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• Gloria Arrieta

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TALLER DE ESTADISTICA I DISTRIBUCION NORMAL – EXPONENCIAL 1. Si X es la variable aleatoria que representa a “las medidas de la presión sanguínea sistólica”, de un grupo cuyas edades oscilan entre 20 y 24 años y si X tiene distribución normal con una media de 120 y una desviación estándar de 20, encuentre (a) P(X > 135) y (b) P(105 < X < 110). 2. El tiempo de atención al cliente en un servicio de información de una biblioteca sigue una distribución exponencial, con un tiempo de servicio medio de 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una consulta de un cliente dure más de 10 minutos? 3. Se regula una máquina despachadora de café para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar de 15 mililitros, (a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 191 mililitros? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 209 y 224 mililitros? (c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1.000 bebidas? (d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos un 25% de las bebidas más pequeñas? 4. Sea X = el tiempo entre dos llegadas sucesivas a la ventanilla de autopago de un banco local. Si X tiene una distribución exponencial con λ = 1, calcule lo siguiente: a. El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. b. La desviación estándar del tiempo entre dos llegadas sucesivas. c. P(X ≤ 4) d. P(2 ≤ X ≤ 5) 5. Los coeficientes de inteligencia de 600 aspirantes a cierta beca escolar en una universidad extranjera se distribuyen aproximadamente normal con media de 115 y desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un coeficiente de inteligencia de al menos 95, ¿cuántos de estos aspirantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? 6. El tiempo de respuesta de una computadora es una aplicación importante de las distribuciones gamma y exponencial. Suponga que un estudio de cierto sistema de computadoras revela que el tiempo de respuesta en segundos tiene una distribución exponencial con una media de tres segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta (a) exceda 5 segundos, (b) no exceda 10 segundos? 7. La dueña de un centro comercial desea estimar el promedio del valor de la venta de los maletines que tiene en su inventario. Una muestra aleatoria de 12 maletines dio un valor de promedio 77,8 (en miles de

pesos) y una desviación estándar de 11,1. Suponiendo que la población de precios se distribuye normalmente, calcule la probabilidad de que a) Sean vendidos a más de 80, b) menos de 75 y c) entre 77 y 79 8. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyos tiempos de falla en años está dado por X. La variable aleatoria X se modela mediante la distribución exponencial con tiempo medio para la falla λ = 1/5. Si se instalan cinco de estos componentes en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos aún funcionen al final de ocho años? 9. Un grupo grande de alumnos hace un examen de estadística. Las notas se distribuyen según una normal de media 3,5. Además, la probabilidad de que un alumno elegido al azar obtenga una nota menor que 4,2 es 0,7580. Se eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos obtenga más de 4,0 en el examen. 10.Suponga que la vida de cierto tipo de batería tiene una tasa de falla constante anunciada de 0,01 por hora y que tiene distribución exponencial. (a) ¿Cuál es el tiempo medio de falla? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 300 horas antes de que se observen dos fallas? 11.La amplia experiencia con ventiladores de un tipo utilizados en motores diesel ha sugerido que la distribución exponencial proporciona un buen modelo del tiempo hasta la falla. Suponga que el tiempo medio hasta la falla es de 25 000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que a. ¿Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20 000 horas? ¿Cuándo mucho 30 000 horas? ¿Entre 20 000 y 30 000 horas? b. ¿Exceda la duración de un ventilador el valor medio por más de dos desviaciones estándar? ¿Más de tres desviaciones estándar? 12.Suponga que el tiempo gastado (en horas) por un automóvil para llegar a un destino determinado sigue una distribución exponencial con parámetro λ = 0,93. (a) ¿Cuál es tiempo gastado esperado por un automóvil y cuál es la desviación estándar del tiempo gastado por un automóvil? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo gastado por un automóvil exceda 3,0? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo gastado por un automóvil se encuentre entre 1,0 y 3,0? 13.Un corredor de la bolsa de valores de Nueva York tiene curiosidad acerca del tiempo que transcurre entre la colocación de una orden de venta y de ejecución. El corredor hizo una muestra de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución fue 24,3 minutos, con una desviación de 3,2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo de colocación y venta de una orden este entre 23 y 25 minutos asumiendo que tiene una distribución normal.

14.Una muestra aleatoria de 110 estudiantes de primer grado de cierta escuela pública alcanzo una altura promedia muestral de 0,81 metros de una desviación estándar muestral de 0,34 metros. Calcule la probabilidad de que encuentre un estudiante con una estatura inferior a 0.75 metros. 15.Sea X la variable aleatoria que representa al tiempo entre dos entradas sucesivas a un banco. Si X tiene una distribución exponencial con parámetro λ = 1, calcule: (a) El tiempo esperado entre dos entradas sucesivas. (b) La desviación estándar entre entradas sucesivas. (c) P(X ≤ 4). (d) P(2 ≤ X ≤ 5). 16.Un investigador científico reporta que unos cocodrilos vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales cocodrilos se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6,3 meses, encuentre la probabilidad de que un cocodrilo dado viva (a) más de 37 meses; (b) menos de 49 meses; (c) entre 37 y 49 meses. 17.Sea X la distancia en centímetros que un estudiante de bachillerato puede saltar en una prueba de salto largo. Suponga que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ = 0,01386. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia esté entre 100 y 200 centímetros? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2 desviaciones estándar? 18.El tiempo que una persona debe esperar para que sea atendido en una tienda es una variable aleatoria que tiene distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de tres minutos en al menos cuatro de los siguientes seis días?