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• Michael González Vásquez

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Facultad de Ciencias Sociales y Económicas Taller de Teoría de Juegos No. 2 Profesora: María del Pilar Castillo V. Monitor: Brayan Castro.

1. Defina la noción de estrategia siendo estrictamente dominada en un juego en forma normal o extensa. Explique en palabras por qué una estrategia estrictamente dominada nunca puede ser usada por un jugador en un equilibrio de Nash. 2. Describa la eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas y explique por qué una estrategia eliminada de esta manera no puede ser usada por un jugador en un equilibrio de Nash. 3. Explique por qué podemos determinar si o no una estrategia s’i domina a la estrategia s’i basados solamente en los pagos del jugador i. 4. Sea el siguiente juego: Jugador 2 X Y Z A 6,6 8,20 0,8 Jugador 1 B 10,0 5,5 2,8 C 8.0 20,0 4,4 Aplicando el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, ¿cuál es el único equilibrio de Nash del juego? ¿Cuáles son las ganancias obtenidas por cada jugador en dicho equilibrio? Razone por qué no tienen incentivo los jugadores a modificar su estrategia cuando alcanzan el equilibrio de Nash. 5. Considérense los siguientes juegos en forma estratégica: Jugador 2 I C D Jugador 1 A 7,6 4,8 3,4 M 4,1 3,6 4,2 B 5,4 6,5 3,1

Jugador 1

A M B

Jugador 2 I 4,3 2,2 5,1

C 2,8 3,3 4,3

D 4,4 2,2 3,4

a. Determine para cada jugador qué estrategias se encuentran dominadas, no dominadas o son dominantes de un modo estricto. Se puede establecer el mismo método, pero de forma débil. Resuelva cada uno de los juegos aplicando el procedimiento de eliminación iterativo estricto y débil. b. Determine los equilibrios de Nash en estrategias puras.

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6. Sea el siguiente juego con 3 jugadores, 1, 2 y 3: Jugador 2 Jug 1

L 3,4,4 8,1,4

U D W

R 1,3,3 2,0,6

Jug 1

U D E

L 4,0,5 5,1,3

R 0,1,6 1,2,5

Jugador 3 a) Identificar todas las estrategias estrictamente dominadas b) Realizar la eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas c) ¿Cuál o cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras? 7. Considere el siguiente juego en forma estratégica

Jugador 1

Jugador 2 I 3,3 2,4 1,5

A M B

C 2,6 2,4 2,3

D 3,1 0,4 5,0

a. Resuelva el juego aplicando el procedimiento de eliminación iterativo débil. b. Determine los equilibrios de Nash en puras ¿Cuál es la relación entre ambos equilibrios? 8. Considere el siguiente juego en forma estratégica:

A B

Jugador 2 I f, 5 1, -1

D f + 2, g 2, 0

A B

Jugador 2 I f, 5 2, -1

D f + 1, g+1 3, 0

Jugador 1

Jugador 1

a. Determine qué condiciones han de cumplir los parámetros f y g para que: 1) el perfil (A,I) sobreviva a la eliminación iterativa estricta, 2) el perfil (B,D) sea un Equilibrio de Nash. 9. Muestre que sí un juego tiene una solución por eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas, entonces esta solución es el único equilibrio de Nash. 10. Tomado de Tadelis (2013). In the following normal-form game, which strategy profiles survive iterated elimination of strictly dominated strategies?

Player 1

U

Player 2 L 6,8

C 2.6

R 8,2

2

M D

Player 1

8,2 8,10 Player 2 L 6,3 8,2 8,1

U M D

4,4 4,6

9,5 6,7

C 2.6 4,5 4,6

R 1,2 3,5 6,7

11. Tomado de Tadelis (2013). Two roommates each need to choose to clean their apartment, and each can choose an amount of time ti 0 to clean. If their choices are ti and tj, then player i’s payoff is given (10- tj) ti- t2i. (This payoff function implies that the more one roommate cleans, the less valuable is cleaning for the other roommate). a. What is the best response of each player i? b. Which choices survive one round of IESDS (Iterated elimination of strictly dominated strategies) 12. Considere el siguiente juego donde los equilibrios son asimétricos Empresa 2 Empresa 1

