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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERIA LABORATORIO DE FÍSICA II

Sistema Masa-Resorte Z. Echeverría1, E. Berdugo1, B. Arévalo1, R. Mejia1, L. Soto1, J. Romero Atencio2 1 Estudiantes del programa de Ingeniería Mecánica, grupo l 2 docente laboratorio de Física ll Laboratorio de Física Experimental II, Universidad Del Atlántico, Barranquilla

Resumen.

1. Introducción.

En esta práctica nos centramos en determinar la constante de elasticidad de un resorte mediante el uso de un resorte, varios cuerpos de masa “m y un soporte donde se montó el sistema. A través de tomar uno o varios de estos cuerpos a la vez y ponerlos a oscilar, determinando el periodo en cada caso, y con estos datos, se calculó la constante elástica del resorte. Cuando una fuerza externa actúa sobre una material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. Esta relación se conoce como ley de Hooke.

La Estática es la parte de la física mecánica que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo, sobre el que actúan fuerzas permanezca en equilibrio. Por ello estas prácticas en los laboratorios son esenciales en nuestro proceso de aprendizaje sobre todo lo que conlleva al tema relacionado con la elasticidad de los cuerpos. A continuación, llevamos a cabo un experimento con el objetivo de hallar la constante de elasticidad del resorte y demostrar experimentalmente la ley vinculada al movimiento del resorte, teniendo en cuenta las diferentes variables que intervienen en este sistema y observar las características que hacen de este un Sistema Armónico Simple (M.A.S).

Palabras claves Masa, resorte, periodo, constante elástica, ley de Hooke,

2. Fundamentos Teóricos. Abstract In this practice we focus on determining the elasticity constant of a spring through the use of a spring, several bodies of mass "m and a support where the system is located. By taking one or several of these bodies at the same time and putting them to oscillate, determining the period in each case, and with these data, the elastic spring constant was calculated. When material causes an effort or tension inside the material that causes the deformation of it. This relationship is known as Hooke's law.

Movimiento armónico simple Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.

Keywords Mass, spring, period, elastic constant, Hooke's law

Propiedad Característica Del M.A.S Si una partícula oscila a partir de una posición de equilibrio bajo la influencia de una fuerza que siempre es proporcional a la posición de la

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partícula respecto a su posición de equilibrio, entonces decimos que tiene un movimiento armónico simple. Esta fuerza que siempre dirige a la partícula hacia su posición de equilibrio que se llama fuerza restauradora.

oscilaciones (contando después de las primeras 2 oscilaciones) para cada amplitud que se le da al resorte. Medimos la longitud, la posición que ocupa el resorte una vez que se haya colocado la masa. Se puso a mover el sistema con oscilaciones pequeñas midiendo previamente la amplitud. Se obtuvo el periodo de oscilación midiendo el tiempo que realiza 10 oscilaciones.

Ley de Hooke La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, establece la relación entre el alargamiento o estiramiento longitudinal y la fuerza aplicada. La elasticidad es la propiedad física en la que los objetos son capaces de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto. El objeto tiene la capacidad de regresar a su forma original cuando cesa la deformación. Depende del tipo de material, los materiales pueden ser elásticos o inelásticos. Los materiales inelásticos no regresan a su forma natural. Esta ley está dada por la ecuación 1. 𝐹𝑒 = −𝐾𝑋

Ec.1. Ilustracion 1: montaje de el sistema estatico

Masa-Resorte Es una masa conectada a un resorte, de manera que cuando el resorte se estira o se comprime mediante una fuerza externa y luego se suelta, la masa comienza a oscilar describiendo (en ausencia de amortiguaciones) un movimiento armónico simple. La frecuencia angular de la oscilación es igual a la raíz cuadrada de la razón entre la constante del resorte y la masa. Para este sistema cuando se hace oscilar su periodo está dado por la ecuación 2. 𝑚

𝑇 = 2𝜋√ 𝑘

Ec.2. Ilustracion 2: fotos durante la experiencia

3. Desarrollo experimental. Esta práctica consto de dos etapas la primera donde se usa un sistema estático y seguido de esto, se procede con las oscilaciones. Para esta primea práctica se utilizó un resorte en forma vertical de longitud natural, Teniendo en cuenta el punto donde llega su extremo y tomamos el tiempo para 10

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Constante del resorte

4. Cálculos y análisis De Resultados.

𝑘 = 𝐹 ⁄Δ𝑥

Datos obtenidos en la práctica. Ley de Hook oscilaciones Masa Elongación tiempo periodo (g) (cm) x10 (s) 50 12 6,92 0,692 70 17 7,8 0,78 90 23 9,48 0,948 110 28 9,99 0,999 130 32 10,7 1,07 150 37 12,06 1,206 170 42 12,96 1,296 190 47 13,46 1,346

𝑘1 =

𝐹 = 𝑚𝑔

(0,05𝑘𝑔)(9,8 𝑚⁄𝑠) = 4,1 0,12

𝐾 =

𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘4 + 𝑘5 + 𝑘6 + 𝑘7 + 𝑘8 8 Valor cada constante 4,083 4,035 3,835 3,85 3,9813 3,973 3,9666 3,962

k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8

Tabla 1: Variación de la elongación del resorte y Variación del periodo de elongación, para diferentes masas

Para los cálculos realizados a continuación necesitaremos de ciertos datos relacionados con el resorte y sus propiedades elásticas.

