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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE Facultad de Ciencias Basicas Laboratorio de Física II I Periodo de 2017 Movimiento Armónico Simple: Sistema masa – resorte

D. Cortés1, F. J. Campo2, A. A. Díaz3 1

Ingeniería Industrial, Facultad de Ingenieria, Universidad Autonoma de Occidente, Cali Colombia Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad Autonoma de Occidente, Cali Colombia 3 Ingeniería Informática, Facultad de Ingeniería, Universidad Autonoma de Occidente, Cali Colombia 2

Profesor: Sandra Milena Ramos Física: 2 - Grupo: 53 Recibido: marzo 09 2017 Resumen La práctica de laboratorio llevada a cabo estuvo enfocada en el análisis de un sistema masa-resorte en el que se efectua el estudio de un movimiento armónico simple, donde la posición de equilibrio de un elemento (resorte) se pierde temporalmente a medida que se enganchan masas de diferente tamaño y que posteriormente se recupera por medio de una fuerza elástica, produciendo de esta manera varias oscilaciones en el sistema. En la primera etapa del laboratorio se colgaron algunas masas en el resorte que variaban en magnitud, llevando un registro tanto de su peso como del estiramiento que estas producían. Con esta información se logró obtener uno de los valores de la constante de elasticidad del resorte que resultó ser de 6,60 N/m. En la segunda parte de la práctica, se colocó un sensor por debajo del resorte con el fin de capturar las oscilaciones del sistema, permitiendo generar una serie de gráficas de las que finalmente se obtuvo la masa del resorte, la cual dio como resultado 0,118 Kg, y nuevamente la constante elástica del mismo, cuya magnitud fue esta vez de 6,377 N/m. El resultado de la masa del resorte se comparó con el medido en la balanza digital para calcular su respectivo error relativo porcentual. Finalmente, se utilizaron gráficas de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo para verificar el comportamiento oscilatorio del sistema. Palabras claves: Oscilación, elasticidad, masa. Introducción Un movimiento armónico simple se origina cuando en una oscilación, la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, es decir, su aceleración es también proporcional al desplazamiento, pero con signo opuesto, de la siguiente manera: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑒 = −𝑘𝑥 Como: 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 𝑘 𝑥 𝑦 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 = −𝜔2 𝑥 𝑚 Lo anterior, es la condición necesaria y suficiente para que exista un movimiento armónico simple y corresponde a una ecuación diferencial porque: 𝑎= −

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Movimiento Armónico Simple: Sistema Masa-Resorte

𝑑2 𝑥 = −𝜔2 𝑥 𝑑𝑡 2 Para la cual se obtiene la siguiente solución que está dada por la ecuación de posición: 𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) (𝐸𝑐. 1) Donde A es la amplitud, 𝜑 es el angulo de fase y 𝜔𝑡 + 𝜑 la fase del movimiento, al derivar esta ecuación se obtiene la velocidad, y al derivar la velocidad se obtiene la aceleración del movimiento armónico simple. Metodología El desarrollo de la práctica se dividió en dos partes, para las cuales se hizo uso de los siguientes materiales: Resorte, soporte, portapesas, pesas, regla y en la segunda etapa se utilizó adicionalmente un sensor de movimiento para capturar las oscilaciones. En primer lugar, se tomó el resorte y se midió su respectiva masa con la ayuda de una balanza digital, la cual tiene un error absoluto de 1 gramo, seguidamente se realizó el montaje del sistema para lo cual se fijó el soporte a la mesa del laboratorio con el fin de colgar el artefacto elástico. En el otro extremo del mismo se colocó un portapesas en donde se fueron suspendiendo las masas, incrementándolas desde los 20g hasta los 200g. Para cada masa se midió la elongación del resorte con una regla cuyo error absoluto es de 1mm. Estos datos permitieron completar una tabla con cada peso y su respectiva elongación. Finalmente se hizo uso de la herramienta PASCO Capstone con el fin de representar gráficamente el peso en función de la elongación del resorte. En la segunda parte del laboratorio, se ubicó un sensor de movimiento en el suelo que posteriormente se conectó a la interfaz correspondiente en el aparato con una configuración de una velocidad de muestreo de 40hz. Luego, se suspendió el resorte de la misma manera que en la primera parte, pero en este caso iniciando con una pesa de 100g y elongando manualmente el resorte 4 cm para iniciar sus oscilaciones desde ésta distancia durante 8 segundos. Después que se generó en el programa automáticamente la grafica del movimiento oscilatorio, se realizó un ajuste sinusoidal y se repetió el mismo procedimiento, pero ésta vez con una enlongación manual de 6 cm. Por último se mantuvo una distancia de estiramiento de 4cm en el resorte para todos los ensayos posteriores iniciando en 100g e incrementando la masa cada 20g hasta completar los 200g. Finalmente, con los datos obtenidos se representó gráficamente el periodo T en función de la masa M. Resultados y Análisis Parte 1. Determinación del coeficiente de elasticidad del resorte Teniendo presente que el sistema masa-resorte se encuentra en equilibrio, se aplica la Segunda Ley de Newton: ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑒 − 𝑊 = 0 𝐹𝑒 = 𝑊 𝑊 = 𝑘𝑥 (Ec. 2) Donde "𝐹𝑒 " corresponde a la fuerza elástica del resorte, "𝑊" al peso de la masa colgante, "𝑘" a la constante de elasticidad, y "𝑥" a la elongación. Dado que se desea trabajar con la magnitud de la constante elástica 𝑘, esta se utiliza en su expresión positiva y por lo tanto, se presenta un comportamiento directamente proporcional entre el peso del objeto colgante y el estiramiento producido en el resorte, como se muestra en el Gráfico N° 1: 2

