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• Angel Alonso Marcos Gamboa

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SISTEMA DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD RELACION FUERZA - DESPLAZAMIENTO  𝑓𝑠 = 𝑘𝑢 12𝐸𝐼 𝐸𝐼  𝑘 = ∑𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑎𝑠 3 𝑐 = 24 3𝑐  𝑘 = ∑𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑎𝑠

ℎ 3𝐸𝐼𝑐

=6

ℎ3

𝐸𝐼𝑐 ℎ3

ℎ

z

SISTEMA INELÁSTICO  𝑓𝑠 = 𝑓𝑠 (𝑢) FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO  𝑓𝐷 = 𝑐𝑢̇ ECUACION DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA

 𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡) ECUACION DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SISMICA  𝑢𝑡 (𝑡) = 𝑢𝑔 (𝑡) + 𝑢(𝑡)  𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = −𝑚𝑢̈ 𝑔 (𝑡)  𝑝𝑒𝑓 (𝑡) = −𝑚𝑢̈ 𝑔 (𝑡) TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES VIBRACION LIBRE VIBRACION LIBRE NO AMORTIGUADA  mü + ku = 0  ü + 𝜔 𝑛2u = 0  𝜔𝑛 = √

𝑘 𝑚

 𝑢(𝑡) = 𝐴 · cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡  𝑢(𝑡) = 𝑢(0) · cos 𝜔𝑛 𝑡 +  𝑇𝑛 =

2𝜋 𝜔𝑛

𝑓𝑛 =

𝑢̇ (0) 𝜔𝑛

1 𝑇𝑛

 𝑢(𝑡) = 𝑢0 cos(𝜔𝑛 𝑡 − 𝛷)  𝑢0 = √𝑢(0) 2 + [  𝛷 = 𝑎𝑟𝑡𝑔

ù(0) 𝜔𝑛 𝑢(0)

ù(0) 𝜔𝑛

]²

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡

 𝑚ü + 𝑘𝑢 = 0  𝑚 

𝑑2𝑢

+ 𝑘𝑢 = 0

𝑑𝑡 𝑑2𝑢 𝑘 𝑑𝑡 2

+

𝑚

𝑢=0

 𝐷 𝑢 + 𝜔 𝑛2 𝑢 = 0

 𝑢(𝐷2 + 𝜔 𝑛2) = 0  𝐷 = ±𝑖𝜔𝑛  𝑢 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 VOBRACION LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 0  ü + 𝜉𝜔𝑛 𝑢̇ + 𝜔𝑛 2 = 0  𝐶𝑐𝑟 = 2𝑚𝜔𝑛 = 2√𝑘𝑚 =

𝜉=

𝐶 𝐶𝑐𝑟

2𝑘 𝜔𝑛

 𝐶𝑐𝑟 = 1 𝑜 𝜉 = 1 sistema críticamente amortiguado  𝐶𝑐𝑟 > 1 𝑜 𝜉 > 1 sistema sobreamortiguado  𝐶𝑐𝑟 < 1 𝑜 𝜉 < 1 sistema subamortiguado SISTEMA SUBAMORTIGUADO 𝑢̇ (0) +𝜉𝜔𝑛 𝑢(0)

 𝑢(𝑡) = 𝑒 − 𝜉𝜔𝑛 𝑡 [𝑢(0) cos 𝜔𝐷 𝑡 + (  𝑇𝐷 =

𝜔𝐷

2𝜋 𝜔𝐷

 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜉 2  𝑇𝐷 =

2𝜋 𝜔𝐷 𝑢𝑖

 𝛿 = 𝑙𝑛

𝑢𝑖+1 1 𝑢1

 𝛿 = 𝑙𝑛 𝑗

𝑇𝐷 =

𝑇𝑛 √1−𝜉 2 2𝜋 𝜉

= 𝜉𝜔𝑛 𝑇𝐷 =

𝑢𝑗+1

√1−𝜉 2

≈ 2𝜋 𝜉

≈ 2𝜋 𝜉

VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMONICA  

𝑚 · ü + 𝑘 · 𝑢 = 𝑝0 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑝0 𝑢𝑝(𝑡) = 1−(𝜔/𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 )2



𝑢𝑐(𝑡) = 𝐴 · cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡



𝑢(𝑡) = 𝐴 · cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 1−(𝜔/𝜔

𝑛

1

𝑛)

2

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡]

𝑢̇ (0)



𝑢(𝑡) = 𝑢(0) cos 𝜔𝑛 𝑡 + [ 𝜔 −



𝑢(𝑡) =

𝑛

𝑝0 𝑘

𝜔/𝜔

· 1−(𝜔/𝜔𝑛

𝑛)

