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• frangel ivan

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PROBLEMAS DE DISTRIBUCION NORMAL 1. Dibuje una función de densidad de probabilidad reducida la Laplace – Gauss y sombree el área deseada para obtener el área(encuentre la probabilidad respectiva): d) A la derecha de Z = 1.0

𝒛 = 𝟏. 𝟎 = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑 → 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕 ≅ 𝟏𝟓. 𝟖𝟕%

e) A la izquierda de Z = 1.0 𝒛 = 𝟏. 𝟎 ≅ 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑

→ 𝟖𝟒. 𝟏𝟑%

f) A la derecha de Z = 0.34 𝒛 = 𝟎. 𝟑𝟒 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟑𝟑𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟔𝟗 → 𝟑𝟔. 𝟔𝟗%

g) Entre Z = 0 y Z= 1.5

𝒛=𝟎

≅ 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 → 𝟓𝟎%

𝒛 = 𝟏. 𝟓 ≅ 𝟎. 𝟗𝟑𝟑𝟐 → 𝟗𝟑. 𝟑𝟐%

Entonces restamos las áreas: 𝟎. 𝟗𝟑𝟑𝟐 − 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟑𝟐 ≅ 𝟒𝟑. 𝟑𝟐%

h) Entre Z = 0 y Z = -2.88 𝒛=𝟎 ≅

𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 → 𝟓𝟎%

𝒛 = −𝟐. 𝟖𝟖 ≅ 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟎 → 𝟗𝟗. 𝟖𝟎%

Entonces restamos las áreas: 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟎 − 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟖 ≅ 𝟒𝟗. 𝟖%

i) Entre Z = -0.56 y Z = -0.2 𝒁 = −𝟎. 𝟓𝟔 ≅ 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟑 → 𝟕𝟏. 𝟐𝟑%

˄

𝒁 = −𝟎. 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 → 𝟓𝟕. 𝟗𝟑%

Entonces: 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝟑 − 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑 → 𝟏𝟑. 𝟑%

j) Entre Z = -0.49 y Z = 0.49 𝐙 = −𝟎. 𝟒𝟗 ≅ 𝟎. 𝟔𝟖𝟕𝟗 → 𝟔𝟖. 𝟕𝟗%

˄

𝒁 = 𝟎. 𝟒𝟗 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟖𝟕𝟗

≅ 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟏 → 𝟑𝟏. 𝟐𝟏%

Entonces: 𝟎. 𝟔𝟖𝟕𝟗 − 𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓𝟖 → 𝟑𝟕. 𝟓𝟖%

k) Entre Z = 2.5 y Z = 2.8 𝒛 = 𝟐. 𝟓 ≅ 𝟎. 𝟗𝟗𝟑𝟖 → 𝟗𝟗. 𝟑𝟖%

˄

𝒛 = 𝟐. 𝟖 ≅ 𝟎. 𝟗𝟗𝟕𝟒 → 𝟗𝟗. 𝟕𝟒%

l) A la izquierda de Z = -0.2 𝒛 = −𝟎. 𝟐 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 = 𝟎. 𝟒𝟐𝟎𝟕 → 𝟒𝟐. 𝟎𝟕%

m) A la derecha de Z = -0.2 𝒛 = −𝟎. 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 → 𝟓𝟕. 𝟗𝟑%

n) Entre Z = -0.2 y Z = 0.0

𝒛 = −𝟎. 𝟐 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑

≅ 𝟎. 𝟒𝟐𝟎𝟕 → 𝟒𝟐. 𝟎𝟕%

˄

𝒛 = 𝟎. 𝟎 ≅ 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 → 𝟓𝟎%

Entonces: 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟒𝟐𝟎𝟕 = 𝟎. 𝟎𝟕𝟗𝟑 ≅ 𝟕. 𝟗𝟑%

o) Entre Z = -0.2 y Z = 0.4 𝒛 = −𝟎. 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 → 𝟓𝟕. 𝟗𝟑%

𝒛 = 𝟎. 𝟒 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟓𝟓𝟒 ≅ 𝟎. 𝟑𝟒𝟒𝟔 → 𝟑𝟒. 𝟒𝟔%

Entonces: 𝟎. 𝟓𝟕𝟗𝟑 − 𝟎. 𝟑𝟒𝟒𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟕 → 𝟐𝟑. 𝟒𝟕%

2. Encuentre las siguientes probabilidades además de sombrear el área respectiva.

a) Pr (Z < 1.23 ) 𝑷𝒓( 𝒛 < 𝟏. 𝟐𝟑 ) = 𝟎. 𝟖𝟗𝟎𝟕 ≅ 𝟖𝟗. 𝟎𝟕%

b) Pr (Z > 1.23 ) 𝑷𝒓( 𝒛 > 𝟏. 𝟐𝟑 ) = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟗𝟎𝟕 → 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟑 ≅ 𝟏𝟎. 𝟗𝟑%

c) Pr (1 < Z < 1.5 ) 𝑷𝒓( 𝒛 > 𝟏 ) = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑 𝑷𝒓( 𝒛 > 𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕 ≅ 𝟏𝟓. 𝟖𝟕%

𝑷𝒓( 𝒛 < 𝟏. 𝟓 ) = 𝟏 − 𝟎. 𝟗𝟑𝟗𝟐 𝑷𝒓( 𝒛 < 𝟏. 𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟎𝟖 ≅ 𝟔. 𝟎𝟖%

