A2+A3) (0.120Ci) + 0.65D2

+

(0.25(B1+0.36B2+0.36B3))

+

Restricciones Ai+Bi+Ci+Di 100 X4+ X5 =>40 X5 +X6 =>30 5. Modelo MINIMIZAR X0=X1+X2+ X3+X4+X5+X6

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

Sujeto a: X6+ X1 =>20 X1 +X2 =>50 X2+ X3 =>80 X3 +X4=>100 X4+ X5 =>40 X5 +X6 =>30 X1, X2, X3, X4,X5,X6>=0 11) Un campesino desea destinar su finca de 10 ha. A actividades que le generan ingresos : sembrar trigo, sembrar alfalfa y criar cerdos. Cada cerdo requiere media ha. de tierra. El ingreso neto es de $ 50 por ha. De trigo, $ 50 por Ha. De alfalfa y $ 130 por cada cerdo. Los tiempos de cosecha y de cría son iguales ( 1 año).

El gobierno le paga al campesino $ 20 por cada ha. que no use para sembrar trigo debido a la oferta excesiva que existe de ese grano. El campesino tendrá cuando mucho 250 horas de trabajo disponible en cada mes entre mayo y octubre y 200 horas en los meses de noviembre hasta abril. Las actividades requieren las siguientes horas de trabajo :

Mes

horas de trabajo por ha. Por Mes trigo

alfalfa

cerdos

Mayo – octubre

1

1/2

7

Noviembre _ abril

3

5

8

El campesino puede emplearse y recibir $ 1.50 por hora de trabajo durante mayo – octubre y $ 1 por hora de trabajo durante noviembre – abril. Además no desea contratar mano de obra para sus propias actividades SOLUCIÓN Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

Finca de 10 hectáreas Actividades: 1. Sembrar trigo sembrar

$50

$20

gobierno

paga

por

no

2. Sembrar alfalfa $50 3. Criar cerdos Meses

$130 TRIGO

½ hectárea de tierra por cada uno ALFALFA

CERDOS

MAYOOCTUBRE

1

1/2

7

= 0 SOLUCIÓN DEL EJERCICIO COMPLETO Sección

Tiempo requerido Tiempo disponible (minutos)

Producto

Aumento de Costo por capacidad por unidad cada Unidad adicional de ensanche

(min/sem)

$

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

1

2

(min/sem)

1

10

2/3

8000

100

2’000.000

2

10

1

10000

200

5’000.000

3

20

3

24000

1000

2’500.000

Utilidad $

16

2

1. Definición del problema: ¿Cuánta plata invertir en la sección 1? ¿Cuánta plata invertir en la sección 2? ¿Cuánta plata invertir en la sección 3? 2. Objetivo MAXIMIZAR GANANCIAS X0=2000000X1+5000000X2+3000000X3 3. Variables de decisión X1=sección 1 para ensanchar X2= sección 2 para ensanchar X3= sección 3 para ensanchar

4. Restricciones: •

De la sección 1 hay disponible min/sem 8000; pero existe la restricción de que el aumento por unidad de ensanche es de 100 por min/sem que equivale a un costo de 2.000.000

•

De la sección 2 hay disponible min/sem 10000; pero existe la restricción de que el aumento por unidad de ensanche es de 200 por min/sem que equivale a un costo de 5.000.000

Investigación de Operaciones

Ingeniería de Sistemas

•

De la sección 2 hay disponible min/sem 24000; pero existe la restricción de que el aumento por unidad de ensanche es de 1000 por min/sem que equivale a un costo de 2.500.000

•

Como son 10 millones los que se invierten y el costo de ensanche como está distribuido en la tabla es de 9.500.000, se tomo la decisión de ensanchar la sección tres que es la que mayor productividad trae de 4.1% en producto a diferencia de la sección 2 que trae un 2%, y la sección 1 que trae un 1.25

5. Ecuación funcional matemática: X0=2000000X1+5000000X2+3000000X3 Restricciones X1+x2 +x3 =< 10.000.000 8100X1+10200x2+25200x3 =< 10.000.000 6. Modelo MAXIMIZAR X0=2000000X1+5000000X2+3000000X3 Sujeto a: X1+x2 +x3 =< 10.000.000 8100X1+10200x2+25200x3 =< 10.000.000 x1, x2, x3 >= 0

13) Se requiere transportar 75000 plántulas desde Honda hasta la gloria (Cesar), por el río magdalena. Se dispone del número suficiente de dos tipos de embarcación con las siguientes características:

Tipo 1

Tipo 2

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Ingeniería de Sistemas

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-----------

Capacidad

20000

10000

Consumo Combustible

12000

700

25

10

Tripulación

Se tienen solamente 55000 galones de combustible y 90 hombres para la tripulación. Se paga $ 200.000 por viaje de la embarcación tipo 1 y $ 100.000 por cada viaje del tipo 2 SOLUCIÓN

1. Definición del problema: ¿De acuerdo a las características de capacidad, consumo de combustible, tripulación escoger que tipo de embarcación 1? ¿De acuerdo a las características de capacidad, consumo de combustible, tripulación escoger que tipo de embarcación 2? 2. Objetivo MINIMIZAR COSTOS X0=200000X1+100000X2 3. Variables de decisión X1= Tipo de embarcación 1 X2= Tipo de embarcación 2 4. Restricciones: Se requiere transportar 75000 plántulas 5. Ecuación funcional matemática: X0=200000X1+100000X2 Restricciones 20000X1+10000X2