K promedio

3,9607375

RESORTE #Espiras

12

𝑵

𝑲~𝟑, 𝟗𝟔 𝒎

ø Espiras ø Alambre

Graficas

Longitud

48cm

Masa

0

X vs M

Tabla 2 Datos del Resorte.

Elongacion (cm)

60

Cálculos •

Periodo obtenido mediante los datos de laboratorio

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =

40

y = 0,2476x + 0,0357 R² = 0,9986

20 0 0

50

100

150

200

Masa (g)

Grafica 1: Variación de la elongación con respecto a la masa.

𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 10

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Periodo^2 vs Masa Periodo^2 sz)

2 1,5y = 0,0098x - 0,0443 R² = 0,9887 1 0,5 0 0

50

100

150

200

Masa (kg) Grafica 2: Variación del periodo cuadrado por cantidad de masa aplicada al sistema.

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𝑚 = 0,2476

Mínimos cuadrados

𝑛 ∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) − ∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖 𝑦𝑖 𝑚= 𝑛 ∑𝑛𝑖 𝑥𝑖2 − ⦋∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 ⦌2 𝑏=

(132000)(238) − (960)(32720) 8(132000) − (960)2

b=

∑𝑛𝑖 𝑥𝑖2 ∑𝑛𝑖 𝑦𝑖 − ∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑛 ∑𝑛𝑖 𝑥𝑖2 − ⦋∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 ⦌2

𝑏 =0,3571 𝑌 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑛

∑(𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + 𝑥3 𝑦3 + 𝑥4 𝑦4

Tenemos que la ecuación de la recta para la gráfica T vs M es:

𝑖

+ 𝑥5 𝑦5

𝑌 = 0,2476𝑋 + 0,3571

𝑛

∑ 𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5

Para Periodo cuadrado vs Masa

𝑖

Dato 𝑛

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

∑ 𝑦𝑖 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 𝑖

𝑛

∑ 𝑥𝑖2 = 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + 𝑥42 + 𝑥52 𝑖

Para Longitud vs Masa dato

X Masa

Y Elongación

XY

1

50

12

600

2500

2

70

17

1190

4900

3

90

23

2070

8100

4

110

28

3080

12100

5

130

32

4160

16900

6

150

37

5550

22500

7

170

42

7140

28900

8

190

47

8930

36100

960

238

32720

132000

∑

𝑚=

X Masa 50 70 90 110 130 150 170 190 960

Y periodo^2 0,478864 0,6084 0,898704 0,998001 1,1449 1,454436 1,679616 1,811716 8,595773

XY

X^2

50,478864 70,6084 90,898704 110,998001 131,1449 151,454436 171,679616 191,811716 969,074637

2500 4900 8100 12100 16900 22500 28900 36100 132000

X^2

𝑚=

(969,0746) − (960)(8,5957) (132000) − (921000) 𝑚=

b=

( )() − ()() ( ) − () 𝑏=

Tenemos que la ecuación de la recta para la gráfica T^2 vs M es:

8(32720) − (960)(238) 8(132000) − (960)2

𝑌 = 6.385152𝑋 + 0.0871

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➢ Tomar varias veces una misma medida (sea de tiempo o longitud) permite obtener valores medios que reducen el margen de error ➢ Se concluye también que la constante elástica de los resortes, toma exactamente el mismo valor independiente de las elongaciones de los resortes, pues está constante elástica depende de la naturaleza del resorte.

Con este procedimiento de linealización podemos ajustar los datos experimentales. Para la linealización de la gráfica 2 podemos obtener directamente el valor de la constante del resorte al calcular su pendiente.

Análisis de resultados El periodo de oscilación promedio con masa de 50g es de 0.6465 segundos. El sistema masaResorte pose el mismo periodo de oscilación sin importar la amplitud del resorte; sin embargo, hay un punto en el que el máximo estiramiento afecta la elasticidad del muelle y lo deforma. Es por esto que en el momento de realizar la práctica se debe tener una ampliación promedio dependiendo de la longitud inicial del resorte. Mediante los datos obtenidos en la realización de la práctica pudimos comprobar que el sistema Masa-Resorte trabaja con Movimiento Armónico Simple, también aprendimos que, para este sistema, aumentar su masa significa aumentar su elongación ya que están relacionadas directamente, de igual forma sucede con el periodo. Lo dicho anteriormente queda más explícito en las gráficas de X vs m con una ecuación de y=1.508x+0.1708 en la cual se representa el aumento de forma equivalente en ambos ejes, y en la gráfica T^2 vs m la cual nos da una ecuación de y=6.8582x siendo 6.8582 la pendiente de la recta dada y está a su vez es equivalente a la constante del muelle (k).

