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• Adrian Arauco Carhuas

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¨Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación¨

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

ALGEBRA LINEAL MB-165 STANLEY L. GROSSMAN. CAPITULO 4.4 COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO. SOLUCIONARIO DE LA PREGUNTA 16 AL 26. PROFESOR: Emilio Piero Luque Brazán SECCIÓN: A CICLO: 2014-III ALUMNO: Arauco Carhuas Luis Adrián Joseph

LIMA 2015

20142514I

CAPITULO 4.4 COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO.

16. En M23:

(10

)(

)(

)(

)(

)(

)

0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Solución:

(da

) (

) (

) (

) (

) (

) (

b c =a 1 0 0 + b 0 1 0 + c 0 0 1 + d 0 0 0 +e 0 0 0 + f 0 0 0 e f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

,

por lo tanto generan a M23.

17. Demuestre que dos polinomios de grado menor o igual a dos, no pueden generar P2. Solución: Sean los polinomios a1x2 + b1x + c1 y a2x2 + b2x + c2. Luego αx2 + βx + γ

∈ P.

Supongamos que: αx2 + βx + γ = d1 (a1x2 + b1x + c1) + d2 (a2x2 + b2x + c2) αx2 + βx + γ = d1a1x2 + d1b1x + d1c1 + d2a2x2 + d2b2x + d2c2 αx2 + βx + γ = (d1a1 + d2a2) x2 + (d1b1 + d2b2) x + (d1c1 + d2c2) Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: d1a1 + d2a2 = α d1b1 + d2b2 = β d1c1 + d2c2 = γ Se observa que el sistema de ecuaciones tiene 2 incógnitas, pero posee 3 ecuaciones. Por lo tanto el sistema es inconsistente.

18. Si p1, p2…, pm genera Pm, demuestre que m ≥ n+1. Solución: Sea pm= amxm + am-1xm-1 +… + a1x + a0, el polinomio de mayor grado igual a m. Pm tiene la forma de αmxm + αm-1xm-1 +… + α1x + α0. Si m ˂ n+1, Pm tomaría la siguiente forma αn+1xn+1 + αmxm + αm-1xm-1 +… + α1x + α0 de grado n+1.Por lo tanto el conjunto p1, p2…, pm no sería posible de generar a Pm.

19. Demuestre que si u y v están en gen {v1, v2,…, vk}, entonces u + v y αu están en gen {v1, v2,…, vk}. Solución: Sea:

u=c1 v 1 +c 2 v 2 +…+ ck v k

v =d 1 v 1+ d 2 v2 +…+ d k v k Luego,

u+ v=( c 1 +d 1 ) v 1 + ( c 2 +d 2 ) v 2 +…+ ( c k + d k ) v k

αu=( α c 1) v 1+ ( α c 2 ) v 2 +…+ ( αc k ) v k Estos están contenidos en gen {v1, v2,…, vk} 20. Demuestre que el conjunto infinito {1, x, x2, x3,…} genera P, el espacio vectorial de polinomios. Solución: Sea el polinomio

p ( x )=an xn + an−1 x n−1 +…+a 1 x +a0 ∙1

, entonces p(x) es una

combinación lineal de {1, x, x2,…, xn}. Por lo tanto {1, x, x2, x3,…} genera P.

21. Sea H un subespacio de V que contiene a v 1, v2,…, vn. Demuestre que gen {v1, v2, …, vn} C H. Es decir, gen {v1, v2,…, vn} es el subespacio más pequeño de V que contiene a v1, v2,…, vn. Solución: Por inducción. Suponiendo que v1 ∈ H, luego αv1 ∈ H para todo escalar α. Entonces gen {v1} C H. Suponiendo que v1 + v2 ∈ H, luego α1v1 + α2v2 ∈ H para todo escalar α1 y α2. Entonces gen {v1, v2} C H. Suponiendo que gen {v1, v2,…, vn} C H y vn+1

∈ H.

