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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I GUÍA GENERAL DE APLICACIONES PRIMERA PARTE

Dr. Ezzard Omar Alvarez Diaz Docente

Abril 2017

2. MODELOS DE PRODUCCIÓN DE UN PERIODO, MÚLTIPLES PRODUCTOS Ejercicio 2.1 En la máquina cortadora de prendas de un taller de confecciones pueden procesarse un máximo de 1500 prendas por semana. Esta semana el taller de confecciones ha recibido la solicitud de 7 clientes por el servicio de corte de prendas con las siguientes características.

Cliente 1 2 3 4 5 6 7

Cantidad total máxima de prendas a cortar 300 250 150 200 150 230 500

Dificultad del corte (valor / prenda) 8 7 6 8 5 5 3

Utilidad por prenda cortada ($/prenda) 2.0 2.5 3.0 2.5 2.0 2.5 3.0

Es posible brindarle el servicio de corte a cada cliente por una cierta cantidad de prendas, no necesariamente por el máximo de forma obligatoria. El valor de dificultad de corte para cada prenda de cada pedido que se señala en la tabla indica la cantidad de esfuerzo que deben hacer los operarios al cortar cada prenda. Un valor más alto de dificultad indica mayor esfuerzo para los operarios (valor máximo: 10, valor mínimo: 0). Con la finalidad de que el trabajo no les demande un esfuerzo muy grande se desea que el trabajo total a realizar tenga un valor de dificultad promedio por la prenda no mayor a 5. a) Defina las variables de decisión para este caso y presente el modelo de programación lineal que permita al taller dar una respuesta a los clientes en la forma extendida y en la forma estructurada o compacta. No es obligatorio que la solución óptima sea entera. (Respuesta: Z* = 3741.667) Ejercicio 2.2 Un ama de casa compra alimentos en un determinado supermercado, los cuales tienen precios distintos y diferentes contenidos de elementos nutricionales. Asumamos que se ofrecen solo cinco tipos de alimentos y que solo se tienen dos elementos nutricionales: calorías y vitaminas. El contenido de estos elementos (en unidades) por cada kilo de alimento, los precios de compra (por kilo) y la disponibilidad (en kilos) de estos son los siguientes:

Elemento

Alimentos

pág. 2

1 2 3 4 5 Calorías (unidades/kg) 1000 0 1000 1000 2000 Vitaminas (unidades/kg) 0 1000 2000 1000 1000 Precio de compra ($/kg) 20 20 31 11 12 Disponibilidad (kg) 4 3 5 2 3

El problema del ama de casa es determinar una dieta que tenga por lo menos 2100 unidades de calorías y 1200 unidades de vitaminas por persona y por día al menor precio posible. El ama de casa puede comprar cualquier fracción de kilo en cualquier alimento y se sabe además que su familia se compone de 6 personas (incluida ella misma). a) Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente en la forma compacta. (Respuesta: Z* = 162.1, en total por las 6 personas) Ejercicio 2.3 Juanito se dedica a la elaboración de tres tipos de cebiche en bolsa para las playas de Lima, los cuales gozan de gran aceptación por parte de sus clientes. Los ingredientes principales son: pescado, conchas negras, calamar, cebolla y camote. La siguiente tabla muestra la composición de los ingredientes que se utilizan por cada bolsa:

Tipo

Pescado (kg)

Tradicional Especial Mixto

1 0 0.5

Conchas negras (kg) 0 0.5 0.1

Calamar (kg)

Cebolla (und)

Camote (und)

0 0 0.3

3 1 3

3 0 3

Los costos de los ingredientes y su disponibilidad son: Ingrediente

Pescado

Costo Disponibilidad

24 S/kg 1000 kg

Conchas negras 30 S/kg 200 kg

Calamar

Cebolla

Camote

18 S/kg 100 kg

0.5 S/und 5000 und

0.1 S/und 5000 und

La demanda de cebiche para este fin de semana no constituye un factor limitante; no obstante Juanito debe vender como mínimo 500, 200 y 300 bolsas de cebiche tradicional, especial y mixto respectivamente, para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de cebiche se muestra a continuación: Tipo de cebiche Tradicional Especial Mixto

Precio de venta (Soles / bolsa) 30 35 28

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a) Presente las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente. (Respuesta: Z* = 11940) b) Identifique las restricciones activas del modelo. c) Identifique qué ingredientes no son utilizados en su totalidad y la cantidad sobrante. d) ¿Qué interpretación tiene el precio dual en la restricción de disponibilidad de las conchas negras? Ejercicio 2.4 La compañía ZINGERLE se dedica a la producción de módulos (bancos y mesas) especialmente destinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Producción se encuentra actualmente planificando la producción de los siguientes tipos modelos: MA6, MA8 Y MB10. Los mencionados tipos de módulos requieren para su producción de ángulos de acero y tablas de madera; la información mencionada, así como los requerimientos de mano de obra (horas – hombre: HH) necesarias para la producción de los diferentes tipos de módulos y la disponibilidad semanal de los recursos se presenta en la siguiente tabla:

Tipo de módulo MA6 MA8 MB8 MB10 Disponibilidad

Ángulos (m./módulo) 14 18 16 20 30000 m.

