• Author / Uploaded
• Jean Valverde Garcia

• Categories
• Ecuaciones
• Fuerza
• Masa
• Mecánica
• Mecanica clasica

Citation preview

RESUESTA DE UN GRADO DE LIBERTAD Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de la solución de problemas con mayor número de variables que pueden reducirse a una combinación de sistemas de un GDL. “Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada”. El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente. La viga simplemente apoyada o el pórtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL)

Se han desarrollado, inclusive, métodos modernos para el análisis inelástico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta características fuerza-deformación inelásticas y multilineales.

4.1 ECUACION DE EQUILIBRIO DINAMICO PARA SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD La ecuación diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de múltiples maneras: a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservación de la energía del sistema. En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 4.1 se puede apreciar que la masa está sometida a una fuerza F(t), que varía con el tiempo. El resorte es elástico, así que la fuerza interna es siempre igual al producto de “k.u”. Nótese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posición neutra tal como se puede ver en la Fig. 4.2. En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración imprimida. O sea: F = m.a F(t) - k.u = m.ü Normalmente es más conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinámico puede ser enforzado en cualquier instante añadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleración, m.ü, que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio será: (Fig. 4.3).

Fig. 4.2 Diagrama de cuerpo libre

Fig. 4.3 u es siempre medido desde la posición neutra por ello no se incluye el peso Esta ecuación relaciona la aceleración ü (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solución da la respuesta del sistema, o sea, la variación de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como la suma de la solución general de la ecuación homogénea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integración, y cualquier solución particular de la ecuación completa o general. Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0). 4.2 RESPUESTA DE VIBRACION LIBRE AMORTIGUDA Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibración libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibración. La ecuación de movimiento es en este caso una ecuación homogénea cuya solución corresponde a la solución general de la ecuación diferencial. En este caso la solución de:

Haciendo

y los desplazamientos y las velocidades iniciales:

Evaluando las condiciones iniciales se consigue:

Vibración libre de un grado de libertad (1GDL) La Ecuación da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es periódico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armónico con una frecuencia natural o período dados por: Frecuencia natural circular o angular (ω): 𝜔=√

𝑘 𝑚

Frecuencia natural (f): 𝑓=

𝜔 1 𝑘 √ = 2𝜋 2𝜋 𝑚

Período natural (T):

𝑇=

1 1 𝑘 √ = 𝑓 2𝜋 𝑚

T es el periodo natural de vibrar y f es la frecuencia. Es muy importante el cálculo del periodo de las estructuras, ya que como veremos más adelante se este último depende en gran parte la respuesta de la misma. Es importante aclarar que los valores de la ecuación son en radianes y no en grados. La ecuación de movimiento para campos conservativos (donde no existe disipación de la energía) también se puede demostrar el siguiente modo:

4.2 RESPUESTA DE VIBRACION LIBRE NO AMORTIGUDA 𝑘

Como k/m es una constante positiva, podemos hacer 𝜔2 = 𝑚 y en la ecuación característica resultan para s los valores: 𝑠 = ±√−𝜔 2 = ±𝜔𝑖 En tal caso, la solución general de la ecuación diferencial vendrá dada por la expresión: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 Donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas. Teniendo en cuenta la relación de Euler (e±i ωt = cosωt ± isenωt), la solución general puede ponerse en la forma: X(t) = A.cosωt ± B.senωt Y haciendo A=X·cosθ, B=X·senθ: x(t)= X cos(ωt- θ) Las constantes A, B, X y θ son siempre reales y serán determinadas con ayuda de las condiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B:

La solución de las vibraciones libres no amortiguadas es una función armónica de 𝑘

frecuencia 𝜔 = √𝑚, que depende sólo de los parámetros físicos del problema k y m, pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales.

Vibraciones libres no amortiguadas El sistema siempre vibrará en la misma frecuencia, que por esta razón se denomina FRECUENCIA PROPIA o NATURAL.