Gráfico N° 1. Peso (N) vs. Elongación (m) del resorte En la imagen se puede observar una recta con pendiente positiva, la cual se genera con los datos introducidos manualmente en el software, relacionando el peso de cada una de las masas colgantes con la elongación que se produjo como consecuencia en el resorte. Como inicialmente se tenía conocimiento de cada una de las masas, se adiciono la masa del portapesas y se encontró el peso utilizando la ecuación: 𝑊 = 𝑚𝑔 Dada la ecuación 2 presentada anteriormente, se aprecia que la pendiente de la gráfica n° 1 corresponde a la magnitud de la constante elástica del resorte con su respectiva incertidumbre absoluta (𝛥𝑘): 𝑘 = 6.60 𝑁⁄𝑚 𝛥𝑘 = 0.048 𝑁⁄𝑚 Se obtiene entonces la incertidumbre relativa porcentual, la cual es de: ∆𝑘 × 100 𝑘 0.048 × 100 = 0.72% 6.60 Parte 2. Estudio de las oscilaciones del sistema masa-resorte En la segunda parte de la práctica, se construye una tabla con los datos obtenidos previamente gracias al conjunto de gráficas generadas por las oscilaciones del sistema, las cuales relacionan Posición (m) vs. Tiempo (s). A continuación se presenta una de ellas, la cual corresponde a una de las series (9) con una masa de 0,20Kg:

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Movimiento Armónico Simple: Sistema Masa-Resorte

Gráfico N° 2. Posición (m) vs Tiempo (s) Se realiza un ajuste senosoidal para cada una de las series con el objetivo de obtener algunos datos relevantes como la amplitud y la frecuencia angular (𝜔) de la oscilación, los cuales se registran en la siguiente tabla teniendo en cuenta la masa del portapesas (0,0123kg), en la que se halla el período T y su elevación al cuadrado:

Tabla N° 1. Obtención del período T y 𝑻𝟐 Los valores de T en la tabla anterior se obtienen gracias a la ecuación: 2𝜋 𝜔 Utilizando la información de la tabla, se construye una curva que relaciona la masa suspendida (M) con el período T, produciéndose un comportamiento no lineal como se muestra en la figura 3. 𝑇=

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Gráfico N°3. Período (T) vs M (Kg) Teniendo en cuenta que la masa del resorte no es despreciable se utiliza la siguiente expresión para calcular el periodo: 𝑀𝑟 √𝑚 + 3 𝑇 = 2𝜋 𝑘 Posteriormente se realiza la correspondiente linealización de la ecuacion anterior elevándola al cuadrado para conseguir los valores propios de una ecuación del tipo 𝑌 = 𝑚𝑥 + 𝑏. 2

