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Grupo de Olimpiadas Matemáticas, Jorge Basadre

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Simulacro N

04, Nivel A

Emerson Soriano

El simulacro tiene una duración máxima de 3 horas. No se permite usar calculadoras, apuntes o libros. Debe justicar correctamente su respuesta en cada uno de los problemas.

1 Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, formar un número de seis cifras abcdef , tal que todos sus dígitos sean distintos entre sí, el número ab sea múltiplo de 2, el número abc sea múltiplo de 3, el número abcd sea múltiplo de 4, el número abcde sea múltiplo de 5 y el número abcdef sea múltiplo de 6. 2 Para cada entero positivo n, se dene A(n) de la siguiente forma A(n) = 1 + 11 + 111 + · · · + 11 · · 11} | ·{z n veces

Encontrar el menor entero positivo n para el cual A(n) es múltiplo de 45. 3 Determine si existen 2016 números enteros tales que la suma de ellos sea 2016 y el producto de ellos también sea 2016. 4 Un número de dos cifras ab, con a < b, es llamado sensato si ab es igual a la suma de todos los enteros desde a hasta b. Encontrar todos los números sensatos de dos cifras. 5 Un número entero positivo abcd de cuatro dígitos, distintos dos a dos, es llamado interesante si ad + bc = 33. Demuestre que la suma de todos los números interesantes de cuatro dígitos es múltiplo de 11. 25 de Junio del 2016

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Entrenamiento 2016

Solución del Simulacro 1 Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, formar un número de seis cifras abcdef , tal que todos sus dígitos sean distintos entre sí, el número ab sea múltiplo de 2, el número abc sea múltiplo de 3, el número abcd sea múltiplo de 4, el número abcde sea múltiplo de 5 y el número abcdef sea múltiplo de 6.

Notemos que el número 123654 cumple las condiciones del problema, pues 12 es múltiplo de 2, 123 es múltiplo de 3, 1236 es múltiplo de 4, 12345 es múltiplo de 5 y 123654 es múltiplo de 6.  Solución.

2 Para cada entero positivo n, se dene A(n) de la siguiente forma A(n) = 1 + 11 + 111 + · · · + 11 · · 11} | ·{z n veces

Encontrar el menor entero positivo n para el cual A(n) es múltiplo de 45. Notemos que cada uno de los n sumandos de A(n) termina en 1, entonces el último dígito de A(n) coincide con el último dígito de n, y como A(n) es múltiplo de 5, entonces n también es múltiplo de 5. Por otro lado, sabemos que para cada entero positivo n, se tiene que 11 · · 11} ≡ n (mod 9). Por lo tanto, | ·{z

Solución.

n veces

A(n) ≡ 1 + 2 + · · · + n ≡

n(n + 1) (mod 9) 2

Como A(n) es múltiplo de 9, entonces n(n + 1) es múltiplo de 9, esto nos obliga a analizar dos casos: 1) Si n es múltiplo de 9, entonces n es también múltiplo de 45. Luego, en este caso el menor n que cumple es 45. 2) Si n + 1 es múltiplo de 9, entonces n ≡ 8 (mod 9). Como n es múltiplo de 5, deducimos que n ≡ 35 (mod 45). Luego, en este caso el menor n que cumple es 35. Finalmente, concluimos que el menor n para el cual A(n) es múltiplo de 45, es 35.  3 Determine si existen 2016 números enteros tales que la suma de ellos sea 2016 y el producto de ellos también sea 2016. Solución.

Sí existen. En efecto, tomando los números: 2, 1008, 1, 1, ... , 1, −1, −1, ... , −1 | {z } | {z } 1510 veces

504 veces

Claramente la suma de esos 2016 enteros es 20016 y su producto también lo es.

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Entrenamiento 2016 4 Un número de dos cifras ab, con a < b, es llamado sensato si ab es igual a la suma de todos los enteros desde a hasta b. Encontrar todos los números sensatos de dos cifras. Solución.

Es claro que si el número de dos cifras ab, con a < b, es sensato, entonces ab =

a + (a + 1) + · · · + (b − 1) + b

= (1 + 2 + · · · + b) − (1 + 2 + · · · + (a − 1)) =

b(b + 1) a(a + 1) − 2 2

Luego, 2ab = 20a+2b = b(b+1)−a(a+1), y reduciendo esta última expresión tenemos a(a + 19) = b(b − 1). Como b(b − 1) ≤ 9 · 8 = 72, entonces a(a + 19) ≤ 72, así a ≤ 3 (pues si a ≥ 4 entonces a(a + 19) ≥ 4 · 23 = 92, lo cual es absurdo). Analicemos tres casos: 1) Si a = 3, entonces b(b − 1) = 3(3 + 19) = 66. Como 8 · 7 = 56 < 66, entonces b > 8, y como 9 · 8 = 72 > 66, entonces 8 < b < 9, pero esto es absurdo. 2) Si a = 2, entonces b(b − 1) = 2(2 + 19) = 42, de donde claramente b = 7. 3) Si a = 1, entonces b(b − 1) = 1(1 + 19) = 20, de donde claramente b = 5. Finalmente, concluimos que los únicos números sensatos son 27 y 15.



5 Un número entero positivo abcd de cuatro dígitos, distintos dos a dos, es llamado interesante si ad + bc = 33. Demuestre que la suma de todos los números interesantes de cuatro dígitos es múltiplo de 11. Solución. Es claro que si el número abcd es interesante, entonces ninguno de sus dígitos es igual a 0, pues de lo contrario se tendría que el producto de dos de sus dígitos es igual a 33, pero esto es imposible, pues alguno de sus dígitos tendría que ser un múltiplo de 11 distinto de 0, lo cual es falso. En consecuencia de lo último, podemos garantizar que los siguientes números también serán interesantes:

badc, cdab, acbd, bdac, cadb, dbca, dcba

Luego, el número interesante abcd tiene 7 variantes. Veamos que sucede cuando sumanos esos 8 números: abcd + badc + cdab + acbd + bdac + cadb + dbca + dcba = 2222(a + b + c + d)

Como 2222 múltiplo de 11, podemos observar que la suma de un número interesante con sus 7 variantes es múltiplo de 11. Luego, al sumar todos los números interesantes, podemos agruparlos en grupos de 8 sumandos (según su variante), y como cada grupo de esos 8 números es múltiplo de 11, se deduce que la suma de todos los números interesantes es múltiplo de 11. 

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