Entrar Quedarse afuera

Entrar (-60,-60) (0,90)

Quedarse afuera (150,0) (0,0)

a. Plantee el conjunto de jugadores, el conjunto de estrategias del juego. b. Plantee los equilibrios en estrategias puras. 13. Considere el siguiente juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos 2 1

A 0,0 1,0

X Y

B 0,-1 -1,3

a. Calcule todos los equilibrios de Nash en estrategias puras. 14. Considere el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos: 2 1

A B C

R 3,0 4,4 1,3

S 2,2 0,3 1,0

B 1,1 2,2 0,2

a. ¿Qué estrategias del juego sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas (en forma débil y estricta)? Calcúlense los equilibrios de Nash.

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15. Considere el juego bilateral resumido por la siguiente tabla de pagos: 2 1

A B C

R 3,0 4,4 1,3

S 2,2 0,3 1,0

B 1,1 2,2 0,2

b. ¿Qué estrategias del juego sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas? Calcúlense los equilibrios de Nash. 16. Una estrategia débilmente dominada para un jugador puede ser una estrategia que forme parte de un equilibrio de Nash. Si la afirmación es cierta trate de razonarlo y si es falsa busque un contraejemplo. 17. Definimos óptimo social como aquella combinación de estrategias tal que la suma de las utilidades para ambos jugadores es mayor o igual que la suma de las utilidades de cualquier otra combinación de estrategias. Se puede garantizar que todo óptimo social es Equilibrio de Nash. Si la afirmación es cierta trate de razonarlo y si es falsa busque un contraejemplo.

18. El siguiente juego tiene sólo dos estrategias (una para cada jugador) que sobreviven la eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas, ¿cuáles son? Razone su respuesta y mencione, al eliminar cada estrategia, qué hipótesis hay que hacer sobre la racionalidad de los jugadores (o sobre lo que saben los jugadores) para poder eliminarla. 19. 20. Supongamos que un adversario no está siguiendo nuestra estrategia de equilibrio de Nash. ¿Debemos seguir la estrategia de equilibrio de Nash en estrategias puras? 21. Considere el siguiente juego, jugador 1 y 2, y la Naturaleza. La naturaleza tira una moneda y asigna H con probabilidad p=0.8 y T con probabilidad p=0.2. El jugador 1 ve el resultado, pero el jugador 2 no. El jugador 1 anuncia al 2 que la moneda salió H o T. Entonces el jugador 2 anuncia t o h. Los pagos son siguientes: jugador 1 recibe $1 por decir la verdad, y $2 por inducir al jugador 2 a elegir h. El jugador 2 recibe $1 por adivinar correctamente y cero en otro caso.

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a. Dibuje un árbol para el problema y describa el conjunto de estrategias para los dos jugadores. b. ¿Cuál es la forma normal del juego? c. Use el método de eliminación iterada de estrategias dominadas para reducir el número de estrategias viables. d. Encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias puras. 22. Tres personas independientemente eligen un entero entre 0 y 9. Si las tres elecciones son las mismas, cada persona recibe el monto elegido. De lo contrario, cada uno pierde lo que eligió. a. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras? b. ¿Cómo cree que la gente jugará este juego? c. ¿Cómo cree que luciría este juego si usted permite comunicación entre los jugadores antes de hacer sus elecciones? 23. Realice los ejercicios página 59 (4.1,4.2 ,4.3) del libro de Dutta. 24. Realice los ejercicios página 73 (5.7,5.8,5.9) del libro de Dutta. 25. Considere la matriz del juego adjunto ( Varian)

