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Departamento de Matemáticas

Sistemas y EDO – FMM 312

SYLLABUS DE ASIGNATURA Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales – FMM 312 Antonio Varas – Segundo semestre 2017 1. Contacto Para cualquier duda del curso debe contactar directamente al profesor, como primera instancia durante las horas de clase y alternativamente por medio del correo electrónico. Al contactar por correo, por favor incluir el código de curso (FMM 212) y el NRC en el que estás inscrito.      

Nombre profesor: Correo: Nombre ayudante: Correo: Coordinador: Correo:

Sebastián Castillo [email protected] Vladimir Cerda [email protected] Francois Moraga [email protected]

2. Descripción del Curso Las ecuaciones diferenciales surgen en diversas áreas del conocimiento, que incluyen no sólo las ciencias físicas, sino también campos diversos tales como la economía, medicina, psicología e investigación de operaciones. En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función desconocida, que puede resultar importante hallar. Por ésta razón, se hace necesario estudiar la teoría y los métodos básicos de las ecuaciones diferenciales. En este curso sólo se consideran las ordinarias. 3. Prerrequisitos y Co-requisitos  

Cálculo Integral FMM212 Cálculo Integral y Probabilidades FMM214

4. Aprendizajes Esperados

4.1. Objetivos de aprendizaje Los objetivos de este curso pueden dividirse en dos categorías: generales y específicos. Los objetivos generales son de una naturaleza transversal y hacen referencia al cultivo de habilidades de orden cognitivo y actitudinal. Los objetivos específicos están directamente relacionados con los contenidos del curso. 4.2. Objetivos generales    

Estudiar la teoría, las técnicas de solución y las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Involucrar a los estudiantes en experiencias continuas de planteamiento y resolución de problemas, incluyendo aspectos de los tres enfoques: cualitativo, numérico y analítico. Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula. Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual.

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Posibilitar que el estudiante use eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas. Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas matemáticas. Desarrollar en los alumnos habilidades tanto para la comprensión de la demostración de teoremas como para la obtención de conclusiones sólidas a partid de hipótesis dadas y su capacidad para idear demostraciones.

4.3. Objetivos específicos          

Identificar y resolver con técnicas analíticas los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicar la técnica de línea de fase para ecuaciones diferenciales de primer orden autónomas e inferir características globales de las soluciones de estas ecuaciones. Utilizar un programa de computadora o calculadora para obtener el campo de direcciones para una ecuación, aproximar soluciones en él y establecer características de dichas soluciones. Aplicar el método de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, identificar y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes constantes. Modelar y resolver problemas de aplicación clásicos en los que aparecen ecuaciones diferenciales de primer orden. Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden dos y superior, con coeficientes constantes. Identificar ecuaciones diferenciales de orden dos que pueden ser reducidas a orden uno y resolverlas. Identificar y resolver ecuaciones de Cauchy-Euler. Modelar y resolver problemas de aplicación clásicos que involucren ecuaciones diferenciales lineales de orden dos. Calcular transformadas directas e inversas de Laplace, aplicando los diferentes teoremas y definiciones de esta teoría.

5. Resumen de contenidos En este curso se estudian: ecuaciones diferenciales de primer orden, modelos matemáticos que involucran ecuaciones de primer orden, ecuaciones diferenciales de orden superior, modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales lineales de segunda orden, transformada de Laplace. NOTA: la lista anterior corresponde a los contenidos generales del curso y constituye solamente una referencia. Una descripción detallada de los contenidos organizados por clase se encuentra disponible en el documento anexo Clase a clase, el cual encontrara en el aula virtual del curso. 6. Contenido detallado Unidad I – Espacios vectoriales y Transformaciones lineales. Espacios vectoriales, conjuntos, vectores y subespacios. Generador, independencia lineal y bases. Transformaciones lineales, propiedades y relación con conceptos previos. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Valores y vectores propios, casos matrices 2x2 y 3x3.

