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1. Después que la televisión se introdujo en cierto país, la proporción de jefes de familia que poseían televisor t años después se encontró que estaba dado por la formula: T = 1 - e-0,1t Encuentre el crecimiento T entre t=3 y t=6 Solución: Se evalúa con los tiempos indicados, en este caso, iniciaré con t = 2,1 T (t)= 1 - e-0,1t T (2,1)= 1 - e-0,1x2,1 = 1-0,81 = 0,19 = 19/100 T (3)= 1 - e-0,1x3 = 1-0,74= 0,25 = 25/100 T (4)= 1 - e-0,1x4 = 1-0,67 = 0,0,32 = 32/100 T (5)= 1 - e-0,1x5 = 1-0,60 = 0,39 = 39/100 T (6)= 1 - e-0,1x6 = 1-0,54 = 0,45 = 45/100

3. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos hembras está relacionado con la edad t (t en años) mediante: W (t) = 2600(1 - 0,5e-0,075t)3 a) ¿Cuánto pesa un elefante recién nacido? b) ¿Suponiendo que la hembra adulta pesa 1800 kg estime su edad? Solución: a) Como el elefante está recién nacido, se toma edad (t) cero (0) W (t) = 2600(1 - 0,5e-0,075t)3 = 2600.(1-0,5e-0,075x0)3 = 2600(1-0,5)3 = 325 kg b) Despejando t de la ec.

W (t) = 2600(1 - 0,5e-0,075t)3 →1800= 26001 – 0,5e-0,075t3 → 18002600=1 – 0,5e-0,075t3→log0,69= log1 – 0,5e-0,075t3 -0,15=3log1 – 0,5e-0,075t→ -0,153=log1 – 0,5e-0,075t -0,053=log1 – 0,5e-0,075t→10-0,0530=10log1 – 0,5e-0,075t 0,88=1 – 0,5e-0,075t→0,88-1=-0,5e-0,075t -0,11=-0,5e-0,075t→-0,11-0,5=e-0,075t→ln0,23=lne-0,075t

-1,46= -0,075t→-1,46-0,075=t

t= 20 años 5. En un laboratorio de Biotecnología se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador durante 4 horas. La población de bacterias crece rápidamente con el paso del tiempo. La función que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo t transcurrido en horas es: C (t) = 0,025. et2 Determine en cuanto se incrementa la población desde t=1 hasta t=3 horas. Solución: Se toman como tiempo, los intervalos (t)=1-2-3 C (1) = 0,025. e12=0,025x2,71=0,068 bacterias C (2) = 0,025. e22=0,025x54,59=1,36 bacterias C (3) = 0,025. e32=0,025x8103,08=202,57 bacterias 7. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por A (t) = 10x0,8t. a) Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial. b) ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora? Solución: a) Se toma como tiempo (t) 8 horas A (t) = 10x0,8t. A (8) = 10x0,88 = 10x0,168= 1,68 mg b) Se toma como 100% los 10 mg del medicamento y 2 mg aproximadamente que se eliminan por cada hora, aplicando regla de 3:

10mg 2mg

100 % x

x=2mg.100%10mg=20 %

9. El numero de bacterias de cierto cultivo incremento de 600 a 1800 entre las 7 y las 9 am. Suponiendo que el crecimiento es exponencial y t representa las

horas después de las 7 am. El número f (t) de bacterias esta dado por la formula f (t) = 600. 3t2 a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8; a las 10; y a las 11 am. b) Trace la gráfica de f desde t=0 hasta t=4. Solución: a) El tiempo de inicio es a las 7 am, por lo tanto, hay una diferencia de horas entre las 8-10-11 am respectivamente, es decir, los tiempos que tomaremos serán: t= 1 h, 3 h, 4 h f (t) = 600. 3t2 f (1) = 600. 312=600x1,73=1039 baterias f (3) = 600. 332=600x5,19=3118 baterias f (4) = 600. 342=600x9=5400 baterias b)

BATERIA S TIEMPO 600 0 1039 1 3118 3 5400 4

17. La longitud (en centímetros) de muchos peces comerciales de t años de edad se puede aproximar bien mediante la función de crecimiento de Von Bertalandffy; F (t) = a (1-be-kt), en la que a, b y k son constantes. a) Para el hipogloso del pacífico, a=200, b=0.956 y k=0.18. Calcule la longitud de un hipogloso típico de 10 años. b) ¿Cómo se interpreta la constante ((a)) en la fórmula? Solución: a) Se sustituyen en la ec. Cada una de las constantes y se toma como tiempo (t) los 10 años. F (t) = a (1-be-kt)

F (10) = 200 (1-0,956e-0,18x10)= 200(1-0,158)= 168 cm b) La constante se interpreta como la longitud estándar de muchos

peces comerciales. 19. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad ∝, en decibeles, que corresponde a intensidad de sonido I es: ∝= 10log ( IIo) donde I0 es un valor especial de I que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre ∝en los casos siguientes: a) I es 10 veces más grande que I0. b) I es 1 000 veces más grande que I0. c) I es 10 000 veces más grande que I0. (Este es el nivel de intensidad promedio de la voz). d) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente, debe ser I más grande para que I alcance este nivel? Solución: I será igual a la unidad(1) a) ∝= 10log ( IIo) = 10log ( 110)= 10log 0,1= 10 decibeles b) ∝= 10log ( IIo) = 10log ( 11000)= 10log 0,001= 30 decibeles c) ∝= 10log ( IIo) = 10log ( 110000)= 10log 0,0001= 40 decibeles d) Despejamos I de la ec. ∝= 10log (I) con ∝=141

. ∝= 10log (I)→141=10logI → 14110=logI →14,1= logI 1014,1=10logI→I= 1014,1 veces mas grande

21. Aproxime la concentración de iones hidrógenos [H+] en cada una de las siguientes sustancias: a) Manzana: pH=3.0 b) Cerveza: pH=4.2 c) Leche: pH=6.6 Solución: Debido a que las concentraciones del Ion de hidrógeno varían en un rango muy amplio, se usan logaritmos para crear una escala de pH comprimida, que se define como sigue: pH = – log [H+], donde [H+] es la concentración del ion de hidrógeno, en moles por litro. Por lo tanto, despejamos [H+] de la ec.

pH = – log [H+] -pH=log[H+] → 10-pH= 10log[H+] →H+= 10-pH H+= 10-3 H+= 10-4,2 H+= 10-6,6