Requerimientos productivos Madera Mano de obra (HH/módulo) ( /modulo) 5.4 0.70 7.2 0.80 6.2 0.75 8.0 0.90 1440 HH 11500

Para asegurar la rentabilidad de la producción, se ha establecido un nivel mínimo de producción para cada tipo de modulo. Asimismo, el limitante de la producción es la capacidad de producción semanal. Esta información, junto con el precio de venta de cada tipo de modulo, se presenta en la siguiente tabla: Tipo de Modulo MA6 MA8 MB8 MB10

Producción mínima (módulos) 500 320 400 200

Capacidad de producción (módulos) 750 450 550 300

Precio de venta ($ / módulo) 60 75 70 85

La demanda de módulos no es limitante para la venta; ergo todo lo que se produce se llega a vender. Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal que permita determinar cuántos módulos de cada tipo debe producir ZINGERLE semanalmente. (Respuesta: Z* = 125945)

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Ejercicio 2.5 Un fabricante produce cuatro tipos de producto de uso doméstico (A, B, C y D). Su sistema de producción consta de cinco actividades dispuestas en serie o secuencia: estampado, taladrado, ensamblado, acabado y empaque. Para un determinado mes el fabricante debe decidir cuánto de cada producto debe producir. La siguiente tabla muestra las características de la fabricación: Velocidad de producción (horas / unidad) Actividad Estampado Taladrado Ensamblado Acabado Empaque

Producto A

Producto B

Producto C

Producto D

0.03 0.06 0.05 0.04 0.02

0.15 0.12 0.10 0.20 0.06

0.05 0 0.05 0.03 0.02

0.10 0.10 0.12 0.12 0.05

Horas mensuales disponibles 400 400 500 450 400

Adicionalmente, el fabricante sabe que solamente los productos B y D requieren un cierto tipo de plancha especial, cuya disponibilidad mensual es de 2000 unidades por mes. El producto B requiere de 2 planchas especiales por unidad y el producto de 1.2 planchas especiales por unidad. Las características comerciales de los cuatro productos son las siguientes: Producto A B C D

Precio de venta (Soles / unidad) 10 25 16 20

Costo variable (Soles / unidad) 6 15 11 14

Ventas mensuales (unidades) Mínimo Máximo 1000 6000 0 500 500 3000 100 1000

El fabricante quiere planear la producción con el objetivo de maximizar la contribución marginal total (ingreso por ventas – costo variable total), pero respetando la política empresarial de que todas las actividades deben ser utilizadas por lo menos en un 50% de sus horas disponibles. a) Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente, empleando notación matemática compacta. (Respuesta: Z* = 42600) Ejercicio 2.6 Un proceso productivo transforma una cierta materia prima para obtener producto terminado de diferentes grados de calidad. El proceso puede emplear 3 métodos distintos. Ambos métodos hacen uso de un mismo horno que tiene capacidad para 20000 unidades de materia prima en total; sin embargo, el porcentaje que se obtiene de cada grado de calidad de producto terminado es diferente según el método, tal como se señala en la tabla siguiente:

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Grado de calidad del producto 1 2 3 4

Porcentaje a obtener por el método 1 30% 25% 15% 15%

Porcentaje a obtener por el método 2 20% 25% 20% 5%

Porcentaje a obtener por el método 3 25% 30% 30% 10%

De la tabla anterior puede leerse, por ejemplo, que por cada 100 unidades de materia prima procesada por el método 1 se obtiene 30 unidades, 25 unidades, 15 unidades y 15 unidades de producto de grado de calidad 1, 2, 3 y 4 respectivamente. En cada método, el resto de producto terminado (hasta completar el 100%) se considera producto defectuoso. El costo por unidad de materia prima procesada por el método 1, 2 y 3 es $50, $60 y $70, respectivamente. Para el periodo de planeamiento la demanda de producto de cali9dad grado 1 ese por lo menos 4000 unidades; de calidad grado 2, por lo menos 5000 unidades; de calidad grado 3, por lo menos 4000 unidades y de calidad grado 4, por lo menos 2000 unidades. Todo lo que se produzca se venderá a) Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente en forma compacta (Respuesta: Z* = 1083333) Ejercicio 2.7 La empresa OptiProd S.A.C debe planificar la producción de 2000 unidades del producto Premium para cumplir con el pedido de un importante cliente. Para producir una unidad del producto Premium, se requiere de 4 insumos A, B, C y D en las siguientes cantidades: 3 unidades de A, 4 de B, 2.5 de C y 3.5 de D. Los insumos pueden ser compraos a 6 diferentes proveedores cuya disponibilidad se muestra a continuación:

