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Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F´ısica

Gu´ıa No. 2 LF 200

SISTEMA MASA-RESORTE OBJETIVOS 1. Determinar la fuerza en funci´ on del alargamiento de un resorte. 2. Obtener la constante de rigidez del resorte. 3. Determinar el periodo de un sistema en movimiento arm´onico simple. 4. Corroborar el valor de la masa efectiva con la que oscila un resorte.

APARATOS Y MATERIALES Soporte, resorte, pesas, metro graduado, balanza, cronometro.

´ MARCO TEORICO El tipo de oscilaci´ on m´ as sencillo sucede cuando la fuerza F es directamente proporcional al desplazamiento ∆x con respecto al la posici´on de equilibrio. Este es el caso que nos presenta la ley de Hooke. Para un resorte que se deforma la fuerza es directamente proporcional al alargamiento, siempre y cuando este no sea demasiado grande. F = −k ∗ ∆x

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En el caso de la ley de Hooke la direcci´on de la fuerza y la direcci´on del alargamiento o compresi´on siempre son opuestas. De manera que la la fuerza aplicada por un resorte siempre apunta a la posici´ on de equilibrio. A las Fuerzas que cumplen esta caracter´ıstica se les llama Fuerzas de restituci´ on.

Figura 1: Resorte con y sin cuerpo suspendido.

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La figura 1a. muestra un resorte de constante de rigidez k y longitud L. Si se suspende del resorte un cuerpo de masa m, como en la figura 1b. se restablece el equilibrio cuando el resorte se ha alargado una longitud ∆x, tal que la fuerza ejercida por ´el sea igual al peso del cuerpo. Supongamos ahora que el resorte se encuentra a una distancia x por abajo de su posici´on de equilibrio, como se muestra en la figura 2. El alargamiento del resorte es ahora ∆x + x. Al soltar el cuerpo, este oscilar´ıa con movimiento arm´onico simple dado por la ecuaci´on ecuaci´ on diferencial: k x ¨=− x (2) m

Figura 2: Cuerpo soltado de una distancia x por abajo de su posici´on de equilibrio En el an´alisis hecho se ha considerado que la masa del resorte es nula, lo cual representa un caso ideal. Si se quiere considerar el caso real, ha de tomarse en cuenta el hecho de que tambi´en el resorte oscila. Sin embargo, no se puede simplemente sumar la masa del resorte a la del cuerpo suspendido, ya que no todas las partes del primero oscilan con la misma amplitud la amplitud del extremo inferior es igual a la del cuerpo suspendido, mientras que la del extremo superior es nula. El t´ermino correctivo se calcula como sigue.

Masa efectiva para un resorte oscilante Sea L la longitud del resorte cuando el cuerpo se encuentra en la posici´on de equilibrio, y m0 su masa. Calculamos la energ´ıa cin´etica del resorte en el instante en que la velocidad del extremo inferior es v. Para ello, consideremos un elemento del resorte de longitud dy, a una distancia y por debajo del extremo superior fijo. La masa dm0 del extremo es: dm0 =

2

m0 dy L

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Puede admitirse que todas las porciones del resorte oscilan en fase, y que la velocidad v 0 del elemento es proporcional a su distancia al extremo fijo: v0 =

y v L

La energ´ıa cin´etica del elemento es: 1 0 dEc = dm0 v 2 2  0   1 m y 2 dEc = dy v 2 L L dEc =

1 m0 2 2 v y dy 2 L3

Y la energ´ıa total del resorte ser´ a: 1 m0 2 v Ec = 2 L3 Ec =

Z

L

y 2 dy

0

1 m0 2 v 2 3

1 Ec = mef v 2 2

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Esta energ´ıa cin´etica equivale a la de un cuerpo de masa igual a la tercera parte de la del resorte y que se mueve con la misma velocidad que el cuerpo suspendido: 1 mef = m0 → Masa efectiva del resorte (5) 3 Para calcular el periodo de un sistema masa-resorte hay que considerar la masa colagada me y una fracci´ on de masa del resorte 31 m0 , es decir, la masa equivalente del sistema vibrante es igual a la del cuerpo suspendido m´ as la masa efectiva del resorte. Introduciendo esta nueva masa combinada en la ecuaci´ on 2:   k x ¨=− x mc + mef Esta ecuaci´ on diferencial es la correspondiente al m.a.s. cuya soluci´on es muy conocida: x(t) = Xmax sin(ωt + φ) q