2

𝑇 = 4𝜋 [

𝑀+ 𝑘

𝑀𝑟 3]

Se aplica la propiedad distributiva para obtener la expresión anterior de la siguiente manera: 𝑇2 = Donde 𝑇 2 corresponde a la variable dependiente Y,

4𝜋 2 4𝜋 2 𝑀𝑟 𝑀+ 𝑘 3𝑘 4𝜋2 a la pendiente 𝑚, M a la variable independiente 𝑥 𝑘

al intercepto con el eje y (b). Debido a lo anterior, se genera una gráfica con comportamiento lineal y su respectivo ajuste:

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y

4𝜋2 𝑀𝑟 3𝑘

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Gráfico N° 4. Período ( 𝑻𝟐 ) vs M (Kg) Para hallar el valor de la constante elástica 𝑘, esta se despeja de la pendiente 𝑚 de la ecuación previamente mostrada. 4𝜋 2 𝑘 4𝜋 2 𝑘= 𝑚 Se remplaza el valor de 𝑚 obtenido por el ajuste lineal de la gráfica: 𝑚=

4𝜋 2 6,19𝑠 2 /𝑘𝑔

𝑘=

𝑘 = 6,377𝑁/𝑚 Al comparar los valores de 𝑘 obtenidos en ambas partes, se observa que ambos valores son similares de los cuales se obtiene un promedio de 6.48N/m. Para determinar la incertidumbre absoluta de 𝑘 se deriva con a respecto a 𝑚: ∆𝑘 = ∆𝑘 =

4𝜋 2 ∆𝑚 𝑚2

4𝜋 2 (6.19

2 (0.098

𝑠2

⁄𝑘𝑔)

∆𝑘 = 0.100

𝑠 2⁄ ) 𝑘𝑔

𝑘𝑔⁄ 𝑠2

A partir de lo anterior, se calcula la incertidumbre relativa: 𝑘𝑔 0.100 ⁄ 2 ∆𝑘 𝑠 × 100 = 1,56% = 𝑘 6,377𝑘𝑔/𝑠 2 6

Para hallar el valor de la Masa del resorte, esta se despeja del intercepto con el eje y: 4𝜋 2 𝑀𝑟 𝑏= 3𝑘 3𝑘𝑏 𝑀𝑟 = 4𝜋 2 3(6.377 𝐾𝑔⁄𝑠 2 )(0.245𝑠 2 ) 𝑀𝑟 = 4𝜋 2 𝑀𝑟 = 0.118𝑘𝑔 Para encontrar la incertidumbre absoluta de la masa del resorte, se deriva parcialmente con respecto a k y a b: 3𝑘 3𝑏 ∆𝑏 + ∆𝑘 4𝜋 2 4𝜋 2 3𝑘 3𝑏 ∆𝑀𝑟 = ∆𝑏 + ∆𝑘 2 4𝜋 4𝜋 2 3(6.377 𝐾𝑔⁄𝑠 2 ) 3(0.245𝑠 2 ) 𝑘𝑔 2 ∆𝑀𝑟 = (0.016𝑠 ) + (0.100 ⁄ 2 ) 𝑠 4𝜋 2 4𝜋 2 ∆𝑀𝑟 =

∆𝑀𝑟 = 9,615 × 10−3 𝑘𝑔 La incertidumbre relativa está dada por: ∆𝑀𝑟 9,615 × 10−3 𝑘𝑔 = = 0.081 𝑀𝑟 0.118𝑘𝑔 El porcentaje de error relativo para la masa del resorte con respecto al medido en la balanza digital se obtiene a partir del cálculo del error absoluto: |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙| × 100 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 |0,119𝑘𝑔 − 0,118𝑘𝑔| × 100 0,119𝑘𝑔 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 0.84% Se escogió la serie 5 (masa = 0.12kg) para calcular la frecuencia de las oscilaciones y los valores máximos de la velocidad y la aceleración en función del tiempo. A continuación se exponen las gráficas de la posición, velocidad y aceleración vs. Tiempo para el ensayo 5:

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Movimiento Armónico Simple: Sistema Masa-Resorte

Gráfico N° 5. Comparación de graficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo para la serie 5.

