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2.0 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. 2.1 DEFINICIÓN. Un sistema vibratorio tiene un grado de libertad cuándo se requiere una coordenada para describir su movimiento. Es decir, tendrá una frecuencia natural. Todos los cuerpos que posean masa y elasticidad son capaces de vibrar. Su rigidez se idealiza con un resorte, por una barra de torsión o por una viga. 2.2 FRECUENCIA NATURAL

fn.

Todo sistema que posea masa y elasticidad es de suma importancia su frecuencia natural de vibración. La frecuencia natural es la frecuencia a la que un sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quita la señal de excitación.

K

W

Fig. 2.1. Sistema masa resorte. Consideremos un bloque que desliza sin rozamiento. Desplazando el bloque una distancia X a la derecha y soltandolo a una velocidad inicial se induce una vibración.

Fig. 2.2. Diagrama de cuerpo libre La fuerza recuperadora que ejerce el resorte esta siempre dirigida hacia la posición de equilibrio, mientras que la aceleración tiene su sentido positivo coincidente con el desplazamiento. Es importante tener en cuenta que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento y ambos deben tomarse positivos en el mismo sentido. Considerando la constante del resorte

𝐾=

𝐹 𝛿

Aplicando la segunda ley de Newton a la fig. 2.2 y despreciando la masa del resorte se tiene la siguiente expresión:

Ʃ𝐹 =𝑚𝑎 Sustituyendo

−𝐾𝑋 =𝑚𝑎 − 𝐾 𝑋 = 𝑚 𝑋̈ 𝑚 𝑋̈ + 𝐾𝑋 = 0

(1)

Cuándo el bloque esté a la derecha de la posición de equilibrio, X es positivo; su aceleración esta dirigida a la izquierda hacia la posición de X equilibrio y es negativa. Análogamente, cuándo el bloque se encuentre a la izquierda de la posición de equilibrio, X es negativa, su aceleración estará dirigida a la derecha y será positiva. Es decir, la aceleración del bloque es proporcional a su desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y esta dirigida hacia ella. La ec. 1 es una ecuación diferencial homogenea lineal de segundo orden y una solución general es la función trigonométrica:

𝑋 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑋̇ = 𝐴 𝜔 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝐵 𝜔 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑋̈ = − 𝐴 𝜔2 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝐵 𝜔2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡

(2) (3) (4)

También puede tener una solución exponencial: A y B son constantes de integración que deben determinarse a partir de las condiciones iniciales. Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en 1:

−𝑚 𝐴 𝜔2 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝑚 𝐵 𝜔2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐾 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐾 𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 0 Resolviendo:

𝐴 (𝐾 − 𝑚 𝜔2 )𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐵(𝐾 − 𝑚𝜔2 )𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 = 0 𝐾 − 𝑚 𝜔2 = 0

Despejando

𝜔𝑛 = (

𝐾 1/2 ) 𝑚

𝜔𝑛 = 2 𝜋 𝑓𝑛 ωn es la frecuencia circular natural y fn es la frecuencia natural de oscilación libre del sistema en la ausencia de fuerzas externas y que sólo depende de K y m. Para encontrar el valor de A y B se establecen las condiciones iniciales

𝑋(𝑡𝑜 ) = 𝑋𝑜 Entonces, la ecuación 2 y 3 queda:

𝑋̇(𝑡𝑜 ) = 𝑋̇𝑜

𝑋0 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡𝑜 + 𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡𝑜 𝑋̇0 = 𝐴 𝜔𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡𝑜 − 𝐵 𝜔𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡𝑜

Si to = 0, el sistema se reduce

𝑋0 = 𝐵 𝑋̇0 = 𝐴 𝜔𝑛 Conociendo las condiciones iniciales, la ecuación 6 nos queda:

𝑋(𝑡) = (

𝑋̇0 ) 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝑋𝑜 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 𝜔𝑛

En la ecuación se establece la amplitud de la oscilación C:

𝑪 = [( Angulo de fase

𝑋̇0 2 1/2 ) + (𝑋0 )2 ] 𝜔𝑛 𝐴

𝜓 = 𝑇𝑔−1 ( ) = 𝑇𝑔−1 [ 𝐵 𝑋

𝑋̇0

0

𝜔𝑛

]