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k donde ω = mc +m es la frecuencia angular, Xmax es el desplazamiento m´aximo desplazado ef o amplitud de la oscilaci´ on, φ es la fase en la que se encuentra el sistema oscilante. El periodo 2π se puede dedicir apartir de la frecuencia angular: T = . Sustituyendo obtenemos: ω r mc + mef T = 2π ∗ (7) k

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Note que el periodo no depende del desplazamiento inicial que se le da a la masa. Podemos reescribir la ecuaci´ on anterior para que simplificar a´ un m´as algunos c´alculos posteriores: T 2 = 4π 2 ∗

mc + mef k

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Finalmente para un cuerpo oscilando podemos calcular el periodo de acuerdo a la ecuaci´ on siguiente: t(s) T (s) = No. De Oscilaciones .

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Ley de Hooke

Figura 3: Cuerpo soltado de una distancia x por abajo de su posici´on de equilibrio 1. Medir la masa del resorte utilizando la balanza. 2. Colocar resorte sobre el soporte y medir la longitud del mismo sin ninguna masa que lo deforme. Anote estos resultados en el espacio de abajo. L= m0 =

Longitud normal del resorte Masa del Resorte

3. Mida nuevamente la longitud del resorte sin masas que la deformen, esta es la posici´ on de equilibrio X0 anotar este valor en la tabla 1

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No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x0 (m)

xf (m)

∆x

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m(kg)

F(N)

Cuadro 1: Tabla de deformaciones del resorte con diferentes pesos. 4. Colocar el porta masas en el resorte. Anotar el valor de la masa del porta masas y el nuevo valor de posici´ on en la tabla 1. 5. Agregue masas al porta masas para obtener una nueva posici´on final, anotar estos nuevos valores y masa hasta completar la tabla 1. 6. Completar la tabla 1 calculando ∆x y F tomando la gravedad como 9.78m/s2 .

Masa oscilante 1. Colocar el resorte el el soporte. coloque en el resorte el porta masas. 2. Agregue una masa al resorte, y dejar que el resorte se estire hasta que el resorte haya alcanzado su nueva posici´ on. 3. Desplazar la masa una peque˜ na distancia hacia abajo, una vez hecho esto se suelta el bloque y que este comience a oscilar. No estire el resorte demasiado ya que las masas se podr´ıan salir del porta masas 4. Registre el tiempo que tarda el sistema en completar 15 oscilaciones en la tabla 2. 5. Agregue una masa y repita el procedimiento para medir un un nuevo tiempo de oscilaci´on, hasta completar la tabla 2.

´ ´ CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS 1. Graficar en papel milimetrado los datos de la tabla 1 : F = f (∆x). 2. Determine la constante de resorte y su incertidumbre absoluta utilizando regresi´on lineal.

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No 1 2 3 4 5 6 7 8

mc (kg)

t(s)

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T (s)

Cuadro 2: Tabla de Oscilaciones vs masa. 3. Trazar en papel milimetrado utilizando los datos de la tabla 2, el periodo T como funci´ on de la masa mc . Marque la tendencia de los datos utilizando una curva suave. ¿El tipo de gr´ afico corresponde al esperado? Explique su respuesta. 4. Realice el gr´ afico linealizando T = f (mc ) a partir de la ecuaci´on 8 y la tabla 2. 5. Encuentre la constante de restauraci´on del resorte y su incertidumbre absoluta. 6. Compare los valores de la constante calculados mediante los dos m´etodos. ¿Cu´al es la incertidumbre porcentual de cada uno de los valores de k? ¿Qu´e medici´on es m´ as precisa? 7. Encuentre la masa efectiva y la incertidumbre respectiva. 8. Encuentre el error porcentual utilizando el valor te´orico presentado en la ecuaci´on 5. Comente acerca de los resultados obtenidos.

Preguntas 1. ¿Se ve afectada la frecuencia del sistema si le transmitimos una velocidad inicial al sistema? 2. ¿En cu´ anto cambia la frecuencia angular del sistema si aumentamos la masa 9 veces? 3. Explique, ¿en qu´e cambia el periodo de oscilaci´on, si movemos el resorte de la posici´ on vertical a la posici´ on horizontal?

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