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En la comparación de las gráficas anteriores se puede apreciar que efectivamente se trata de un movimiento armónico simple (M.A.S), pues la fuerza restauradora (correspondiente a la fuerza elástica del resorte) es directamente proporcional al desplazamiento del mismo. En las imágenes se observa que en el segundo 4, por ejemplo, cuando el resorte posee una amplitud máxima (en sentido opuesto) con respecto a su posición de equilibrio, posee una velocidad igual a 0 𝑚/𝑠 y una aceleración máxima de 2.512 𝑚/𝑠 2 Con el objetivo de encontrar la frecuencia en el movimiento armónico simple se tiene que: 𝜔 = 2𝜋𝑓 Por lo tanto, se despeja 𝑓 (frecuencia) de la anterior expresión: 𝜔 𝑓= 2𝜋 Dado que los resultados de la frecuencia angular para la posicion, velocidad y aceleración en función del tiempo son iguales se reemplazan en la ecuación anterior para obtener 𝑓: 6,07𝑟𝑎𝑑/𝑠 2𝜋 𝑓 = 0.966𝐻𝑧

𝑓=

Analizando la serie 1 (𝜔 = 6.52) y la serie 3 (𝜔 = 6.48), las cuales poseen igual masa pero amplitudes diferentes (4cm y 6cm respectivamente) se observa que el periodo no depende de la amplitud, pues: 𝑻=

𝟏 𝟏 𝟏 = ≈ ≈ 𝟎. 𝟗𝟔 𝒔 ⁄ 𝟔. 𝟓𝟐 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝟔. 𝟒𝟖 𝒓𝒂𝒅⁄𝒔 𝒇 𝟐𝝅 𝟐𝝅

El período 𝑇 en las series 1 y 3 (masa = 100g) es menor que el período de la serie 5 (masa = 120g) por lo cual se deduce que el período no depende de la amplitud pero sí de la masa suspendida en el resorte. De la gráfica de posición en función del tiempo, es posible hallar la velocidad al realizar derivación y se tiene en cuenta que sen(𝜔𝑡 + 𝜑) = ±1 con el fin de hallar los valores máximos de velocidad y aceleración

haciendo que la Ec 1 mencionada anteriomente se establezca de la siguiente manera: 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔

𝑦

𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2

Reemplazando los valores de A y 𝜔 arrojados por el ajuste senosoidal de la gráfica de posición vs tiempo de la serie 5 se obtiene: 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ±(0.0682𝑚)(6.07 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2 ) 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ±0.413𝑚/𝑠 𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2 𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±(0.0682𝑚)(6.07 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 2 )2 𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±2.512𝑚/𝑠 2 9

Movimiento Armónico Simple: Sistema Masa-Resorte

Conclusiones Los valores de la constante de resorte 𝑘 para ambas partes de la práctica son similares debido a que se trabajó con el mismo resorte, no obstante, el valor obtenido en la primera parte es más preciso, pues su incertidumbre relativa es menor. El período de oscilación no depende de la amplitud del movimiento, sino de la contanste elástica del resorte y la masa que se suspende en él, como se observó en la comparación de la serie 1 y 3, donde la amplitud es distinta pero el periodo es el mismo. Es importante linealizar las ecuaciones con el fin de extraer de ella la información eficazmente. El sistema masa-resorte se comporta como un movimiento armónico simple debido a que posee una fuerza restauradora que en este caso corresponde a la fuerza elástica del resorte. Los resultados obtenidos de la velocidad y aceleración máximos se evidencian en el comportamiento de la gráficas, demostrando que cuando la amplitud es máxima la aceleración es máxima también y la velocidad cero.

Referencias [1] PASCO Scientific. Physics Labs with Computers, volume I: Student Workbook. Roseville CA, 1999. [2] Fuerza de Empuje Movimiento Armónico Simple: Sistema masa – resorte. Guia de Laboratorio.Universidad Autonoma de Occidente. [3] Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Roger A. Freedman. Física Universitaria, volumen 1. Treceava edición. Pearson Educación, México, 2005.

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