Sistemas de Un Grado de Libertad

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Sistemas de un grado de libertad (SDOF)



Sistema de un grado de libertad más simple.



Ecuación que gobierna el movimiento del desplazamiento lateral u(t) de esta estructura:

En un sistema idealizado, el movimiento generado por la perturbación u(0) no se detiene



En la práctica la deformación decae sostenidamente con el tiempo.

El proceso por el cual la vibración decrece en su amplitud al transcurrir el tiempo se denomina amortiguamiento



Entonces, si pensamos en la idealización de un sistema de un gdl como un edificio de un piso, se tiene lo siguiente:



En los dos casos se muestran distintos comportamientos de una misma idealización de un edificio de un piso, cuando es sometido a una fuerza aplicada y cuando es excitado por un sismo.



u, siempre representa el desplazamiento con respecto a la base del edificio.



Fuerza estática fs en la dirección del grado de libertad u.



Lineal para deformaciones pequeñas y no-lineal para deformaciones grandes.



La segunda curva conforma lo que se llama curva de histéresis.



La rigidez k, se determina a través de los métodos usuales de análisis estructural.



En el caso de sistemas de un grado de libertad es sólo un número.

• •



En el caso de pórticos de un piso, realizar condensación estática para expresar los giros en el grado de libertad lateral.



En el caso de varios gdl es una matriz, dependiendo del número de grados de libertad que se tenga. (Pórtico de varios pisos).



Como se mencionó, el proceso mediante el cual una estructura en vibración libre decrece su amplitud, se denomina amortiguamiento.



En el amortiguamiento, la energía cinética del sistema es disipada mediante varios mecanismos que ocurren simultáneamente, por ejemplo:



El roce en las conexiones de acero.



Apertura y cierre de grietas en el hormigón (microfisuras)



Roce entre la estructura y los elementos no estructurales.



Con estos pocos ejemplos, parece imposible identificar o describir matemáticamente cada uno de estos mecanismos de disipación de energía en un edificio real.



Por esta razón, el amortiguamiento en estructuras reales se representa con un modelo sumamente idealizado.



Para sistemas de un grado de libertad, el amortiguamiento se puede idealizar satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso (depende de la velocidad de deformación).



Para sistemas de un grado de libertad, el amortiguamiento se puede idealizar satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.



El coeficiente de amortiguamiento c, es seleccionado de manera que la energía vibracional disipada sea equivalente a la energía disipada por todos los mecanismos de disipación combinados. Esta idealización se llama, amortiguamiento viscoso equivalente.



A continuación se muestra un amortiguador viscoso sometido a un fuerza fD en dirección del grado de libertad u.

• •

La fuerza interna en el amortiguador se opone a la fuerza fD con una fuerza igual y contraria.



La fuerza interna en el amortiguador se opone a la fuerza del sismo con una fuerza menor por la disipación de energía en la estructura y contraria al sentido de impacto.

• •

Al ser viscoso y lineal, la fuerza del amortiguador va a depender de la velocidad de deformación, de acuerdo a la siguiente relación:



Al ser viscoso y lineal, la fuerza del amortiguador va a depender de:



• •

Donde la constante c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso y tiene unidades de fuerza x tiempo / deformación



El coeficiente de amortiguamiento tiene unidades de fuerza x tiempo / deformación.



Contrariamente a la rigidez estructural, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura, ni de la geometría de las secciones de los elementos.



el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura, ni de la geometría de las secciones de los elementos.



El coeficiente de amortiguamiento puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y de la geometría de las secciones de los elementos







Mecanismos poco identificables.



Entonces, la forma de evaluar el coeficiente de amortiguamiento es a través de experimentos de vibración en estructuras reales. (Como los test de vibración libre).

El amortiguamiento viscoso equivalente intenta modelar la disipación de energía de deformación al producirse una disminución de la amplitud de oscilación dentro del rango elástico.



El amortiguamiento viscoso equivalente intenta modelar la disipación de energía de deformación al producirse una disminución de la amplitud de oscilación dentro del rango elástico.



Sobrepasando el rango elástico, el coeficiente de amortiguamiento puede experimentar deformaciones con la amplitud del movimiento (u(t)).

• •

La energía adicional es disipada debido al comportamiento inelástico en deformaciones grandes.



Bajo cargas cíclicas (como podría considerarse un sismo), este comportamientod implica la conformación de un loop histerético.

• El área encerrada por la curva de histéresis representa la energía disipada. •

Se tiene el siguiente sistema:

• •

La carga p(t) depende del tiempo, lo que da como resultado que el movimiento del grado de libertad u, también dependa del tiempo, al igual que la fuerza resistente del pórtico fs y del amortiguador fD.



El movimiento de la masa m, también genera fuerzas de inercia fI que se oponen la movimiento de la carga p(t).



Realizando el equilibrio de fuerzas se tiene lo siguiente:

• •

Y reemplazando cada término se tiene:



Que es la ecuación de movimiento completa para un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento y sometido a carga externa.



Sólo válida cuando la estructura se comporta elásticamente. (es decir, cuando no existe curva de histéresis)