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Objetivos: 1. Utilizar las técnicas propias del Álgebra Lineal para manipular matrices, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales, valores y vectores propios, y resolver problemas básicos que involucren estos conceptos. 2. Identificar la estructura de espacio vectorial en diferentes contextos y sus propiedades comunes o específicas. 3. Identificar transformaciones lineales típicas, a partir de su definición vectorial o de su representación matricial, y utilizar esta última representación para resolver problemas que las involucran Unidad II – Introducción a las ecuaciones diferenciales Soluciones y problemas de valor inicial. Campos de direcciones y método de isóclinas. El método de aproximación de Euler. Objetivos: 1. Analizar las posibles soluciones de una ecuación diferencial por medio de los campos de direcciones. 2. Estudiar la relación entre el problema de valor inicial y la ecuación integral asociada. Conocer la teoría de existencia de soluciones del problema de valor inicial solo con la hipótesis de continuidad. 3. Resolver utilizando el método de Euler una ecuación diferencial de primer orden y utilizarlo para probar la existencia de soluciones. 4. Desarrollar el concepto de solución respecto de las condiciones iniciales y parámetros. Estudiar continuidad, monotonía y gráfica. Unidad III – Ecuaciones diferenciales de primer orden Variables separables. Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas. Ecuación diferencial lineal de primer orden. Ecuación exacta y factor integrante, casos elementales. Objetivos: 1. Calcular la definición de solución de una ecuación diferencial escalar ordinaria de primer orden y su interpretación geométrica. 2. Desarrollar las técnicas de integración elemental para ecuaciones escalares autónomas, de variables separadas, lineales y exactas. Unidad IV – Modelación matemática y métodos numéricos para EDO de primer orden. Análisis por comportamientos y mecánica de Newton. Método de Euler mejorado. Objetivos: 1. Construir modelos matemáticos de problemas de naturaleza física, química, biológica y económica, en los que aparecen ecuaciones diferenciales

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2. Analizar la imposibilidad de integrar elementalmente la mayoría de las ecuaciones diferenciales y de la necesidad de usar métodos cualitativos y numéricos. Unidad V – Ecuaciones diferenciales de orden superior. Conjunto fundamental y Wronskiano. Coeficientes indeterminados y el método del anulador. Variación de parámetros. Objetivos: 1. Calcular la definición de solución de una ecuación diferencial escalar ordinaria de orden superior y su interpretación geométrica. 2. Analizar si un conjunto de funciones forma un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial. 3. Desarrollar las técnicas de resolución y aplicar técnicas conocidas como coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Unidad VI – Transformada de Laplace Definición de una transformada de Laplace. Transformadas elementales y transformadas inversas. Transformada de la derivada y aplicaciones a las EDO. Objetivos: 1. Aplicar la transformada de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales. 2. Estudiar el comportamiento de funciones discontinuas por medio de la función Heaviside. 3. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace. 7. Sistema de Evaluación del Curso

7.1. Módulos del curso. El curso cuenta con tres módulos, cada módulo representa un porcentaje importante de la asignatura. Esto se desglosa de la siguiente manera:   

Módulo 1 = 33% Módulo 2 = 33% Módulo 3 = 34%

Cada módulo está compuesto por una serie de controles realizados en ayudantía y una nota solemne. Las ponderaciones especificas son: Módulo = Solemne (80%) + Eva. Ayudantía Modulo (20%) En cada ayudantía, el estudiante deberá desarrollar una pequeña evaluación. Se contempla que cada módulo de trabajo tenga en promedio 4 ayudantías, lo cual implica que cada módulo tendrá 4 evaluaciones, de las cuales solo se considerará el 75% de las mejores notas. Es decir, el estudiante podrá faltar (en promedio) a una evaluación de ayudantía por módulo. En caso de inasistencia a estas evaluaciones será calificado con nota 1.0 y no existe alternativa o forma de recuperar dicha evaluación.