Proveedor PR1 PR2 PR3 PR4 PR5 PR6

Insumo A 2000 1500 2000 1000 800 1200

Disponibilidad (unidades de insumo) Insumo B Insumo C 2000 1000 3000 1000 1500 2000 1200 800 1200 1000 1000 1200

Insumo D 1500 2000 2500 1500 1500 1200

Los costos de compra por cada tipo de insumo asociados a los 3 primeros proveedores es el que se muestra a continuación:

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Proveedor PR1 PR2 PR3

Costo de Compra (En Soles/unidad de Insumo) Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D 4 2.8 4.5 6 3.5 2.5 3.3 6.5 4.5 2.2 4 6.5

Por otro lado los proveedores PR4, PR5 y PR6 se han asociado para conformar una cooperativa de productores; cuyos costos de compra por cada tipo de insumo se muestra en el siguiente cuadro:

Costo de compra a la cooperativa (soles/unidad de insumo)

Insumo A

Insumo B

Insumo C

Insumo D

4

2.5

4

6

OptiProd S.A.C. ha acordado comprar a la cooperativa de productores como mínimo: 1500 unidades de Insumo A, 2000 unidades de Insumo B, 1000 unidades de Insumo C y 1500 unidades de Insumo D. Finalmente, OptiProd S.A.C. ha dispuesto que el monto (en soles) a comprar a cada proveedor sea a lo más el 30% del monto total de compra. a) Presentar las variables de decisión y su significado; así como el modelo de programación lineal en forma matemática compacta que le permita a la empresa optimizar la compra de sus insumos. Ejercicio 2.8 Todo Telas S.A.C., empresa perteneciente al rubro textil, cuenta con la siguiente demanda de cuatro tipos de tela y el precio al cual vendería dichas telas: Tipo de Tela

Demanda (metros)

Precio de Venta (Soles/metro)

Interlock Jersey Pique Drill

6000 5000 4000 5000

6.5 7 9 8.5

La demanda debe ser interpretada como lo máximo que puede vender. Para poder atender la demanda, la empresa puede producir las telas en sus instalaciones y también las puede importar de china. La producción de cualquier tipo de tela en las instalaciones de Todo Telas S.A.C. puede llevarse a cabo en cualquiera de sus tres tipos de maquina tejedoras (T1, T2 y T3). La siguiente

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tabla muestra la tasa de producción y el costo de producción por tipo de tela y por maquina; además de las horas disponibles en cada máquina:

Tipo de Tela

Tasa de producción (horas/metro)

Costo de Producción (Soles/hora)

Maquina T1 0.55 0.6 0.4 0.45

Maquina T1 5 7 8 10

Maquina T2 0.5 0.65 0.5 0.48

Maquina T3 0.58 0.7 0.45 0.5

Maquina T2 5.5 8 9 9

Maquina T3 4.5 8 8.5 9.5

Interlock Jersey Pique Drill Disponibilidad 1500 1000 1600 (horas) Para el caso de tela importada de china, lo máximo que puede comprar al proveedor de china y el costo de importación se muestra a continuación: Tipo de Tela

Máximo que puede comprar (metros)

Costo de importación (Soles/metro)

Interlock Jersey Pique Drill

4000 3000 4000 2000

4 3 5 5.5

a) Presentar las variables de decisión y su significado; así como el modelo de programación lineal en forma matemática compacta que le permita a Todo Telas S.A.C. maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=48000) Ejercicio 2.9 Debido a la gran aceptación del cebiche en bolsa, ahora Juanito está planificando para el próximo verano la venta de sopa en botellón. Las sopas de mayor demanda son: Especial de pollo, marítima de mariscos y tradicional de habas. Los ingredientes principales son: Pollo, mariscos, habas y alverjas. La siguiente tabla muestra el requerimiento de los ingredientes que se utilizan por cada botellón de 3 litros: Requerimiento (Kg/botellón) Tipo de Sopa