Sea v = α1v1 + α2v2 +… + αnvn + αn+1vn+1. Se asume por lo anterior que α1v1 +… + αnvn ∈ H y esto implica αn+1vn+1 ∈ H. Entonces v ∈ H. Por inducción es {v1, v2,…, vn} C H por lo tanto gen {v1, v2,…, vn} C H.

22. Sean v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) en R3. Demuestre que si v2 = cv1, entonces gen {v1, v2} es una recta que pasa por el origen.

Solución: Sea v2 = cv1, entonces v2 ∈ gen {v1} = gen {v1, v2}. Por lo tanto gen {v1, v2} = {(x, y, z)/ (x, y, z) = t(x1, y1, z1), t ∈ R}, toda recta pasa por el origen.

23. Del problema 22 suponga que v1 y v2 no son paralelos. Demuestre que H = gen {v1, v2} es plano que pasa por el origen. ¿Cuál es la ecuación del plano? Solución: Sea v1 × v2 ≠ 0 un vector perpendicular a v1, v2 y perpendicular al plano generado por v1 y v2. La ecuación (v1 × v2) ∙ x = 0 es la ecuación del plano que contiene a los vectores a1 v1 + a2 v2, donde x = ( x , y , z ) . Operando el producto cruz y producto punto de la ecuación del plano, obtenemos:

( y 1 z 2−x 1 y 2) x + ( z 1 x 2−x 1 z 2 ) y +( x 1 y 2−x 2 y 1 ) z=0 , plano que pasa por el origen y contiene H = gen {v1, v2}.

24. Pruebe el teorema 2. Sean v1, v2,…, vn, vn+1, n+1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v1, v2,…, vn genera a V, entonces v1, v2,…, vn, vn+1 también genera a V. Es decir, si se agrega uno o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador. Solución: Sea v ∈ V. Se tiene los escalares α1, α2,…, αn que forman v = α1 v1 + α2 v2 +… + αn vn donde gen {v1, v2,…, vn} = V. Luego si αn+1 = 0, formando un nuevo v = α1 v1 + α2 v2 +… + αn vn + αn+1vn+1. Por lo tanto v1, v2,…, vn, vn+1 genera V.

25. Demuestre que M22 se puede generar con matrices invertibles. Solución: Consideramos las siguientes matrices invertibles

(10 01) ,(10 −10 ) ,(01 10) y (−10 10)

.

(ac bd )= a2 [(10 01)+( 10 −10 )]− d2 [(10 −10 )−(10 01)] + b2 [(01 10)+(−10 10)]− 2c [(−10 10)−( 01 10)] Toda matriz M22 =

(ac bd )

se puede generar con matrices invertibles.

26. Sean {u1, u2,…, un} y {v1, v2,…, vn} dos n-vectores en un espacio vectorial V. Suponga que v 1=a11 u1 +a12 u 2+ …+a1 n un v 2=a21 u1 +a 22 u2 +…+ a2 n un ⋮⋮ ⋮ v n =an 1 u 1+ an 2 u 2+ …+ann un

Demuestre que si

|

|

a11 a 12 ⋯ a1 n a21 a 22 ⋯ a2 n ⋮

a n1

⋮ ⋱ ⋮ an 2 ⋯ a nn

≠0

Entonces gen {u1, u2,…, un} = gen {v1, v2,…, vn}.

Solución: Todo vi ∈ gen {u1, u2,…, un}, por lo que gen {v1, v2,…, vn} C gen {u1, u2,…, un}. Sea

A=( aij )

u1 u2 w= , ⋮ un

v1 v z= 2 ⋮ vn

() () ,y

A w=z

. Tenemos

y detA ≠ 0 , pero

w= A−1 z .

n

Luego

−1

A =B=( bij ) , para cada

uk , uk =∑ bik v i i=1

∈ gen {v1, v2,…, vn}.

Entonces gen {u1, u2,…, un} C gen {v1, v2,…, vn}. Por lo tanto, gen {u1, u2,…, un} = gen {v1, v2,…, vn}.