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Grupo de Olimpiadas Matemáticas, Jorge Basadre

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Simulacro N

02, Nivel A

Emerson Soriano Duración:

3

horas

1 Un entero positivo es llamado

si tiene cuatro dígitos y uno de sus dígitos es igual a la suma de los demás dígitos. Por ejemplo, 1153 es amistoso, pues tiene cuatro dígitos y 5 = 1 + 1 + 3. ) b) c) d) a

amistoso

Encontrar el mayor número amistoso. ¾Cuáles son los dos mayores números amistosos que son múltiplos de 25? ¾Existe algún número amistoso N tal que N + 1 también sea amistoso? ¾Existe algún número amistoso N tal que 5N también sea amistoso?

2 Determinar si es posible distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las casillas de un tablero de 3 × 3, un número por casilla y sin repetir, de modo que la suma de los números en dos casillas vecinas cualesquiera nunca sea múltiplo de 3. Nota: Dos casillas son vecinas si comparten un lado en común.

3 En una sala hay 9 sillas puestas una al lado de la otra. Cuando Renato entró a la

sala vio que algunas personas estaban sentadas en las sillas de tal forma que si él se sienta en cualquier silla desocupada, entonces estará al lado de alguna (o algunas) de esas personas. Como máximo, ¾cuántas sillas desocupadas había antes de que llegue Renato?

4 Un conjunto de enteros positivos es llamado mansito si sus elementos pueden escribirse

en algún orden, y uno a continuación de otro, para formar un número capicúa. Por ejemplo, el conjunto {2, 10, 201} es mansito porque podemos escribir primero el 201, luego el 10 y nalmente el 2, para formar el número 201102, que es capicúa.

) Determinar si el conjunto {1, 4, 9, 16, 36, 49} es mansito. b ) Determinar cuántos elementos se le debe agregar al conjunto {15, 25, 125, 215}, como mínimo, para que sea mansito. c ) Determinar si el conjunto {1, 2, 3, ..., 1002, 1003} es mansito.

a

11 de Junio del 2016

1

Entrenamiento 2016

Solución del Simulacro 1 Un entero positivo es llamado

amistoso si tiene cuatro dígitos y uno de sus dígitos es igual a la suma de los demás dígitos. Por ejemplo, 1153 es amistoso, pues tiene cuatro dígitos y 5 = 1 + 1 + 3.

) b) c) d) a

Encontrar el mayor número amistoso. ¾Cuáles son los dos mayores números amistosos que son múltiplos de 25? ¾Existe algún número amistoso N tal que N + 1 también sea amistoso? ¾Existe algún número amistoso N tal que 5N también sea amistoso?

Sea k un dígito del número amistoso N . Diremos que k es genial si él es igual a la suma de los otros tres dígitos de N . Notemos que si queremos maximizar un número amistoso abcd, entonces a debe ser genial.

Solución.

) Sea abcd el mayor número amistoso. Sabemos que a ≤ 9. Si a = 9, entonces b + c + d = 9, así tenemos que b ≤ 9. Tomando b = 9, se tiene que c = d = 0. Luego, cualquier número amistoso es menor o igual que 9900. Por lo tanto, el mayor número amistoso es 9900. b ) Note que 9900 es múltiplo de 25, así, el mayor número amistoso que es múltiplo de 25 es 9900. Sea abcd el segundo mayor número amistoso múltiplo de 25, entonces cd ∈ {00, 25, 50, 75}.

a

Si cd = 00, entonces a = b ≤ 8. Por lo tanto, en este caso el mayor número amistoso múltiplo de 25 es 8800. Si cd = 25, entonces a = b + 7, así tenemos que b ≤ 2, por lo tanto abcd ≤ 9225. Luego, en este caso el mayor valor de abcd es 9225. Si cd = 50, entonces a = b + 5, así tenemos que b ≤ 4, por lo tanto abcd ≤ 9450. Luego, en este caso el mayor valor de abcd es 9450. Si cd = 75, entonces a no puede ser genial, pues se tendría que a ≥ 7 + 5 = 12, lo cual no puede ocurrir. Lo mismo ocurre con b, él no puede ser genial. La única posibilidad es que 7 sea genial, por lo tanto 7 = a + b + 5, de donde deducimos que a ≤ 2. Por lo tanto, abcd < 3000. Finalmente, se concluye que los dos mayores números amistosos múltiplos de 25 son 9900 y 9450. c ) Sí. Basta con tomar N = 4509, pues tiene cuatro cifras, 9 = 4+5+0, N +1 = 4510 tiene cuatro cifras y 5 = 4 + 1 + 0. d ) Sí. Basta con tomar N = 1032, pues tiene cuatro cifras, 3 = 1 + 0 + 2, 5N = 5160 tiene cuatro cifras y 6 = 5 + 1 + 0. 