6. Observaciones ➢ Para esta práctica el resorte presentaba una pequeña deformación en un extremo.

Ilustración 3

➢ El soporte utilizado no se quedaba completamente estable por lo cual se debía agregar peso extra.

5. Conclusión ➢ La constante de elasticidad del resorte (K) se puede hallar a través del cociente entre el peso de las masas y la longitud correspondiente (mg/x). Con la constante de elasticidad del resorte es posible predecir la distancia que se desplazará el sistema masa resorte con determinada masa, o también, determinar la fuerza necesaria para estirar a cierta medida el resorte. ➢ La amplitud del resorte no influye en el periodo de oscilación, pero si influye la masa y el tipo de resorte.

Ilustración 4

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Conclusión: Al dividir un resorte uniforme en dos resortes idénticos (dos mitades) se duplica la constante de c/u de ellos.

7. Bibliografía ➢ E.E. Coral Guía para análisis de experimentos. Uniatlantico, versión corregida 2014

𝟏

2. ¿Por qué 𝒎𝟎 = 𝒎? Siendo m la masa del 𝟑 resorte

➢ Sears-Semansky, university physics 12th edit., pag 419

Para la realización de esta práctica y los cálculos realizados se desprecia la masa del resorte, pero la masa del resorte afecta la dinámica del sistema, esto dependiendo de la diferencia entre la masa que es colgada al sistema y su masa inicial. Es por esto que para aparecer en la expresión del periodo del mismo que lo hace la masa externa, esta se debe encontrar concentrada en su extremo inferior, pero debido a que esto no sucede, el resorte no contribuye con toda su masa. Por lo cual en la mayoría de los casos es suficiente con usar 1/3 de la masa representando así una parte de la masa que podría afectar al sistema.

➢ https://repository.ean.edu.co/handle/108 82/1281 ➢ https://docslide.net/documents/laboratori o-mas.html ➢ https://www.coursehero.com/file/p51gee e.

Anexos 1. Si un resorte uniforme se corta a la mitad, ¿qué constante de fuerza tendrá cada mitad? Justifique su respuesta.

3. Ecuación de la constante k.

Podemos decir que la constante de elasticidad del resorte completo al aplicarle una fuerza F es: k=F/x Esta fuerza F es la misma a lo largo de todo el resorte estirado, entonces cada mita también tendrá una fuerza F, podríamos llamar a la distancia como (L), por lo tanto, para cada medio resorte esta se divide en L/2, donde (L es la longitud real) y el alargamiento total x dará que cada mitad se estirará x/2, de este modo que la constante de cada mitad será:

En un resorte ideal, las espiras están separadas entre sí y la relación entre la magnitud de la fuerza F que produce un estiramiento Δl = l – l0 es constante, tanto si trabaja comprimido como estirado. Esta relación, k = F/Δl, es la constante elástica o rigidez del resorte. La rigidez de un resorte es: 𝐺𝑑4 𝑘= 8𝐷 3 𝑛 Donde k es la constante de elasticidad teórica, G la constante de elongación del acero (material del resorte), d calibre del alambre del resorte, N número de espiras del resorte, D diámetro del resorte.

𝐹 2𝐹 𝑘0 = 𝑥 𝑘0 = 𝑥 ⁄2 La constante del resorte entero, k, es igual a la "suma en serie" de las constantes de los resortes mitad, 𝑘0 ∗ 𝑘0 𝑘02 𝑘= 𝑘= 𝑘0 + 𝑘0 2𝑘0 2𝑘 = 𝑘0

2𝑘 =

Para calcular el tipo de material del resorte despejamos G y nos queda que:

2𝐹 𝑥

𝐺=

8

8𝐷 3 𝑛𝐾𝑡 𝑑4

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Reemplazamos los datos en la fórmula: La ecuación de la recta es y=6.385152𝑋 + 0.0871 Con el valor de la pendiente que se obtuvo por el método de mínimos cuadrados se procede a hallar la constante teórica (K): 𝑘=

8(0,02506 𝑚)3 (134) (6.182846 𝐺=

4𝜋 2 𝑀

4𝜋 2 6.385152

𝑠2

= 6.182846

(0,00112 𝑚)4

𝐺 =6.62∗ 1010 𝑁/𝑚2 El módulo de elasticidad aquí calculado y el encontrado en internet se concluyó que el Material es acero-carbono.

Reemplazamos en la formula y nos queda: 𝑘=

𝑘𝑔 ) 𝑠2

𝑘𝑔 𝑠2

𝑘𝑔

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