Pollo Mariscos Habas Alverjas

Especial de pollo

0.3

0

0.25

0.25

Marítima de mariscos

0

0.3

0.1

0.5

Tradicional de habas

0.15

0.15

1

0.25

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Juanito debe vender como mínimo 250 ,100 y 300 botellones de sopa Especial de pollo, marítima de mariscos y tradicional de habas, respectivamente para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de sopa se muestra a continuación: Tipo de Sopa Especial de pollo Marítima de mariscos Tradicional de habas

Precio de venta (Soles/botellón) 30 35 25

El costo y la disponibilidad de cada ingrediente con que Juanito cuenta para que el mismo prepare sus sopas son los siguientes:

Ingrediente Costo (soles/kg) Disponibilidad (kg)

Pollo 20 80

Mariscos 30 40

Habas 5 200

Alverjas 10 150

Juanito, además de preparar el mismo sus sopas, puede comprar sopas en botellón ya preparadas a sus tías Julia y Bertha, con la siguiente restricción: “Para cada tipo de sopa, la cantidad de botellones que Juanito compre a sus tías en total de ese tipo, no debe ser superior a la cantidad de botellones de sopa de ese tipo que Juanito prepare.” Los costos de compra por cada tipo de sopa y por cada tía se muestran a continuación: Costo de compra (soles/botellón) Tipo de Sopa Tía Julia Tía Bertha Especial de pollo 20 25 Marítima de mariscos 20 30 Tradicional de habas 30 20

a) Defina las variables de decisión y plantee el modelo de programación lineal correspondiente a en forma compacta que permita a Juanito maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=9665). Ejercicio 2.10 PAPAS S.A. es una empresa dedicada a la comercialización de papas nativas. Esta empresa compra las papas a cinco comunidades indígenas de la región Apurímac. La disponibilidad semanal de papas y el costo de compra para cada comunidad indígena se muestran a continuación:

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Disponibilidad (toneladas) Costo de compra (soles/tonelada)

Comunidades Indígenas 1 2 3 4 5 300 360 270 240 360 500 450 400 600 440

La producción de cada comunidad contiene papas de calidades A, B y C. Por ello, PAPAS S.A. somete las papas que compra a un sencillo proceso de selección en sus instalaciones , que consiste en separar la papa en sus tres calidades; para luego atender los pedidos de tres importantes empresas productoras de snacks: las empresas X,Y y Z, respectivamente. Los costos de selección son los siguientes:

Costo de selección (soles/tonelada)

Comunidades Indígenas 1 2 3 4 5 50 55 58 55 60

El porcentaje en peso de las diferentes calidades de papa de la producción en cada comunidad indígena es el siguiente:

Calidad de papa A B C

Comunidades Indígenas 1 2 3 4 5 50 40 30 60 30 30 50 50 30 40 20 10 20 10 30

Por ejemplo: 100 toneladas de papas provenientes de la comunidad indígena 2 contiene 40 toneladas de papa calidad A, 50 toneladas calidad B y 10 toneladas calidad C. Finalmente, lo mínimo a entregar (en toneladas) de cada calidad de papa a cada empresa se muestra a continuación:

Empresa X Y Z

A 180 200 160

Calidad de papa B 160 140 150

C 70 60 80

a) Defina las variables de decisión y presente el modelo de programación lineal en forma compacta que permita a PAPAS S.A. dar cumplimiento a los pedidos al mínimo costo total. (Respuesta: Z*=668960). Ejercicio 2.11 Una empresa comercializadora está planeando sus compras para este día. Dispone de 3 posibles proveedores que pueden abastecer los 6 productos que comercializa. Cuenta con la siguiente información:

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Costo unitario ($/unidades) Tipo de producto Proveedor 1 2 3 4 5 6 1 4 6 3 3 8 4 2 3 5 4 5 6 3 3 5 4 3 4 7 2

Cantidad disponible (unidades) Tipo de producto Proveedor 1 2 3 4 5 6 1 200 150 200 150 200 100 2 100 200 200 150 200 150 3 200 100 150 200 150 100

La capacidad del camión que recogerá los productos que se compren a los proveedores es de 680 unidades en total. La empresa puede vender los productos sueltos por unidad o en parejas formando packs. Los tipos de packs son tres y pueden contener: Tipo de pack Contenido A Un producto 1 y un producto 2 B Un producto 3 y un producto 4 C Un producto 5 y un producto 6 Se han establecido los siguientes precios de venta, por producto suelto y por pack: Tipo de pack A B C Precio unitario ($/pack) 15 25 15 Tipo de producto 1 2 3 4 5 6 Precio unitario ($/unidades) 7 10 12 15 10 6