2

Entrenamiento 2016 2 Determinar si es posible distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las casillas de un tablero de 3 × 3, un número por casilla y sin repetir, de modo que la suma de los números en dos casillas vecinas cualesquiera nunca sea múltiplo de 3. Nota: Dos casillas son vecinas si comparten un lado en común. Solución.

Sí, es posible. A continuación mostramos un ejemplo.



3 En una sala hay 9 sillas puestas una al lado de la otra. Cuando Renato entró a la

sala vio que algunas personas estaban sentadas en las sillas de tal forma que si él se sienta en cualquier silla desocupada, entonces estará al lado de alguna (o algunas) de esas personas. Como máximo, ¾cuántas sillas desocupadas había antes de que llegue Renato?

Enumeremos las sillas de izquierda a derecha con los números del 1 al 9, en ese orden. Notemos que de las sillas 1 y 2 al menos una de ellas debe estar ocupada, pues de lo contrario Renato se sienta en la silla 1 y no estaría al lado de ninguna persona ya sentada. Del mismo modo, de las sillas 8 y 9 al menos una de ellas debe estar ocupada. También notemos que de las sillas 4, 5 y 6 al menos una de ellas debe estar ocupada, pues de lo contrario Renato se sienta en la silla 5 y no estaría al lado de ninguna persona ya sentada. Por lo tanto, la cantidad de casillas ocupadas es mayor o igual a 3. Así, la cantidad de sillas desocupadas es a lo sumo 6. A continuación mostramos un ejemplo en donde se verica que la mayor cantidad de sillas desocupadas es 6. Solución.

 4 Un conjunto de enteros positivos es llamado mansito si sus elementos pueden escribirse

en algún orden, y uno a continuación de otro, para formar un número capicúa. Por ejemplo, el conjunto {2, 10, 201} es mansito porque podemos escribir primero el 201, luego el 10 y nalmente el 2, para formar el número 201102, que es capicúa.

) Determinar si el conjunto {1, 4, 9, 16, 36, 49} es mansito. b ) Determinar cuántos elementos se le debe agregar al conjunto {15, 25, 125, 215}, como mínimo, para que sea mansito. c ) Determinar si el conjunto {1, 2, 3, ..., 1002, 1003} es mansito.

a

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Entrenamiento 2016 Antes de proceder con la solución de los tres incisos, daremos algunas observaciones importantes sobre los números capicúas. Solución.

Si un número capicúa tiene una cantidad par de dígitos, entonces cada dígito se repite una cantidad par de veces. Si un número capicúa tiene una cantidad impar de dígitos, entonces exactamente un dígito se repite una cantidad par de veces. En conclusión, en todo número capicúa se cumple que a lo sumo hay un dígito que se repite una cantidad impar de veces. ) Sí, es mansito. Escribiendo los elementos en el siguiente orden 9, 4, 16, 36, 1 y 49, obtenemos el número 941636149, que es capicúa. b ) Notemos que dicho conjunto no es mansito, pues todos sus elementos terminan en 5 y no hay ningún elemento que empiece con 5. La cantidad de elementos que se le debe agregar al conjunto para que sea mansito es mayor o igual a 1. Notemos que el conjunto {2, 15, 25, 125, 215} es mansito, pues al escribir los números en el siguiente orden 25, 125, 15, 215 y 2, obtenemos el número 25125152152, que es capicúa. Por lo tanto, es suciente agregarle un solo elemento. La respuesta es 1. c ) Vamos a obviar el dígito 0. Consideremos todos los números de la forma abc donde 0 ≤ a, b, c ≤ 9, es decir, los números desde 000 hasta 999. Notemos que cada dígito del 1 al 9 aparece exactamente 300 veces. Luego, en los números 1000, 1001, 1002 y 1003 se observa que los dígitos 1, 2 y 3 aparecen una cantidad impar de veces. Por lo tanto, en el conjunto {1, 2, 3, ..., 1002, 1003} los dígitos 1, 2 y 3 aparecen una cantidad impar de veces. Esto signica que no podemos formar un número capicúa con estos elementos, pues según las observaciones dadas al inicio, un número capicúa tiene a lo sumo un dígito que se repite una cantidad impar de veces. Por lo tanto, el conjunto {1, 2, 3, ..., 1002, 1003} no es mansito. 

a

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