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Grupo de Olimpiadas Matemáticas, Jorge Basadre

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Simulacro N

03, Nivel A

Emerson Soriano

El simulacro tiene una duración máxima de 3 horas. No se permite usar calculadoras, apuntes o libros. Debe justicar correctamente su respuesta en cada uno de los problemas.

1 Para cada entero positivo n, sea f (n) el menor entero positivo tal que n · f (n) es múltiplo de 6. Por ejemplo, f (2) = 3 y f (9) = 2. Calcule el valor de la suma f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (99) + f (100)

2 Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B , si A < B , A es un divisor de B y la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B . Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es divisor de 300, y además 1 + 2 = 3 + 0 + 0. ¾Cuántos hijos tiene 110000?

3 En cada una de las casillas de un tablero de 1 × 2007 se escribe un 0 o un 1 de modo que la suma de los números en 90 casillas consecutivas sea siempre 65. Determine todos los valores que puede tomar la suma de los 2007 números del tablero.

4 Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: El producto de los elementos de cualquier subconjunto de S = {1, 2, 3, ..., 2010}, con n elementos, es múltiplo de 2010. ¾Cuál es el menor valor que puede tomar n?

17 de Junio del 2016

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Entrenamiento 2016

Solución del Simulacro 1 Para cada entero positivo n, sea f (n) el menor entero positivo tal que n · f (n) es múltiplo de 6. Por ejemplo, f (2) = 3 y f (9) = 2. Calcule el valor de la suma S = f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (99) + f (100)

Solución. Para calcular con facilidad esta suma, debemos darnos cuenta de lo siguiente: Si Si Si Si Si Si

n es de la forma 6k , para algún entero k , entonces f (n) = 1. n es de la forma 6k + 1, para algún entero k , entonces f (n) = 6. n es de la forma 6k + 2, para algún entero k , entonces f (n) = 3. n es de la forma 6k + 3, para algún entero k , entonces f (n) = 2. n es de la forma 6k + 4, para algún entero k , entonces f (n) = 3. n es de la forma 6k + 5, para algún entero k , entonces f (n) = 6.

Sabemos que entre los números 1, 2, 3, ... , 96 hay exactamente 966 = 16 números con restos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en el módulo 6, respectivamente. Entre los números 97, 98, 99 y 100 hay un número de cada resto 1, 2, 3 y 4 en el módulo 6. Por lo tanto, entre los números del 1 al 100 hay exactamente 17 números con restos 1, 2, 3 y 4; mientras que hay 16 números con los restos 5 y 0. Luego, S es igual a S = 17(6) + 17(3) + 17(2) + 17(3) + 16(1) + 16(6) = 350 

2 Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B , si A < B , A es un divisor de B y la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B . Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es divisor de 300, y además 1 + 2 = 3 + 0 + 0. ¾Cuántos hijos tiene 110000?

Solución. Primero veamos la descomposición canónica de 110000: 110000 = 24 · 54 · 11

Note que los hijos de 110000 tienen que tener suma de dígitos igual a 2. Esto es, si n es hijo de 110000, entonces ocurren dos casos: Cuando n tiene un dígito 2 y el resto de los dígitos son iguales a 0. En este caso, no es difícil darse cuenta que el primer dígito de n es 2 y todos los demás dígitos (si los hay) son iguales a 0, es decir, n es de la forma n = 2·10i , con 0 ≤ i ≤ 3. Luego, los únicos divisores de 110000 que tienen estas características son: 2, 20, 200 y 2000. Primer Caso.