Además, dispone de 3 operarios que trabajan 8 horas este día empacando los productos que se venden en packs. El tiempo que toma empacar un pack A es 3 minutos, 4 minutos el pack B y 3 minutos el pack C. a) Sabiendo que se llega a vender todo lo que se compre, defina las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal en forma compacta que le permita a la empresa planificar sus compras para este día. (Respuesta: Z*=7120). Ejercicio 2.12 Una fábrica especializada en chocolatería fina elabora cuatro tipos de productos: bombones, barras de chocolate, chocolate para taza y chocolate con almendras. Una parte de la producción es destinada al mercado local y la otra se exporta a los EEUU. La cantidad mínima a vender para el próximo mes y la utilidad unitaria de cada producto en cada mercado, se muestran a continuación:

Tipo de producto Bombones Barras de chocolate Chocolate para taza Chocolate con almendras

Mínimo a vender (kg) Mercado Exportación a local EEUU 140 160 70 120 70 80 175

160

Utilidad unitaria ($/kg) Mercado Exportación a local EEUU 43 57 29 43 26 37 31

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Asimismo, para el próximo mes la producción (en kg) destinada al mercado local debe representar al menos el 40% de la producción total (en kg). Los insumos requeridos para la producción de los tipos de chocolate son: cacao, relleno, almendras y otros, cuyos porcentajes en peso por tipo de producto y su disponibilidad (en kg) se muestran a continuación: Insumos Tipo de producto Cacao Relleno Almendras Otros Bombones 40% 40% 0% 20% Barras de chocolate 45% 0% 0% 55% Chocolate para taza 43% 0% 0% 57% Chocolate con almendras 40% 0% 30% 30% Disponibilidad (kg) 700 400 350 Ilimitada Por ejemplo: 1kg de bombones contiene: 0.4 kg de cacao, 0.4kg de relleno y 0.2 kg de otros insumos a)

Defina las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal en forma

compacta que le permita a la empresa maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=78401). Ejercicio 2.13 Una minera extrae roca de 4 canteras; la cual posee tres tipos de metales A, B y C. La composición porcentual en peso de la roca que se extrae de cada cantera, el costo de extracción y lo máximo que se puede extraer se muestra a continuación: Composición porcentual en peso

Cantera

Metal A

Metal B

Metal C

Otros

Costo de extracción ($/tonelada)

C1 C2 C3 C4

20% 41% 30% 40%

30% 40% 30% 10%

40% 30% 30% 20%

10% 20% 10% 30%

50 40 60 50

Máxima extracción (toneladas) 15000 17000 16000 18000

Para obtener los metales de las rocas provenientes de las canteras, las rocas pueden ser procesadas en cualquiera de las dos plantas que posee la minera: Planta 1 y Planta 2. La información técnica –económica de las plantas es la siguiente:

Planta

Ritmo de procesamiento (toneladas/hora)

Horas disponibles

Costo de procesamiento ($/tonelada)

1 2

150 200

100 200

600 700

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Los metales A, B y C se venden a un precio por tonelada igual a $2500, $300 y $4500 respectivamente. a) Presentar las variables de decisión y su significado; así como el modelo de programación lineal en forma matemática compacta que le permita a la minera maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=119260000). Ejercicio 2.14 La empresa “DIECOS” fabrica tres productos A, B y C y los vende a cuatro clientes: C1, C2, C3 y C4. Si bien es cierto que los clientes le compraran todo lo que DIECOS les ofrezca, la cantidad mínima de cada producto a entregar a cada cliente (para asegurar la rentabilidad del negocio) y la utilidad unitaria se muestran a continuación:

Mínimo a entregar (unidades) Producto A B C

Cliente

C1

C2

C3

C4

400 300 300

350 400 250

500 200 300

300 300 350

Utilidad ($/unidad) Producto

Cliente C1

C2

C3

C4

10 9 10

12 14 10

11 13 9

9 15 11

A B C

Para fabricar cada tipo de producto se requiere tres insumos: I1, I2 e I3. En la siguiente tabla se muestra la disponibilidad de cada tipo de insumos y el requerimiento de cada insumo por cada unidad de producto: Requerimiento (kg/unidad) Insumo I1 I2 I3

Disponibilidad (Kg) 2700 2300 2800

A 0.3 0.1 0.4

B 0.4 0 0.5

C 0.2 0.3 0.2

De la tabla anterior puede leerse, por ejemplo, que para producir una unidad de producto A se requiere de los tres insumos en las siguientes cantidades: 0.3 Kg de I1, 0.1 kg de I2 y 0.4 kg de I3. a) Presentar las variables de decisión y su significado; así como el modelo de programación lineal en forma matemática compacta que le permita a la minera maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=113800).

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