Jugador A

Arriba Abajo

Jugador B Izquierda a, b e, f

Derecha c, d g, h

a. Si (Arriba, izquierda) es un equilibrio de la estrategia dominante, ¿qué desigualdades deben cumplirse entre (a,.....h)? b. Si (Arriba, izquierda) es un Equilibrio de Nash, ¿cuál de las desigualdades anteriores debe satisfacerse? c. Si (Arriba, izquierda) es un equilibrio de la estrategia dominante, ¿debe ser un equilibrio de Nash? 26. En el modelo de Cournot, la curva de demanda está dada por: Q = 130 - P y n = 2. El costo de producción para la empresa 1 de c = 10 y para la empresa 2 es c=12. a. Resuelva el modelo de Cournot, es decir, encuentre los equilibrios de Nash. b. Analice el caso en el que cada empresa tiene tres estrategias: producir y vender 30, 40 y 60 unidades. Represente la forma estratégica (construya la matriz de pagos) y señale los equilibrios de Nash en estrategias puras en esa matriz. c. Compare los resultados de a y b. 27. Suponga que dos firmas eligen precios en vez de cantidades, y los consumidores compran a la firma que tiene el precio más bajo. Si las firmas eligen un mismo precio, ellas se dividen el mercado. ¿Cuál es el único equilibrio de Nash de este juego? Este es llamado el modelo de duopolio de Bertrand y su resultado es llamado la “paradoja”. ¿En qué sentido piensa que es una descripción acertada de esta solución?

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28. El país A y el país I están en guerra. Los dos países están separados por una serie de ríos, ilustrados en la figura. El país I envía una flota naval con suficientes refuerzos para alcanzar a A. La flota deberá parar en la noche en las intersecciones (por ejemplo, si la flota toma la trayectoria IhebA, ella deberá parar en la primera noche en h, la segunda en e, y la tercera en b). Sin interrupciones, en el cuarto día, la flota alcanzará al país A y lo destruirá. El país A puede enviar una flota para prevenirlo. La flota del país A tiene suficientes refuerzos para visitar tres intersecciones contiguas, iniciando de A (ejemplo Abcf). Si A agarra la flota del país I (es decir, si ambos países paran la misma noche en la misma intersección) la destruye y gana la guerra. Liste las estrategias de los dos países, y construya una matriz de pagos para estas estrategias, asumiendo que el ganador obtiene 1 y el perdedor -1. Elimine las estrategias dominadas y encuentre el conjunto de estrategias no dominadas para los dos países y el equilibrio de Nash en puras. A

b

c

d

e

f

g

h

I

29. Construya las matrices o su representación en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash en puras.

30. Suponga que Ana y Beto poseen U$100 cada uno. Cada uno de ellos tiene que decidir cómo apoyar con recursos propios la puesta de una cámara de seguridad en su casa para prevenir la entrada de ladrones a su vivienda. Cada unidad de los 100 dólares que sea destinado al proyecto conjunto generará un rendimiento de 1

𝛽 2 . Un dólar que vaya a la cuenta privada genera un rendimiento de 1 dólar al jugador. Todo el dinero que los jugadores inviertan en el proyecto les genera un rendimiento de 𝛽  (0.25,1). Por tanto, el pago del jugador i es

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𝜋𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) = (100 − 𝑥𝑖 ) + 𝛽 2 (𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 ) , 𝑖 ≠ 𝑗 con xi  [0,100] denota la contribución del jugador i al proyecto conjunto a. Formule el problema en forma estratégica y encuentre los equilibrios de Nash en puras. b. Considere la existencia de una sociedad o de un dictador benevolente que resuelve el problema para los dos individuos. c. Compare los resultados del punto (a) y (b), en términos de las contribuciones y los pagos. 31. Dos firmas producen un bien homogéneo y compiten por cantidades. La curva de 1 demanda que enfrentan está dada por: 𝑄 = 2 (1000 − 𝑃). El costo marginal de producción para ambas firmas es de c=60. d. Encuentre el equilibrio de Nash para dos firmas. e. Analice el caso cuando hay n firmas y cuando hay un monopolista. Compara este resultado con los del equilibrio de Nash. En términos de las cantidades, precios e ingresos de equilibrio.

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