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Entrenamiento 2016 Cuando n tiene dos dígitos iguales a 1 y el resto de los dígitos son iguales a 0. Es claro que el primer dígito de n es 1. Luego, n tiene la siguiente forma 100 · · · 0}100 · · · 0} donde k y r son enteros no negativos. Como n es hijo | {z | {z

Segundo Caso.

k veces

r veces

de 110000, entonces 100 · · · 0}1 también debe ser hijo de 110000, pero entonces el | {z k veces

número 100 · · · 0}1 debería ser múltiplo de algún divisor primo de 110000, pero | {z k veces

no es par ni múltiplo de 5, por lo tanto debería ser múltiplo de 11. Esto sólo es posible si k = 0. Por lo tanto, en este caso, los dos primeros dígitos de n es 11. Luego, los únicos divisores de 110000 con estas características son: 11, 110, 1100 y 11000. Hemos concluido que 110000 tiene 4 + 4 = 8 hijos.



3 En cada una de las casillas de un tablero de 1 × 2007 se escribe un 0 o un 1 de modo que la suma de los números en 90 casillas consecutivas sea siempre 65. Determine todos los valores que puede tomar la suma de los 2007 números del tablero.

Solución. Analicemos los números en las primeras 91 casillas. Sean a1 , a2 , a3 , ... , a91

los números en en las casillas 1, 2, 3, ... , 91, respectivamente. Como a1 +a2 +· · · a90 = 65 y a2 +a3 +· · · a91 = 65, entonces a1 = a91 . Haciendo el mismo análisis, no es difícil darse cuenta que a2 = a92 , a3 = a93 , así sucesivamente. Como 2007 = 90·22+27, entonces la suma S de los 2007 números en el tablero es igual a 22 · 65 + T = 1430 + T , donde T es la suma de los números en las 27 primeras casillas, es decir, T es la cantidad de unos que hay en las 27 primeras casillas. Analizando de nuevo los números en las primeras 90 casillas, nos damos cuenta que entre los números de las 27 primeras casillas debe haber al menos 2 números 1, pues de lo contrario la suma de los 90 números en las primeras 90 casillas sería menor que 65. Por lo tanto, 2 ≤ T ≤ 27. Luego, todos los valores que puede tomar S son todos los números desde 1432 hasta 1457. 

4 Sea n un entero positivo con la siguiente propiedad: El producto de los elementos de cualquier subconjunto de S = {1, 2, 3, ..., 2010}, con n elementos, es múltiplo de 2010. ¾Cuál es el menor valor que puede tomar n?

Solución. Primero veamos la descomposición canónica de 2010: 2010 = 2 · 3 · 5 · 67

Notemos que en el conjunto S = {1, 2, 3, ..., 2010} hay exactamente 2010 = 30 múltiplos 67 de 67, es decir, en S hay 2010 − 30 = 1980 elementos que no son múltiplos de 67. Notemos que si n ≤ 1980, no cumple la propiedad del problema, pues al tomar los 1980 elementos de S que no son múltiplos de S , entonces el producto de esos elementos no es múltiplo de 67, y en consecuencia, no es múltiplo de 2010. Por lo tanto, n ≥ 1981. Vamos a demostrar que n = 1981 es el menor valor buscado. En efecto, no es difícil darse cuenta que si tomamos cualquier conjunto A de S , con 1981 elementos, entonces debe haber al menos uno de ellos que es múltiplo de 67, pues la cantidad de elementos 3

Entrenamiento 2016 que no son múltiplos de 67 es 1980; también hay al menos uno que es par, pues la cantidad de elementos que son impares es 2010 = 1005; también se sabe que en A hay 2 al menos un múltiplo de 3, pues la cantidad de elementos de S que no son múltiplos de 3 es 2010 − 2010 = 1340; y también se sabe que en A hay al menos un múltiplo de 5, 3 = 1608. pues la cantidad de elementos de S que no son múltiplos de 5 es 2010 − 2010 5 Luego, en A hay al menos un múltiplo de 2, al menos un múltiplo de 3, al menos un múltiplo de 5 y al menos un elemento que es múltiplo de 67. Por lo tanto, el producto de los elementos de A es múltiplo de 2010. Hemos concluido que el menor valor que puede tomar n es 1981.

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