2

𝑝0 𝑘

𝜔/𝜔

· 1−(𝜔/𝜔𝑛 )2 ] 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑛

𝑝0 𝑘

𝜔/𝜔

· 1−(𝜔/𝜔𝑛

𝑛)

2

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡

[𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 − (𝜔/𝜔𝑛 )𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡]

RESONANCIA 𝑝0



𝑢𝑠𝑡(𝑡) =



(𝑢𝑠𝑡 )0 =



𝑢(𝑡) = (𝑢𝑠𝑡 )0 [1−(𝜔/𝜔

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑘 𝑝0 𝑘

1

2 𝑛)

] 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMONICA  𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑝𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡  𝑢𝑝(𝑡) = 𝐶 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐷 · cos 𝜔𝑡  𝑢𝑐(𝑡) = 𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡 (𝐴 · cos 𝜔𝐷 𝑡 + 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝐷 𝑡 ) 𝑝0

1−(𝜔/𝜔𝑛 )2 2 2 2 𝑛 ) ] +[2𝜉(𝜔/𝜔𝑛 )] −2𝜉(𝜔/𝜔𝑛 ) [1−(𝜔/𝜔𝑛 )2 ]2 +[2𝜉(𝜔/𝜔𝑛 )]2



𝐶=



𝐷=



𝑢(𝑡) = 𝑒 −𝜉𝜔𝑛𝑡 (𝐴 · cos 𝜔𝐷 𝑡 + 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝐷 𝑡 ) + 𝐶 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐷 · cos 𝜔𝑡

𝑘 𝑝0 𝑘

· [1−(𝜔/𝜔 ·

RESONANCIA  



𝐶=0 𝐴= 𝑢

𝐷=−

(𝑢𝑠𝑡 )0

𝐵=

2𝜉

(𝑢𝑠𝑡 )0

2𝜍 (𝑢𝑠𝑡 )0

2 2√1−𝜉

1

= (𝑢𝑠𝑡 )0 2𝜉 [𝑒 − 𝜉𝜔𝑛𝑡 (cos 𝜔𝐷 𝑡 + (𝑡)

𝜉 √1−𝜉2

𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡) − cos 𝜔𝑛 𝑡]

DEFORMACION MAXIMA

 𝑢(𝑡) = 𝑢0 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝛷) =

𝑝0 𝑘

𝑅𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝛷)

Donde 𝑢0 √𝐶 2 − 𝐷 2 y 𝛷 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 − 𝐷/𝐶 𝑢

 𝑅𝑑 = (𝑢 0) = 𝑠𝑡 0

 𝛷 = 𝑎𝑟𝑡𝑔

1 √[1−(𝜔/𝜔𝑛 )2 ]2 +[2𝜉(𝜔/𝜔𝑛 )]2

2𝜉(𝜔/𝜔𝑛 )

1−(𝜔/𝜔𝑛 )2

FACTORES DE RESPUESTA DINAMICA

 𝑢(𝑡) =

𝑝0

𝑅 sen(𝜔𝑡 𝑘 𝑑 𝑝0

− 𝛷)

 𝑢̇ (𝑡) = √𝑘𝑚 𝑅𝑣 cos(𝜔𝑡 − 𝛷) 𝜔

 𝑅𝑣 𝜔 𝑅𝑑 𝑛

𝑝

 𝑢̈ (𝑡) = − 𝑚0 𝑅𝑎 sen(𝜔𝑡 − 𝛷) 𝜔

 𝑅𝑎 (𝜔 )2 𝑅𝑑 𝑛

FRECUENCIA RESONANTE Y RESPUESTA RESONANTE

 𝜔 = 𝜔𝑛 √1 − 2𝜉2 para el desplazamiento  𝜔 = 𝜔𝑛 para la velocidad 𝜔𝑛  𝜔= para la aceleración 2 √1−2𝜉

 𝑅𝑑 =

1 2𝜉√1−𝜉2

𝑅𝑣 =

1 2𝜉

𝑅𝑎 =

1 2𝜉√1−𝜉2

Movimiento armónico forzado no amortiguado  𝑚𝑢 + 𝑘𝑢 = 𝑃0 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑝  ü + 𝜔 𝑛2 𝑢 = 0 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑚

Movimiento armónico forzado amortiguado  𝑚ü + 𝑐 𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑃0 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑐  ü + 𝑢̇ + 𝜔 𝑛2 𝑢 = 𝑃0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑚

 ü + 2𝜉

𝑚 𝜔𝑛 𝑚

𝑢̇ + 𝜔 𝑛2 𝑢 =

 ü + 2𝜉𝜔𝑛 𝑢̇ + 𝜔 𝑛2 𝑢 =

𝑝0

𝑝0 𝑚

𝑚

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 =

𝑝0 𝑘

𝜔 𝑛2 𝜔𝑡