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Serie de Fourier Lali Barri`ere Octubre 2011

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Introducci´ on • Representamos una onda sonora por una funci´ on del tiempo t → s(t). • Una funci´ on es peri´odica, con periodo T si se cumple s(t) = s(t + T ) para cualquier valor de t, y la igualdad anterior no se cumple con valores m´as peque˜ nos de T . Observaci´ on Una funci´ on peri´odica con periodo T cumple s(t) = s(t + T ) = s(t + 2T ) = s(t + 3T ) = . . . • Una sinusoide es una funci´ on que se puede expresar como un seno, con una determinada amplitud, frecuencia y fase: s(t) = A · sin(ω · t + Φ) Observaci´ on 1 En esta igualdad, A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y Φ es la fase. La ω . frecuencia en ciclos por segundo es f = 2π 1 Observaci´ on 2 El periodo es T = . El periodo tambi´en se llama longitud de onda. f Observaci´ on 3 Las sinusoides son las funciones oscilatorias m´as simples. Representaci´on gr´ afica de una sinusoide: http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide Ejemplo de longitud de onda: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html

2

Teorema de Fourier

Cualquier funci´ on peri´odica, con periodo T , se puede representar como suma de sinusoides de frecuencias f , 1 2f , 3f ,. . . , llamadas arm´ onicos. (La relaci´on entre el periodo y la frecuencia es f = .) T Observaci´ on Los arm´onicos tambi´en se suelen llamar parciales. De hecho, los parciales son componentes frecuenciales de una onda no necesariamente peri´odica. Por lo tanto, el t´ermino parcial es m´as general que el t´ermino arm´ onico.

1

2.1

Serie de Fourier trigonom´ etrica

Si s : R → R es una funci´ on peri´odica con periodo T , la serie de Fourier de s es s(t) ∼

a0 X 2πnt X 2πnt + + an cos bn sin 2 T T n≥1

n≥1

con coeficientes 2 an = T

Z

0

T

1 2πnt dt ⇒ a0 = s(t) cos T π Z 2 T 2πnt bn = dt. s(t) sin T 0 T

Z

T

s(t) dt 0

!

Estos coeficientes se pueden calcular integrando entre −T /2 i T /2 o, en general, entre t0 i t0 + T , con t0 un valor real cualquiera. Observaci´ on En las ondas sonoras, a0 = 0.

2.2

Expresiones alternativas de la serie de Fourier 2π . T 2πn La frecuencia angular del arm´onico n-´esimo es nω0 = T La serie se puede escribir X a0 X s(t) ∼ + an cos nω0 t + bn sin nω0 t 2

• La frecuencia angular fundamental es ω0 =

n≥1

n≥1

1 • Si t es el tiempo en segundos, la frecuencia fundamental en Hz es f0 = . T n La frecuencia en Hz del arm´onico n-´esimo es fn = nf0 = . T La serie se puede escribir X a0 X bn sin 2πnf0 t an cos 2πnf0 t + s(t) ∼ + 2 n≥1

n≥1

2.3

Forma amplitud-fase de la serie de Fourier X X a0 X + an cos nω0 t + bn sin nω0 t = A0 + An cos(nω0 t + Φn ) 2 n≥1

n≥1

n≥1

a0 (En las ondas sonoras A0 = 0.) 2 p • Amplitud: An = a2n + b2n

• A0 =

• Fase: Φn = arctan

an bn

Observaci´ on La forma amplitud-fase de la serie de Fourier se deduce de la f´ormula trigonom´etrica: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2

Por lo tanto, la expresi´on amplitud-fase de la onda t → s(t) es: s(t) = A1 cos(ω0 t + Φ1 ) + A2 cos(2ω0 t + Φ2 ) + A3 cos(3ω0 t + Φ3 ) + A4 cos(4ω0 t + Φ4 ) + . . .

2.4

Espectro

Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda s(t) es ω, u ´ nicamente se requieren los valores de amplitud y fase de cada uno de los parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores se llama espectro. {(A1 , Φ1 ), (A2 , Φ2 ), (A3 , Φ3 ), . . . }

amplitud

• Espectro de amplitud Representaci´on frecuencia-amplitud.

A1

# armónico 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

8

9

10

11

12

13

fase

• Espectro de fase Representaci´on frecuencia-fase.

Φ1 # armónico 1

2

3

4

5

6

7

3

3

Ejemplo: la onda cuadrada

La onda cuadrada de periodo 2π es la funci´ on definida por   1, si 0 ≤ t < π; −1, si π ≤ t < 2π; s(t) =  extendida con periodo 2π. 1,0

0,5

0 1

2

3

4

5

6

t

K

0,5

K

1,0

Los coeficientes de Fourier de esta funci´ on son an = 0

bn =

1 π

Z

0

− sin nt dt +

−π

Z

π

sin nt dt

0



La suma de los primeros 8 parciales es

 4   , si n es impar; πn =   0, si n es par.

1,0

0,5

0 1

2

3

4

t

K

0,5

K

1,0

4

5

6

La suma de los primers 60 parciales es 1,0

0,5

0 1

2

3

4

5

6

4

5

6

t

K

0,5

K

1,0

La suma de los primeros 200 parciales es 1,0

0,5

0 1

2

3

t

K

0,5

K

1,0

π Todos los parciales tienen fase 0. Si desfasamos el parcial n = 5 en , es decir, en la serie trigonom´etrica, 2 a5 = b5 i b5 = 0, obtenemos:

1,0

0,5

0 1

2

3

4

t

K

0,5

K

1,0

5

5

6