Por tanto:

𝑋 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 = 𝐶 𝐶𝑜𝑠 (𝜔𝑛 𝑡 − 𝜓) = 𝐶 𝑆𝑒𝑛 (𝜔𝑛 𝑡 + 𝜓𝑐 )

(5)

PROBLEMAS 1- Las sigientes ecuaciones representan la posición de una partícula en movimiento armonico simple. 2.1- Escribir la ecuación del movimiento en la forma X(t) = A Cos (𝜔t –Ψc). 2.2- Determine la velocidad máxima y la posición en que la alcanza. 2.3- Determine la aceleración máxima y la posición en que la alcanza. a) X(t) = 3 Cos 𝜋t – 4 Sen 𝜋t cm. b) X(t) = 12 Cos 𝜋t/2 + 5 Sen 𝜋t/2 mm. c) X(t) = 8 Cos 10t + 6 Sen 10t cm. d) X(t) = 8 Cos 3𝜋t/4 + 6 Sen 3𝜋t/4 mm. 2- Un instrumento indica movimiento armónico simple de una partícula de frecuencia propia 5 Hz y aceleración máxima de 48 m/sg2. Determine la amplitud y la velocidad de la vibración. 3- El movimiento armónico simple de una partícula tiene un período de 0.333 s. y una velocidad máxima de 22.5 m/s. Determine la amplitud y la aceleración máxima de la vibración. 4- Una partícula cuándo pasa por su posición de equilibrio la velocidad es de 2 m/s. Cuándo se encuentra a 20 mm de su posición de equilibrio la aceleración es de 50 m/sg 2. Determine la velocidad es esa posición.

5- En movimiento armónico simple, una partícula pasa por su posición de equilibrio tiene una velocidad

de 3 m/s. Cuándo se encuentra a 40 mm de esa posición, la velocidad es de 1.8 m/s. Determine la aceleración en esa posición.

6- Una masa de 250 gramos está suspendida de un resorte cuya rigidez es de 0.1533 N/mm. Determine la frecuencia natural en ciclos por segundos. Calcule la deflexión estática. f = 3.94 Hz, δ = 16 mm. 7- Encuentre la constante del resorte y la frecuencia natural de la carga en la dirección vertical. Desprecie la masa de la viga. K = 3 L E I / C2 (L – C)2

8- Un resorte helicoidal que tiene un diámetro medio de 1 pulg, un diámetro de alambre de 0.1 pulg., 20 vueltas y un módulo de elasticidad de G = 11.5x106 psi., se le suspende un peso de 30 lb. Determine el período de vibración libre. T = 0.46 s. 9- Determine la frecuencia natural de la masa mostrada en la figura.

f = (g / L)1/2

10- Determine la frecuencia natural del sistema. La masa de la polea y la fricción son despreciables. f = (1/π) (K/M)1/2

11- Determine la frecuencia natural del sistema. La masa de la polea y la fricción son despreciables. f = (2/π) (K/M)1/2

12- Una mesa pesada se soporta con patas de acero. Su período natural en el movimiento horizontal es de 0.4 sg. Cuándo se coloca a la mesa un peso de 30 kg., el período natural del movimiento horizontal es de 0.5 sg. Determine la constante del resorte y la masa de la mesa. K = 37 N/mm, M = 120 Kg.

13- La masa de 4 kg está suspendida en el plano vertical. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento. Si se lleva la masa a 15 mm. Por encima de su posición de equilibrio y se suelta a una velocidad de 750 mm/s hacia abajo cuándo t = 0, determinar: a) La ecuación diferencial que rige el movimiento. b) El período, la frecuencia y la amplitud de la vibración resultante. c) La posición de la masa en función del tiempo. d) El menor tiempo t>0 para una velocidad cero.

14- Los bloques penden de una barra horizontal de masa despreciable que está en su posición de equilibrio. Escribir la ecuación diferencial del peso de 50 N. y determinar la frecuencia y el período de vibración resultante.