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TALLER – PRÁCTICA 4 FUNDAMENTOS DE CÁLCULO - FC 2017 – 02 1. En el distrito de Mala un agricultor tiene dos cosechas, de manzanas y duraznos. Cada una de estas es enviada a tres mercados para su venta. Estos mercados son el de Caquetá, el de Santa Anita y el San Luis. El número de jabas de manzanas enviadas a los tres mercados son 125, 100 y 75 respectivamente. El número de jabas de durazno enviadas a los tres mercados son 100, 175 y 125 respectivamente. La ganancia por jaba de manzana es de 10 soles y por jaba de durazno es de 15 soles. a) Modele una matriz 𝐴 que represente el número de jabas de cada cosecha 𝑖 que son enviadas a cada mercado 𝑗. b) Modele una matriz 𝐵 que represente la ganancia 𝑖 por jaba de cada tipo de cosecha 𝑗. c) Modele una matriz 𝐶 que represente la ganancia 𝑖 por cada mercado 𝑗, que se obtiene luego de vender las dos cosechas. 2. Un fabricante de muebles produce 3 modelos de muebles, que llevan tiradores de metal y chapas, además recibe pedidos en el mes de abril y mayo, especificadas por las siguientes tablas: A

B

C

N° tiradores

3

1

2

N° chapas

8

6

4

A

B

C

Abril

25

32

27

Mayo

15

24

17

Calcule el número de tiradores y chapas que deberá disponer el fabricante cada mes para poder atender los pedidos.

 0   a  A  a 3. Dada la matriz donde ij  i j  ij  33  1

i j i j

y B  bij 



 33

donde bij  i  j . Calcule

X a partir de la ecuación matricial  A  B   X T  A  B T

4. Calcule |2𝑋 − 3𝑌| si se verifican las siguientes relaciones: 𝑋 − 2𝑌 { 2𝑋 + 3𝑌

𝑖 2 +𝑗 2

5. Dada la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]4×4 , donde 𝑎𝑖𝑗 = { −𝑎𝑖𝑗 𝑗2 − 3

6 −3 = ( ) 7 4 12 8 = ( ) −7 8

; 𝑖>𝑗 ; 𝑖 = 𝑗, calcule Det(𝐴). ; 𝑖𝑗

2

6. Dada la matriz 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]4×4 , donde 𝑏𝑖𝑗 = { √𝑖𝑗 + 𝑗 ; 𝑖 = 𝑗, calcule Det(𝐵). max{𝑖; 𝑗} ; 𝑖 < 𝑗 7. Sea 𝐴𝑛 una matriz cuadrada no singular, justifique que: 1 a) |𝐴−1 | = |𝐴| b) |𝐴𝑑𝑗(𝐴)| = |𝐴|𝑛−1 8. Sea 𝑀 una matriz cuadrada de orden 4 y no singular, si |𝑀| = 5, calcule el determinante en cada caso: a) 5𝑀−1 1 b) 5 𝐴𝑑𝑗(𝑀) c) 𝑀. 𝐴𝑑𝑗(𝑀) 9. Calcule el determinante de 𝐴, si: 2 1 𝐴= 0 1 [1

1 0 1 0 0

0 −2 0 −2 0

0 0 2 2 0

3 1 3 1 3]

10. Dada la matriz 𝐶, definida como: 𝒙𝟐 − 𝟒 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟑 𝑪 = [𝟗 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟗 𝟎 ] −𝟒𝟎 𝟒𝟎 𝒙+𝟓 a) Halle el conjunto de valores reales que puede tomar 𝑥 para que la matriz 𝐶 tenga inversa. b) Si definimos una función real de variable real 𝑓 cuya regla de correspondencia es 𝑓(𝑥) = |𝐶|, realice un bosquejo de la gráfica de 𝑓. 2𝑥 + 1 2𝑥 2𝑥 11. Sea |𝐷| = (𝑥 − 1)5 | 2𝑥 2𝑥 + 1 2𝑥 | , 𝑥 ∈ ℝ 2𝑥 2𝑥 2𝑥 + 1 Si definimos la función 𝑓(𝑥) = |𝐷| realice un bosquejo de la gráfica de 𝑓. 𝑥 5 12. Sea 𝐴 = [ ], donde 𝑥 ∈ ℝ. 0 𝑥−1 a) Grafique la función 𝑓 definida como: 𝑓(𝑥) = |𝐴| b) Determine los valores de 𝑥 para que exista 𝐴−1 1 1 2 13. Sea 𝐶 = [2 1 4 ]. Si |𝐶| ≠ 0 determine 𝐶 −1 empleando el método de Gauss – Jordan. 3 5 −1 2𝑥 + 1 2𝑥 2𝑥 14. Sea 𝐸 = ( 2𝑥 2𝑥 + 1 2𝑥 ) 2𝑥 2𝑥 2𝑥 + 1 a) Determine los valores reales de 𝑥 para que exista 𝐸 −1 . b) Para los valores obtenidos en a), determine la matriz inversa de 𝐸 usando el método de Gauss – Jordan.