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7.2. Pruebas Solemnes. La asignatura cuenta con tres pruebas solemnes, la cuales representan el total de la nota final, se propone que estas evaluaciones sean en horario de cátedra en las siguientes fechas:    

Solemne Nº1: Solemne Nº2: Solemne Nº3: Solemne Recuperativa:

7.2. Solemne Recuperativa El Departamento de Matemáticas tiene como política el tomar solemnes recuperativas a aquellos alumnos que se ven impedidos de asistir en las fechas programadas. Las inasistencias no deben ser justificadas al Departamento y tampoco a la Escuela. Esta prueba recuperativa es única para la asignatura y es de carácter acumulativo, es decir se contemplarán todos los contenidos incluidos en las tres pruebas solemnes. 7.3. Normas para el desarrollo de solemnes y exámenes 

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Al momento de realizar una solemne o un examen, el alumno dispone de un plazo máximo de 30 minutos para ingresar a la sala una vez iniciada la evaluación. Transcurrido este tiempo el alumno no podrá rendir su prueba y será calificado con la nota mínima (1.0). Una vez iniciada la evaluación no podrán retirarse alumnos de la sala antes de 30 minutos. No está permitido la salida de alumnos durante el desarrollo de la evaluación. El docente a cargo anotará en la pizarra la hora de inicio y de finalización de cada evaluación. No está permitido utilizar celulares con el objetivo de revisar la hora. Cada alumno deberá firmar la planilla de asistencia donde deberá registrar su nombre y firma. Una vez finalizado el tiempo y recibidas todas las evaluaciones, el profesor procederá al recuento de los mismos para verificar si el número coincide con el de alumnos presentes. En caso de faltar alguna evaluación deberá detectarse, de inmediato y en el lugar, a quién corresponde el ejemplar faltante, cotejando para ello la planilla de firmas con los exámenes recibidos. Individualizado el alumno de quien falta el examen, el profesor informará de inmediato al coordinador de la asignatura, dejando constancia de esta situación.

7.4. Sanciones Las siguientes situaciones serán sancionadas durante la rendición de solemnes, controles o exámenes con la calificación mínima (1.0), no pudiendo reemplazar esta nota con la obtenida en el Examen:     

Presencia de aparatos celulares u otros tecnológicos distintos a su calculadora (siempre que esta última haya sido autorizada por el respectivo profesor) Sustitución de identidad Falsificación o adulteración de documentos relacionados con las evaluaciones Copia o consulta de apuntes o textos Intercambio de información

Independiente de esta sanción en la calificación, la universidad podrá aplicar, además, otras sanciones en relación con la gravedad y reincidencia de la falta.

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Departamento de Matemáticas 7.5. Entrega de notas y evaluaciones  

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El profesor dispone de un máximo de 15 días hábiles para la entrega de los resultados de cada evaluación. El profesor entregará estos resultados en la sala de clase durante dos sesiones sucesivas en las que el alumno podrá apelar si no se encuentra conforme con su corrección. Posterior a este proceso, no existen instancias de apelación. El profesor debe entregar al alumno el desarrollo de su solemne una vez que el alumno firme la conformidad con la nota obtenida. La hoja que contiene el nombre del alumno, la nota obtenida y la firma de conformidad debe quedar en poder del profesor.

7.6. Nota de Presentación (NP) NP (nota de presentación al Examen) se calcula del siguiente modo: NP = Mod 1*33%+Mod 2*33%+Mod 3*34% Si NP es inferior a 5,0 el alumno deberá presentarse a Examen. En caso contrario su nota final en el curso será esta nota es decir NF=NP. 7.7. Examen Fecha de Examen: Por definir Para los alumnos que rindieron el examen, la nota final del curso se calcula como: NF= NE*0,3+NP’*(0,7), Con NE la nota del examen y NP que se calcula como NP reemplazando la peor de las notas S1, S2 o S3 por NE siempre que esta sea mayor. La nota de controles no se reemplaza. 8. Actividades del Curso El curso tiene dos tipos de actividades: Cátedra y Ayudantía.

9. Bibliografía  Título Autor Editorial

Obligatoria Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, cómputo y modelado Edwards, Henry C. Pearson Educación

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Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera Nagle, R. Kent. Pearson Educación

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