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Ing. Sismo-Resistente

Sistemas Generalizados de un solo grado de Libertad

MSc. Ing. Victor Ernesto Arana Vasquez

Sistemas de Masa y Elasticidad distribuidas

Sistemas de Masa Contínua

Torre Azadi Teherán – Irán

Estatua de la Libertad USA Ing. Sismo-Resistente

Monumento a Washington USA

Tanque Elevado de Agua

La respuesta sísmica de estos sistemas se puede estimar usando modelos sencillos de 1gdl. Representaremos la masa distribuida por m(x). Supondremos que en el caso más general, la estructura se encuentra unida a amortiguadores y resortes distribuidos en toda su longitud.

Deflexiones y desplazamientos virtuales de la torre

Fuerzas de inercia Ing. Sismo-Resistente

Fuerzas estáticas equivalentes.

Función de Forma Supuesta El desplazamiento total de la torre es Desplazamiento relativo Función de forma Podría elegirse una variedad de funciones de forma

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Sistema Generalizado de 1 GDL Se llama Sistema Generalizado porque en cada caso, los desplazamientos en todas las ubicaciones se definen en términos de la coordenada generalizada z(t) a través de la función de forma ψ(x). Se demuestra por medio de teorías de trabajo virtual que la ecuación de movimiento de un sistema generalizado de 1 GDL tiene la forma:

Los coeficientes se conocen como la masa, el amortiguamiento, la rigidez y la fuerza excitadora generalizados del sistema

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Sistema Generalizado de 1 GDL sin amortiguamiento Ecuación de movimiento para la torre con una deflexión supuesta acorde con la función de forma.

Para este sistema generalizado de 1GDL, la masa , la rigidez y la fuerza excitadora generalizadas están definidas por Masa generalizada Rigidez generalizada

Masa Participante Ing. Sismo-Resistente

Frecuencia de Vibración Natural Una vez determinadas las propiedades generalizadas de masa y rigidez, la frecuencia de vibración natural del sistema está dada por

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Ejemplo 1

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Ejemplo 1

Este resultado aproximado es cercano a la frecuencia natural exacta, ωexacta = (3.516/L²)√EI/m. El error sólo es de 4%. Ing. Sismo-Resistente

Ejemplo 1 Ecuación de movimiento para la torre con una deflexión supuesta acorde con la función de forma.

Si lo dividimos entre la masa generalizada, resulta:

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Valores Espectrales de Sistemas Continuos

Ecuación de Movimiento Ecuación de movimiento de un Sistema 1GDL

Ecuación de movimiento de un Sistema Generalizado de 1 GDL

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Ecuaciones que representan un conjunto de estructuras con frecuencia similar Al dividir esta ecuación entre m resulta

Sistema de 1 GDL

Sistema Generalizado de 1 GDL

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Respuesta Espectral Al comparar las ecuaciones anteriores y al utilizar el procedimiento para calcular los valores espectrales para el sistema de 1 GDL, vista los temas anteriores, se obtiene el valor máximo de z(t) (amplificación de desplazamiento)

Factor de Participación

Donde D y A son las ordenadas de la deformación y la pseudo-aceleración, respectivamente, del espectro de diseño en el periodo Tn = 2π/ωn para una fracción de amortiguamiento ζ. Ing. Sismo-Resistente

Respuesta Espectral En las ecuaciones vistas previamente, se sustituye z(t) por la zo de la ecuación anterior para obtener los valores máximos de los desplazamientos y las fuerzas estáticas equivalentes:

donde el subíndice convencional S se elimina de fSo por brevedad.

Las fuerzas internas (momentos flexionantes y cortantes) en la torre en voladizo se obtienen mediante el análisis estático de la estructura sometida a las fuerzas fo(x), vea la figura. Así, el momento flexionante y la fuerza cortante a una altura x sobre la base son:

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Fuerzas Basales Espectrales En particular, la fuerza cortante y el momento flexionante en la base de la torre son

Donde

Esto completa la evaluación aproximada de la respuesta sísmica de un sistema con masa distribuida y flexibilidad basada en una función de forma supuesta ψ(x).

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Ejemplo 2

Suponiendo una función de forma como la del ejemplo anterior, estime los desplazamientos máximos, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes para la chimenea debidos al movimiento del terreno caracterizado por el espectro de diseño de la figura siguiente, escalado a una aceleración máxima de 0.25g.

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Ejemplo 2 - Espectro de Pseudo Aceleración para el Sismo de El Centro

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Ejemplo 2

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Ejemplo 2 Determine el valor máximo de z(t). Para Tn = 3.49 s y ζ = 0.05, el espectro de diseño da A/g=0.25(1.80/3.49) = 0.129. La deformación correspondiente es D = A/ωn ² =15.3 pulg. El valor máximo de z(t)

Los desplazamientos máximos u o(x) de la torre.

Las fuerzas estáticas equivalentes.

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Ejemplo 2 El análisis estático de la chimenea sometida a las fuerzas externas fo(x) proporciona las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes. Si sólo se tuviera interés en las fuerzas sobre la base de la chimenea, éstas podrían calcularse directamente a partir de

Esto es 7.49% del peso total de la chimenea. Desplazamiento máximo

Fuerzas Estáticas Equivalentes

Diagrama de Fuerza Cortante

Diagrama de Momento Flector Ing. Sismo-Resistente

Sistemas Continuos Excitadas por fuerzas aplicadas

Excitación de la Fuerza Aplicada Si la excitación fueran las fuerzas externas p(x, t) en vez del movimiento del terreno üg(t), la ecuación de movimiento podría obtenerse siguiendo los métodos de la sección 8.3.2, lo que conduce a

donde la fuerza generalizada

Observe que la única diferencia entre las dos ecuaciones referente a una fuerza aplicada con respecto a un movimiento en la base o suelo está en el término de excitación. Ing. Sismo-Resistente

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