Entonces: 𝑷𝒓( 𝟏 < 𝒁 < 𝟏. 𝟓 ) = 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕 − 𝟎. 𝟎𝟔𝟎𝟖 𝑷𝒓( 𝟏 < 𝒁 < 𝟏. 𝟓 ) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟕𝟗 ≅ 𝟗. 𝟕𝟗%

d) Pr (-1 < Z < 2 ) 𝒛 > −𝟏 ≅ 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑 → 𝟖𝟒. 𝟏𝟑%

˄

𝒛 < 𝟐 ≅ 𝟏 − 𝟎. 𝟗𝟕𝟕𝟐 𝒛 < 𝟐 ≅ 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 → 𝟐. 𝟐𝟖%

Entonces: 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 ≅ 𝟎. 𝟖𝟏𝟖𝟓

→ 𝟖𝟏. 𝟖𝟓%

3. En una población con media 25 y desviación estándar 2, encuentre los valores de Z que corresponden a los siguientes valores de esa población: a) 23.0 𝒛= 𝒛=

𝒙−𝒖 ɵ

𝟐𝟑. 𝟎 − 𝟐𝟓 𝟐

𝒛 = −𝟏

≅

𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑 → 𝟖𝟒. 𝟏𝟑%

b) 23.5

𝒛= 𝒛=

𝒙−𝒖 ɵ

𝟐𝟑. 𝟓 − 𝟐𝟓 𝟐

𝒛 = −𝟎. 𝟕𝟓

≅ 𝟎. 𝟕𝟕𝟑𝟒 → 𝟕𝟕. 𝟑𝟒%

c) 24.0 𝒛= 𝒛=

𝒙−𝒖 ɵ

𝟐𝟒. 𝟎 − 𝟐𝟓 𝟐

𝒛 = −𝟎. 𝟓

≅ 𝟎. 𝟔𝟗𝟏𝟓 → 𝟔𝟗. 𝟏𝟓%

d) 25.2 𝒛= 𝒛=

𝒙−𝒖 ɵ

𝟐𝟓. 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐

𝒛 = 𝟎. 𝟏

≅

𝟎. 𝟓𝟑𝟗𝟖 → 𝟓𝟑. 𝟗𝟖%

e) 25.5 𝒛= 𝒛=

𝒙−𝒖 ɵ

𝟐𝟓. 𝟓 − 𝟐𝟓 𝟐

𝒛 = 𝟎. 𝟐𝟓

≅ 𝟎. 𝟓𝟗𝟖𝟕 → 𝟓𝟗. 𝟖𝟕%

4. En una Población Normal se tiene una media de 40 y desviación típica 3. Encuentre los valores correspondientes a los siguientes valores de Z: a) 0.10 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (𝟎. 𝟏𝟎)(𝟑) 𝒙 = 𝟒𝟎. 𝟑

b) 2.00 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (𝟐. 𝟎𝟎)(𝟑) 𝒙 = 𝟒𝟔. 𝟎𝟎

c) 0.75 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (𝟎. 𝟕𝟓)(𝟑) 𝒙 = 𝟒𝟐. 𝟐𝟓

d) -2.53 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (−𝟐. 𝟓𝟑)(𝟑) 𝒙 = 𝟑𝟐. 𝟒𝟏

e) -3.00 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (−𝟑. 𝟎𝟎)(𝟑) 𝒙 = 𝟑𝟏

f) -3.20 𝒙 = 𝒙 + 𝒛ɵ 𝒙 = 𝟒𝟎 + (−𝟑. 𝟐𝟎)(𝟑) 𝒙 = 𝟑𝟎. 𝟓

5. Encuentre los valores de Z correspondientes a las siguientes probabilidades: a) 0.0505 a la izquierda de Z. 𝒛 < 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟓 → 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟓 → 𝟎. 𝟗𝟒𝟗𝟓 ≅ 𝟗𝟒. 𝟗𝟓% → 𝒛 = 𝟏. 𝟔𝟒 b) 0.0228 a la izquierda de Z. 𝒛 < 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 → 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 → 𝟎. 𝟗𝟕𝟕𝟐 ≅ 𝟗𝟕. 𝟕𝟐%

𝒛 = 𝟐. 𝟎𝟎

c) 0.0228 a la derecha de Z. 𝒛 > 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 → 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 → 𝟎. 𝟗𝟕𝟕𝟐 ≅ 𝟗𝟕. 𝟕𝟐% → 𝒛 = 𝟐. 𝟎𝟎

d) 0.4772 entre Z = 0 y Z. 𝒛 > 𝟎. 𝟒𝟕𝟕𝟐 → 𝟎. 𝟓 + 𝟎. 𝟒𝟕𝟕𝟐 → 𝟎. 𝟗𝟕𝟕𝟐 ≅ 𝟗𝟕. 𝟕𝟐%

→ 𝒛 = 𝟐. 𝟎𝟎

e) 0.0240 entre Z y -Z. 𝒛 > 𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟎 → 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟎 → 𝟎. 𝟗𝟕𝟔𝟎 ≅ 𝟗𝟕. 𝟔𝟎%

f) 0.97602 debajo de –Z o encima de Z. 6. Indique: a) La media. b) La desviación estándar de un examen en el que las calificaciones 70 y 88 corresponden a medidas estándar de -0.6 y 1.4, respectivamente.

𝒙 = 𝒙 + 𝒛𝒔

* ( 𝟕𝟎 = 𝒙 − 𝟎. 𝟔𝒔)(−𝟏)

(+)

* 𝟖𝟖 = 𝒙 + 𝟏. 𝟒𝒔 𝟏𝟖 = 𝟐𝒔

𝒔=𝟗

* 𝟕𝟎 = 𝒙 − 𝟎. 𝟔(𝟗)

𝒙 = 𝟕𝟓. 𝟒